Примеры с буквами: Буквенные выражения

Содержание

Буквенные выражения

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьёзная задача в математике свóдится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Например, в выражении a + b + 4 переменными являются буквы a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a + b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2, переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение a + b + 4 обращается в обычное числовое выражение 2 + 3 + 4, значение которого можно найти:

2 + 3 + 4 = 9

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3, то мы получим 6

2 × 3 = 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a × (b + c) можно записать a(b + c). Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c) = ab + ac.


Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a. На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a.

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«

К примеру, если переменная a равна 5, то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc«.

Если вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемнóжились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента отнóсится только к коэффициенту, и не отнóсится к переменным!

Рассмотрим выражение 6b. Минус, стоящий перед коэффициентом 6, отнóсится только к коэффициенту 6, и не отнóсится к переменной b. Понимание этого факта позвóлит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения 6b при b = 3.

6b это короткая форма записи от × b. Для наглядности запишем выражение 6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18


Пример 2. Найти значение выражения 6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b

и далее подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30


Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b, поэтому для наглядности запишем выражение −5 × a + b в развёрнутом виде и подстáвим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13


Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае коэффициентом является единица:

1a, 1ab

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число 1. Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a. Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь крóется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к невидимой единице, а не к переменной a. Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас прóсят найти его значение при a = 2, то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ 2, не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2, то мы подставляем −2 вместо переменной a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2, b=3 и c=4

Выражение abc это короткая форма записи от 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24


Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24


Пример 6. Найти значение выражения abc при a=3, b=5 и c=7

Выражение abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105


Пример 7. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−4 и c=−3

Запишем выражение abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24


Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень простá. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемнóжим числа и отдельно перемнóжим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105. После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

−105amn


Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

Перемножим отдельно числа и буквы:

−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.


Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен не верно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на хорошем уровне.


Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минус. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице:

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b, то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые. А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b). В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) станóвятся слагаемыми.


Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a. В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно привóдят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a= (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a


Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a.


Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом деле оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a


Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a


Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b


Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержащие переменные b, подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)


Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2


Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x


Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:


Упрощение выражений

Часто можно встретить задание, в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще».

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: «а что можно сделать?». Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощённое выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st.


Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b, затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

0,4 × (−6,3b) × 2 = 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b


Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3

Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn.


Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение  упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:


Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a  +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2, b = 3

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a


Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.


Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:


Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до.

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.


Тождества. Тождественно равные выражения

После того как мы упростили какое-нибудь выражение, оно станóвится проще и короче. Чтобы проверить верно ли упрощено выражение, достаточно подстáвить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то это означает, что выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b. Чтобы упростить данное выражение, можно по-отдельности перемнóжить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a, b будут следующими:

a = 4
b = 5

Подстáвим их в первое выражение 2a × 7b

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

Теперь подстáвим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения выражения 2× 7b, а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a = 4 и b = 5 значение первого выражения 2× 7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a = 1 и b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким образом, выражения 2× 7b и 14ab при любых значениях переменных равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.

Делаем вывод, что между выражениями 2× 7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

2× 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2× 7b = 14ab называют тождеством.

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b + c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства тоже являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.

Например, мы упростили выражение 2× 7b, и получили более простое выражение 14ab. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения при и

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения при

Показать решение

Задание 3. Найдите значение выражения при и и

Показать решение

Задание 4. Найдите значение выражения при и

Показать решение

Задание 5. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:

  • Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
  • Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять

Показать решение

Задание 6. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 7. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 8. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 9. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 10. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 11. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 12. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 13. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 14. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 15. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 16. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 17. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 18. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 19. Упростите выражение:

Показать решение

Задание 20. Упростите выражение:

Показать решение


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Числовые и буквенные выражения.

Формула

              Числовые и буквенные выражения.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем «плюс«)          —   знак операции сложения,

(читаем «минус«)         —  знак операции вычитания,

(читаем «умножить«)    —  знак операции умножения,

: (читаем «разделить«)   —  знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки.  Например, запись a +

b –  3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв  в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными.

Подставив в буквенное выражение числа  вместо букв   и  вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения,  если при подстановке   значений букв получается  числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.  Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено»

для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a –  b  не имеет значения  при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея  всего 10 яблок (a = 10),  нельзя отдать из них 17  (b = 17)! 

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для  любого натурального  числа b, частное b : 0 не определено.

 Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют

формулой. Например, если стороны семиугольника равны  a, b, c, d, e, f, g,  то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:                           

                                                       
         

p = a + b + c + d + e + f + g

При  a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При  a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого  семиугольника  p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

 

 

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа.  Для этого в пустые клетки впишите  слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением  клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

  1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

     

      2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить,  «:» (разделить).

    

      3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.   

   

       4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

    

       5. Знак, стоящий перед  значением числового выражения.

    

      6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

    

      7. Общее название букв в буквенном выражении.

    

      8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

   

     9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

    

     10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

 

     11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

  

     12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

   

 

 

 

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием  в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде:   1а,   2г,    3б…

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

 Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что  их можно решать на компьютере, проверять решения и  сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но  решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

  1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
  2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d,
    m, выраженными в м
  3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
  4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
  5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
  6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
  7. Разность меньше уменьшаемого на 7
  8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом  из рядов  палубы m мест, рядов на палубе  на n больше, чем мест в ряду
  9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
  10. m = 8,  n = 10,   k = 5
  11. m = 6, n = 8,     k = 15
  12.  t = 121,  x = 1458

    

 

ТО:

  1. Значение данного выражения
  2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
  3. Периметр, выраженный в сантиметрах
  4. Формула пути s, пройденного автомобилем
  5. Формула скорости v, движения туриста
  6. Формула времени t, движения туриста
  7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
  8. Скорость туриста в километрах в час
  9. Время движения туриста в часах
  10. Первое число равно…
  11. Вычитаемое равно….
  12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  14. Буквенное выражение для возраста Кати
  15. Возраст Кати
  16. Координата точки В, если координата точки С равна t
  17. Координата точки D, если координата точки С равна t
  18. Координата точки А, если координата точки С равна t
  19. Длина отрезка BD на числовом луче
  20. Длина отрезка CА на числовом луче
  21. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1;  б) s=b ∙d;  в) 9;   г) 40;   д) b + c + d + m;  е) 7;   ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел;   з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k;   и) (m + n) – k;   к) 6;   л) 15;       м) 3760;   н) t –  3;  о) фигура не может быть  треугольником;   п) 22;    р) t – 3 ∙ 7;   с) 0;   т) 32;   у) 59600;   ф) 6019;   х) 2880;  ц) 10378;  ч)1440;   ш) на ноль делить нельзя;  щ) 13;   ы) 1800;  э) 496;  ю) 2;   я) 12;   аа) 14;   бб) 5;   вв) 35;    дд)  79200;   ее) 1900;   жж) 118;     зз) 18;   ии) 12800;  кк) 98;   лл) 1458;   мм) v = c : m;   нн) 100;   оо) 19900;   пп) t = b : m; рр) 2520;   сс) c + d + m;   тт) x;   уу) 1579;   фф) t + 2;   хх) 10206;   цц) 135;   чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x;   щщ) x – 2;   ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7;   ээ)  t + x ∙ 7;   юю) 10192;   яя) t + x;   ааа) 123;       ббб) 1456;   ввв) 10327.

 

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70,  время выполнения 2 – 3  часа,  сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать  следующую шкалу оценок.

Блок 4. Давайте поиграем

 Блок 5. Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

 

 

Для учителя приводим ответы к блокам параграфа 6

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8.  Западня 2. 12, 2, 13 5. Западня 3.  6

Западня 4. 15.              Западня 5. 396

 

 Блок 1.  Словарь

 

Блок 2. Установите соответствие.

Вариант 1: 1и, 2з, 3е, 4б, 5м, 6л, 7а, 8ж, 9в, 10д, 11г, 12к, 13т, 14н, 15ф, 16о, 17у, 18с, 19р, 20п

Вариант 2: 1д, 2е, 3к, 4а, 5г, 6з, 7и, 8б, 9ж, 10в

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения (ответы под заданиями)

Ответы к игре «Сокровища»

Деревянный – 10250. Оловянный – 21640. Медный – 50400. Серебряный – 191000. Золотой – 289800.

Числовые и буквенные выражения. Значение выражения

  • Числовые выражения
  • Буквенные выражения
  • Запись буквенных выражений

Числовые выражения

Числовое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа обозначены цифрами (в неё также могут входить знаки арифметических действий и скобки). Числовые выражения так же называются арифметическими выражениями.

7  — числовое выражение,

2 + 2 — 1  — числовое выражение,

7 — 2 · + : 1  — бессмысленный набор символов.

Вычислить значение выражения — это значит выполнить все арифметические действия, указанные в выражении. Действия выполняются в определённом порядке, в зависимости от самих действий и присутствия в выражении скобок. Про порядок выполнения действий можно прочитать в теме Порядок действий.

Значение числового выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Например, в выражении

6 + 2 = 8,

число  8  — это значение числового выражения  6 + 2.

Пример 1. Найдите значение числового выражения  4 + 3.

Решение:

4 + 3 = 7.

Ответ:  7.

Пример 2. Вычислите значение числового выражения  4 · 3.

Решение:

4 · 3 = 12.

Ответ:  12.

Пример 3. Запишите числовые выражения и найдите их значения.

1) Из числа  60  вычесть сумму чисел  23  и  7.

2) К частному чисел  30  и  6  прибавить  18.

3) Число  93  уменьшить на произведение  5  и  6.

4) Из разности чисел  57  и  7  вычесть число  8.

Решение:

1) 60 — (23 + 7) = 60 — 30 = 30.

2) 30 : 6 + 18 = 5 + 18 = 23.

3) 93 — 5 · 6 = 93 — 30 = 63.

4) (57 — 7) — 8 = 50 — 8 = 42.

С помощью числовых выражений можно записывать решение задач.

Задача. Из куска шёлка длиной  18  метров сшили  4  платья, расходуя на каждое по  3  метра. Сколько метров шёлка осталось в куске?

Решение: Задача решается в два действия: сначала узнаём сколько шёлка было израсходовано на платья, а затем сколько шёлка осталось. Решение по действиям можно записать так:

1)  3 · 4 = 12 (м)  — израсходовали на платья.

2)  18 — 12 = 6 (м)  — осталось в куске.

Объединив эти два действия, получим числовое выражение

18 — 3 · 4 = 6 (м).

Значение этого выражения является ответом на вопрос данной задачи.

Буквенные выражения

Буквенное выражение — это числовое выражение, в котором числа могут быть обозначены и цифрами, и буквами. Буквенные выражения так же называются алгебраическими выражениями.

При обозначении чисел буквами обычно используют строчные (маленькие) буквы латинского алфавита:

7 · a  — буквенное выражение,

a – (b + c)  — буквенное выражение.

Чаще всего в буквенных выражениях разные числа обозначены разными буквами, но, например, в выражении:

a = b

подразумевается, что  и  являются одним и тем же числом.

Значение буквенного выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Действия в буквенных выражениях выполняются после подстановки вместо букв их численных значений.

Пример. Найдите значение буквенного выражения  2 · a + 3  при  a = 7.

Решение:

2 · 7 + 3 = 14 + 3 = 17.

Ответ:  17.

Если в записи выражения одна и та же буква, например a, употребляется несколько раз, то под значением этой буквы во всех случаях мы должны иметь ввиду одно и тоже число.

Пример. Найдите значение буквенного выражения  5x — 2x  при  x = 4.

Решение:

5 · 4 — 2 · 4 = 20 — 8 = 12.

Ответ:  12.

В арифметике буквенные обозначения употребляют, когда необходимо выразить, что свойство (или правило) относится не к каким-нибудь отдельным числам, а является общим для любых чисел. Например:

a + b = b + a.

Данное равенство показывает нам, что, как бы мы не переставляли слагаемые, сумма от этого не изменится. Подставив вместо букв любые числа, мы можем убедиться в этом сами:

1 + 2 = 2 + 1.

Запись буквенных выражений

При записи буквенных выражений, знак умножения пишется только:

  • между буквой и числом:

    a · 3;

  • между закрывающей скобкой и следующей за ней буквой или числом:

    (3 + 5) · 4,

    (3 + 5) · a.

Знак умножения между числом и буквой, между буквами и перед открывающей скобкой не пишут:

7a    вместо    7 · a;

xy    вместо    x · y;

a(b + c)    вместо    a · (b + c).

В буквенных выражениях числовой множитель записывается перед буквенными множителями:

5x    вместо    x · 5;

3bc    вместо    b · c · 3;

2(x + y)    вместо    (x + y) · 2.

Частное двух чисел, обозначенных буквами, обычно записывается с помощью дробной черты, например:

m : nm .
n

Числовые и буквенные выражения / Справочник по математике для начальной школы

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Числовые и буквенные выражения

Числовые выражения

В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.

Числовое выражение – это запись , состоящая из чисел и знаков действий между ними.

Например, 44 + 32

Значение выражения — это результат выполненных действий.

Например, в записи 44 + 32 = 76, значение выражения — это 76.


Чтение числовых выражений

12 + 9 — сумма

49 — 20 — разность

34 — (8 + 21) — из 34 вычесть сумму чисел 8 и 21

13 + (26 — 8) — к 13 прибавить разность чисел 26 и 8


Решение числовых выражений

45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13


Сравнение значений числовых выражений

 Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.

Давай сравним значения двух выражений: 14 — 6 и 18 — 9.

Для этого найдем значения каждого из них:

14 — 6 = 8

18 — 9 = 9

8 < 9, значит, 

14 — 6 < 18 — 9


Буквенные выражения

Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.

В этих выражениях буквы могут обозначать различные числа. Число, которым заменяют букву, называют значением.

Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.

Чаще всего используются буквы:

a, b, c, d, x, y, k, m, n


Алгоритм решения буквенного выражения

Алгоритм — значит, порядок, план выполнения команд.

1.   Прочитать буквенное выражение

2.   Записать буквенное выражение

3.   Подставить значение неизвестного в выражении

4.   Вычислить результат

Например, 28 – с

Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с

Подставим вместо неизвестного «с» число 4.

У нас получается выражение: 28 – 4 

Вычисляем результат:

28 – 4 = 24


Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства

c = 2, x = 3

Мы изменили значения переменных c и x. Переменной присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:

2 + 3 + 2

Теперь мы можем найти значение этого выражения:

с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Уравнения

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 18. Урок 11, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 8. Урок 5, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 11. Урок 6, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 15. Урок 8, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 19. Урок 10, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 22. Урок 12, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 29. Урок 15, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 37. Урок 19, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 43. Урок 22, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 44. Урок 23, Петерсон, Учебник, часть 3

2 класс

Страница 41, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 82, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 91, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 55, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 34. Вариант 1. № 4, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 44. Вариант 1. № 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 48, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 78, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 70. Урок 28, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 57. Урок 20, Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 6, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 57, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 59, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 23, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 70, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 100, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 12, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 28, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 82. Урок 30, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 86. Урок 31, Петерсон, Учебник, часть 1

4 класс

Страница 7, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 9, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 11, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 84, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 88, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 4, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 8, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 21, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 94, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 47, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 575, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 973, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1469, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1746, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1803, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1841, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 246, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 260, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 292, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 929, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 315, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 330, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 331, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 968, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1037, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1097, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1100, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1106, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 473, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 597, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 259, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 315, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 316, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 480, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 481, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 906, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры

В математике принято использовать свои обозначения. Запись условий задач с их помощью приводит к появлению так называемых математических выражений. Можно говорить про числовые, буквенные  выражения и математические выражения с переменными. Для удобства и одни, и вторые и третьи называются просто выражениями. В этой статье мы дадим определения и по порядку рассмотрим каждый тип математических выражений.

Числовые выражения

С самый первых уроков математики школьники начинают знакомство с числовыми выражениями. Выражение содержит числа, и действия над этими числами. Возьмем простейшие примеры для счета: 5+2; 3-8; 1+1. Все это — числовые выражения. Если выполнить действия, указанные в выражении, то получится его значение.

Конечно, числовые выражения содержат не только знаки «плюс» и «минус». Они могут включать деление и умножение, содержать скобки, степени, корни, логарифмы и состоять из нескольких действий.

Учитывая все сказанное, дадим определение. Что такое числовое выражение?

Определение. Числовое выражение

Числовые выражения — это комбинация чисел, арифметических действий, знаков дробных черт, корней, логарифмов, тригонометрических и других функций, а также скобок и иных математических символов.  

Числовым выражением считается только та комбинация, которая составлена с учетом математических правил.

Поясним данное определение.

Во-первых, числа. Математическое выражение может содержать любые числа. Это значит, что в математическом выражении можно встретить:

  • натуральные числа: 6, 173, 9,
  • целые числа: 18, 0, 64,
  • рациональные числа:
    обыкновенные дроби 13, 34,
    смешанные числа 618, 8957,
    периодические и непериодические десятичные дроби 9,78, 8,556
  • иррациональные числа: π, e, 
  • комплексные числа: i=-1.

Во-вторых, арифметические действия. то известные нам еще из курса начальной школы сложение, умножение, вычитание и деление. Знаки «+», «-«, «·» и «÷» могут присутствовать в выражении не один раз. Вот пример такого числового выражения: 12+4-3+3÷1·8·6÷2.

деление в выражениях может присутствовать как в виде знака, так и в виде дробной черты. 

Скобки в числовых выражениях

  • указывают порядок выполнения действий: 5-2,5+5*0,25;
  • используются для записи отрицательных чисел: 5+(-2);
  • отделяют аргумент функции: sinπ2-π3;
  • отделяют показатель степени: 2-1,32

Есть и специальные значения для записи скобок. Например, запись 1,75+2 означает, что к целой части числа 1,75прибавляется число 2. 

Согласно определению,  числовые выражения могут содержать степени, корни, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрическим функции. Приведем пример такого числового выражения: 

В качестве примера использования в числовых выражениях специальных знаков, можно привести знак модуля. 

-225·6+-5-8·2

Буквенные выражения

После знакомства с числовыми выражениями можно вводить понятие буквенных выражений. Интуитивно понятно, что в них вместо чисел используются буквы. Но обо всем по порядку. 

Запишем числовое выражение, но вместо одного числа оставим пустой квадратик.

3+□

В квадратик мы можем вписать любое число. Например, 2, или 1032.

3+2; 3+1032.

Если условится записывать вместо числа в квадратике букву a, означающую данное число, то мы получим буквенное выражение:

3+a

Определение. Буквенное выражение

Выражение, в котором буквы заменяняют некоторые цифры, называется буквенным выражением. Буквенное выражение должно содержать по крайней мере одну букву.

Принципиальная разница числового и буквенного выражений в том, что первое не может содержать букв. В буквенных выражениях чаще всего используются маленькие буквы латинского алфавита a, b, c.. или маленькие греческие буквы α, β, γ.. и т.д.

Приведем пример сложного буквенного выражения.

x3+2-4·x5+4xy+8y238-4×2·arccosα+13×2+2y-1

Выражения с переменными

В рассмотренных выше буквенных выражениях буква обозначала какое-то конкретное числовое значение. Величина, которая может принимать ряд различных значений, называется переменной. Выражение с такой величиной, соответственно, называются выражением с переменной.

Определение. Выражения с переменными

Выражение с переменной — выражение, в котором все или некоторые буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Пусть переменная x  принимает натуральные значения из интервала от 0 до 10. Тогда выражения x2-1 есть выражение с переменной, а x — переменная в этом выражении.

В выражении может быть не одна, а несколько переменных. Например, при переменных x и yвыражение x3·y+y22-1 представляет собой выражение с двумя переменными.

Вообще буквенные выражения и выражения с переменными позволяют посмотреть на задачу вне контекста конкретных чисел, то есть более широко. Они широко используются в математическом анализе для формулировок и доказательств.

Внешний вид буквенного выражения не позволяет узнать, являются входящие в него буквы переменными, или нет. Для этого нужно знать условия конкретной задачи, описываемой выражением. Вне контекста ничто не мешает считать входящие в выражение буквы переменными. Таким образом, разница между понятиями «буквенное выражение» и «выражение с переменными» нивелируется.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Онлайн урок: Числовые и буквенные выражения по предмету Математика 5 класс

Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.

Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.

Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.

Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.

Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.

Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.

Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.

Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.

В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.

Рассмотрим примеры числовых выражений.

4 — является числовым выражением.

2 + 17 — является числовым выражением.

247 + 13 — 3 — является числовым выражением.

84 + (273 — 16) — является числовым выражением.

Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.

Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.

Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.

Пример.

45 + ( — + 1 — не является числовым выражением, данная запись представляет собой бессмысленный набор символов и знаков.

Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.

Пример.

15 : (37 — 22 — 15)

Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.

Так как деление на нуль в математике запрещено, данную математическую операцию совершить невозможно, следовательно, запись 15 : (37 — 22 — 15) не вычислить, она не является числовым выражением.

Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.

Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.

Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше «<», называют неравенством.

Несмотря на то, что в записи равенств и неравенств присутствуют математически верно построенные комбинации из чисел и арифметических операций, они не являются математическими выражениями.

Например,

Запись вида 26 — 5 > 4 не является числовым выражением, это неравенство.

Запись вида 24 — 6 = 18 также не является числовым выражением, данная запись является равенством.

Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.

Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

У числового выражения значение только одно.

Например, значение числового выражения (45 — 3) + (12 + 2) всегда равно 56, и только это значение является единственно верным.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть