Признак делимости на 6: примеры, доказательство
Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6. Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.
Признак делимости на 6, примеры
Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3: если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8, а сумма цифр делится без остатка на 3, значит, такое число делится на 6; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6, когда оно поделится на 2 и на 3.
Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:
- проверка делимости на 2, то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0, 2, 4, 6, 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
- проверка делимости на 3, причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6, так как выполняются условия для деления на 3 и на 2.
Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6?
Решение
Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2, отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.
Ответ: нет.
Пример 2Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.
Решение
Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2, то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6. Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9+3+4=16. Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.
Ответ: нет.
Пример 3Проверить делимость на 6 числа −7 269 708.
Решение
Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8, то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2.
Ответ: да, делится.
Чтобы проверить делимость на 6, можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.
Доказательство признака делимости на 6
Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.
Теорема 1Для того, чтобы целое число a делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3.
Доказательство 1Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3. Использование свойства делимости: если целое число делится на b, тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b.
Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a=6·q, где q является некоторым целым числом.
Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3. Необходимость доказана.
Для полного доказательства делимости на 6, следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6 без остатка.
Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p, тогда хотя бы один множитель делится на p.
Имеем, что целое число a поделится на 2, тогда существует такое число q, когда a=2·q. Это же выражение делится на 3, где 2·q делится на 3. Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3. Отсюда получим, что имеется целое число q1, где q=3·q1. Значит, полученное неравенство вида a=2·q=2·3·q1=6·q1 говорит о том, что число a будет делиться на 6. Достаточность доказана.
Другие случаи делимости на 6
В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными.
Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6, то все выражение будет делиться на 6.
Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.
Пример 4Определить, будет ли выражение 7n-12n+11 делиться на 6.
Решение
Представим число 7 в виде суммы 6+1. Отсюда получаем запись вида 7n-12n+11=(6+1)n-12n+11. Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что
7n-12n+11=(6+1)n-12n+11==(Cn0·6n+Cn1·6n-1+…++Cnn-2·62·1n-2+Cnn-1·6·1n-1+Cnn·1n)-12n+11==(6n+Cn1·6n-1+…+Cnn-2·62+n·6+1)-12n+11==6n+Cn1·6n-1+…+Cnn-2·62-6n+12==6·(6n-1+Cn1·6n-2+…+Cnn-2·61-n+2)
Полученное произведение делится на 6, потому как один из множителей равняется 6. Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6.
Ответ: да.
Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная n примет вид и запишется как n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, …, n=6·m+5, число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.
Пример 5Доказать, что при любом значении целого n выражение n3+5n поделится на 6.
Решение
Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n3+5n=n·(n2+5). Если n=6·m, тогда n·(n2+5)=6m·(36m2+5). Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m.
Если n=6·m+1, получаем
n·(n2+5)=(6m+1)·6m+12+5==(6m+1)·(36m2+12m+1+5)==(6m+1)·6·(6m2+2m+1)
Произведение будет делиться на 6, так как имеет множитель, равняющийся 6.
Если n=6·m+2 , то
n·(n2+5)=(6m+2)·6m+22+5==2·(3m+1)·(36m2+24m+4+5)==2·(3m+1)·3·(12m2+8m+3)==6·(3m+1)·(12m2+8m+3)
Выражение будет делиться на 6, так как в записи имеется множитель 6.
Таким же образом выполняется и для n=6·m+3, n=6·m+4 и n=6·m+5. При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6. Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n.
Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.
Пример 6Доказать, что выражение вида 7n-12n+11 будет делиться на 6, где примет любые целые значения выражения.
Решение
Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.
Произведем проверку делимости выражения на 6 при n=1. Тогда получаем выражение вида 71-12·1+11=6. Очевидно, что 6 поделится само на себя.
Возьмем n=k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6, тогда можно считать, что 7k-12k+11 будет делиться на 6.
Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7n-12n+11 при n=k+1. Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7k+1-12·(k+1)+11 на 6, причем следует учитывать то, что 7k-12k+11 делится на 6.
7k+1-12·(k+1)+11=7·7k-12k-1==7·(7k-12k+11)+72k-78==7·(7k-12k+11)+6·(12k-13)
Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6, потому как 7k-12k+11 делится на 6. Второе слагаемое также делится на 6, потому как один из множителей равен 6. Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6.
Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7n-12n+11 будет делиться на 6, когда n примет значение любого натурального числа.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Признак ⭐ делимости на 4, 2, 5,10,25: правило, примеры решения задач
Что такое «признак делимости»
Знакомство школьников с понятием «признак делимости» происходит во время изучения математической операции «деление».
В математике делением называется действие, которое позволяет разделить число (делимое) и получить результат — частное. Делитель — это то число, на которое необходимо поделить делимое.
Из понятия деления следует, что признак делимости заключается в возможности поделить число на другое число.
Определение 2Признак делимости — алгоритм, правило или особенность числа, которые позволяют быстро определить возможно ли провести операцию деления или кратность числа делителю.
Знание признаков делимости позволяет в уме быстро решать некоторые математические задачи, арифметические примеры в классе на самостоятельной работе, в том числе задания повышенной сложности.
Определение 3Кратным натурального числа Z называются числа, которые делятся без остатка на это число Z.
Четные и нечетные числа
Определение 4Четными числами называются такие, которые могут быть разделены на 2 без остатка.
Примеры таких чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 и так далее.
Нечетные числа невозможно поделить без остатка на два. Такими числами являются 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и далее.
Делаем вывод, что все четные числа всегда делятся на два.
Признаки делимости чисел 2, 4, 5,10,25 и их доказательство
Правило 1Признак делимости на 2
Число может быть разделено на два, когда:
- это четное число;
- последняя цифра в записи числа 0 или кратна двум (2, 4, 6, 8).
Примеры таких чисел: 148 (8÷2 = 4), 246 (6÷2 = 3).
Правило 2Признак делимости на 4
Число можно поделить на 4, если две его последние цифры делятся на четыре.
Число 35748 делится на 4, так как 48÷4 = 12
Число 1379 не получится поделить на 4 без остатка, так как 79 не делится на 4.
Для двузначных чисел актуально другое правило. Число делится на 4, если сумма десятков и половины единиц числа делится на 2.
Разберем наглядно.
Число 76 делится на 4, так как (6÷2)+7 = 3+7=10, а 10 мы легко можем разделить на 2, получим 5.
Проверив число таким методом, можно решить заданный пример: 76÷4 = 19
Правило 3Признак делимости на 5
На 5 делятся числа, которые заканчиваются на 0 или 5. Примеры таких чисел: 5, 10, 15, 35, 40, 45, 555, 1270 и так далее.
Правило 4Признак делимости на 10
На 10 можно разделить все числа, которые заканчиваются на 0. Это целые числа: 10, 20, 50, 100, 160, 1250, 1700, 20000, 359800 и другие.
Правило 5Признак делимости на 25
Если необходимо написать и решить пример с делением на 25, запомните, на 25 будет делиться такое число, в котором две последние цифры делятся на 25. В случае, когда число заканчивается на два нуля — 00, подразумевается, что оно заканчивается на 100, а 100 также делится на 25.
Примеры и доказательство признака таких чисел:
325: число заканчивается на 25, 25 делим на 25, частное 1.
Значит число 325 можно поделить на 25.
325÷25 = 13
750: в конце числа 50, при делении на 2 получаем итог 2. Смело делим 750÷25 = 30
800: число оканчивается на 00, можно провести операцию деления. 800÷25 = 32
Таблица признаков делимости чисел
| Признак делимости на число | Формулировка признака | Примеры чисел |
| 2 | На два без остатка делятся четные числа, заканчивающиеся на четные 2, 4, 6, 8 и 0. | 1528, 2470, 3882 |
| 3 | Число делится на три без остатка, если сумма всех цифр, входящих в это число, делится на 3. | 156 (1+5+6=12, 12 делится на 3), 729 (7+2+9=18, 18 делится на 3) |
| 4 | Поделить на 4 можно такое число, которое либо оканчивается на нули, либо последние две цифры делятся на 4 | 1000, 1732 (32 делится на 4) |
| 5 | Без остатка поделится на 5 число, оканчивающееся на 0 и 5 | 125, 375, 400, 895, 9780 |
| 6 | На шесть можно поделить такое число, которое делится и на два, и на три одновременно, где 2 и 3 — множитель шести. Таким образом, на 6 делится четное число, если сумма цифр данного числа при этом делится на 3. | 3312 (четное число, 3+3+1+2=9, 9÷3 =3), 966 (четное число, 9+6+6 = 21, 21÷3 = 7) |
| 7 | Натуральное число будет делиться на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой из единиц, делится на семь.
Число делится на семь, если знакочередующаяся (первое слагаемое суммы используется со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д.) сумма его трехзначных граней делится на 7. | 462 (462 делится на 7, так как на 7 можно поделить 46×3 + 2= 140, 140÷7 =20)
461134373 (461-134+373=700, 700÷7=100) |
| 8 | На восемь сможем поделить число, у которого три последние цифры либо нули (000), либо они образуют число, делящееся на 8. | 1000 (1000÷8=125) 1280 (280÷8=35) |
| 9 | На 9 можно поделить только такое число, чья сумма чисел делится на девять. | 1350 (1+3+5+0= 9), 3123 (3+1+2+3=9) |
| 10 | На 10 делятся все числа, которые заканчиваются на нули. | 10, 12500, 364780000 |
| 11 | На одиннадцать делятся только такие натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места (второе, четвертое, шестое, восьмое), равна сумме цифр, занимающих нечетные места (первое, третье, пятое, седьмое, девятое). | 235015 (2+5+1=3+0+5=8), 2343 (2+4=3+3=6) |
| 25 | Число делится на двадцать пять, если его две последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25. | 125, 300, 450 |
| 50 | Число будет делиться на 50, когда оно заканчивается на два нуля либо на 50. | 550, 7200, 46150 |
| 100 | Число делится на 100, если две его последние цифры — это нули. | 300, 67800, 989000 |
| 1000 | Число можно поделить на 1000, если это число оканчивается тремя подряд стоящими нулями. | 1000, 567000, 8976000 |
Правила делимости от 1 до 20 . Они экономят нам время во время экзаменов и в реальных сценариях. Они также помогают быстро рассчитать HCF и LCM, поскольку мы знаем, какие числа будут делиться, а какие нет. Правила делимости от 1 до 20 являются наиболее важными. Почти все числа делятся на эти числа, а те, которые не делятся, как правило, являются простыми числами или чрезвычайно большими числами. Некоторые примеры приведены в конце, а пока давайте рассмотрим правила делимости от 1 до 20.
Ниже приводится список правил делимости от 1 до 10, поскольку они являются наиболее распространенными:
Список правил делимости от 1 до 20
- Делимость 1- Каждое отдельное число делится на единицу. Когда вы делите число на единицу, результатом является само число.
- Делимость на 2 – Число делится на 2, если цифра в разряде единиц является четным числом.
- Делимость на 3 – Число делится на 3, если сумма всех цифр делится на 3.
- Признак кратности 4 – Число делится на 4, если число, образованное цифрами разряда десятков и единиц, делится на 4.
- Признак кратности 5 – цифра в разряде единиц равна 5 или 0.
- Делимость на 6 – Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.
- Делимость на 7 – Число делится на 7 если разница между удвоенным значением разряда единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 0 или кратна 7.
- Признак кратности 8 – Число делится на 8, если число, состоящее из цифр разряда сотен, десятков и единиц, делится на 8.
- Признак кратности 9 – Число делится на 9 если сумма всех цифр делится на 9.
- Делимость 10 – Число делится на 10, если цифра в разряде единиц равна 0.
Правила делимости от 11 до 20 важны, но менее вероятно, что вы столкнетесь с ситуациями, которые потребуют использования этих правил делимости.
Правила делимости от 11 до 20: 9A число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.
Помните, что для 1 нет правил делимости. Каждое число делится на 1.
Пример вопроса
sВот пример, в котором мы используем правила делимости, чтобы сделать нашу жизнь проще:
Q1. У Джона 33 апельсина. Может ли он сложить их в мешки так, чтобы в каждом мешке было по 3 апельсина?
Ответ: Да, он может сгруппировать их таким образом. Это потому, что правило делимости на 3 гласит: «Число делится на 3, если сумма всех цифр делится на 3». Итак, в этой ситуации 3 + 3 = 6, что делится на 3, поэтому все число делится на 3.
Q2. Сэмюэл хотел бы дать каждому из своих друзей одинаковое количество воздушных шаров. Если у него 82 шарика, может ли он подарить их 6 своим друзьям?
Ответ: Нет, он не может дать поровну шариков всем своим друзьям, потому что правило делимости 6 гласит, что число должно делиться на 2 и 3. В этом случае 82 делится на 2 (2 — это четное число), однако оно не делится на три, так как 8+2=10, а 10 не делится на 3.
Q3. Ной испек 77 печенек. Он хочет разделить их поровну с 7 соседями. Можно ли распределять файлы cookie поровну?
Ответ: Да, файлы cookie можно распределить поровну, как гласит правило делимости на 7: число делится на 7, если разница между удвоенным значением цифры в разряде единиц и числом, образованным остальные цифры равны 0 или кратны 7. В этом случае 7 — это цифра единиц числа 77. Таким образом, 7 x 2 = 14. Итак, 14 — 7 = 7. Здесь 7, очевидно, делится на 7, поэтому все число делится на 7.
Q4. Найдите HCF 184 и 16.
Ответ: Как мы уже говорили, правила делимости помогают в расчете HCF. В этом случае мы знаем, что оба эти числа делятся на 4, применяя правило делимости на 4, а именно: число делится на 4, если число, состоящее из цифр, стоящих на месте десятков и единиц, делится на 4. С помощью этого простого трюка мы теперь знаем, что наш HCF равен 4. Чтобы узнать, что такое HCF и LCM и как их рассчитать, вы можете прочитать эту статью.
Дополнительные практические вопросы можно найти в этом тесте
Поделиться этой публикацией
Правило делимости на 5, 10 и 15 с простыми примерами
Добро пожаловать в этот учебник, чтобы проверить делимость числа. В этом уроке вы изучите пошаговые методы проверки делимости числа на 5, 10 и 15. Эти правила делимости очень легко запомнить, и вы можете попрактиковаться с примерами вопросов, приведенными в конце.
Если вы хотите узнать больше о правилах делимости, вы можете перейти по ссылке: Правила делимости от 2 до 25.
Итак, приступим! ????
Page Contents
Правило делимости на 5
Правило делимости на 5 гласит, что если число имеет 5 или 0 в своей единице измерения, то оно делится на 5.
Например, 26995 и 45110 делятся на 5 так как у них 5 и 0 в разряде единиц соответственно.
С другой стороны, 35452 не делится на 5.
Правило делимости на 10
Правило делимости на 5 гласит: “ Число делится на 10 только в том случае, если единица измерения равна нулю ».
Например,
25690 и 41599210 делятся на 10, поскольку цифра разряда единиц равна нулю (0).
Правило делимости числа 15
Правило делимости числа 15 гласит: «Число делится на 15 только в том случае, если оно делится и на 3, и на 5».
Выполните следующие шаги, чтобы проверить делимость любого числа на 15:
- Шаг 1: Проверьте, делится ли число на 3, следуя правилу делимости на 3. Если да, перейдите к следующему шагу. Если нет, то число не делится на 15.
- Шаг 2: Проверьте, делится ли число на 5, следуя правилу делимости на 5. Если да, то число делится на 15. Если нет, число не делится на 15.
Например, давайте проверим делимость 10935 на 15.
Число делится на 3, так как сумма всех цифр делится на 3. т. е. 1+0+9+3+5 = 18. И 10935 также делится на 5, так как последняя цифра 5.
Следовательно, 10935 делится на 15 и при делении дает 729.
Практические вопросы для проверки делимости на 5, 10, 15
Q.
- Если число делится на 2, то оно никогда не делится на 5 или 15.
- Если число число делится на 5 только тогда, когда оно делится на 10.
- Каждое число, кратное 15, также делится на 5.
- 1555 не делится на 3, следовательно, оно не делится и на 15.
- Сумма двух кратных 15 также кратна 10.
- Sum of two multiples of 5 is also a multiple of 15.
Q. Test the divisibility of the following number by 15
- 16992
- 14955
- 3585
- 85365
Q. Можем ли мы разделить 1536 студентов на группу из 10 человек, чтобы не осталось ни одного студента?
В. Сколько чисел от 1 до 150 делится на (i) 5, (ii) 10 и (iii) 15?
В. Какое минимальное число нужно добавить к 45699, чтобы оно делилось на 5, но не на 10?
В. Можете ли вы без вычислений определить, можно ли посадить 2237 цветов в 15 рядов так, чтобы в каждом ряду было одинаковое количество растений и осталось только 1 растение?
В.