Вычислить длину дуги кривой онлайн калькулятор через интеграл: Калькулятор длины дуги кривой линии в декартовых координатах

Содержание

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть f(x)≥0 для ∀x∈[a,b]. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми y=0, x=a, x=b, y=f(x). Разобьём отрезок [a,b] на части точками a=x₀<x₁<…<x_n=b, выберем внутри каждого элементарного отрезка [x_i,_i+1] по точке ξ_i∈[x_i,_i+1]. Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,x=x_i, x=x_i+1, y=f(x), прямоугольником y=0, x=x_i, x=_i+1, y=f(ξ). Если f — непрерывная функция, то площадь этого прямоугольника равна f(ξ)·(x_i+1-x_i)=f(ξ)·Δx_i и при достаточно малом Δx_i близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла . Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь S исходной криволинейной трапеции
Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми x = a, x = b, y = f₁(x), y = f₂(x), и для всех x∈[a,b] выполнено неравенство f₁(x) ≤ f₂(x).

Нетрудно видеть, что для простейшей области
Аналогично, если φ₁(y)≤φ₂(y) для всех y∈[c,d], то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=c, y=d, x = φ₁(y), x = φ₂(y) (простейшей областью второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и x = y².
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 2x + 1 и x-y-1=0.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,-1) и B(4,3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление объёмов

Пусть область такова, что для ∀x∈[a,b] известна площадь S(x) сечения плоскостью x=const. Тогда, заменяя объём области заключенной между плоскостями x=x_i, x=x_i₊₁ на объём цилиндра S(ξ)·Δx_i, получаем
Для тел, полученных вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX, имеем .

Если кривую y=f(x) вращать вокруг оси OY, то .

Примеры
1. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OX.
Подставляя в формулу, получаем

см. также Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси:

Вычисление длины дуги кривой

Рассмотрим кривую L. Разделим кривую на части точками (x_i,y_i), i = 1,..,n. Заменим дугу кривой между точками (x_i, y_i) и (x_i₊₁, y_i₊₁) хордой эти точки соединяющей. Тогда для длины дуги Δl_i имеем . Просуммировав по всем точкам деления, получаем
Пусть кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме . Тогда где t_i — точка лежащая между t_i и t_i+1. Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем
(1)
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически или, что, то же самое, в векторной форме , длина кривой равна
(2)
Для кривой, заданной явно уравнением y=f(x), формула (1) приобретает вид
(3)
Если кривая задана в полярной системе координат, то
Поэтому
Подставляя в формулу для длины кривой, получаем
(4)

Примеры.

1. Найти длину дуги кривой y = ln(x), заключенной между точками Так как кривая задана явно, то . Делаем замену . Тогда x²=t²-1, 2x·dx=2t·dt и поэтому

2. Найти длину дуги кривой заключенной между точками t₁ = 0 и t₂ = 2π.
Так как кривая задана параметрически, то x′_i=-3·a·cos²(t)·sin(t), y′_t=3·a·sin²(t)·cos(t) и поэтому

.

Вычисление двойных интегралов (криволинейные интегралы). Также рассмотрен пример нахождения центра тяжести однородной плоской фигуры.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Длина кривой Калькулятор | Вычислить Длина кривой

✖Радиус кривой — это радиус окружности, часть которой, скажем, дуга принимается во внимание.ⓘ Радиус кривой [R_Curve]

створаАнгстремарпанастрономическая единицаАттометрAU длиныЯчменное зерноМиллиардный светБор РадиусКабель (международный)Кабель (UK)Кабель (США)калибрсантиметрцепьCubit (греческий)Кубит (Длинный)Cubit (Великобритания)ДекаметрДециметрЗемля Расстояние от ЛуныЗемля Расстояние от СолнцаЭкваториальный радиус ЗемлиПолярный радиус ЗемлиРадиус электрона (классическая)флигельЭкзаметрFamnВникатьFemtometerФермиПалец (ткань)ширина пальцаФутFoot (служба США)ФарлонгГигаметрРукаЛадоньгектометрдюймкругозоркилометркилопарсеккилоярдлигаЛига (Статут)Световой годСсылкаМегаметрМегапарсекметрмикродюйммикрометрмикронмилмилиМиля (Роман)Миля (служба США)МиллиметрМиллион светлого годаNail (ткань)нанометрМорская лига (международная)Морская лига ВеликобританииМорская миля (Международный)Морская миля (Великобритания)парсекОкуньпетаметрцицеропикометраПланка ДлинаТочкаполюскварталРидРид (длинный)прутРоман Actusканатныйрусский АрчинSpan (ткань)Солнечный радиусТераметрТвипVara КастелланаVara ConuqueraVara De ФаареяДворЙоктометрЙоттаметрЗептометрЗеттаметр

+10%

-10%

✖Угол отклонения — это угол между первой подхордой кривой и отклоненной линией при равном измерении первой подхорды от точки касания. ⓘ Угол отклонения [Δ]

КругЦиклстепеньГонГрадианМилМиллирадианМинутаМинуты дугиТочкаквадрантЧетверть кругаРадианРеволюцияПрямой уголВторойПолукругсекстанЗнакОчередь

+10%

-10%

✖Длина кривой определяется как длина дуги в параболических кривых.ⓘ Длина кривой [L]

⎘ копия

👎

Формула

сбросить

👍

Длина кривой Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Радиус кривой: 200 метр —> 200 метр Конверсия не требуется
Угол отклонения: 65 степень —> 1.1344640137961 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

226.89280275922 метр —> Конверсия не требуется

< 10+ Простая круговая кривая Калькуляторы

Длина кривой формула

Длина кривой = Радиус кривой*Угол отклонения
L = R_Curve*Δ

Почему степень кривой используется для построения кривых?

Кривизна дуги окружности точно определяется ее радиусом. Однако там, где радиус большой (автомагистрали), центр кривой недоступен или удален. В таком случае радиус не имеет значения для геодезических операций, хотя все же необходим для некоторых вычислений; он должен быть заменен другой характеристикой кривой, которая является наиболее полезной. 2 предел функции y=f(x) точек [4,2].

Где:

Точки [4,2] = предел функции,
Верхний предел = 4
Нижний предел = 2

Все типы кривых (явные, параметризованные, полярные или векторные кривые) можно без труда решить с помощью калькулятора точной длины кривой.

Вы найдете калькулятор точной длины кривой, который вычисляет все типы кривых (явные, параметризованные, полярные или векторные кривые). 92} \: dx \end{align} $$

Как найти длину кривой e?

Чтобы найти длину кривой функции, нам нужно выполнить следующие шаги:

Сначала найдите производную функции,
Второе измерение интеграла на верхнем и нижнем пределе функции.

Явная кривая y = f(x):

Рассмотрим график функции y=f(x) от x=a до x=b, тогда мы можем найти длину приведенной ниже кривой: 92}\;dx $$

Параметризованная функция :

Если кривая параметризована двумя функциями «x» и «y». 2}\;dt $$ 92}dt $$

В математике полярная система координат является двумерной системой координат и имеет точку отсчета. Расстояние между двумя точками определяется относительно контрольной точки. Может быть очень удобно найти калькулятор длины полярной кривой, чтобы сделать измерение простым и быстрым.

Кривая векторных значений:

Кривая векторных значений будет изменяться в трех измерениях, изменяя оси x, y и z, а ограничение параметра влияет на трехмерное самолет. Вы можете найти тройные интегралы в трехмерной плоскости или в пространстве по длине кривой калькулятора. 92}dt $$

Как работает калькулятор длины кривой?

Вы просто придерживаетесь заданных шагов, а затем находите точную длину кривой. Калькулятор измеряет точный результат.

Ввод:

Выберите тип функции длины кривой
Введите функцию
Запишите верхний и нижний предел
Нажмите кнопку расчета

Вывод:

Длина кривой

Ссылки:

Из источника Википедии: Полярные координаты, Уникальность полярных координат
Из источника tutorial. math.lamar.edu: Длина дуги, Формулы длины дуги

Калькулятор длины кривой | Лучшие шаги полного решения

Калькулятор длины кривой

f(x) =

Левая конечная точка (a) =

Правая конечная точка (b) =

Как пользоваться этим калькулятором

Решение

Вернуться к калькулятору

Заполните поля ввода для вычисления решения.

Хотите неограниченный доступ к калькуляторам, ответам и шагам решения?

Присоединяйтесь сейчас

100% без риска. Отменить в любое время.

Длина кривой Урок

Какова длина кривой?

Длина кривой, которую также называют длиной дуги функции, представляет собой общее расстояние, пройденное точкой, когда она следует графику функции вдоль интервала [a, b].

Чтобы визуализировать, как выглядит длина кривой, мы можем вообразить, что функция, такая как y = f(x) = x ² , представляет собой веревку, которая была уложена на плоскости координат x-y, начиная с x = -2 и заканчивается на x = 2.

Эта веревка не натянута, так как она уложена в форме параболы. Однако, если бы мы потянули за оба конца, веревка превратилась бы в натянутую линейную веревку. Длина этой веревочной линии равна длине кривой y = f(x) = x ² от x = -2 до x = 2, обозначенное как интервал [-2, 2].

Почему мы узнаем о длине кривой?

Определение длины кривой — еще один полезный инструмент в нашем наборе инструментов для решения задач. Мы можем использовать эту концепцию не только для решения некоторых математических задач. Что, если мы проектируем сопло ракеты и хотим узнать, сколько абляционного покрытия требуется для внутренней части этого сопла?

Абляционное покрытие защищает подложку, которая подвергается воздействию высокоскоростных и высокотемпературных газов и частиц в течение конечного периода времени. Подложка – это материал, на который наносится покрытие. Аблативы обычно используются на космических кораблях и стартовом оборудовании для защиты критических компонентов от возникающих тепловых нагрузок, возникающих во время запуска и полета.

Изображение предоставлено: NASA

. Если мы проектируем сопло ракеты в форме колокола, которое имеет параболическую форму, мы можем взять функцию для внутреннего профиля сопла и вращать этот профиль вокруг оси, чтобы найти площадь внутренней поверхности сопла. . По сути, это сводится к нахождению длины кривой (функции), умножению ее на константу и саму функцию, а затем к интегрированию по интересующему интервалу для нахождения площади поверхности.

Кроме того, принимая во внимание вес покрытия на единицу площади, мы можем затем определить, какой вес добавляется к нашей системе, когда покрытие наносится на интересующий участок поверхности. 92} \: dx \end{align}$$

Где L — длина функции y = f(x) на интервале x [ a , b ] и ^dy / _dx является производной функции y = f(x) по отношению к x .

Формула длины дуги получена из методологии аппроксимации длины кривой. Для аппроксимации мы разбиваем кривую на множество сегментов. Если каждый сегмент рассматривается как прямая линия, мы можем использовать формулу расстояния для определения длины каждой линии.

Сложение длин этих прямых линий дает приблизительную длину кривой. Точность этого приближения становится лучше, когда мы разбиваем кривую на большее количество более коротких прямых линий.

После определения формулы расстояния для длины этих отрезков мы можем использовать интеграл, чтобы сделать эти отрезки бесконечными по количеству и бесконечно малыми. Каждое небольшое изменение значения 90 176 x 90 177 равно 90 176 d x 90 177 из формулы длины дуги. Фактически, формула длины дуги представляет собой упрощенную сумму бесконечного числа вычислений формулы расстояния для прямых линий. 92} \: dx = 22,8515 \end{align}$$

Калькулятор длины кривой Voovers написан на языках веб-программирования HTML (язык разметки гипертекста), CSS (каскадные таблицы стилей) и JS (JavaScript).