Примеры со степенями как решать: Свойства степеней, действия со степенями

4 степени, а после сокращаеш

Содержание

Как найти степень числа?

В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. {n}=a*a* \ldots * a\]

Читается запись, как «a» в степени «n». Для a² и для a³ можно сказать «a в степени два» и «a в степени три» или «a во второй степени» и «a в третьей степени». Однако гораздо чаще говорят: «a в квадрате» и «a в кубе». Это устоявшиеся, общеупотребительные названия. Например, «3 в квадрате» или «7 в кубе». Формулировки типа «3 в степени два» и «7 в степени три» ошибочными не считаются, но употребляются гораздо реже, a называется основанием степени.

Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.

Примеры 1 — 6

4⁷ читается, как «четыре в седьмой степени». В виде произведения 4⁷ может быть записано, как 4*4*4*4*4*4*4. При этом 4 является основанием, а 7 её показателем.

19³. Может быть прочтено, как «19 в кубе». Оба прочтения будут одинаково верными.

(8,234)⁵.Читается, как «8,234 в пятой степени». Обратите внимание, в данном случае основанием является десятичная дробь.

(2/5)⁹. Здесь основанием будет обычная дробь, она правильная.

(43/7)³ тоже отвечает определению. Из указанного примера видно, что основанием может быть и не правильная дробь.

Записи (8(3/7))⁸, (-5/9)⁵. (√3)⁷, (-√8)² есть степени с целым n. Однако надо понимать разницу между (-5)³ и –5³. Первое является степенью отрицательного числа, а второе можно записать как –(5³). Оно соответствует числу, которое противоположно 5³.

Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a¹. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.

Т. е. 56¹ = 56, (1/456)¹ равно 1/456, (-86)¹ равно -86.

Запись 0ⁿ тоже имеет право на существование. (237). Читается, как «5 в двести тридцать седьмой степени».

Выражения 7^8,4, (3/56)^1/2, 8^√3 не являются степенями с натуральным показателем.

Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.

Основные свойства степени с натуральным показателем

Они следующие:

Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то онро остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
a^m*aⁿ = a^m+n

Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
a^m/aⁿ = a^m-n При этом m > n и a не равно нулю.

Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
(a^m)ⁿ = a^m*n

Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ При этом b не должно быть равно нулю.

Примеры 10 — 12

2¹*2²*2³. Складываем 1, 2 и 3. В итоге 2¹⁺²⁺³=2⁶

(-3/7)⁵: (-3/7)³. Из 5 вычитаем 3. В результате имеем (-3/7)^5-3 = (-3/7)².

Нужно возвести в степень выражение (a²*b³)⁴. Сначала на 4 умножаем 2, затем 3. Итогом будет выражение a⁸b¹².

О сравнении степеней

Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.

Примеры 13 — 16

Какое из чисел больше: 2¹⁷ или 2²⁷. Основания одинаковые, но 27 больше, чем 17. 27>17. Значит 2²⁷ больше, чем 2¹⁷.

Если n одинаковые, но основание находится в промежутке от 0 до 1, то большим будет степень, у которой показатель меньше.

Сравнить числа (0,3)¹¹и (0,3)⁷. Основание больше ноля, но не доходит до единицы. Значит, в отличие от предыдущего примера, здесь всё наоборот. Большим будет считаться число, с меньшим показателем. Т. к. 11>7, то (0,3)¹¹<(0,3)⁷.

Если n одинаковые, а основания разные, то большим будет то, у которого больше основание.

Сравнить между собой числа 7³ и 15³. 15 >7, значит 15³ больше, чем 7³.

Если различаются и показатели, и основания, то числа, посредством тех или иных преобразований, сначала приводят к вида, когда у них либо то, либо другое одинаково, а уже потом сравнивают по приведённым выше правилам.

Выясните, какое из чисел больше 3²⁰⁰ или 2³⁰⁰.

2³⁰⁰ = 2^3*100 = (23)¹⁰⁰ =8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = 3^2*100 = (32)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

9 больше, чем 8. Значит 9¹⁰⁰ больше 8¹⁰⁰.

Соответственно 3²⁰⁰ будет больше, чем 2³⁰⁰.

Степень с целым показателем

Определение 2

Степенью с целым показателем называется степень, показателем которой является любое целое число. Это своего рода расширение множества чисел с натуральным показателем. К последним прибавляются числа с отрицательным значением и ноль.

Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a^-n можно представить в виде 1/aⁿ. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.

Примеры 17 — 18

7^-5 не является степенью с натуральным показателем, но в то же самое время является степенью с целым показателем. Примечательно, что равное ему число (1/7)⁵ будет степенью с целым n. Мы рассматриваем 7^-5 и (1/7)⁵, как равные, но, всё-таки, разные числа.

(4/5)^-1 можно представить как 1/(4/5)¹.

Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.

Правило 1

Равенство a^m/aⁿ = a^m-n остаётся верным лишь в том случае, когда m и n будут натуральными числами, m < n и a не равно нулю. Последнее условие позволяет нам избежать деления на нуль. Если m и n окажутся равными, то мы придём к результату (aⁿ/aⁿ) = a^n-n = a⁰

Т. е. при делении степеней, которые имеют одно и тоже основание из показателя делимого следует вычесть n делителя. В случае, когда и они одинаковы, например, если a³ разделить на a³, мы получим a⁰.

Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.

Пример 19

7⁰= 1, -5⁰= 1, (3/5)⁰ = 1, (√8)⁰ = 1, (7567776)⁰ = 1.

Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 0⁰ = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.

На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.

Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.

Примеры 20 — 21

5⁷* 5^-3= 5^7-3 = 5⁴.

8⁴/8^-2 = 8^4-(-2)= 8⁶.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Степень с рациональным показателем

Определение 3

Степенью с рациональным показателем называется степень, показатель которой, есть рациональное число, т. е. помимо целых и отрицательных значений, может иметь ещё и дробные. Записывается это в виде a^m^/ⁿ. Из определения дробной степени известно, что a^m^/ⁿ можно записать в виде ⁿ√a^m. n не должно быть равно нулю, ведь на ноль делить нельзя.

Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.

Правило 2

Любое число a^m^*^k^/ⁿ^*^k можно заменить на a^m^/ⁿ.

Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:

(-1)^6/10 = (-1)^2/5 , однако, если посчитать, то получится

(-1)^6/10 = ¹⁰√(-1)⁶ = ¹⁰√1 = 1.

(-1)^3/5 = ⁵√(-1)³ = ⁵√(-1) = -1

Примеры степеней с рациональным n: (3^1/2), 7^5/4, 7^4/2 . Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128^-2/7 тоже степень с рациональным.

Примеры 22 — 24

-16^1/4 является степенью с рациональным показателем.

(-16)^1/4 смысла не имеет. Оно равносильно выражению ⁴√(-16). Какое число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить -16 ? Ответ – никакое. Такого числа не существует.

Казалось бы, √(-8) имеет право на существование. Оно равно -2 И действительно, можно записать (-8)^1/3= -2. Однако, если мы запишем 1/3.

по-другому, то результат окажется совершенно иным. Смотрите:

(-8)^1/3 = (-8)^2/6 = ⁶√(-8)² = ⁶√(64) = 2.

Получается парадокс, поэтому запись √(-8) лишено смысла.

Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.

Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 5^2,1 на 5^2(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.

Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.

пример 25

7^2/3 * 7^8/4= 7^32/12 = 7^16/6

Степень числа с иррациональным показателем

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число \[\pi\], √2 + √3.

Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.

Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.

a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…

a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…

И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.

Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней α^a⁰, α^a¹, α^a². Значения этих степеней можно подсчитать.

a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3

Тогда получается α^a⁰ = 3,167; α^a¹ = 3,16717; α^a²= 3,1671753 и т. д.

Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 3^1,67175331 = 6,27.

Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.

радиан в градусы — преобразование, формула, примеры решений и часто задаваемые вопросы

радианы в градусы — это тип преобразования, используемый в геометрии для преобразования угловых измерений. Существует два альтернативных метода измерения угла. Радианы и градусы — это две единицы измерения углов. Радиан — наиболее часто используемая единица измерения в тригонометрии. Различные типы углов измеряются в радианах, а затем преобразуются в градусы по формуле. Эта формула обсуждается ниже.

Преобразование радианов в градусы

Для измерения углов используются два отдельных способа. Прямой угол делится на 90 равных частей, которые в шестидесятеричной системе называются градусами. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами, которые далее делятся на 60 равных частей, называемых секундами. Преобразование градусов в радианы также можно узнать здесь.

60” = 1 минута (1’)
90° = 1 прямой угол

Радиан

Угол, стягиваемый с центром окружности радиусом после полного оборота, называется 2π радиан. Угол в радианах, образованный радиусом в центре окружности, представляет собой отношение длины дуги к длине радиуса. Если длина дуги равна длине радиуса, угол, образуемый в центре, называется 1 радианом. Единица радиана рад . Радиан — это единица измерения углов в системе СИ.

Градусы

Углы также можно измерять в градусах. Один оборот делит окружность на 360 равных частей, каждая из которых равна градусу. Таким образом, угол, образовавшийся в центре окружности после одного полного оборота, равен 360°. Для обозначения градусов используется символ «°». Градус не является единицей СИ для измерения угла, но это наиболее часто используемая единица измерения угла.

Путем сравнения величин угла для полного оборота

360 градусов = 2π радиан
180 градусов = π радиан

Как преобразовать градусы в радианы?

Значение 180° равно π радианам. Для преобразования заданного угла из градусов в радианы мы умножаем значение угла в градусах на коэффициент π/180.

Где значение π = 22/7 или 3,14

Шаги, показанные ниже, используются для преобразования угла в градусах в радианы.

Шаг 1: Отметьте значение заданного угла в градусах

Шаг 2: Умножьте значение, полученное на предыдущем шаге, на π/180

Шаг 3: Решите выражение и рационализируйте ответ радиан

Пример: Преобразование 60 градусов в радианы.

Решение:

Угол.0003
= π/3
Следовательно, 60 градусов равны π/3 в радианах.

Формула радианов в градусы

Формула радианов в градусы преобразует значение угла в радианах в градусы. Чтобы преобразовать угол в радианах в градусы, мы умножаем значение в радианах на 180°/π. Углы используются в двух единицах: градусах и радианах, 1 градус выражается как 1°, тогда как 1 радиан выражается как 1 ^c или 1, т.е. для выражения угла в радианах также не используется единица измерения. Формула преобразования угла в радианах в градусы:

Угол в радианах × 180 °/π = угол в градусах
2π радиан = 360 °
π -радианы = 180 °
1 Radian = 180/π -градиалы = 57,296 DEG 3
1 Radian = 180/π -градиалы = 57,296 DEG 3 10006.

Таблица преобразования радиан в градусы

В приведенной ниже таблице показаны значения угла в радианах и соответствующие им значения в градусах.

Угол в радианах	Угол в градусах
0	0°
π/6	30°
π/4	45°
π/3	60°
π/2	90°
π	180º
(3π)/2	270º
2π	360º

Solved Examples on R

adians to Degrees
Example 1: преобразовать 9π/5 радиан в градус.
Решение:
Поскольку π радиан = 180° или 1 радиан = 1c = (180/π)°
Следовательно, (9π/5) ^c = (9π/5 × 180 )° = 324°
Таким образом, (9π/5) ^c = 324 ^o
Пример 2: Преобразование −5π/6 радиан в градусы.
Решение:
Мы знаем, что π радиан = 180° или 1 радиан = 1c = (180/π)°
Следовательно, (−5π/6) ^c = (−5π/6 × 180/π)° = −150°
Таким образом, (9π/5) ^c = −150°
Пример 3. Преобразование 18π/5 в градусы.
Решение:
Мы знаем, что π радиан = 180° или 1 радиан = 1c = (180/π)°
Следовательно, (18π/5) ^c = (18π0/5 × 18π0/5 × 18π/5 π)° = 648°
Таким образом, (18π/5) ^c = 648°
Пример 4: Преобразование −3 радиана в градусы.
Решение:
Мы знаем, что π радиан = 180° или 1 радиан = 1c = (180/π)°
Следовательно, (−3) ^c = (−3 × 180/π)° = (180 × 7 × −3/22)° = (−1719/11) = −171°(9 × 60/11)’ = −171°49’5”
Таким образом, (−3) ^c = −171 ^o 49’5”
Пример 5: Преобразование 11 радиан в градусы.
Решение:
Мы знаем, что π радиан = 180° или 1 радиан = 1 ^c = (180/π)°
Следовательно, (11) ^c = (11 × 180/π)° = (11 × 180 × 7/22) = 630°
Таким образом, (11) ^c = 630°
Пример 6. Преобразование 1 радиана в градусы.
Решение:
Мы знаем, что π радиан = 180° или 1 радиан = 1 ^c = (180/π)°
Следовательно, (1) ^{c 1}
0 = (1) ^{c 1}
0 )° = (180 × 7/22) = 57°(3 × 60/11) = 57°16′(4 × 60/11)” = 57°16’21”
Таким образом, (1) ^c = 57 ^o 16’21”
Часто задаваемые вопросы о радианах в градусах
Вопрос 1: В чем разница между радианами и градусами?
Ответ:
Радианы и градусы — единицы измерения углов. Радиан — это единица СИ для измерения угла, тогда как градус — это общая единица, используемая для измерения углов. Соотношение между ними π рад = 180°
Вопрос 2: Что такое радиан 1 градуса?
Ответ:
Полный оборот окружности равен 2π радианам, что эквивалентно 360°, т. е. 2π рад = 360°
1° = 2π/360 рад
Таким образом, 1 градус равен π/180 радиан.
Вопрос 3: Сколько стоит 1 радиан в градусах?
Ответ:
Мы знаем, что π радиан равно 180 градусам. Итак, 1 радиан = 57 ^o 16’21”
Вопрос 4: равно ли π радиан 180 градусам?
Ответ:
Да, мы знаем, что 2π радиан равны 360 градусам. Таким образом, π радиан равно 180 градусам.
Вопрос 5: Почему 360 градусов равны 2π?
Ответ:
Прямой угол равен π/2 радиан. Одним полным оборотом считается длина всей окружности круга, деленная на его радиус, или 2πr/r. Таким образом, 2π радиан равно 360 градусам. Темы по тригонометрии.
Темы | Дом

10
Это тема традиционной тригонометрии. Это не всплывает в исчислении.
РЕШИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК означает знать все три стороны и все три угла. Когда мы знаем отношения сторон, мы используем метод подобных фигур. Этот метод используется при решении равнобедренного прямоугольного треугольника или треугольника 30°-60°-90°. Когда мы не знаем числа отношений, то мы должны использовать Таблицу отношений. Следующий пример иллюстрирует, как это сделать.

Общий метод
Пример 1. Даны острый угол и одна сторона. Решите прямоугольный треугольник ABC, если угол A равен 36°, а сторона c равна 10 см.
Раствор.   Поскольку угол A равен 36°, то угол B равен 90° − 36° = 54°.
Чтобы найти неизвестную сторону, скажем, a , выполните следующие действия:
1. Сделай неизвестное число в числителе дроби, а известное число сделать в знаменателе.
Неизвестно
Известно = а
10
2. Назовите эту функцию угла.
Неизвестно
Известно = а
10 = sin 36°
3. Используйте тригонометрическую таблицу, чтобы вычислить эту функцию.
Неизвестно
Известно = а
10 = sin 36° = 0,588
4. Найдите неизвестную сторону.
а = 10 × . 588 см = 5 . 88 см
(Урок 4 арифметики.)
Задача 1.   Решите треугольник со стороной b .
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).

Чтобы ознакомиться с таблицей, щелкните здесь.
Неизвестно
Известно = б
10 = cos 36° = 0,809

б = 10 × 0,809 = 8,09 см
Задача 2. Измерить ширину реки. Два дерева стоят друг напротив друга в точках А и В на противоположных берегах реки.
Расстояние AC вдоль одного берега перпендикулярно BA и измеряется как 100 футов. Измеренный угол ACB равен 79°. Как далеко друг от друга деревья; то есть, какова ширина w реки?
Неизвестно
Известно = ш
100 = загар 79°.
ш = 100 рыжевато-коричневый 79°
= 100 × 5,145 = 514,5 футов,
из табл.
(Чтобы измерить высоту флагштока и значение угла подъема, см. пример в разделе 3.)
Пример 2.   Найти расстояние лодки от маяка, если маяк имеет высоту 100 м и угол наклона 6°.
Раствор . Угол наклона — это угол ниже прямолинейного — горизонтального — на который наблюдатель должен смотреть, чтобы увидеть что-то ниже наблюдателя. Таким образом, чтобы увидеть лодку, смотритель маяка должен смотреть вниз на 6°.
Теперь треугольник, образованный маяком и расстоянием
d лодки от маяка, прямоугольный. А так как угол наклона равен 6°, то угол наклона также равен 6°. (Евклид, I. 29.)
Если d расстояние лодки от маяка, то
д
100 = кроватка 6° = 9 . 514, из табл.
Следовательно,
д = 951 . 4 метра.
Пример 3. Даны две стороны прямоугольного треугольника. Решите прямоугольный треугольник ABC, если сторона равна 9.0399 c = 25 см и сторона b = 24 см.
Раствор.   Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:
а ² + 24 ² = 25 ²
а ² = 625 — 576 = 49
и = = 7.

Далее, чтобы найти угол А, у нас есть
потому что А = 24
25 = 96
100 ,
при умножении каждого члена на 4;

   = . 96
(см. Навыки арифметики: Преобразование десятичных дробей.)
Теперь мы должны изучить таблицу, чтобы найти угол, косинус которого ближе всего к . 96, или, поскольку это трехместный стол, . 960.
Находим
cos 16° = . 961
Следовательно,
Угол А 16°.
Наконец,
Угол B = 90° − 16° = 74°.
Мы решили треугольник.

Задача 3.   Решите прямоугольный треугольник ABC, учитывая, что c = 10 см и b = 8 см.
Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:
а ² + 8 ² = 10 ²
а ² = 100 − 64 = 36
и = = 6 см.
Чтобы найти угол А, у нас есть
потому что А = 8
10 = . 8.
Теперь просмотрите таблицу, чтобы найти угол, косинус которого ближе всего к . 8 или, поскольку это трехместный стол, . 800.
Найдите cos 37° = . 799.
Следовательно, Угол А37°. Угол B = 90° — 37° = 53°.
Следующая тема: Закон косинусов
Темы | Дом
Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
No related posts.