Примеры с решением интегралы простые: Примеры на решение интегралов

Как решать интегралы: формулы, примеры с объяснением

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл представляет собой аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Источник: avatars.mds.yandex.net

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. {b}{f(x)dx}\)

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю.

Записать это можно с помощью уравнения:

\(P=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum{y_{i}\Delta x_{i}}\)

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Источник: avatars.mds.yandex.net

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

{c_{3}} f(x) dx\)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )’ = f(x)\)
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Основные примеры интегрирования и решения

Пример 1:

Проинтегрируйте следующее по x

∫ x ¹¹ dx

900 03 Решение:

∫ x ¹¹  dx =  x ^{(11 + 1)} /(11 + 1) + c

  =  ( x ¹² /12) + c

Пример 2 :

Интегрировать следующее относительно x

∫ (1/x ⁷ ) dx

Решение:

∫ (1/x ⁷ ) dx =   ∫ х ^-7 дх

  =  х ^{(-7 + 1)} /(-7 + 1) + c

=  x ^-6 /(-6) + c

=  (-1/6x ^{6 9001 1 ) + с}

Пример 3 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ ∛x ⁴ dx

Решение:

∫ ∛x ⁴  dx  =  ∫ x ^4/3  dx

=  x ^{[(4/3) + 1)]} / [(4/3) + 1) ] + c

=  x ^7/3 /(7/3) + c

=  (3/7) x ^7/3 + c

Пример 4 :

9000 2 Интегрируйте следующее относительно к x

∫ (x ⁵ ) ^1/8 dx

Решение:

∫ (x ⁵ ) 9001 0 1/8 dx =  ∫ x ^5/8  dx

=  x ^{[(5/8) + 1]} /[(5/8) + 1] + c

=  x ^13/8 /(13/8) + c Пример 5 0011 х) дх

Решение:

∫(1/sin ² x) dx = ∫cosec ² x dx

=  -cot x + c

Пример 6 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (tan x / cos x) dx

Решение:

∫(tan x / cos x) dx  =  ∫tan x (1/cos x) dx

 =  ∫tan х с х дх

=  sec x + c

Пример 7 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (cos x / sin ² x) dx

Решение: 90 004

∫(cos x / sin ²  x) dx  =  ∫(cosx/sinx) (1/ sinx) dx

=  ∫cot x cosec x dx

=  — cosec x + c

Пример 8 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (1 / cos ²  x) dx

Решение: 90 006

∫(1 / cos ²  x) dx  =  ∫ sec ²  x dx

= tan x + c

Пример 9 :

Интегрируем следующее по x

∫ 12 ^{3 900 11  dx}

Решение:

∫ 12 ³ дх = 12 ³ х + с

Пример 10:

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) dx

900 03 Решение:

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) dx = ∫ x ^{24- 25} dx

= ∫ x ^-1 dx

= ∫ (1/x) dx

9000 2 =  log x + c

Пример 11:

Интегрировать следующее относительно x

∫ e ^x dx

Решение:

∫ e ^x dx = e ^x + c

Пример 12 :

Интегрируем следующее по x

∫ (1 + x ² ) ^-1  dx

Решение:

∫ (1 + x ² ) ^-1  dx  =  ∫ 1/(1 + x ² ) dx

= tan ^-1 x + c

Пример 13 :

Интегрируем следующее по x

∫ (1 — x ² ) ^-1/2 dx

Решение:

∫ (1 — x ² ) 900 10 -1/2 dx =  ∫ 1/(1 — x ² ) ^1/2 dx

= ∫ 1/√(1 — x ² )   dx

= sin ^{-1 90 011 x + c}

Помимо вышеперечисленного, если вы нужны какие-либо другие материалы по математике, пожалуйста, используйте наш пользовательский поиск Google здесь.

Пожалуйста, присылайте свои отзывы на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Учебное пособие по базовой интеграции с примерами работы — iGCSE и уровень A

Базовая интеграция

В этом учебном пособии вы узнаете:

• Что такое интеграция.
• Его отношение к дифференциации.
• Почему процесс, обратный дифференцированию, становится интеграцией.
• Как набор специальных вопросов поможет вам освоить тему

 

Интеграция противоположна дифференциации. Другими словами, если вы обращаете процесс дифференциации вспять, вы просто выполняете интеграцию. Следующий пример показывает это:
у = х ² => dy/dx = 2x
Итак, ∫ (dy/dx) dx = ∫ 2x dx = x ²
∫ и dx идут рука об руку и указывают на интегрирование функции по x. Точно так же ∫ s dt и обозначают интегрирование s по ДТ. Результат интегрирования называется интегралом .

Теперь посмотрите на следующие три примера:
у = х ² => dy/dx = 2x
y = x ² + 3 => dy/dx = 2x
y = x ² — 5 => dy/dx = 2x
Итак, возникает вопрос, когда дело доходит до интеграции:
Мы не уверены в точном решении ∫ 2x dx; это может быть любой из трех приведенных выше: y = x ² или y = x ² + 3 или у = х ² — 5
Чтобы иметь дело с неопределенностью , мы обозначаем основное интегрирование следующим образом: ∫ (dy/dx) dx = y + c, где c — произвольная константа.
Итак, что касается приведенного выше примера,
∫ 2x dx = x ² + c, где c может принимать значения 0, 3 или -5
c показывает неопределенность; он может принимать любое значение, которое не определено во время интегрирования. Поэтому результат называется неопределенным интегралом.

Формула интегрирования: ∫ x

ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ /n+1 + c

Например, 1

∫x dx = x ¹⁺¹ /1+1 + с
= x ² /2 + c

Например, 2

∫x ² dx = x ²⁺¹ /2+1 + c
= x ³ /3 + c

Например, 3

∫a dx = ∫a (1) dx
= а ∫ х ⁰ дх
= а х ⁰⁺¹ /0+1 + с
= топор + с

Напр. 4

∫ x ^1/2 dx
= х ^{(1/2 + 1)} / (1/2 + 1) + с
= х ^3/2 /3/2 + с
= 2x ^3/2 /3 + с

Например, 5

∫(х + 2) ² дх
∫ (х ² + 4х + 4) дх
= х ³ /3 + 4х ² /2 + 4х + с
= х ³ /3 + 2х ² + 4х + с

Например, 6

∫ (х + 2)/√х дх
∫ (х/√х + 2/√х) дх
∫ (x ^1/2 + 2x ^-1/2 dx
= х ^3/2 /3/2 + 2х ^1/2 /1/2 + с
= 2x ^3/2 /3 + 4x ^1/2 + с

Определенный интеграл

Общее интегрирование дает нам константу, обозначающую неопределенность числового значения, которое может быть добавлено или вычтено из результата. В определенном интеграле нет места для константы, так как интегрирование производится между определенным диапазоном переменной.

_а ∫ ^б f'(x) dx = [f(x) + c ] _а ^б
= (f(b) + c) — (f(a) + c)
= f(б) — f(а)
Константа исчезает; это определенный интеграл.

Пример 1

₂ ∫ ⁴ 3x ² dx
= [3x ³ /3] ₂ ⁴
= [х ³ ] ₂ ⁴
= 4 ³ — 2 ³
= 64 — 8
= 56

Пример 2

₀ ∫ ² (x + 1) ² dx
₀ ∫ ² (x ² + 2x + 1) dx 9 0005 = [х ³ /3 + 2х ² /2 + х] ₀ ²
= [2 ³ /3 + 2 ² + 2] — [0 ³ /3 + 0 ² + 0]
= [8/3 + 4 + 2] — [0]
= 8,6

Нахождение площади под кривой

Площадь между кривой и осью x представляет собой определенный интеграл функции кривой в заданном диапазоне x.

 

Площадь =

_a ∫ ^b f(x) dx

E.g.1

Найдите нижнюю часть кривой, f(x) = x 900 10 2 , для -1

Площадь = _-1 ∫ ² x ² dx
= [х ³ /3] _-1 ²
= [2 ³ /3] — [-1 ³ /3]
= 8/3 — -1/3
= 3

Например, 2

Найдите нижнюю кривую, f(x) = x(x — 2)(x + 2), для -1

Площадь = _-1 ∫ ¹ x(x — 2)(x + 2) dx
Площадь = _-1 ∫ ¹ x ³ — 4x dx
= [x ⁴ /4 — 4x ² /2] _-1 ¹
= [х ⁴ /4 — 2x ² ] _-1 ¹
= [1 ⁴ /4 — (2)1 ² — (-1) ⁴ /4 — (2)(-1) ² ]
= 0
Ответ определенно неверен, потому что между кривой и осью x явно есть область.
Чтобы избежать ошибки, мы должны интегрировать его в двух частях: от x = -1 до x = 0 и от x = 0 до x = 1.

Площадь левой части = _-1 ∫ ⁰ x(x — 2)(x + 2) dx
Площадь левой части = _-1 ∫ ⁰ x ³ — 4x dx
= [x ⁴ /4 — 4x ² /2] _-1 ⁰
= [x ⁴ /4 — 2x ² ] _-1 ⁰
= [0 ⁴ /4 — (2)0 ² — (-1) ⁴ /4 — (2)(-1) ² ]
= 7/4
= 1,75
Площадь правой части = ₀ ∫ ¹ x(x — 2)(x + 2) dx
Площадь правой части = ₀ ∫ ¹ x ³ — 4x dx
= [x ⁴ /4 — 4x ² /2] ₀ ¹
= [x ⁴ /4 — 2x ² ] ₀ ¹
= [1 ⁴ /4 — (2)1 ² — (0) ⁴ /4 — (2)(0) ² ]
= -7/4
= -1,75
Поскольку площадь не может быть отрицательной, реальное значение равно 1,75.
Итак, общая площадь под кривой = 2 х 1,75 = 3,5.

 

Площадь под кривой — интерактивная

В следующем апплете площадь под кривой y = x ² — 2x + 1 вычисляется для области, охватываемой a ≤ x ≤ b. Вы можете изменить положение ползунков, чтобы изменить a и b, чтобы увидеть это.

 

Площадь между линией и кривой — интерактивный

Например,

Найдите площадь синей области между кривой y = x(x — 2) и линией y = x.

Прежде всего, найдем точку пересечения кривой и прямой.
На перекрестке
х(х-2) = х
х ² — 2х -х = 0
х ² — 3х = 0
х(х — 3) = 0
х = 0 или х = 3
Площадь под осью X — синяя область = ₀ ∫ ² x ² — 2x dx
= [х ³ /3 — х ² ] ₀ ²
= 4/3

Площадь под линией между x = 0 и x = 3 = ₀ ∫ ³ х дх
= [х ² /2] ₀ ³
= 9/2
Площадь под кривой между x = 2 и x = 3 = ₂ ³ ∫ x ² — 2x dx
= [х ³ /3 — х ² ] ₂ ³
= 4/3
Итак, площадь синей заштрихованной области = 9/2 — 4/3 + 4/3 = 4,5.

 

В следующем апплете можно вычислить площадь между прямой и кривой для 0 ≤ x ≤ 2, в котором они пересекаются.

Площадь прямоугольника

Уравнение прямой: y = a
Итак, площадь под линией, образующей прямоугольник = ₀ ^b ∫ a dx
Площадь = [ось] ₀ ^б
Площадь = аб Площадь = длина х ширина

Площадь треугольника

Уравнение линии: y = mx, где m — градиент.
Значит, площадь под линией, образующей треугольник, = 9.0558 0 ^б ∫ мх дх
Площадь = [м х ² /2] ₀ ^б
Площадь = мб ² /2 — м ⁰ /2
Площадь = мб ² /2
Так как m, градиент, = h/b
Площадь = h/b * b ² /2
Площадь = 1/2 ч * b
Площадь = 1/2 * высота * основание

 

Объявление: Автор этого сайта предлагает полностью интерактивный учебник по дифференциации

 

Площадь трапеции

Уравнение линии: y = mx + a, где m — градиент, а a — точка пересечения с осью y.
Площадь под линией, образующей трапецию = ₀ ^h ∫mx + a dx
= [mx ² /2 + ax] ₀ ^ч
= мч ² /2 + ах
= (мч ² + 2ah)/2
= ч/2 [мч + 2а]
= ч/2 [(б-а)/ч * ч + 2а]
= h/2 [b — а + 2а]
= ч/2 [б + а]
Площадь = высота/2 [сумма двух параллельных сторон]

 

Теперь, когда вы прочитали это руководство, вам также пригодятся следующие руководства:

Правило трапеции — интерактивный

Базовая дифференциация — интерактивная

Volume of Solid Revolution — интерактивный

Параметрические уравнения

Интеграция по наблюдению

Рекомендуемая литература

 

Математика сложная; так найти правильную книгу. К.А. Страуд в этой книге умело изложил все основные темы с помощью большого количества примеров; Популярность книги говорит сама за себя — 7 ^-й -й тираж в печати.