Задачи на размещение сочетание и перестановку: Различия размещений и сочетаний — урок. Алгебра, 11 класс.

Выборки элементов с повторениями

Если отобранный элемент после фиксации заданного параметра снова возвращается в исходную совокупность и может вновь оказаться в данной выборке, то это выборка с возвращением или с повторением.

Размещения с повторениями.

Размещениями с повторениями называются упорядоченные выборки, содержащие k элементов из данных n элементов, причем каждый элемент исходной совокупности может участвовать в размещении несколько раз.

Формула для расчета количества размещений с повторениями

Задача. На световой панели в ряд расположены 4 лампочки, каждая из которых может гореть красным, жёлтым или зелёным цветом. Сколько различных сигналов можно передать с помощью панели (все лампочки должны гореть, порядок цветов имеет значение)?

Решение. Сигналы светового табло можно рассматривать как выборки из 3 по 4. Определим комбинаторную схему: поскольку «порядок цветов имеет значение» — это размещения. Заметим, что каждая из лампочек в один и тот же момент времени может гореть одним цветом. Значит, выборка — размещения с повторениями.

Комбинаторная схема «размещения с повторениями» используется в задаче №10 ЕГЭ по информатике (смотрите комбинаторные задачи в ЕГЭ).

Перестановки с повторениями

Пусть в исходную совокупность входит n₁ элементов первого типа, n₂ — второго типа, …, n_k – k-го типа, при этом n₁ + n₂ + …+ n_k = n. Всевозможные упорядоченные выборки, составленные из всех данных n элементов, называются перестановками с повторениями.

Формула для расчета количества cочетаний с повторениями

Задача. На световом табло в один ряд располагаются шесть лампочек. Сколько различных сигналов можно получить, имея две зеленые и четыре красные лампочки? Все лампочки должны гореть.

Решение. Заметим, что все лампочки исходной совокупности должны располагаться на табло (4 + 2 = 6). Так как «все лампочки должны гореть», то сигналы будут отличаться только порядком цветов. Значит, комбинаторная схема – перестановки с повторениями.

Сочетания с повторениями

Сочетаниями с повторениями называются неупорядоченные выборки, содержащие k элементов из данных n элементов, причем каждый элемент исходной совокупности может участвовать в сочетании несколько раз.

Формула для расчета количества cочетаний с повторениями

Задача. Для составления некоторого кода используются цифры 1, 2, 3. Кодовые слова должны удовлетворять следующим свойствам:

1. Длина кодовых слов равна 3;
2. Кодовые слова могут содержать одинаковые цифры;
3. Кодовые слова, отличающиеся только порядком цифр, считаются одинаковыми.

Сколько вариантов кодовых слов можно составить?

Решение. Поскольку длина кодовых слов равна 3, то выборки из 3 по 3. Определим комбинаторную схему: из пункта 3 следует, что выборка неупорядоченная при этом «Кодовые слова могут содержать одинаковые цифры», значит, выборки – сочетания с повторениями.

Действительно, таких кодовых слов ровно 10:
111
112 113
122 123 133
222 223 233 333

Преподавание перестановок – советы и занятия для вашего класса

Математика

Опубликовано 2 ноября 2018 г.

Тема, которую учащиеся обычно считают довольно сложной на уровне AS, — это перестановки и комбинации. Опыт учителей показывает нам, что большая часть кандидатов предпринимает беспорядочные попытки решить все вопросы такого типа, кроме самых основных.

Студенты иногда называют это причиной: « Мы никогда раньше не занимались такой математикой» . Обычно вашим учащимся не потребуется много времени, чтобы понять, что математика, требуемая в этой теме, на самом деле довольно проста – это, скорее, незнакомые требования логического мышления и тот факт, что не существует «формулы» для получения правильного ответа, которые создают проблемы для понимания. большинство.

Многие студенты тратят много времени и вызывают у себя значительный стресс, размышляя над вопросом  «Это завивка или расческа?»

 Затем, приняв решение, не уделяют должного внимания что делать с числами, которые появляются в вопросе. Уверенность можно повысить, предоставив время для обсуждения стратегий, помогающих учащимся отличить один тип вопросов от другого. Знание и понимание ключевых слов ( расположить для перестановки и выбрать/выбрать для комбинации) является основой, на которой могут развиваться такие обсуждения.

Важно отметить, что учащиеся также должны понимать, что редко существует только один способ решения задачи перестановки или комбинации. Чтобы прийти к правильному решению, обычно можно использовать различные подходы, точно так же, как можно использовать различные подходы, чтобы прийти к неправильному решению. В этом последнем случае почти всегда ошибочна логика, а не математика.

В приведенной ниже презентации PowerPoint рассматриваются три различных подхода, которые можно использовать для успешного решения одной конкретной задачи перестановки. Проблема касается компоновок, в которых все определенные объекты должны быть отделены друг от друга.

В нашем учебном пособии Cambridge International AS & A Level Mathematics: Probability & Statistics 1 два эффективных метода для работы с такого рода ситуациями представлены в рабочем примере 5. 6 на странице 130 и в рабочем примере 5.10 на странице 133. Третий метод представлен в этой презентации, но не рассматривается в рабочих примерах в учебнике из-за его ограничений.

Однако чуть позже в учебнике в разделе «Изучение 5.3» на стр. 138 учащимся предоставляется возможность рассмотреть эти ограничения, и одна из целей этой презентации — помочь закрепить их понимание. Лучше всего предложить эту презентацию после попытки выполнить упражнение «Изучение 5.3» или, для особенно продвинутой группы учащихся, перед изучением Раздела 5.3: Комбинации на стр. 135. 

Композиции с участием объектов, которые должны быть разделены0005

Вы можете скачать PowerPoint здесь.

7.3: Перестановки и комбинации — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

40935

• Ричард В. Беверидж
• Общественный колледж Clatsop

В предыдущем разделе мы видели, что при работе с перестановками всегда важен порядок. Если бы мы выбирали 3 человек из группы из 7 человек для работы в комитете без назначенных ролей, характер проблемы изменился бы.

Например, если бы мы выбирали 3 человек из группы 7 для работы в комитете в качестве президента, вице-президента и казначея, ответ был бы \(_{7} P_{3}=210\) Но — если бы мы хотели выбрать 3 человека из группы из 7 без назначенных ролей, тогда некоторые варианты перестановки были бы одинаковыми.
В перестановке:
1-е место: Алиса 1-е место: Боб 2-е место: Боб \(\quad\) 2-е место: Чарли 3-е место: Чарли \(\quad\) 3-е место: Алиса
два варианта, перечисленные выше, будут считаются разными и учитываются отдельно. В «комбинации», в которой порядок выбора не важен и нет назначенных ролей, мы должны компенсировать эти дополнительные выборы.

Если мы выбираем 3 человек из группы из 7 человек для работы в комитете без назначенных ролей, то мы должны учитывать, что любой выбор из перестановки, включающей тех же трех человек, должен учитываться только один раз.

Итак, когда мы выбираем трех человек, мы должны учитывать, сколько существует различных способов их группировки, а затем удалять эти лишние варианты. В этом примере мы выбираем трех человек. Каждая группа из трех элементов может быть организована шестью различными способами \(3 !=3 * 2=6,\), поэтому каждая отдельная группа из трех элементов считается шесть раз.
Чтобы найти фактическое количество вариантов, мы берем количество возможных перестановок и делим на 6, чтобы получить фактический ответ:
\[
_{7} C_{3}=\frac{7 P_{3}} {3 !}=\frac{7 !}{4 ! * 3 !}
\]
В комбинации, в которой порядок не важен и нет назначенных ролей, число возможностей определяется как:
\[
_{n} C_{r}=\frac{n !}{(n-r ) ! * r !}
\]
Один из способов запомнить разницу между перестановкой и комбинацией состоит в том, что для комбинированной пиццы не имеет значения, идет ли сосиска перед пепперони или лук кладется первым. так что в комбинации порядок не важен!

УПРАЖНЕНИЯ 7. 3
Найдите значение следующих выражений.
1) \(\quad _{10} C_{4}\)
2) \(\quad _{8} C_{3}\)
3) \(\quad _{10} C_{6}\ )
4) \(\quad _{8} C_{5}\)
5) \(\quad _{15} C_{12}\)
6) \(\quad _{18} C_{2} \)
7) \(\quad _{n} C_{4}\)
8) \(\quad _{9} C_{r}\)
9) Сколько пицц с тремя начинками можно приготовить, если есть Двенадцать начинок на выбор?
10) Сколько бриджа из 13 карт возможно из колоды из 52 карт?
11) Сколько покерных комбинаций из 5 карт возможно из колоды из 52 карт?
12) Сколько различных комбинаций бриджа из 13 карт возможно, если ни одна из карт не старше 10 (т.е. лицевых карт нет)?
13) Сколько различных покерных комбинаций из 5 карт возможно, если ни одна из карт не старше \(8 ?\)

14) Если у человека есть 10 разных футболок, сколькими способами можно выбрать 4 из них в командировке?
15) Если группа отрепетировала 15 песен, сколько у них есть способов выбрать 4 песни для исполнения на битве групп? Сколько различных вариантов исполнения четырех песен возможно?
16) Пятнадцать мальчиков и 12 девочек отправляются в поход. Сколькими способами можно выбрать группу из семи человек для сбора дров:
\(\четверка\) а) без условий
\(\четверка\) б) в группе четыре девочки и три мальчика
\(\четверка\) в) в группе не менее четырех девочек
17) Класс из 25 учеников состоит из 15 девочек и 10 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать комиссию из 8 студентов, если:
\(\четверка\) а) ограничений нет
\(\четверка\) б) в комиссию не входят мужчины
\(\quad\) c) в комитет не входят женщины
\(\quad\) d) в комитете должно быть 5 юношей и 3 девушки
18) Из группы 12 юношей и 12 теннисистов двое мужчины и две женщины будут выбраны для участия в парном матче мужчин и женщин. Сколько различных совпадений возможно?
19) В танцевальном классе седьмого класса 20 девочек и 17 мальчиков.
\(\quad\) а) Сколькими способами можно разделить учеников на пары, чтобы создать танцевальные пары, состоящие из одного мальчика и одной девочки?
\(\quad\) b) Сколькими способами можно составить группу из 17 пар мальчик/девочка?
\(\quad\) c) Сколькими способами можно составить группу из 18 пар без ограничений?

---

Эта страница под заголовком 7.