Примеры тригонометрических уравнений: Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

103. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. Эти уравнения сводятся к простейшим тригоно-метрическим уравнениям, решение которых мы уже рассмотрели.

1. Метод приведения к одной функции

При решении уравнений часто используется основное тригонометрическое тождество , а также замена переменных.

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. Заменим на , получим:

.

Сделаем замену , получим квадратное уравнение . Найдем решения:

А)  или ;

Б)  или .

Ответ. .

2. Решение уравнений, однородных относительно и , а также приводимых к однородным

Однородное тригонометрическое уравнение относительно и – это такое уравнение, каждый член которого имеет одинаковую степень и , а правая часть уравнения равна нулю.

Так, – это однородное уравнение -й степени.

При решении однородных уравнений -й степени использу-ется деление каждого члена уравнения на .

При этом исходное уравнение сводится к уравнению относительно . Необходимо проверять, не приведет ли такое деление к потере решений: 1) если , то потери решений не будет; 2) если , то такое деление приведет к потере корней. Следовательно, в ответ нужно включить и решения уравнения , т. е. , .

Пример 19. Решите уравнение .

Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения первой степени на , получим:

.

Ответ. .

Пример 20. Решите уравнение .

Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения второй степени на . Получим квадратное уравнение относительно : . Найдем решения этого уравнения относительно :

А) ;

Б) ,

Ответ. .

Пример 21. Решите уравнение .

Решение. Исходное уравнение не является однородным, но его можно привести к однородному при помощи замены . Получим:

.

Разделим все члены уравнения на . Получим:

.

Ответ. .

3. Метод разложения на множители

Использование этого метода основано на том, что уравнение равносильно совокупности уравнений в области определения уравнения .

Пример 22. Решите уравнение .

Решение. .

Решим совокупность уравнений:

.

Если приравнять и , то увидим, что эти решения образуют одно множество: .

Ответ. .

При решении уравнений методом разложения на множители возможно появление посторонних корней. Чтобы исключить ошибки в ответе, рекомендуется находить ОДЗ.
В ответе необходимо исключить решения, не удовлетворяющие ОДЗ.

Пример 23. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ: . Решим совокупность уравнений: .

Заметим, что решения не входят в ОДЗ (ОДЗ: ). Поэтому ответом будут только решения .

Ответ. .

4. Метод понижения степени

При решении уравнений используют формулы понижения степени: ; .

Пример 24. Решите уравнение .

Решение. Используем формулы понижения степени, получим:

. Применим к первым двум слагаемым формулу преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение: .

Получим, .

Решим совокупность уравнений:

.

Ответ. .

Пример 25. Решите уравнение .

Решение. Степень можно понизить выделением квадрата суммы:

.

Используя формулы и , получим:

.

Ответ. .

5. Метод преобразования произведения функций в сумму

При решении уравнений целесообразно использовать следующие формулы:

;

;

.

Пример 26. Решите уравнение .

Решение. Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим:

.

Теперь используем формулу и выполним обратное преобразование. Получим: . Решим совокупность уравнений:

.

Решения являются подмножеством решений (при решения и совпадают). Поэтому в ответе запишем только .

Ответ. .

6. Метод введения вспомогательного аргумента

Этот метод удобно использовать при решении уравнений вида , где , .

Разделим обе части уравнения на первый коэффициент: . Теперь заменим через ( – это вспомогательный аргумент или вспомогательный угол), т. е.: .

Подставим в уравнение вместо значение и освободим левую часть от знаменателя:

.

Уравнение имеет решение только при .

Определим через коэффициенты , , :

.

Аналогично найдем: .

Подставим значение в уравнение . Получим:

.

При решении тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента используют следующие формулы:

1) ;

2) ; ;

3) .

Пример 27. Решите уравнение .

Решение. В нашем случае , , . Найдем . Тогда исходное уравнение можно привести к уравнению .

Ответ. .

Пример 28. Решите уравнение .

Решение. Вспомогательный угол можно ввести следующим образом: , , тогда .

Подставим значения и в уравнение. Получим:

.

Ответ. .

Пример 29. Решите уравнение .

Решение. По формулам и найдем значения и .

Преобразуем исходное уравнение:

.

Мы знаем, что , , , тогда или , или . Поэтому решение уравнения можно записать так:

А) ; или

Б) ; или

В) .

Ответ. .

7. Метод универсальной подстановки

При использовании метода универсальной подстановки значения , , и удобно выражать через по следующим формулам:

; ; ; .

Использование универсальной подстановки возможно при , т. е. . Поэтому при решении нужно проверять, не являются ли числа вида , решениями исходного уравнения.

Пример 30. Решите уравнение .

Решение. Заменим и на , получим:

.

Тогда из уравнения получаем: .

Из уравнения получаем: .

Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению числа . Для этого подставим в исходное уравнение: ; значит, числа не являются решениями исходного уравнения.

Ответ. .

Пример 31. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения: .

Используем подстановку :

.

Дискриминант трехчлена меньше нуля , следовательно: .

Тогда

Проверим, удовлетворяет ли значение исходному уравнению: .

Ответ. .

8. Метод подстановки

Подстановку удобно выполнять, когда в уравнении есть сумма (разность) и произведение функций синуса и косинуса.

Для того чтобы выразить через произведение синуса на косинус, возведем в квадрат сумму , а затем определим произведение через :

.

Аналогично для

.

Следовательно, имеем две подстановки:

1) 

; 2) .

Пример 32. Решите уравнение .

Решение. Используем вторую подстановку:

.

Тогда , . Но , поэтому : .

Для решения этого уравнения заменим через и по формуле преобразуем разность синусов в произведение:

.

Ответ. .

< Предыдущая		Следующая >

Примеры решения тригонометрических уравнений | План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему:

Тема урока: «Примеры решения тригонометрических уравнений».

Цели и задачи урока.

Образовательные: 1. сформировать у учащихся умения решать однородные тригонометрические уравнения;

2. отработать навыки решения других видов  тригонометрических уравнений.

Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

2. развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Формы:

Индивидуальная, парная, фронтальная.

Методы:

Словесные, наглядные, информационно – коммуникативные.

Приемы:

                Постепенное сокращение объяснений по мере усвоения алгоритма решения, правильная последовательность задач, контрольные упражнения как средство проверки.

Ход урока:

1. Проверка д/з.
2. Проверочная работа (проводится по вариантам). Условие записано на интерактивной доске.

I вариант	II вариант
1) Сформулируйте определение:
а) арксинуса числа б) арккотангенса числа	а) арккосинуса числа б) арктангенса
2) Для  каких  чисел определен
арккосинус	арксинус
3) Записать общий вид корней уравнения
sin x = a	сos x = a
4) Записать формулу корней уравнения tg x = a	4) При каких значениях а уравнения sin x = a, сos x = a  имеют решения?

3. Фронтальный опрос.

        Назвать решения частных случаев простейших тригонометрических уравнений. Условия записаны на интерактивной доске,  решения проверяются с помощью гиперссылок.

sin x = 0	cos x = 1
sin x = 1	tg x = 0
cos x = 0	ctg x = 1
sin x = -1	cos x = -1
ctg x = 0	tg x = -1.

4. Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

а) Метод замены переменных

Пример1.  Решите уравнение 2sin2x + cosx – 1=0.

Решение: Запишем уравнение в виде 2(1 – cos2x) + cosx – 1=0, откуда 2cos2x – cosx – 1 = 0.

        Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cosx.  Обозначим t = cos x,  получим уравнение

2t2 — t  — 1 =0,  корни которого t1 = 1 и t2 = -.

        Получаем два случая:

1. cosx = 1, откуда x=2πk, k
2. cosx = — 0,5, откуда x=+2πn, n.

Ответ: 2πk, +2πn, где n,k.

5. Закрепление изученного материала.

  Решите уравнение:

а)  2sin2x + 5cosx + 1 =0

б)cos2x + 3sinx + 1 =0

б) Однородные тригонометрические уравнения

        Методом замены можно решать так называемые «однородные тригонометрические» уравнения.

Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после  некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

Пример 2   Решите уравнение 5sin2x – 8sinx cosx  — cos2x = — 2.

Решение: Перепишем уравнение в виде

7sin2x – 8sinx cosx + cos2x = 0.

Получили уравнение, однородное относительно sinx и cosx.

Рассмотрим два случая:

• cosx = 0, тогда 7sin2x – 8sinxּ0 + 02 =0, откуда sinx = 0, что невозможно, поскольку sin2x + cos2x =1; в этом случае корней нет.
• cosx≠ 0, тогда разделим обе части уравнения на cos2x:

7tg2x – 8 tgx + 1 =0.

Пусть y=tgx. Получим:  7y2-8y +1=0, откуда y1 = 1, y2=.

Осталось решить уравнения tgx = 1 и  tgx = .

Ответ: + πm, arctg  + πm, где m.

6) Закрепление изученного материала.

Решите уравнение:

2sin23x – 5sin3x cos3x + 3cos23x = 0.

в) Универсальная тригонометрическая подстановка

        При  решении тригонометрических уравнений можно использовать так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

sinx =,  cos x =,   tg x =.

Если теперь ввести обозначение t = tg,  то  sin x = ,

cos x = ,  tg x = .

Пример 3 (учащиеся самостоятельно пробуют ввести новую переменную и решить уравнение, затем вызывается к доске один из учащихся для проверки).

        Решить уравнение cos x + tg  = 1.

Сделаем универсальную подстановку t=tg , тогда

 + t = 1 ⬄  t3 – 2t2  + t = 0 ⬄ t1 = 0, t2 =1.

Таким образом:

а) tg  = 0,  откуда x = 2πk, k;

б) tg  = 1, откуда x = .

Ответ: 2πk, .

6. Задания появляются на интерактивной доске. Также каждому  учащемуся  раздаются  карточки с таким же заданием.

Задание заключается в следующем: среди уравнений на карточке  (доске) выберите те, которые решаются

а) методом замены переменных;

б) как однородные тригонометрические уравнения;

в) с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

1. 2sinx + cos x = 5sin x cos x;
2. cosx sin 7x = cos 3x sin5x
3. cosx – sin x = 0
4. sin x – sin2x+sin3x – sin4x = 0
5. 2cosx+3sinx+2cosx = 0
6. cosx + 3sin2x + 2sinx cosx = 3
7. sin2x — sin2x = cos2x
8. sin x + cos x = 1
9. sin2x + cos22x +sin23x = 1,5

10)sin2x -2sin x -3 = 0

11)sin x + sin 3x = sin 5x – sin x

        Учащиеся  помечают на карточке уравнения видов а, б и в.

Результат проверяется с помощью фронтального опроса.

8. Домашнее задание:  повторить конспект урока, решить  отмеченные уравнения с карточки.

Объяснение урока: Решение взаимных тригонометрических уравнений

В этом объяснении мы научимся решать тригонометрические уравнения с участием секанса, косеканса и котангенса для различных интервалов в градусах и радианах.

Обратные тригонометрические уравнения имеют несколько реальных применений в различных областях, таких как физика, инженерия, архитектура, робототехника, теория музыки и навигация, и это лишь некоторые из них. В физике их можно использовать в движении снарядов, моделируя механику электромагнитных волн, анализируя переменные и постоянные токи и находя траекторию массы вокруг массивного тела под действием силы тяжести.

Начнем с того, что вспомним тригонометрические функции, обратные величины которых мы рассмотрим в этом толкователе. Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Тригонометрические функции могут быть выражены через отношение сторон треугольника как sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Эти функции удовлетворяют следующему тригонометрическому тождеству: тансинкос𝜃=𝜃𝜃.

Отметим, что эти тригонометрические отношения определены для острых углов 0𝜃90∘∘, а тригонометрические функции для всех значений 𝜃 определены на единичной окружности с использованием тригонометрии прямоугольного треугольника.

Предположим, что точка движется по единичной окружности против часовой стрелки. В определенном положении (𝑥,𝑦) на единичной окружности с углом 𝜃 функция синуса определяется как 𝑦=𝜃sin, а функция косинуса как 𝑥=𝜃cos, как показано на диаграмме выше. Другими словами, тригонометрические функции определяются с помощью координат точки пересечения единичной окружности с конечной стороной 𝜃 в стандартном положении.

Домен — это набор возможных входных данных, а диапазон — это набор возможных выходных данных с заданным доменом. Для тригонометрических функций они даются следующим образом.

	Домен	. 𝜋2+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ	ℝ

Поскольку функция тангенса определяется как отношение функций синуса и косинуса, она не определена, когда знаменатель cos𝜃 равен нулю. Другими словами, касательная функция должна исключать значения 𝜃, где cos𝜃=0, чтобы быть корректно определенной. Вот почему область определения касательной функции равна ℝ−𝜋2+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ, что просто означает, что мы вычитаем значения 𝜃, где cos𝜃=0, из набора действительных чисел, чтобы исключить это из ввода.

Тригонометрические функции являются периодическими, что означает, что если мы добавим целое число, кратное 2𝜋 в радианах, или 360∘ к углу 𝜃, значение функции останется прежним: sinsincoscostantan(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.∘∘∘

Мы можем видеть это непосредственно из определения единичного круга тригонометрических функций. На самом деле, функция тангенса периодична на 𝜋 в радианах или на 180∘, поскольку мы имеем tantan(180+𝜃)=𝜃.∘

Этот факт будет важен для нахождения общих решений тригонометрических функций. Области определения тригонометрических функций должны быть ограничены определенным подмножеством, известным как основная ветвь, чтобы иметь обратные функции.

Обратные тригонометрические функции определяются в терминах стандартных тригонометрических функций следующим образом.

Определение: обратные тригонометрические функции

Функции косеканса, секанса и котангенса определяются как cscsinseccoscottancossin𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃.

Аналогично для обратных тригонометрических функций имеем0030] −∞, −1] ∪ [1, ∞ [ СЕД ℝ -2+𝑛𝜋, 𝑛 Тот кроватка𝜃 ℝ−[𝑛𝜋,𝑛∈ℤ] ℝ

Как и в случае функции тангенса, значения котангенса и косеканса определяются с помощью sin𝜃, поэтому в знаменателе =0 следует исключить из ввода. Функция секанса имеет ту же область определения, что и функция тангенса, поскольку она содержит cos𝜃 в знаменателе.

Взаимные тригонометрические функции также являются периодическими: csccscsecseccotcot(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.∘∘∘

Подобно функции тангенса, функция котангенса периодична на 𝜋 в радианах или на 180∘ так как у нас есть cotcot(180+𝜃)=𝜃. ∘

Периодичность тригонометрических функций будет важна для нахождения общих решений тригонометрических функций. Области определения тригонометрических функций должны быть ограничены определенным подмножеством, известным как основная ветвь, чтобы иметь обратные функции.

Обратные тригонометрические функции, обозначаемые sin, cos и tan, являются обратными функциями тригонометрических функций sin, cos и tan. Это означает, что они работают в обратном порядке или «идут назад» от обычных тригонометрических функций. Они определяются 𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦.sinsincoscostantan

Они также могут быть записаны как arcsin𝑥, arccostan𝑥, arccostan𝑥, arccostan𝑥. Область определения и область значений обратных тригонометрических функций определяются следующим образом.

	Домен	Диапазон
SIN𝜃	[−1,1]	 — 2, 𝜋2
COS𝜃	[—1,10039		Cos𝜃	[–10039		[	[—1,139		[	. ,𝜋]
tan𝜃	ℝ	−𝜋2,𝜋2

Диапазоны для этих тригонометрических обратных функций в общем случае ограничены тригонометрическими обратными функциями. Это делается для того, чтобы функции были взаимно однозначными, чтобы обратные функции оценивались как одно значение, известное как основное значение.

Например, если у нас есть конкретное тригонометрическое уравнение, такое как грех𝜃=𝑦, мы можем найти решения в диапазоне 𝜃∈−𝜋2,𝜋2, применяя обратное тригонометрическое уравнение: 𝜃=(𝑦).sin

Однако, если мы хотим определить все возможные решения, нам нужны общие решения, заданные целым числом 𝑛∈ℤ, которые мы можем получить из диаграммы CAST и периодичности тригонометрические функции.

Вспомним схему CAST.

Приведение Диаграмма

• В первом квадранте все тригонометрических функций положительны.
• Во втором квадранте функция синуса положительна.
• В третьем квадранте функция тангенса положительна.
• В четвертом квадранте функция косинуса положительна.

Давайте вспомним, как мы находим решения тригонометрических уравнений.

Решения тригонометрических уравнений

Диаграмма CAST помогает нам запомнить знаки тригонометрических функций для каждого квадранта.

В частности, диаграмма CAST говорит нам о том, что решения тригонометрических уравнений даются следующим образом.

• Если sin𝜃=𝑥 и −1≤𝑥≤1, 𝜃=𝑥𝜃=180−𝑥,грех∘ для 𝜃∈[−90,270]∘∘, или, в радианах, 𝜃=𝑥𝜃=𝜋−𝑥,грех для 𝜃∈−𝜋2,3𝜋2.
• Если cos𝜃=𝑥 и −1≤𝑥≤1, то мы можем выразить угол 𝜃 через функцию арккосинуса в градусах как 𝜃=𝑥𝜃=360−𝑥,coscos∘ для 𝜃∈[0,360]∘ или в радианах как 𝜃=𝑥𝜃=2𝜋−𝑥,coscos для 𝜃∈[0,2𝜋].
• Если tan𝜃=𝑥, то мы можем выразить угол 𝜃 через функцию арктангенса в градусах как 𝜃=𝑥𝜃=180+𝑥,тантан∘ для 𝜃∈]−90,90[∪]90,270[∘∘∘∘ или в радианах как 𝜃=𝑥𝜃=𝜋+𝑥,тантан для 𝜃∈−𝜋2,𝜋2∪𝜋2,3𝜋2.

Диапазоны, указанные для 𝜃, следуют из диапазонов обратных тригонометрических функций.

Мы также можем видеть это на единичном круге, как показано на рисунке.

Обратные обратные тригонометрические функции, обозначаемые csc, sec и cot, являются обратными функциями обратных тригонометрических функций sec, csc и cot. Они определяются 𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦.csccscsecseccotcot

Область определения и диапазон обратных обратных тригонометрических функций определяются следующим образом.

	Домен	. Sec𝜃	] −∞, −1] ∪ [1, ∞ [	0, 𝜋2∪𝜋2, 𝜋
Cot𝜃	ℝ	] 0, 𝜋 [

Аналогично, если у нас есть взаимное тригонометрическое уравнение, такое как cscfor𝜃=𝑥,𝑥≠0, мы можем найти решения в диапазоне 𝜃∈−𝜋2,0∪0,𝜋2, применяя обратное тригонометрическое уравнение: 𝜃=(𝑥).csc

Мы также можем переписать уравнение в терминах стандартных тригонометрических уравнений и использовать для них общие решения, csccscsin𝜃=𝑥,1𝜃=1𝑥,𝜃=1𝑥, которые следуют из определения функции косеканса. Мы можем найти решения в диапазоне 𝜃∈−𝜋2,0∪0,𝜋2, применяя функцию обратного синуса; мы можем записать решение как 𝜃=1𝑥.sin

Причина, по которой у нас нет решений исходного тригонометрического уравнения в полном диапазоне для функции обратного синуса (т. е. 𝜃∈−𝜋2,𝜋2), заключается в том, что функция косеканса определяется как функция, обратная синусу, поэтому мы хотим исключить точки решения с sin𝜃=0, которые появляются в знаменателе.

Таким образом, используя решения тригонометрических уравнений, мы можем также определить решения взаимных тригонометрических уравнений либо непосредственно используя их определения, либо используя обратную тригонометрическую и обратную обратную тригонометрические функции, которые связаны соотношением sincsccossectancotifcotif𝑥=1𝑥,𝑥=1𝑥,𝑥=⎧⎨⎩1𝑥𝑋𝑥>0,1𝑥 где 𝑥≠0. Это означает, что мы можем использовать диаграмму CAST для обратных тригонометрических функций.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определяем решения тригонометрического уравнения, используя обратную тригонометрическую функцию, используя решения, данные диаграммой CAST.

Пример 1. Решение тригонометрических уравнений, включающих особые углы и частные тождества

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию sincot𝜃𝜃=−12, где 0≤𝜃≤90∘∘.

Ответ

В этом примере мы найдем множество значений, удовлетворяющих тригонометрическому уравнению.

Для решения тригометрического уравнения воспользуемся определением функции котангенса: коткосин𝜃=𝜃𝜃.

Таким образом, используя это с данным тригонометрическим уравнением, мы имеем sincotsincossincos𝜃𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.

Теперь нам нужно решить тригонометрическое уравнение cos𝜃=−12.

Решения можно найти с помощью функции арккосинуса и диаграммы CAST: 𝜃=−12=120cos∘ и 𝜃=360−−12=360−120=240.∘∘∘∘cos

Решений в требуемом диапазоне нет. Таким образом, множество значений представляет собой пустое множество: ∅.

Как уже упоминалось, хотя они дают решения тригонометрических уравнений, мы должны проявлять особую осторожность с обратными тригонометрическими уравнениями, поскольку мы должны избегать решений с sin𝜃=0 или cos𝜃=0, когда эти функции находятся в знаменателе выражения с обратными тригонометрическими функциями. Мы можем использовать те же решения на этапах решения тригонометрического уравнения; нам просто нужно убедиться, что мы принимаем это во внимание для окончательного решения.

Пример 2. Решение тригонометрических уравнений с особыми углами

Найдите значение 𝜃, удовлетворяющее условию csc𝜃−√2=0, где 𝜃∈0,𝜋2.

Ответ

В этом примере мы будем решать тригонометрическое уравнение, включающее специальные углы.

Мы можем преобразовать данное тригонометрическое уравнение в виде csc𝜃=√2.

Мы можем решить это уравнение, используя определение функции косеканса через функцию синуса, cscsin𝜃=1𝜃, вместо этого найти решения грех𝜃=√22.

Поскольку нам требуется 𝜃∈0,𝜋2, которое содержит острые решения и является подмножеством области значений функции арккосеканса, мы можем применить функцию арккосеканса напрямую, чтобы получить 𝜃=√22=45.sin∘

Таким образом, значение 𝜃 равно 45∘.

В следующем примере мы решим тригонометрическое уравнение, изменив интервал, в котором существуют решения.

Пример 3. Решение тригонометрических уравнений с особыми углами

Найдите набор решений 𝜃, удовлетворяющий √3(90−𝜃)−2=0csc∘, где 𝜃∈[0,180]∘∘.

Ответ

В этом примере мы будем решать тригонометрическое уравнение, включающее специальные углы.

Если мы допустим 𝛼=90−𝜃∘, то мы можем определить, что решение будет csc𝛼=2√3,

Мы можем решить это уравнение, используя определение функции косеканса через функцию синуса, cscsin𝛼=1𝛼, вместо этого найти решения грех𝛼=√32.

Мы можем применить функцию обратного синуса для 𝛼∈[−90,90]∘∘ непосредственно как 𝛼=√32=60.sin∘

Теперь мы можем определить значение 𝜃 из 𝜃=90−𝛼∘ как 𝜃=90−60=30.∘∘∘

Таким образом, набор решений равен {30}∘.

общих решений тригонометрических уравнений можно найти из решений, которые мы получаем из диаграммы CAST или обратных тригонометрических функций, 𝜃, добавляя целое число, кратное 360∘ или 2𝜋, в радианах. Мы делаем это для всех полученных решений, так как тригонометрические функции являются периодическими. Таким образом, общее решение ̂𝜃 для 𝑛∈ℤ есть ̂𝜃=𝜃+360𝑛∘ в градусах или ̂𝜃=𝜃+2𝜋𝑛 в радианах.

При решении тригонометрических уравнений нам обычно дается конкретный диапазон значений угла 𝜃 для определения решений, что означает, что нам может понадобиться учитывать только несколько значений 𝑛, где это уместно. Набор решений — это набор значений, который содержит решения тригонометрического уравнения в требуемом диапазоне.

Теперь давайте рассмотрим другой пример, где мы находим решения, используя функцию обратного синуса, диаграмму CAST и периодичность функций.

Пример 4. Решение тригонометрических уравнений, включающих специальные углы и тождества взаимности

Найдите набор значений, удовлетворяющих 2𝜃+𝜃𝜃=0sincossec, где 0≤𝜃360∘∘.

Ответ

В этом примере мы найдем множество значений, удовлетворяющих тригонометрическому уравнению.

Для решения тригометрического уравнения воспользуемся определением функции секущей: секкос𝜃=1𝜃.

Таким образом, используя это с данным тригонометрическим уравнением, мы имеем 2𝜃+𝜃𝜃=2𝜃+𝜃×1𝜃=2𝜃+1.sincossecsincossin

Теперь нам нужно решить тригонометрическое уравнение 2𝜃+1=0𝜃=−12.sinsin

Общие решения могут быть найдены из функции обратного синуса и диаграммы CAST: 𝜃=−12+360𝑛=−30+360𝑛sin∘∘∘ и 𝜃=180−−12=180+30+360𝑛=210+360𝑛.∘∘∘∘∘∘sin

Первое выражение дает 𝜃=330∘ при 𝑛=1, а второе выражение 𝑥= 210∘, для 𝑛=0. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, набор значений равен {210 330}∘∘.

Теперь давайте рассмотрим другой пример, где мы используем диаграмму CAST для определения общих решений обратного тригонометрического уравнения, но для определенного диапазона.

Пример 5. Решение тригонометрических уравнений с особыми углами

Найдите множество значений, удовлетворяющих √3𝜃=1cot при заданном 0𝜃360∘∘.

Ответ

В этом примере мы будем решать тригонометрическое уравнение, включающее специальные углы.

Мы можем преобразовать данное тригонометрическое уравнение в виде раскладушка𝜃=1√3.

Мы можем решить это уравнение, используя определение функции котангенса через функцию тангенса, хлопок𝜃=1𝜃, вместо этого найти решения загар𝜃=√3.

Общие решения могут быть найдены из функции арктангенса и диаграммы CAST: 𝜃=√3+360𝑛=60+360𝑛загар∘∘∘ и 𝜃=√3+180+360𝑛=60+180+360𝑛=240+360𝑛.tan∘∘∘∘∘∘∘

Первое выражение дает 𝜃=60∘, а второе выражение 𝜃=240∘, для 𝑛=0. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Следовательно, набор значений равен {60 240}∘∘.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определяем наименьший положительный угол, используя диаграмму CAST для обратного тригонометрического уравнения.

Пример 6. Решение тригонометрических уравнений, включающих специальные углы и периодические тождества

Найдите 𝜃 в градусах по заданным данным sec(180+𝜃)=−2√33∘, где 𝜃 — наименьший положительный угол.

Ответ

В этом примере мы решим тригонометрическое уравнение, в котором 𝜃 — наименьший угол.

Мы можем решить это уравнение, используя определение функции секущей через функцию косинуса, секкос𝜃=1𝜃, вместо этого найти решения cos(180+𝜃)=−√32,∘

Решения можно найти, применяя функцию арккосинуса и диаграмму приведения к 180+𝜃=−√32+360𝑛=150+360𝑛𝜃=150−180+360𝑛=−30+360𝑛∘∘∘∘∘∘∘∘∘cos и 180+𝜃=360−−√32+360𝑛=360−150+360𝑛=210+360𝑛𝜃=210−180+360𝑛=30+360𝑛.

Поскольку 𝜃 — наименьший положительный угол, второе выражение дает 𝜃=30∘ для 𝑛=0. Для первого выражения и других целых чисел 𝑛 мы получили бы большие или отрицательные углы.

Таким образом, наименьший положительный угол для данного тригонометрического уравнения равен 30∘.

Наконец, давайте рассмотрим пример, в котором мы должны сначала упростить данное тригонометрическое уравнение, а затем найти общие решения для обратного тригонометрического уравнения, но для определенного диапазона.

Пример 7. Решение тригонометрических уравнений с особыми углами

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию 2(𝜃)(𝜃)+(𝜃)(𝜃)=0sincscseccot при условии, что 0≤𝜃360∘∘.

Ответ

В этом примере мы будем решать тригонометрическое уравнение, включающее специальные углы.

Для решения тригометрического уравнения воспользуемся определением функций косеканса, секанса и котангенса: cscsinseccoscotcossin𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=𝜃𝜃.

Таким образом, используя их с данным тригонометрическим уравнением, мы имеем 2𝜃𝜃+𝜃𝜃=2𝜃×1𝜃+1𝜃×𝜃𝜃=2+𝜃.sincscseccotsinsincoscossincsc

Таким образом, мы должны решить тригонометрическое уравнение 2+𝜃=0𝜃=−2.csccsc

Мы можем решить это уравнение, используя определение функции косеканса в терминах функции синуса, чтобы вместо этого найти решения для грех𝜃=−12.

Общие решения можно найти с помощью функции арккосинуса и диаграммы CAST: 𝜃=−12+360𝑛=−30+360𝑛sin∘∘∘ и 𝜃=180−−12=180+30+360𝑛=210+360𝑛. ∘∘∘∘∘∘sin

Первое выражение дает 𝜃=330∘ при 𝑛=1, а второе выражение 𝑥= 210∘, для 𝑛=0. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, набор значений равен {210 330}∘∘.

Давайте закончим повторением нескольких важных ключевых моментов из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Для решения взаимных тригонометрических уравнений мы можем использовать определения функций косеканса, секанса и котангенса: cscsinseccoscottancossin𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃.
• Для взаимных тригонометрических уравнений мы можем найти решение либо с помощью обратного обратного тригонометрического уравнения, либо связав их со стандартными тригонометрическими функциями и применив обратную тригонометрическую функцию.
• Найдя решение для главного значения в градусах или радианах, мы можем найти общее решение для тригонометрических функций для 𝑛∈ℤ, используя диаграмму CAST и периодичность тригонометрических функций.
• Обратная тригонометрическая и обратная обратная тригонометрическая функции также связаны, что означает, что мы можем использовать одну и ту же диаграмму CAST для их решения.

Решение тригонометрического уравнения, более сложный пример — пример 3

Решение тригонометрического уравнения, более сложный пример — пример 3 | Каналы для Pearson+

Последние каналы

• Тригонометрия

Химия

• Общая химия
• Organic Chemistry
• Analytical Chemistry
• GOB Chemistry
• Biochemistry

Biology

• General Biology
• Microbiology
• Anatomy & Physiology
• Genetics
• Cell Biology

Math

• College Algebra
• Trigonometry
• Предварительный анализ

Физика

• Физика

Бизнес

• Микроэкономика
• Макроэкономика
• Финансовый учет

Социальные науки

• Психология

Начните печатать, затем используйте стрелки вверх и вниз, чтобы выбрать вариант из списка.

Колледж ТригонометрияТригонометрические тождества и уравненияТригонометрические уравненияНайти все решения тригонометрического уравнения

Видео по теме

Решение основного тригонометрического уравнения, пример 2

Patrickjmt

102Views

Решение тригонометрического уравнения, более жесткий пример — Пример 2

Patrickjmt

123views

Решение.

patrickJMT

77просмотров

Решение текстовых задач на тригонометрические уравнения, пример 2

patrickJMT

66просмотров

Решающие задачи слов с участием тригонометрических уравнений, пример 1

Patrickjmt

377Views

Решение тригонометрического уравнения, пример — пример 1

. Часть 1

NicholasJMV

84views

Решение тригонометрического уравнения с помощью обратной функции

Brian McLogan

94views

Solving Trigonometric Equation, Harder Example — Example 3

patrickJMT

84views

Solve a Basic Trig Equation Using the Unit Circle and Reference Triangles

Mathispower4u

101views

Solving simple trig equations

Brandon Grasley

203views

Решение тригонометрических уравнений.