Примеры задач размещения с повторениями: 12. Размещения с повторениями

Задачи на размещения с повторениями — КиберПедия

Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь… Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре… Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений — деятельность метрологических служб, направленная на достижение… Интересное: Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории… Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным. .. Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Пример 1. Множество Р={2,4,5}. Перечислите все размещения этого множества по 2 с повторениями. Решение: <2,2>,<2,4>,<4,2>,<2,5>,<5,2>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>. Мы можем проверить себя, вычислив число данных размещений, воспользовавшись формулой (3): . Число размещений, которое мы получили, равно 9. Ответ. <2,2>,<2,4>,<4,2>,<2,5>,<5,2>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>. Пример 2. Сколько пятизначных чисел мы можем получить из цифр 2,4,9? Решение: Нам нужно получить пятизначные числа, тогда как даны 3 цифры, значит, мы будем вычислять число размещений с повторениями: . Ответ. 243 числа. Пример 3. Сколько трехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0,1,4,5,8 (цифры могут повторяться)? А кратных 2? Решение: У нас есть 5 цифр и нужно составить трехзначные числа с повторяющимися цифрами, т.е. мы будем находить число размещений с повторениями, и чтобы число было кратно 5, его последней цифрой должен быть 0 или 5. Значит, мы воспользуемся правилом произведения: . Однако нам надо исключить числа, У которых на первом месте стоит 0. Тогда искомое число будет равно: . Мы могли посчитать это другим способом. Нам необходимо получить трехзначное число, кратное 5, т.е. на первое место мы можем поставить 1 из 4 цифр (все, кроме 0), на второе – 1 из 5 цифр и на третье – 1 из 2 цифр (0 или 5), т.е.: . Вычислим количество чисел, кратных 2. На первом месте у нас может стоять любая цифра, кроме 0, т.е. , на втором – любая из пяти цифр, т.е. , и на третьем месте может стоять 0,4 и 8, т.е. . Тогда искомое число мы можем вычислить следующим образом: . Ответ. 40 чисел, кратных 5; 60 чисел, кратных 2. Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить из четных цифр, исключая 0. Решение: {2,4,6,8}, n=4. . Ответ. 16 чисел. Пример 5. В автобусе по маршруту №210 сидит 6 пассажиров. До конечной осталось 10 остановок. Сколькими способами пассажиры могут выходить из автобуса на каждой остановке, начиная с 10 с конца? Решение: 6 пассажиров, т. е. n=6; осталось 10 остановок и конечная, т.е. в сумме 11, т.е. k=11. Распределим 6 пассажиров по 11 остановкам. Пассажиры могут выходить как по одному, так и все вместе, т.е. будем искать число размещений с повторениями: . Ответ. 177156 способами. Пример 6. Сколькими способами можно разместить 4 кресла по трем комнатам дома, если каждая из комнат может вместить все 4? . Ответ. 81 способом.   Выводы к главе 2 Таким образом, существует много типов задач, сводящихся к нахождению числа размещений с повторениями и без повторений. В том числе могут встречаться задачи, где комбинируются числа размещений, сочетаний и перестановки. Необходимый уровень владения теоретическим материалом и практическими навыками в области решения комбинаторных задач существенно упрощает процесс поиска решений, так как зачастую существует очень много способов и подходов к решению одного и того же задания. Умение видеть простейший из них позволяет быстрее и эффективнее найти требуемое решение. Из чего можно сделать вывод, что должным образом изученная и рассмотренная теоретическая часть должна быть подкреплена соответствующими практическими навыками, что позволит быстрее и проще продвигаться в изучении и исследовании различных областей знаний, в том числе и математичеких.   ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе исследования темы «Размещения» были изучены и проанализированы найденные исторические сведения и теоретический материал, благодаря чему было выявлено, что комбинаторика формируется и развивается в течение уже очень долгого времени. Ее история насчитывает много веков. Хотя в качестве раздела науки она начала развиваться сравнительно недавно. Значительный вклад в ее развитие внесли известные ученые-математики, такие как Паскаль, Лейбниц, Бернулли, Эйлер и многие другие задолго до них, к примеру, в Древней Греции и Индии. В ходе исследования теоретического материала и практических задач темы «Размещения» было выявлено, что комбинаторика имеет связи с различными областями математики, такими как алгебра, геометрия, теория вероятностей, а так же имеет широкий спектр применения в разных областях знаний (генетике, информатике, статистической физике). Различные задачи на размещения в комбинаторике опираются как на абсолютно абстрактные ситуации, так и на вполне способные на существованию, что говорит о практической пользе науки. К тому же, как уже говорилось ранее, комбинаторика достаточно популяризованная наука на данный момент. Так, к примеру, в книге Н. Я. Виленкина «Популярная комбинаторика» (1975 г.) [6] научно-популярным, доступным и понятным языком рассказывается история возникновения комбинаторики, ее основы, а также в книге представлены комбинаторные задачи. В целом ее можно считать очень понятным учебником по комбинаторике с подробной и интересной исторической справкой. На примере этой книги можно показать, что популяризация комбинаторики проходит достаточно успешно. Кроме того это наука действительно интересна не только для ученых, но и для людей не вовлеченных в науку тоже. Таким образом, в ходе проведенного исследования и реализации всех поставленных мной целей этой работы было выявлено, что комбинаторика тесно связана со многими разделами математики, широко применяется в различных сферах знаний. А также она может применяться и для решения привычных нам задач, связанных с окружающим нас бытом.   Список литературы 1. http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/18-kombinatorika-razmeshheniya-perestanovki-sochetaniya/ 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 3. Андерсон, Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8. 4. Белешко Дмитрий Дискретная математика: алгоритмы.– СПб: Изд-во СПбНИУ ИТМО, 2004. 5. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Ряданська школа, 1979. 6. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика . — М.: Наука, 1975. 7. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998. 8. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c. 9. Ерусалимский Я. М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. 10-е изд., перераб. и доп.– М.: Вузовская книга, 2009, 288 с. 10. История математики с дрвнейших времён до начала XIX столетия / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М: Наука, 1970-1972. T.1-3. 11. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989. 12. Липский В. Комбинаторика для программиста. — М.: Мир, 1988. — 213 с. 13. Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике . — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006. 14. Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М., 1966. 15. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 с. 16. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М., 1963. 17. Романовский И.В. Дискретный анализ. — 3-е изд. — СПб: Невский Диалект; БХВ Петербург, 2003. 18. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ.– М.: Изд-во МГУ, 1985 19. Рыбников К. А. История математики. М.: МГУ, 1994. 20. Сачк пов В.Н Введение в Комбинаторные методы дискретной математики.– М.: Наука, 1982 21. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2. 22. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М.: «Мир», 2009. — С. 767. — ISBN 978-5-03-003476-8. 23. Степанов В. Элементы комбинаторики.– СПб., 2004. 24. Холл М. Комбинаторика.– М.: Мир, 1970 25. Яблонский С.В. Введениев дискретную математику: Учеб. Пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. И доп.- М.: Наука, 1986. Гл. ред. Физ.-мат. аЛит.- 384 с.. ⇐ Предыдущая123 Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции… Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой. .. Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства… Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим… 

Комбинаторика. Задачи — презентация онлайн

1. Комбинаторика

1

2. Комбинаторика

• Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету
количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно
конечного, множества
• Задачи:
• 1) Сколькими способами 6 разных папок с документами можно
расставить на полке?
• 2) При расследовании хищения установлено, что у преступника
шестизначный номер телефона, в котором все цифры различны
и нет нулей. Следователь, полагая, что перебор этих номеров
достаточно будет одного — двух часов, доложил о раскрытии
преступления. Прав ли он?
• 3) На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был трехзначный
номер, в котором первая цифра 2. Сколько номеров
необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти
нарушителя?
2

3. Принципы комбинаторики Принцип сложения

Основные принципы комбинаторики:
Принцип сложения.
Принцип умножения.
Принцип сложения
Задача 1: В группе 7 девушек и 8 юношей. Сколькими
способами можно выбрать 1 человека для работы у доски?
Решение: 7+8=15
Задача 2: В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9
человек – «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно,
что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек
имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение: 7+9-4=12
3

4. Принцип сложения

• Принцип сложения: Если объект a можно получить n
способами, объект b – m способами, то объект «a
или b» можно получить n+m-k способами, где k – это
количество повторяющихся способов.
• Теоретико-множественная формулировка
A B A B A B
4

5. Принцип умножения

Задача: На вершину горы ведут 5 дорог.
Сколькими способами можно подняться на гору и
спуститься с нее?
Решение: 5∙5=25.
Принцип умножения: если объект a можно получить
n способами, объект b – m способами, то объект
«a и b» можно получить m∙n способами.
Теоретико-множественная формулировка
A B A B
5

6. Задачи

• Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5
экземпляров учебника геометрии и 7
экземпляров учебника истории нужно выбрать
по одному экземпляру каждого учебника.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. По принципу умножения
3 5 7 105
6

7. Задачи

• От дома до школы существует 6 маршрутов.
Сколькими способами можно дойти до школы
и вернуться, если дорога «туда» и «обратно»
идет по разных маршрутам?
Решение. По принципу умножения
6 5 30
7

8. Задачи

• В корзине лежат 7 различных яблок и 5 апельсинов.
Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего
Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае
Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял
яблоко или если он взял апельсин?
Решение. Если Яша взял яблоко, то по принципу
умножения Полина может осуществить свой выбор
6 5 30
способами. Если Яша взял апельсин,
то способами.
7 4 28
В первом случае у Полины свобода выбора большая.
8

9. Замечание

n!
читается «n факториал» и вычисляется по формуле
• Например,
n! 1 2 3 … n.
3! 1 2 3 6,
5! 1 2 3 4 5 120.
• Считают, что 0!=1
9

10. Перестановки без повторений

• Определение 1
• Перестановкой n элементного множества называется
упорядоченный набор неповторяющихся элементов этого
множества длины n.
А а; b; с;
• Пример:
• перестановки: a; b; c ; b; a; c ; a; c; b ; b; c; a ; c; a; b ; c; b; a
• Число размещений n – элементного множества обозначают Pn и
вычисляется по формуле:
Pn n!
Задача: В команде 6 человек. Сколькими способами можно
осуществить построение?
P6 6! 720
10

11. Перестановки с повторениями

• Определение 2
Число перестановок n – элементов, в котором
типа ( i 1, k ) вычисляется по формуле
Pn (n1 , n2 ,. .., nk )
ni элементов i –того
(n1 n2 … nk )!
n1!n2 !…. nk !
Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове
«экзамен», а в слове «математика»?
Решение:
7! 5040
10!
151200
2! 3! 2! 1! 1! 1!
11

12. Размещение без повторений

• Определение 3
k -размещением без повторений элементов множества А
называется упорядоченный набор длины k попарно различных
элементов множества А.
A a; b; c — 2 размещения: a; b ; a; c ; b; c ; b; a ; c; a ; c; b
Число k- размещений n элементного множества обозначается
Ank
и вычисляется по формуле:
Пример:
n!
A
n k !
k
n
Задача: В соревновании участвуют 12 команд, сколькими
способами они могут занять призовые места?
А123
12!
12 11 10 1320
9!
12

13. Размещения с повторениями

• Определение 4
k – размещением с повторениями n–элементного множества называется
упорядоченный набор длины k элементов данного множества.
А а; в; с
• Пример
2- размещения с повторениями:
a; b ; b; a ; a; c ; c; a ; b; c ; c; b ; a; a ; b; b ; c; c
Число k – размещений с повторениями вычисляется по формуле:
Аnk n k
Задача: Сколько существует номеров машин?
А103 А123 123 103
13

14. Сочетания

• Определение 1
• k-сочетанием множества А называется неупорядоченный набор
попарно различных элементов множества А длины k. Другими
словами k-сочетание – это k-элементное подмножество
множества А
A a; b; c . 2- сочетания: {a; b};{a; c};{b; c}
• Пример:
• Число k- сочетаний n-элементного множества обозначается C nk
и вычисляется по формуле
C nk
n!
k!(n k )!
14

15. Свойства сочетаний

1) С nk C nn k
Доказательство:
Сnk
Сnn k
n!
k!(n k )!
n!
n!
(n k )!(n (n k ))! (n k )! k!
Cnk Cnn k
2) C nk 11 C nk 1 C nk
Доказательство:
Сnk 11
(n 1)!
(n 1)!
(k 1)!(n 1 (k 1))! (k 1)!(n k )!
Сnk 1 Cnk
n!
n!
n!(n k ) n!(k 1)
n!(n 1)
(n 1)!
(k 1)!(n k 1)! k!(n k )!
(k 1)!(n k )!
(k 1)!(n k )! (k 1)!(n k )!
15

16.

Свойства сочетанийn
(а b) C nk a n k b k
n
3) Бином Ньютона:
k 0
Следствия из бинома Ньютона:
n
Равенство
C
k 0
k
n
2n
n
Равенство
( 1)
k 0
k
получается из бинома Ньютона при a b 1
C nk 0 получается из бинома Ньютона при a 1, b 1
16

17. Треугольник Паскаля

С 00
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
С 20
1
4
С30
1
С40
С10
С 21
С11
С 31
С41
С 22
С 32
С42
С 33
С43
С44
17

18. Сочетание с повторениями

• Определение 2
k-сочетанием с повторениями n элементного множества,
называется неупорядоченный набор элементов данного
множества длины k.
• Пример: А= a; b; c
2 сочетания с повторениями: a; b ; b; c ; a; c ; a; a ; b; b ; c; c
Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества
обозначается:
C nk
18

19. Сочетания с повторениями

Теорема 3
Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется
по формуле:
C nk C nk k 1
Доказательство:
Лемма. Число наборов из m нулей и n единиц равно
Cnn m
Закодируем k — сочетания с повторениями наборами из 0 и 1, отделяя нулями
группы элементов одного типа. Количество 1 равно k, а количество нулей
(n-1). Число таких кодов равно
Ckk n 1
19
Сводная таблица
Упорядоченный
С
повторениями
Аnk n k
P n (n1 , n2 ,…, nk )
Без
повторений
Неупорядоченный
Ank
(n1 n2 … nk
n1! n2 ! … nk !
n!
n k !
k
k
C
C
n k 1
)! n
C nk
(n k 1)!
к! (n 1)!
n!
k!(n k )!
Ann Pn n!
20

21. Решение задач

21

22. Задачи

• 1)Сколькими способами можно составить список из
8 студентов, если у них различные инициалы?
• Решение
Задача сводится к подсчету числа перестановок
ФИО.
P8 8! 40320
22

23. Задачи

• 2)Сколькими способами можно составить список 8
студентов, так, чтобы два указанных студента
располагались рядом?
• Решение
Можно считать двоих указанных студентов за один
объект и считать число перестановок уже 7
объектов, т. е.
P7 7! 5040
Так как этих двоих можно переставлять местами друг
с другом, необходимо умножить результат на 2!
P7 2! 7! 2! 5040 2 10080
23

24. Задачи

• 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов
на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
• Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1,
пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.
Будем раздавать эти карточки с номерами групп
спортсменам, и каждый способ раздачи будет
соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким
образом нам необходимо посчитать число перестановок 11
карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым
номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с
номером 3.
P(4,5,2)
11!
6 7 8 9 10 11
6930
4!5!2! 1 2 3 4 1 2
24

25. Задачи

4) Сколькими способами можно
вызвать по очереди к доске 4
учеников из 7?
Решение. Задача сводится к
подсчету числа размещений из 7
элементов по 4
7!
7!
A
4 5 6 7 840
(7 4)! 3!
4
7
25

26.

Задачи• 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых
все цифры различны?
• Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е
возможны 9 вариантов цифры.
В остальных трех разрядах не может быть цифры,
стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры
должны быть различны), поэтому число вариантов
вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по
3
A93 9 8 7 504
По правилу умножения получим
9 A93 4536
26

27. Задачи

• 6)Сколько существует двоичных чисел, длина
которых не превосходит 10?
• Решение. Задача сводится к подсчету числа
размещений с повторениями из двух элементов
по 10
10
2
A 2 1024
10
27

28. Задачи

• 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими
способами они могут распределиться по этажам дома?
• Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо
выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8
этажей, поэтому по правилу умножения получим
8
8
. ..
8 87 2097152
7
• Можно так же применить формулу для числа размещений с
повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по
одному этажу)
7
8
A 87
28

29. Задачи

• 8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с
помощью цифр 2,7,0?
• Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например
запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072
соответствует числу 72, а запись 0007
соответствует числу 7. Таким образом, задачу
можно решить, используя формулу числа
размещений с повторениями
4
3
A 34 81
29

30. Задачи

• 1) В почтовом отделении продают 10 сортов открыток. Сколькими
способами можно купить в нем 8 различных открыток? Сколькими
способами можно купить 8 открыток?
С108
С10 C108 8 1
8
10!
10! 10 9
45
8!(10 8)! 8! 2!
2
17!
17! 10 11 12 13 14 15 16 17
10 11 13 17 24310
8!(17 8)! 8! 9!
1 2 3 4 5 6 7 8
• 2) Сколькими способами можно раздать 5 одинаковых апельсинов,
3 банана, 7 яблок между 4 людьми?
С 4 С 4 С 4 С85 С63 С107
5
3
7
8! 6! 10! 6 7 8 4 5 6 8 9 10
56 20 120 134400
5!3! 3!3! 7!3!
6
6
6
30

31.

Задачи• 3) Сколькими способами можно закодировать дверь?
1
10
C10
C102 C103 C104 C105 C106 C107 C108 C109 C10
210 1 1023
• 4) Сколько существует трехзначных чисел?
A10 A10 103 102 900
3
2
• 5) Абонент забыл последние 3 цифры телефонного номера.
Помня, что эти цифры различны, он набирает номер наугад.
Сколько номеров ему нужно перебрать, если он невезучий
человек?
A103
10!
8 9 10 720
10 3 !
31

32. Задачи

• 6) В компьютерном салоне продают мониторы 5 марок. Сколькими
способами организация может купить в нем 3 монитора различных
марок? Сколькими способами можно купить 3 монитора?
• Решение. Ответ на первый вопрос получим с помощью формулы
числа сочетаний без повторений, так как мониторы различные
С53
5!
5!
4 5
10
3!(5 3)! 3! 2!
2
• На второй вопрос ответим, используя формулу числа сочетаний с
повторениями, так как не сказано, что мониторы различных марок,
значит марки могут повторяться
3
С 5 C53 3 1
7!
7! 5 6 7
35
3!(7 3)! 3! 4! 1 2 3

33.

Задачи• 7)В группе 8 юношей и 9 девушек. Сколькими
способами можно выбрать группу студентов,
состоящей из 4 юношей и 3 девушек?
• Решение. Четырех юношей выберем из 8, троих
девушек – из 9. По правилу умножения получим
С84 С93
8! 9!
70 84 5880
4!4! 3!6!

34. Задачи

• 8)Используя бином Ньютона, раскрыть скобки
( a b) 5
.
• Решение.
(a b)5 C50 a 5b 0 C51a 4b1 C52 a 3b 2 C53a 2b3 C54 a1b 4 C55 a 0b5
a 5 5a 4b 10a 3b 2 10a 2b3 5ab 4 b5

35. Задачи

• 9)Сколькими способами можно раздать 7 одинаковых
апельсинов между тремя детьми?
• Решение. Так как апельсины одинаковые, их вообще
нельзя использовать в качестве 7 различных элементов
множества.
Рассмотрим множество, состоящее из троих детей. Будем
выбирать детей для апельсинов. Используем формулу
числа сочетаний с повторениями, так как одному ребенку
может достаться несколько апельсинов, а может не
достаться ни одного.
7
3
C С77 3 1 С97
9! 8 9
36
7!2!
2

36.

Задачи• 10) Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых
принтеров, 3 телефонных аппарата, 7 мониторов между 4
фирмами?
• Решение. Распределим сначала принтеры, затем телефонные
аппараты, и, наконец, мониторы. Используя правило умножения,
получим
С 4 С 4 С 4 С85 С63 С107
5
3
7
8! 6! 10! 6 7 8 4 5 6 8 9 10
56 20 120 134400
5!3! 3!3! 7!3!
6
6
6

Примеры решений задач по комбинаторике

Примеры решений задач по комбинаторике

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Выбор правила

Выбор правила

Правило суммы	Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами.	Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В можно осуществить  m · n способами.

Задача 1. В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение.

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Задача 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __, /, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.

Решение:

В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле 
С₆² = 6!/2!/(6 — 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15. 

Ответ: 15.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема:

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 3. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A73 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 4. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 5. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р8. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 6. В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С164 · С123 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Задача 7.  Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

Решение.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования — размещения. Число размещений определяем по формуле 
А₁₀³ = 10!/(10 — 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

Ответ: 720.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

Вероятность

— Комбинации с повторением или без?

Спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

В моем учебнике есть такая задача:

Панель состоит из 6 прямоугольников, как показано ниже:

Сколькими способами можно покрасить эту панель, зная, что 2 прямоугольника нужно покрасить в белый цвет, а остальные 4 — в разные цвета, которые могут быть зелеными, красными, желтыми, синими или розовыми?

Чтобы решить эту проблему, я бы сделал:

• комбинации белых плиток: 6*5
• комбинаций плиток разного цвета: 5*4*3*2
• Всего комбинаций: = (6*5)*(5*4*3*2) = 3600

Тем не менее, мой школьный учебник говорит, что решение должно быть 1800, что составляет половину того, что я получил. 5A_4 = 1800$ 95A_4= 1800$

$

Мои вопросы:

• Что я делаю не так?
• Что означают A и C в этом контексте?
• Я знаю, что в решениях упоминается формула/метод, используемый при не хочу повторений одних и тех же элементов независимо от порядка, но имеет ли это значение в данном контексте? Или проблема не в нем очень хороший пример, когда использовать этот метод?

Может быть, автор задачи имел в виду получение всех возможных комбинаций без повторения элементов независимо от порядка, однако это не объяснено должным образом?

Также есть вероятность, что мой школьный учебник неверен, или проблема содержит ошибку, отсутствует информация или она не объяснена должным образом. Такого рода вещи происходят все время. Я скопировал задачу точно так, как она есть в книге.

• вероятность

$\endgroup$

2

$\begingroup$

» Что я делаю не так? «: Когда вы говорите «комбинации белых плиток: $6*5$», ваш ответ, кажется, предполагает, что первый прямоугольник, выбранный белым , каким-то образом отличается от второго прямоугольника, выбранного белого цвета . nC_r,~_nC_r, C(n,r),\dots$ 96A_4=\frac{6!}{(6-2)!}=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$

» … Должно ли это иметь значение в данном контексте?… «: Имеет значение поскольку какой бы метод вы ни использовали для подсчета ( существует несколько ), вы хотите убедиться, что вы считаете каждый результат ровно один раз. Убедитесь, что ваш метод подсчета не позволяет получить один и тот же результат с помощью двух ( или более ) разных последовательностей выборов.

$\endgroup$

1

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Использование перестановок для расчета вероятностей

Перестановки в теории вероятностей и других разделах математики относятся к последовательностям результатов, порядок которых имеет значение. Например, 9-6-8-4 — это перестановка четырехзначного PIN-кода, потому что порядок чисел имеет решающее значение. При расчете вероятностей часто необходимо вычислить количество возможных перестановок, чтобы определить вероятность события.

В этом посте я объясняю перестановки и показываю, как рассчитать количество перестановок как с повторением, так и без повторения. Наконец, мы рассмотрим пошаговый пример задачи, в которой используются перестановки для вычисления вероятности.

Определение перестановок по сравнению с комбинациями

Перестановки и комбинации могут звучать как синонимы. Однако в теории вероятностей они имеют разные определения.

• Комбинации : Порядок исходов не имеет значения.
• Перестановки : Порядок результатов имеет значение.

Например, пицца может состоять из трех начинок: пепперони, ветчины и грибов. Порядок не имеет значения. Например, используя буквы для начинки, вы можете получить PHM, PMH, HPM и так далее. Для человека, который ест пиццу, это не имеет значения, потому что у вас есть одна и та же комбинация трех начинок. Другими словами, порядок этих трех букв не имеет значения, и они образуют одну комбинацию.

Этот тип блокировки следует называть блокировкой перестановки, потому что порядок цифр имеет значение!

Однако представьте, что мы используем эти буквы для слабого пароля. В этом случае порядок имеет решающее значение, что делает их перестановками. PHM, PMH, HPM и т. д. являются различными перестановками. Если пароль PHM, войти в HPM не получится. Когда у вас есть как минимум две перестановки, количество перестановок больше, чем количество комбинаций. Узнайте больше о различиях между перестановкой и комбинацией.

В этом посте я работаю только с перестановками. Чтобы узнать о комбинациях, прочитайте мой пост «Использование комбинаций для расчета вероятностей».

Перестановки с повторением

Когда результаты перестановки могут повторяться, статистики называют это перестановкой с повторением. Например, в четырехзначном PIN-коде можно повторять такие значения, как 1-1-1-1. Аналитики также называют это перестановками с заменой.

Чтобы вычислить количество перестановок, возьмите количество возможностей для каждого события, а затем умножьте это число на себя Х раз, где Х равно количеству событий в последовательности. Например, в четырехзначном PIN-коде каждая цифра может находиться в диапазоне от 0 до 9., что дает нам 10 вариантов для каждой цифры. У нас есть четыре цифры. Следовательно, количество перестановок с повторением для этих ПИНов = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Мы запишем это математически как n ^r .

Где:

• n = количество возможных исходов для каждого события. Например, n = 10 для примера PIN.
• r = размер каждой перестановки. Например, r = 4 для четырехзначного вывода.

Представьте, что класс с 15 детьми может выбрать одно печенье из пяти видов: имбирное, сахарное, шоколадное, мятное и арахисовое. Куки-файлов достаточно, чтобы они могли свободно выбирать любой тип. Сколько возможных перестановок файлов cookie существует?

В этом примере

• n = 5, поскольку существует пять возможных вариантов файлов cookie.
• r = 15, потому что в классе 15 учеников, что составляет размер перестановки.

Следовательно, 5 ¹⁵ = 30 517 578 125 перестановок с повторением. Это более 30 миллиардов перестановок!

Если бы вы сделали случайные предположения о выборе печенья всеми 15 детьми, у вас была бы вероятность 1/30 517 578 125 правильно угадать выбор для всего класса! Это предполагает, что у вас нет инсайдерской информации о предпочтениях каждого ребенка в отношении файлов cookie! Я думаю, тебе больше повезет в лотерее!

Связанный пост : Основы вероятности

Перестановки без повторения

Когда результаты не могут повторяться, статистики называют их перестановками без повторения. Такая ситуация часто возникает, когда вы работаете с уникальными физическими объектами, которые могут встречаться только один раз в перестановке. Представьте, что у вас есть 10 разных книг, и вы хотите посчитать, сколькими возможными способами вы можете расположить их на книжной полке. После того, как вы поместите первую книгу, вторая книга должна быть другой книгой. Следовательно, это пример перестановок без повторения. Аналитики также называют это перестановками без замены.

Для первой книги у вас есть 10 книг на выбор. Для второй книги у вас есть девять. Есть восемь вариантов третьей книги и так далее. Как и раньше, этот процесс включает в себя умножение количества возможных результатов. Однако мы должны уменьшать количество исходов для каждого последующего события.

Математически мы рассчитали бы перестановки для примера с книгой, используя следующий метод:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800

Существует 3 628 800 комбинаций для заказа 10 книг на полке без повторяющихся книг.

Ух ты! Бьюсь об заклад, вы не понимали, что у нас так много возможностей с 10 книгами. Я буду придерживаться алфавитного порядка!

Использование факториалов для перестановок

Когда вы умножаете все числа от 1 до n, получается факториал. В примере с книгой мы умножали все числа от 1 до 10. Вместо того, чтобы использовать длинную строку умножения, вы можете записать ее как 10! и прочитайте его как 10 факториал.

В общем, н! равно произведению всех чисел до n. Например, 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Исключение 0! = 1, что упрощает уравнения.

Факториалы являются ключевыми понятиями для перестановок без повторения. Количество перестановок для n уникальных объектов равно n!. Это число растет как снежный ком по мере увеличения количества элементов, как показано в таблице ниже.

Частичные перестановки без повторения

В некоторых случаях требуется рассмотреть только часть возможных перестановок. В примере с книжной полкой мы хотели узнать общее количество книг для 10. Но что, если бы мы могли разместить только пять из 10 книг на полке? Сколько перестановок пяти книг возможно, используя наши 10 книг?

Используйте следующую формулу для расчета количества комбинаций r элементов из n предметов. Есть несколько стандартных методов, которые статистики используют для обозначения перестановок без повторений, которые я покажу ниже с помощью формулы.

Где:

• n = количество уникальных предметов. Например, n = 10 для примера с книгой, потому что книг 10.
• r = размер перестановки. Например, r = 5 для пяти книг, которые мы хотим разместить на полке.

Это уравнение работает как для полных, так и для частичных наборов перестановок без повторений, в зависимости от значений, которые вы вводите в уравнение. Для полных комплектов n = r. Кроме того, r не может быть больше n, поскольку повторений нет.

Например, у нас есть 10 книг, но мы можем поставить на полку только пять. В первой книге по-прежнему 10 вариантов. Однако для размещения второй книги у нас есть только девять вариантов, потому что мы уже разместили одну. У нас есть восемь вариантов для третьей книги и так далее, пока мы не разместим пятую книгу. Математически мы запишем это следующим образом для пяти книг:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30 240

Существует 30 240 вариантов размещения пяти книг из наших 10 на полке.

Использование уравнения для расчета количества перестановок

Теперь мы будем использовать формулу для расчета этого примера. Опять же, мы будем использовать n=10 и r=5.

Обратите внимание, как 5! гасит себя в дроби? Это оставляет нас с 10 * 9 * 8 * 7 * 6, которые у нас были раньше.

Вот как работает уравнение. Числитель вычисляет полное количество перестановок для всех уникальных элементов. Знаменатель отменяет перестановки, которые нас не интересуют. В примере с книгой знаменатель отменяет перестановки с более чем пятью книгами.

Используя одну форму записи, мы запишем эту задачу как P (10, 5) = 30 240.

Рабочий пример использования перестановок для расчета вероятностей

Когда вам дается вероятностная задача, в которой используются перестановки, вам необходимо выполнить следующие шаги, чтобы решить эту проблему.

1. Установите коэффициент для определения вероятности.
2. Определите, требуют ли числитель и знаменатель комбинации, перестановки или смесь? В этом посте мы будем придерживаться перестановок.
3. Это перестановки с повторениями, без или смешанные?
4. Оба типа повторения требуют, чтобы вы определили n и r, чтобы войти в уравнения.

Задача : Какова вероятность того, что четырехзначный PIN-код не содержит повторяющихся цифр?

Этот вопрос основан на нескольких примерах в этом посте.

Давайте настроим наше соотношение для вероятности. В этом примере мы можем использовать следующее соотношение интересующих событий и общего количества событий.

Числитель

Давайте займемся числителем. Нам нужно найти количество четырехзначных PIN-кодов, которые не имеют повторяющихся цифр. Это перестановка, потому что важен порядок, и она не повторяется, потому что у нас не может быть повторов. Давайте отождествим n и r. Мы будем использовать n=10, потому что для первого элемента доступно 10 цифр, и r=4, потому что мы обсуждаем четырехзначные PIN-коды.

Подставим это в уравнение для перестановок без повторений, чтобы вычислить числитель:

Знаменатель

Для знаменателя нам нужно вычислить все возможные перестановки для четырехзначных PIN-кодов с повторами. Нам нужно ввести наши n и r в уравнение для перестановок с повторами.

n ^r = 10 ⁴ = 10 000

Следовательно, вероятность четырехзначного PIN-кода без повторяющихся цифр равна следующему:

Чуть более половины всех четырехзначных PIN-кодов имеют повторяющиеся значения.

Задача о днях рождения — классическая вероятностная задача. Какая наименьшая по размеру группа имеет более 50% вероятности того, что люди имеют общий день рождения? Для решения этой задачи используются аналогичные методы. Прочитайте мой пост о решении проблемы с днем ​​​​рождения, чтобы узнать!

Советы и рекомендации по решению перестановок и комбинаций Вопросы

Пример 1: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4, 5, 6, 7, если

1. Повторение цифр не допустимый?
2. Повтор цифр разрешен?

Рекомендуемое действие

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас

Сол: (i) В четырехзначном числе 0 не может стоять на разряде тысяч. Итак, место тысячи можно заполнить 5 способами (а именно 3, 4, 5, 6 и 7). Так как повторение цифр не допускается и вместо сотен может стоять 0, то разряд сотен можно заполнить 5 способами. Теперь любую из оставшихся четырех цифр можно использовать для заполнения разряда десятков. Итак, разряд десятков можно заполнить 4 способами. Одно место можно заполнить оставшимися тремя цифрами тремя способами. Следовательно, необходимое количество способов = 5 × 5 × 4 × 3 = 300,

(ii) Для четырехзначного числа мы должны заполнить четыре разряда, и 0 не может стоять на тысячном разряде. Итак, место тысячи можно заполнить 5 способами. Поскольку разрешено повторение цифр, то каждое из трех оставшихся мест, а именно разряд сотен, десятков и единиц, можно заполнить 6 способами. Следовательно, необходимое количество способов = 5 × 6 × 6 × 6 = 1080.

Пример 2: Требуется рассадить 5 индийцев и 4 американцев в ряд так, чтобы все американцы заняли четные места. Сколько таких договоренностей возможно?

Sol: Всего в ряду должны сидеть 9 человек и в ряду 9 позиций; есть ровно четыре четных места, а именно. второй, четвертый, шестой и восьмой. Дано, что эти четыре четных места должны занять 4 американца. Это можно сделать ⁴ P ₄ способами. Остальные пять позиций могут быть заполнены 5 индийцами ⁵ P ₅ способами. Таким образом, по основному принципу подсчета требуемое количество сидячих мест равно 9.0153 4 P ₄ × ⁵ P ₅ = 4! × 5! = 24 × 120 = 2880.

Пример 3: Найдите сумму всех чисел, которые можно составить из цифр 2, 3, 7, 8, взятых одновременно.

Sol: Общее количество чисел, составленных из цифр 2, 3, 7 и 8, взятых одновременно = Количество комбинаций из 4 взятых цифр = ⁴ P ₄ = 4! = 24. Чтобы найти сумму этих 24 чисел, мы найдем сумму цифр в разрядах единиц, десятков, сотен и тысяч во всех этих числах. Рассмотрите разряды единиц во всех этих числах. Каждая из цифр 2, 3, 7 и 8 встречается в 3! = 6 раз на месте единицы.

Таким образом, общее количество способов для разряда единиц во всех этих числах = (2 + 3 + 7 + 8) x 3! = 120. Точно так же сумма цифр десятков, сотен и тысяч во всех этих числах = (2 + 3 + 7 + 8) × 3! = 120 каждый. Отсюда сумма всех чисел = (10 ⁰ + 10 ¹ + 10 ² + 10 ³ ) × 120 = 133320.

Пример 4: Сколько слов можно составить из букв слова ‘HALFTIME’, чтобы гласные никогда не сходились вместе?

Sol: Общее количество слов, образованных из всех восьми букв слова «HALFTIME», равно ⁸ P ₈ = 8! = 40 320. Теперь найдем слова, в которых гласные стоят вместе. Есть три гласных А, И и Е. Возьмем их как одно целое. Итак, у нас есть 5 букв и одна единица гласных. Эти 6 можно сложить в 6! способы. Кроме того, 3 гласных можно расположить в 3! способы. Таким образом, общее количество слов, в которых гласные стоят вместе, = 6! × 3! = 720 × 6 = 4320. Итак, общее количество слов, в которых гласные никогда не стоят вместе = Общее количество слов — Количество слов, в которых гласные стоят вместе = 40 320 — 4 320 = 36 000.

Пример 5: Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 7, 4, 9, если повторение цифр запрещено?

Sol:     Число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. цифры. Это 12, 24, 72 и 92.

Теперь, соответствуя таким образом, оставшиеся три цифры на разрядах тысяч и сотен можно расположить в ³ P ₂ пути.

Следовательно, необходимое количество чисел = ³ P ₂ × 4 = 3! × 4 = 24.

Пример 6: Сколько слов можно составить, используя четыре раза букву X, два раза букву Y и два раза букву Z?

Sol: Нам дано 8 букв, а именно. X, X, X, X, Y, Y, Z, Z. Ясно, что имеется 8 букв, из которых четыре — одного вида, две — второго рода и две — третьего рода. Итак, общее количество перестановок равно (8!/4!2!2!)=420. Следовательно, требуемое количество слов = 420,

Пример 7: Сколько команд по 4 человека можно составить из 7 мужчин, 3 женщин и 5 мальчиков, если в каждой команде есть мужчина и хотя бы одна женщина?

Sol: Для формирования команды из четырех человек могут быть созданы следующие случаи:

Кол-во мужчин	Число женщин	Количество мальчиков	Количество команд
1	1	2	7 С 1 × 3 С 1 × 5 С 2 = 210
1	2	1	7 С 1 × 3 С 2 × 5 С 1 = 105
1	3	0	7 С 1 × 3 С 3 × 5 С 0 = 7

Пример 8: Найдите количество способов, которыми можно составить гирлянду из 12 разных цветов.

Sol: 12 разных цветов можно расположить в форме круга (12 – 1)! = 11! способы. Поскольку нет различия между расположением по часовой стрелке и против часовой стрелки, необходимое количество расположений = (11!/2)

Пример 9: Из 5 мальчиков и 2 девочек необходимо сформировать комитет из 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если нужно включить хотя бы одну девушку?

Сол: Комитет может быть сформирован следующим образом:

1. Выбрав 2 мальчиков и 1 девочку.
2. При выборе 1 мальчика и 2 девочек

Рекомендуемое действие:

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас

Калькулятор комбинаций: 2 мальчика из 5 мальчиков и 1 девочка из 2 девочек могут быть выбранным в ⁵ C ₂ × ² C ₁ способов и 1 мальчика из 5 мальчиков и 2 девочек из 2 девочек можно выбрать в ⁵ C ₁ × ² C ₂ способов.