Признак делимости на 36: Не производя вычисления,установите, делится ли на 36 разность? a) 23544-17028 b) 25468 — 18532

Содержание

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы
  

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с.

В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и качал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Предыдущее издание вышло в 1988 году.



Оглавление

ГЛАВА I. ЧИСЛА
3. Деление с остатком.
4. Признаки делимости.
5. Разложение натурального числа на простые множители.
6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.
7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.
8. Употребление букв в алгебре. Переменные.
§ 2. Рациональные числа
11. Приведение дробей к общему знаменателю.
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями.
13. Десятичные дроби.
14. Арифметические действия над десятичными дробями.
15. Проценты.
16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.
17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
18. Координатная прямая.
19. Множество рациональных чисел.
§ 3. Действительные числа
§ 4. Комплексные числа
ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 6. Целые рациональные выражения
52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду.
§ 7. Дробные рациональные выражения
Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 9. Свойства функций
§ 10. Виды функций
95. Обратная функция. График обратной функции.
96. Логарифмическая функция.
96. Определение тригонометрических функций.
§ 11. Преобразования графиков
ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 14. Уравнения с одной переменной
§ 15. Уравнения с двумя переменными
§ 16. Системы уравнений
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
§ 17. Решение неравенств с переменной
§ 18. Доказательство неравенств
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 19. Числовые последовательности
§ 20. Предел функции
§ 21. Производная и ее применения
§ 22. Первообразная и интеграл
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. О строении курса геометрии
§ 2. Основные свойства простейших геометрических фигур
§ 3. Геометрические построения на плоскости
§ 4. Четырехугольники
§ 5. Многоугольники
§ 6. Решение треугольников
34. Теорема косинусов. Теорема синусов.
§ 7. Площади плоских фигур
38. Площади подобных фигур.
ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве
§ 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них
§ 9. Параллельность прямых и плоскостей
§ 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей
45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 11. Многогранники
§ 12. Тела вращения
§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости
§ 14. Объемы тел
§ 15. Площади поверхностей тел
ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве
§ 17. Уравнения фигур на плоскости
§ 18. Уравнения фигур в пространстве
ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
§ 19. Движение
§ 20. Подобие фигур
ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ
§ 21. Введение понятия вектора
§ 22. Операции над векторами
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ
I. Основные законы алгебры
ГЕОМЕТРИЯ

5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 137

Делимость натуральных чисел

Свойства делимости


Ответы к стр. 137

599. Напишите три числа, которые можно записать в виде:
а) 2k; б) 5k; в) 20k; г) 7k,
где k — натуральное число.

а) 2 • 1 = 2, 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6
О т в е т: 2, 4, 6.

б) 5 • 1 = 5, 5 • 2 = 10, 5 • 3 = 15
О т в е т: 5, 10, 15.

в) 20 • 1 = 20, 20 • 2 = 40, 20 • 3 = 60
О т в е т: 20, 40, 60.

г) 7 • 1 = 7, 7 • 2 = 14, 7 • 3 = 21
О т в е т: 7, 14, 21.

600. Верно ли утверждение:
а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;
б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;
в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

Все утверждения верны в соответствии со свойством 3: если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

601. Объясните, почему:
а) сумма 45 + 36 делится на 9;
б) сумма 99 + 88 делится на 11;
в) сумма 13 • α + 13 • c делится на 13, где α и c — натуральные числа;
г) сумма 12 • α + 15 • b + 9 • c делится на 3, где α, b и c — натуральные числа.

а) сумма 45 + 36 делится на 9, так как: 45 : 9 = 5 и 36 : 9 = 4;
б) сумма 99 + 88 делится на 11, так как: 99 : 11 = 9 и 88 : 11 = 8;
в) 13 • α + 13 • c, так как: 13 • α : 13 = α и 13 • c : 13 = c;
г) 12 • α + 15 • b + 9 • c делится на 3, так как: 12 • α : 3 = 4 • α и 15 • b : 3 = 5 • b и 9 • c : 3 = 3 • c.

602. Докажите, что если a, b и c − натуральные числа, то:
а) (3 • α + 3 • b) : 3 = α + b; б) (cα + cb) : c = α + b.

а) (3 • α + 3 • b) : 3 = α + b;
3 • α : 3 + 3 • b : 3 = α + b;
α + b = α + b;

б) (c • α + cb) : c = α + b;
c • α : c + cb : c = α + b;
α + b = α + b.

603. Вычислите:
а) (48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = …
б) (16 + 20) : 4;    в) (50 + 120) : 5;   г) (484 + 426) : 2;
д) (840 — 488) : 4; е) (963 — 690) : 3; ж) (990 + 99) : 9.

а) (48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = 24 + 18 = 42;
б) (16 + 20) : 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9;
в) (50 + 120) : 5 = 50 : 5 + 120 : 5 = 10 + 24 = 34;
г) (484 + 426) : 2 = 484 : 2 + 426 : 2 = 242 + 213 = 455;
д) (840 — 488) : 4 = 840 : 4 — 488 : 4 = 210 — 122 = 88;
е) (963 — 690) : 3 = 963 : 3 — 690 : 3 = 321 — 230 = 91;
ж) (990 + 99) : 9 = 990 : 9 + 99 : 9 = 110 + 11 = 121.

604. Проверьте, делится ли:
а) 1356 на 2; б) 4957 на 2; в) 8151 на 3;
г) 7361 на 3; д) 7263 на 2; е) 9751 на 2.

Применяем признаки делимости:
— если число заканчивается на чётную цифру или на нуль, то всё число делится нацело на два;
— если сумма цифр числа делится на три, то и число делится нацело на три.

а) 1356 делится на 2, так как это чётное число;
б) 4957 не делится на 2, так как это нечётное число;
в) 8151 делится на 3, так как сумма цифр этого числа делится на 3;
г) 7361 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа не делится на 3 нацело;
д) 7263 не делится на 2, так как это нечётное число;
е) 9751 не делится на 2, так как это нечётное число.

605. Проверьте, делится ли число 123 456 789:
а) на 2; б) на 3; в) на 9.

Применяем признаки делимости:
— если число заканчивается на чётную цифру или на нуль, то всё число делится нацело на два;
— если сумма цифр числа делится на три, то и число делится нацело на три.
— если сумма цифр числа делится на девять, то и число делится нацело на девять.

а) 123 456 789 не делится на 2, так как это нечётное число;
б) 123 456 789 делится на 3, так как сумма цифр этого числа делится на 3;
в) 123 456 789 делится на 9, так как сумма цифр этого числа делится на 9.

Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 5 класс

Искусство решения проблем

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы к base-10 только — для других баз есть свои, разные версии этих правил.

Содержание

  • 1 Делимость Видео
  • 2 Основы
    • 2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
    • 2.2 Правило делимости на 3 и 9
    • 2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
    • 2. 4 Правило делимости для 7
    • 2.5 Правило делимости на 10 и степени числа 10
    • 2.6 Правило делимости числа 11
    • 2.7 Общие правила для композитов
      • 2.7.1 Пример
  • 3 Расширенный
    • 3.1 Общее правило для простых чисел
    • 3.2 Правило делимости для 13
    • 3.3 Правило делимости для 17
    • 3.4 Правило делимости числа 19
    • 3.5 Правило делимости для 29
    • 3.6 Правило делимости для 49
  • 4 Проблемы
  • 5 ресурсов
    • 5.1 Книги
    • 5.2 Классы
  • 6 См. также

Видео о делимости

https://youtu.be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работают для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.

Доказательство

Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==>

1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости на 10 и степени 10

Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.

Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .

Правило делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для составных чисел

Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .

Пример

Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.

  • Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
  • Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.

Расширенный

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.

Правило делимости на 13

Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа.

Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости числа 19

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.

Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.

Примеры:

49. Округлить: . Разница: . ? Да!

1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!

1470. Округлить: . Разница: . ? Да!

Доказательство

Задачи

  • Практические задачи на Alcumus
    • Делимость (преалгебра)
  • 2000 AMC 8 Проблемы/проблема 11
  • 2006 AMC 10B Проблемы/проблемы 25

Ресурсы

Книги
  • AoPS Введение в теорию чисел Мэтью Кроуфорд.
  • «Искусство решения проблем» Сандора Лехоцки и Ричарда Рущика.
Классы
  • AoPS Введение в курс теории чисел

См. также

  • Теория чисел
  • Модульная арифметика
  • Учебники по математике
  • Соревнования по математике

Искусство решения задач

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы к базе 10 только — на других базах свои, разные версии этих правил.

Содержание

  • 1 Делимость Видео
  • 2 Основы
    • 2. 1 Правило делимости на 2 и степени 2
    • 2.2 Правило делимости на 3 и 9
    • 2.3 Правило делимости числа 5 и степени числа 5
    • 2.4 Правило делимости для 7
    • 2.5 Правило делимости на 10 и степени числа 10
    • 2.6 Правило делимости числа 11
    • 2.7 Общие правила для композитов
      • 2.7.1 Пример
  • 3 Расширенный
    • 3.1 Общее правило для простых чисел
    • 3.2 Правило делимости для 13
    • 3.3 Правило делимости для 17
    • 3.4 Правило делимости числа 19
    • 3.5 Правило делимости для 29
    • 3.6 Правило делимости для 49
  • 4 Проблемы
  • 5 ресурсов
    • 5.1 Книги
    • 5.2 Классы
  • 6 См. также

Видео о делимости

https://youtu.be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работают для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.

Доказательство

Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости на 10 и степени 10

Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.

Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .

Правило делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для составных чисел

Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .

Пример

Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.

  • Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
  • Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.

Расширенный

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.

Правило делимости на 13

Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости числа 19

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.

Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.

Примеры:

49. Округлить: . Разница: . ? Да!

1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!

1470. Округлить: .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *