Примеры решения определённых интегралов с ответами
Простое объяснение принципов решения определённых интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения определенных интеграловТеорема
Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.
Алгоритм
Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:
Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.
– постоянная величина
Примеры решений
определенных интеграловПример 1
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
=
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Вычислим по частям неопределённый интеграл
Обозначим:
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Т.
к. и , то:
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 9
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Ответ
Средняя оценка 2.8 / 5. Количество оценок: 29
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
26788
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Методы вычисления интегралов, формулы и примеры решений
Содержание:
- 1.
{\prime}(t) \cdot d t$Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$
Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.
$$\int \frac{d x}{3-5 x}\left\|\begin{array}{l} 3-5 x=t \\ -5 d x=d t \\ d x=-\frac{d t}{5} \end{array}\right\|=\int \frac{-\frac{d t}{5}}{t}=-\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t}=$$
$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$
Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →
4. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле
$\int u d v=u v-\int v d u$
При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит.
Поэтому для удобства
будем брать $C=0$ .Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$$\int x \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end{array}\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$
$=x \sin x+\cos x+C$
Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$
Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →
Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.
Формулы определенных интегралов — объяснение, свойства, примеры решений и важные часто задаваемые вопросы
Понятие определенных интегралов
Определенный интеграл тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом данной функции.
Что такое интегрирование в математике?
В математике интеграция — это процесс суммирования частей для определения целого. Это обратный процесс дифференцирования, когда мы можем разделить функцию на части. Интегрирование используется для определения суммирования в очень больших масштабах. Вычисление суммы небольших чисел является простой задачей и может быть выполнено даже вручную, но вычисление суммы больших чисел, где предел может достигать бесконечности, является сложной задачей.
{b} f(x) dx ] 9{b}\] f(x) dx = F(b) — F(a)В приведенном выше определенном интегральном уравнении a,∞ и b определяются как нижний и верхний пределы, F(a) рассматривается как нижнее предельное значение интеграла, а F(b) считается верхним предельным значением интеграла. Формула определенного интегрирования по частям имеет следующий вид:
В приведенной выше формуле Определенное интегрирование по частям.
p представляет функцию p(x)
q представляет функцию q (x)
p’ является производной функции p(x).
Формула приведения при определенном интегрировании
Некоторые из формул приведения при определенном интегрировании:
Формула приведения для sin — Sinn x dx = -1/n cos x sinn-1 x + n-1/n \[ \int\] sinn-2 x dx
Формула приведения для cos = Cosn x dx = -1/n sin x cosn-1 x + n-1/n \[\int\] cosn-2 x dx 9б`
`=Ф(б)-Ф(а)`
где
`F(x)` представляет собой интеграл от `f(x)`;
`F(b)` значение интеграла на верхнем пределе, `x = b`; и
`F(a)` представляет собой значение интеграла на нижнем пределе, `x = a`.Это выражение называется определенным интегралом. Обратите внимание, что здесь не используется константа интегрирование и дает нам определенное значение (число) в окончание расчета.
Подробнее об этом выражении см. в «Основной теореме исчисления». Он содержит апплет, в котором вы можете изучить эту концепцию. 9(n+1))/(n+1)+K` (если `n ≠ -1`)
Когда мы подставляем, мы изменяем переменную, поэтому мы не можем использовать одни и те же верхние и нижние пределы. Мы можем либо:
- Решите задачу как неопределенный интеграл сначала, затем использовать верхний и нижний пределы позже
- Решайте задачу, используя новую переменную и новые верхний и нижний пределы
- Показать правильную переменную для верхнего и нижнего предела на этапе замещения.
`=0` как и раньше.
Этот второй подход весьма полезен позже, когда замены становятся более сложными (например, тригонометрические замена).
Применение: Рабочий
Эйнштейн на велосипеде.
В физика, Работа выполняется, когда сила действует на объект вызывает смещение. (Например, езда на велосипеде.)
Если сила непостоянна, мы должны использовать интеграцию найти проделанную работу.
94]``=1/24[16-1]`
`=15/24`
`=5/8`
Таким образом, требуемое среднее значение составляет `0,625` единиц. Это согласуется с нашей предыдущей оценкой.
Применение: Рабочий объем
Если мы знаем выражение v для скорость через t , время, мы можем найти перемещение (записывается с ) движущегося объекта от времени t = a до времени t = b +3(2))]`
`=-1/3[1/36-1/14]`
`=0,014550`
Итак, смещение объекта от времени `t=2` до ` t=3` составляет `0,015` единиц.
Подробнее о смещении, скорости и ускорении как приложениях интегрирования.
{\prime}(t) \cdot d t$
Поэтому для удобства
будем брать $C=0$ .
