Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеГЛАВА I. ЧИСЛА3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. ![]() 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 9. Свойства функций § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. ![]() § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 8. ![]() § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ |
5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 137
Делимость натуральных чисел
Свойства делимости
Ответы к стр.
![](/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/o/Oz9yoW8R0lXIt4BdguMPmbFqATY1jCx6N7ZvUV/slide-7.jpg)
599. Напишите три числа, которые можно записать в виде:
а) 2k; б) 5k; в) 20k; г) 7k,
где k — натуральное число.
а) 2 • 1 = 2, 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6
О т в е т: 2, 4, 6.
б) 5 • 1 = 5, 5 • 2 = 10, 5 • 3 = 15
О т в е т: 5, 10, 15.
в) 20 • 1 = 20, 20 • 2 = 40, 20 • 3 = 60
О т в е т: 20, 40, 60.
г) 7 • 1 = 7, 7 • 2 = 14, 7 • 3 = 21
О т в е т: 7, 14, 21.
600. Верно ли утверждение:
а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;
б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;
в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?
Все утверждения верны в соответствии со свойством 3: если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
601. Объясните, почему:
а) сумма 45 + 36 делится на 9;
б) сумма 99 + 88 делится на 11;
в) сумма 13 • α + 13 • c делится на 13, где α и c — натуральные числа;
г) сумма 12 • α + 15 • b + 9 • c делится на 3, где α, b и c — натуральные числа.
а) сумма 45 + 36 делится на 9, так как: 45 : 9 = 5 и 36 : 9 = 4;
б) сумма 99 + 88 делится на 11, так как: 99 : 11 = 9 и 88 : 11 = 8;
в) 13 • α + 13 • c, так как: 13 • α : 13 = α и 13 • c : 13 = c;
г) 12 • α + 15 • b + 9 • c делится на 3, так как: 12 • α : 3 = 4 • α и 15 • b : 3 = 5 • b и 9 • c : 3 = 3 • c.
602. Докажите, что если a, b и c − натуральные числа, то:
а) (3 • α + 3 • b) : 3 = α + b; б) (c • α + c • b) : c = α + b.
а) (3 • α + 3 • b) : 3 = α + b;
3 • α : 3 + 3 • b : 3 = α + b;
α + b = α + b;
б) (c • α + c • b) : c = α + b;
c • α : c + c • b : c = α + b;
α + b = α + b.
603. Вычислите:
а) (48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = …
б) (16 + 20) : 4; в) (50 + 120) : 5; г) (484 + 426) : 2;
д) (840 — 488) : 4; е) (963 — 690) : 3; ж) (990 + 99) : 9.
а) (48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = 24 + 18 = 42;
б) (16 + 20) : 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9;
в) (50 + 120) : 5 = 50 : 5 + 120 : 5 = 10 + 24 = 34;
г) (484 + 426) : 2 = 484 : 2 + 426 : 2 = 242 + 213 = 455;
д) (840 — 488) : 4 = 840 : 4 — 488 : 4 = 210 — 122 = 88;
е) (963 — 690) : 3 = 963 : 3 — 690 : 3 = 321 — 230 = 91;
ж) (990 + 99) : 9 = 990 : 9 + 99 : 9 = 110 + 11 = 121.
604. Проверьте, делится ли:
а) 1356 на 2; б) 4957 на 2; в) 8151 на 3;
г) 7361 на 3; д) 7263 на 2; е) 9751 на 2.
Применяем признаки делимости:
— если число заканчивается на чётную цифру или на нуль, то всё число делится нацело на два;
— если сумма цифр числа делится на три, то и число делится нацело на три.
а) 1356 делится на 2, так как это чётное число;
б) 4957 не делится на 2, так как это нечётное число;
в) 8151 делится на 3, так как сумма цифр этого числа делится на 3;
г) 7361 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа не делится на 3 нацело;
д) 7263 не делится на 2, так как это нечётное число;
е) 9751 не делится на 2, так как это нечётное число.
605. Проверьте, делится ли число 123 456 789:
а) на 2; б) на 3; в) на 9.
Применяем признаки делимости:
— если число заканчивается на чётную цифру или на нуль, то всё число делится нацело на два;
— если сумма цифр числа делится на три, то и число делится нацело на три.
— если сумма цифр числа делится на девять, то и число делится нацело на девять.
а) 123 456 789 не делится на 2, так как это нечётное число;
б) 123 456 789 делится на 3, так как сумма цифр этого числа делится на 3;
в) 123 456 789 делится на 9, так как сумма цифр этого числа делится на 9.
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.
Математика. 5 класс
Искусство решения проблем
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы к base-10 только — для других баз есть свои, разные версии этих правил.
Содержание
- 1 Делимость Видео
- 2 Основы
- 2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
- 2.2 Правило делимости на 3 и 9
- 2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
- 2.
4 Правило делимости для 7
- 2.5 Правило делимости на 10 и степени числа 10
- 2.6 Правило делимости числа 11
- 2.7 Общие правила для композитов
- 2.7.1 Пример
- 3 Расширенный
- 3.1 Общее правило для простых чисел
- 3.2 Правило делимости для 13
- 3.3 Правило делимости для 17
- 3.4 Правило делимости числа 19
- 3.5 Правило делимости для 29
- 3.6 Правило делимости для 49
- 4 Проблемы
- 5 ресурсов
- 5.1 Книги
- 5.2 Классы
- 6 См. также
Видео о делимости
https://youtu.be/bIipw2XSMgU
Основы
Правило делимости 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работают для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.
Доказательство
Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==>
Правило делимости на 10 и степени 10
Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.
Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .
Правило делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.
Доказательство
Общее правило для составных чисел
Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .
Пример
Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.
- Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
- Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.
Расширенный
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.
Правило делимости на 13
Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа.
Доказательство
Правило делимости числа 19
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.
Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.
Примеры:
49. Округлить: . Разница: . ? Да!
1470. Округлить: . Разница: . ? Да!
Доказательство
Задачи
- Практические задачи на Alcumus
- Делимость (преалгебра)
- 2000 AMC 8 Проблемы/проблема 11
- 2006 AMC 10B Проблемы/проблемы 25
Ресурсы
Книги
- AoPS Введение в теорию чисел Мэтью Кроуфорд.
- «Искусство решения проблем» Сандора Лехоцки и Ричарда Рущика.
Классы
- AoPS Введение в курс теории чисел
См. также
- Теория чисел
- Модульная арифметика
- Учебники по математике
- Соревнования по математике
Искусство решения задач
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы к базе 10 только — на других базах свои, разные версии этих правил.
Содержание
- 1 Делимость Видео
- 2 Основы
- 2.
1 Правило делимости на 2 и степени 2
- 2.2 Правило делимости на 3 и 9
- 2.3 Правило делимости числа 5 и степени числа 5
- 2.4 Правило делимости для 7
- 2.5 Правило делимости на 10 и степени числа 10
- 2.6 Правило делимости числа 11
- 2.7 Общие правила для композитов
- 2.7.1 Пример
- 2.
- 3 Расширенный
- 3.1 Общее правило для простых чисел
- 3.2 Правило делимости для 13
- 3.3 Правило делимости для 17
- 3.4 Правило делимости числа 19
- 3.5 Правило делимости для 29
- 3.6 Правило делимости для 49
- 4 Проблемы
- 5 ресурсов
- 5.1 Книги
- 5.2 Классы
- 6 См. также
Видео о делимости
https://youtu.be/bIipw2XSMgU
Основы
Правило делимости 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работают для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.
Доказательство
Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!
Правило делимости на 10 и степени 10
Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.
Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .
Правило делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.
Доказательство
Общее правило для составных чисел
Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .
Пример
Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.
- Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
- Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.
Расширенный
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.
Правило делимости на 13
Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.
Доказательство
Правило делимости числа 19
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.
Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.
Примеры:
49. Округлить: . Разница: . ? Да!
1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!
1470. Округлить: .