Урок алгебры в 9-м классе по теме: «Формулы приведения»
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Цели урока:
- познакомить учащихся с еще одной группой формул тригонометрических функций – формулами приведения с помощью самостоятельного вывода этих формул для подтверждения мнемонического правила для этих формул к преобразованию тригонометрических выражений;
- развивать логическое мышление и математическую речь учащихся;
- воспитывать самостоятельность, ответственность, взаимопомощь и чувство коллективизма.
Оборудование: Рабочие тетради, карточки с цифровым диктантом, цветные карточки для формирования групп, карточки с номерами групп.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах постоянного и сменного составов.
План урока.
1. Организационный момент.
2. Цифровой диктант.
3. Изучение нового материала (работа в группах).
4. Закрепление. Дидактическая игра: “Снежный ком” (работа в группах сменного состава).
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
Изучая, главу: “Тригонометрические выражения и их преобразования” вы познакомились с различными группами тригонометрических формул и их применением для преобразования выражений.
Кто из вас может перечислить эти группы? (Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы суммы и разности тригонометрических функций).
Сегодня вам предстоит познакомиться с ещё одной группой, которая называется: “Формулы приведения”.
Как, вы думаете, зачем в тригонометрии требуется такое количество формул?
Для чего они нам нужны? (для преобразования выражений, которые требуются
для решения тригонометрических уравнений и
неравенств).
Вы уже по собственному опыту знаете, что для вывода одной группы формул требуется знания других групп тригонометрических формул. Поэтому прежде, чем приступить к выводу новых формул, я хочу проверить, как хорошо вы знаете формулы предыдущих групп.
II. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала:
Цифровой диктант.
(напротив каждого из равенств поставьте 1- верно, 0 — ложь).
| I. Вариант | II. Вариант |
| 1. sin(+) = sin cos + cos sin . | 1. cos (-) = cos cos — sin sin . |
| 2. cos – cos = 2sinn. | 2. sin + sin = 2sin . |
| 3. tg . | 3. sin 2 = cos2 — sin2. |
| 4. cos 2 = 1 –2 sin2. | 4. tg. |
| 5. sin2. | 5. cos 2 = 2 cos2 -1 |
| 6. tg = . | 6. ctg = . |
| 7. 1 + tg2 = . | 7. 1 — ctg2 = |
| 8. sin -sin = 2sin. | 8. cos + сos = 2 cos. |
| 9. tg (-) = . | 9. ctg (+) = |
| 10. cos (+) = cos sin + sin cos . | 10. sin (-) = sin sin — cos cos . |
| 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0. | 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0. |
Два учащихся с каждого варианта приглашаются к
доске для подробного комментирования формул.
В
это время ученики на местах проверяют свои
работы и выставляют себе оценки (10-9 правильных
ответов – оценка “5”, 8-7-“4”, 6-5-“3”, менее 5
правильных ответов – “2”).
III. Изучение нового материала.
1. Формулами приведения называют формулы, позволяющие привести аргументы -, , -, + , , 2-, 2+, , 3±, …к аргументу .
Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания) 2П к аргументу, то sin (cos) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к sin (cos) аргументов ±, которые можно привести к аргументу , применяя формулы sin (cos) суммы (разности) двух углов.
Например, нужно найти значение sin siп =sin.
Cos (27 ± ) = cos(26 + ± ) = cos ( ± ).
И каждое из этих аргументов можно привести к аргументу , с помощью формул приведения.
Начнем: sin= sin cos
+ sin cos=1· cos + sin ·0 = cos cos(+ ) = cos? cos – sin sin = -1· cos — 0· sin = — cos .
2. С помощью цветных карточек, которые раздаются ученикам, при входе в кабинет разделить ребят на пять групп, при этом присвоить каждому участнику группы порядковый номер от 1 до 5.
Вывод формул для аргументов , , + , — .
Каждой группе предлагается вывести формулы приведения тригонометрических функций для аргументов
- – I группа,
- — – II группа,
- + – III группа,
- — – IV группа.
Которые они записывают на доске. Для пятой группы дается задание, с помощью формул сложения, найти значения:
Sin.
Cos
tg
3. Каждая из пяти групп для вывода формул и вычисления значений функций использовали формулы сложения. Обратите внимание на формулы полученные 1, 2, 3 и 4 группами. Как вы думаете, где ими можно воспользоваться? Можно их было использовать для выполнения задания 5-й группы? Как?
sin 1 способ
sin sin 2 способ
cos 1 способ
cos 2 способ
tg 1 способ
tg 2 способ
4.
cos .
sin (2-) =sin (+(-))=-sin(-) = -sin .
Остальные формулы предложить вывести группам.
- — 1 группе,
- — 2 группе,
- 2+ — 3 группе,
- 2- — 4 группе.
Задание 5 группе.
Воспользуйтесь формулами, указанными на доске для нахождения значений выражений:
cos = cos= cos = -cos = — = cos =
sin
tg
5. Я думаю, что вы уже догадались, что формулами, выведенными 1, 2, 3 и 4 группами можно было упростить работу 5 группы.
Кто из вас готов это сделать?
cos .
sin .
sin.
tg .
tg .
6. Все формулы приведения можно запомнить с помощью следующего мнемонтического правила.
1) Если первое слагаемое аргумента или , то в
правой части формулы надо заменить синус на
косинус (косинус на синус).
2) В первой части формулы надо поставить знак “-” , только если значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно, при условии, что – острый угол.
Известен и менее формальный вариант этого правила – “лошадиное правило”.
В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа на вопрос 1, смотрел на свою ученую лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента . Если лошадь кивала головой вдоль оси Оу, то математик считал, что получен ответ “да, менять”, если вдоль по оси Ох, то “нет, не менять”.
Можно посоветовать учащимся самим кивать головой вдоль той оси координат, которой принадлежит точка, соответствующая первому слагаемому аргумента. Так они получат ответ на вопрос 1.
Пример 1. Найдите значение выражения.
Sin (- 225o)= — sin 225o = — sin(180o +45o) = -(-sin45o) = sin 45o =
Пример 2. tg =3. Найдите .
.
Ответ: — .
Пример 3. Упростите выражение:
cos
IV. Закрепление нового материала
Дидактическая игра “Снежный ком” (работа в группах).
Выполненные задания оформляются на доске.
- I группа № 512
- II группа № 513
- III группа № 515 (стр118-119).
- IV группа № 517
- V группа № 523 (а)
№ 512 . Приведите к тригонометрической функции угла из промежутка .
а) сos 0.7 = cos(0.5 + 0.2) = — sin 0.2
cos 0.7 = cos( -0.3) = -cos 0,3.
б) ctg
в) sin 1,6 = sin(2-0,4) = — sin 0,4.
г) tg .
№ 513 . Приведите к тригонометрической функции угла от 0o до 90o:
а) tg137o= tg (90o = 47o) = — ctg 47o = -
tg 43o.
б) sin (-178o) =- sin (180o — 2o) =-sin2o = — cos 78o.
в) sin 680o = sin (720o — 40o) = — 40o.
г) cos (-1000o) = cos (1080o — 80o) = cos 80o.
№ 515. Найдите значение выражения:
а) sin 240o = sin (180o+60o)= — sin 60є = — .
в) tg 300o = tg (360o
д) ctg (- 225o) = — ctg (180o +45o) = — ctg 45o = -1.
№ 517. Упростите выражения:
а) sin
б) cos (+) = cos (-) = — cos .
в) ctg (-360o) = — ctg (360o-) = ctg .
г) tg (- + 270o) = tg (270o — ) = ctg .
№ 523 Преобразуйте выражение:
а) .
б) .
Происходит смена составов групп.
Ученики собираются в группы, в соответствии
своему порядковому номеру.
Каждый участник
группы рассказывает своим товарищам задание,
которые они разбирали в предыдущей группе. В
результате у каждого ученика должно быть
выполнено по 5 заданий.
V. Домашнее задание п. 22 стр. 114–117. № 509, 522.
VI. Итог урока.
Каждой группе при закреплении нового материала выставляется оценка за первое задание по результатам проверки у доски. (Ученики той группы, которая защищает свою работу, могут дополнить своего товарища, повышая свою оценку).
Фронтальный опрос:
С чем, вы, познакомились сегодня на уроке?
Для чего нужны эти формулы?
Что упрощает их запоминание?
Что наиболее сложным оказалось для вас?
На что нужно обращать внимание при выполнении этой операции?
Проверочная работа (при наличии времени).
№№ 515, 516
б) I вариант
в) II вариант
г) III вариант
е) IV вариант
ОглавлениеВВЕДЕНИЕЧасть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2. Простые и составные числа. Признаки делимости. 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.  4. Целые числа. Рациональные числа. 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями. 6. Иррациональные числа. Действительные числа. 7. Действия с приближенными числами. 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. § 2. Степени и корни 9. Степени с натуральными показателями. 10. Степени с целыми показателями. 11. Корни. 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями. 13. Алгоритм извлечения квадратного корня. § 3. Комплексные числа 14. Основные понятия и определения. 15. Рациональные действия с комплексными числами. 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. 18. Извлечение корня из комплексного числа. Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены. 20. Формулы сокращенного умножения.  n.41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. 42. Показательная функция. 43. Логарифмическая функция. § 3. Преобразование графиков 44. Параллельный сдвиг графика. 45. График квадратного трех члена. 46. График дробно-линейной функции. 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика. 48. Построение графиков функций. 49. Сложение графиков. § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов. 51. Схема Горнера. Теорема Безу. 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители. Глава V. УРАВНЕНИЯ 53. Уравнение. Корни уравнения. 54. Равносильные уравнения. 55. Системы уравнений. 56. Графическое решение уравнений. §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 57. Число и кратность корней. 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).  60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители. 61. Исследование квадратного уравнения. 62. Уравнения высших степеней. Целые корни. 63. Двучленные уравнения. 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 65. Возвратные уравнения. § 3. Системы алгебраических уравнений 66. Линейные системы. 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными. 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения. 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней. § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения 70. Иррациональные уравнения. 71. Показательные уравнения. 72. Логарифмические уравнения. 73. Разные уравнения. Системы уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами. 75. Алгебраические неравенства. § 2. Решение неравенств 76. Множество решений неравенства.  Равносильные неравенства.77. Графическое решение неравенств. 79. Квадратные неравенства. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. 82. Неравенства с двумя неизвестными. Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83. Числовая последовательность. 84. Предел числовой последовательности. 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода. § 2. Арифметическая прогрессия 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена. 87. Свойства арифметической прогрессии. 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии. § 3. Геометрическая прогрессия 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена. 90. Свойства геометрической прогрессии. 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии. 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ) 93. Вектор, проекция вектора.  94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°. 95. Углы и дуги, большие 360°. 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов. § 2. Тригонометрические функции произвольного угла 97. Определение основных тригонометрических функций. 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi. § 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 99. Основные тригонометрические тождества. 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов. § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 102. Четность и нечетность. 103. Понятие периодической функции. 104. Периодичность тригонометрических функций. § 5. Формулы приведения 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов. 106. Формулы приведения. Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 1.  Тригонометрические функции числового аргумента108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций. 109. Некоторые неравенства и их следствия. § 2. Графики тригонометрических функций 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций. 111. Основные графики. 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций. 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций. Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 114. Расстояние между двумя точками на плоскости. 115. Косинус суммы и разности двух аргументов. 116. Синус суммы и разности двух аргументов. 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов. 118. О формулах сложения для нескольких аргументов. § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a 119. Тригонометрические функции двойного аргумента. 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.  121. Тригонометрические функции половинного аргумента. 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2). § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb § 4. Преобразование в произведение сумм вида § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa. 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b. Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 130. Функция у = arcsin x (арксинус). 131. Функция y = arccos x (арккосинус). 132. Функция y = arctg x (арктангенс). 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс). 134. Пример. § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 135. Тригонометрические операции. 136. Операции сложения (вычитания). § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями 137.  Функция у = arcsin (sin x).138. Функция y = arctg (tg x). Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 139. Уравнение sin х = а. 140. Уравнение cos х = a. 141. Уравнение tg x = a. 142. Уравнение ctg x = a. 143. Некоторые дополнения. § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента. 146. Способ разложения на множители. 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем 148. Введение вспомогательного аргумента. 149. Преобразование произведения в сумму или разность. 150. Переход к функциям удвоенного аргумента. 151. Решение уравнения типа… 152. Применение подстановок sinx ± соsx = y. § 4. Решение тригонометрических неравенств 154. Простейшие тригонометрические неравенства.  155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим. Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок. 157. Плоскость. Фигуры и тела. 160. Равенство фигур. Движение. 161. Равенство тел. § 2. Измерение геометрических величин 162. Сложение отрезков. Длина отрезка. 163. Общая мера двух отрезков. 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных. 165. Измерение углов. 166. Радианная мера угла. 167. Измерение площадей. 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 169. Перпендикуляр и наклонные. 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине. 171. Параллельные прямые. 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Геометрические места точек. Окружность 174. Геометрическое место точек. 175. Свойство биссектрисы угла.  176. Окружность. 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. 179. Взаимное расположение двух окружностей. § 3. Основные задачи на построение 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров. 182. Построение углов. 183. Другие задачи на построение. Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 184. Стороны и углы треугольника. 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность. 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность. 187. Медианы и выcоты треугольника. 188. Равенство треугольников. 189. Построение треугольников. 190. Равнобедренные треугольники. 191. Прямоугольные треугольники. § 2. Параллелограммы 192. Четырехугольники. 193. Параллелограмм и его свойства. 194. Прямоугольник. § 3. Трапеция 196. Трапеция. 197. Средняя линия треугольника. 198. Средняя линия трапеции. 199. Деление отрезка на равные части.  § 4. Площади треугольников и четырехугольников 200. Площадь параллелограмма. 201. Площадь треугольника. 202. Площадь трапеции. Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 203. Пропорциональные отрезки. 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия) 205. Определение гомотетичных фигур. 206. Свойства преобразования подобия. § 3. Общее подобное соответствие фигур 207. Подобные фигуры. 208. Периметры и площади подобных треугольников. 209. Применение подобия к решению задач на построение. Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ 210. Углы с вершиной на окружности. 211. Углы с вершиной внутри и вне круга. 212. Угол, под которым виден данный отрезок. 213. Четырехугольники, вписанные в окружность. 214. Пропорциональные отрезки в круге. 215. Задачи на построение. § 2. Метрические соотношения в треугольнике 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.  Теорема Пифагора.218. Теорема синусов. Формула Герона. 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей. § 3. Решение треугольников 220. Таблицы функций. 221. Решение треугольников. Сводка основных формул. 222. Решение прямоугольных треугольников. 223. Решение косоугольных треугольников. Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА 224. Выпуклые многоугольники. 225. Правильные многоугольники. 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой. 227. Периметр и площадь правильного n-угольника. 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей 229. Длина окружности. 230. Площадь круга и его частей. Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.  232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости. 233. Взаимное расположение двух плоскостей. 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей. 235. Построения в стереометрии. § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 236. Перпендикуляр к плоскости. 237. Перпендикуляр и наклонные. 238. Угол между прямой и плоскостью. 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей. 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. § 3. Двугранные и многогранные углы 241. Двугранный угол. 242. Взаимно перпендикулярные плоскости. 243. Трехгранные углы. 244. Многогранные углы. § 4. Многогранники 245. Многогранники. 246. Правильные многогранники. Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 247. Цилиндры и призмы. 248. Параллелепипеды. 249. Объемы призм и цилиндров. 250. Площадь боковой поверхности призмы. 251. Площадь поверхности цилиндра. § 2. Пирамида. Конус 252. Свойства пирамиды и конуса.  |
И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.