Признак делимости на 64: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Урок математики «Признаки делимости чисел»

• Беленькая Марина Бахтыгереевна, учитель математики

Разделы: Математика

---

Приложение 1

Слайд 2.

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что b • q = a, то говорят, что число a делится на число b, или число а кратно числу b.

Слайд 3.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Слайд 4.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Слайд 5.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Слайд 6.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

Слайд 7. Пример:

1) 28
    8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346
    6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Слайд 8.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Слайд 9.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Слайд 10.

Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Слайд 11.

Пример:

1) 716
    16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636
    36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Слайд 12.

Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

Слайд 13.

Пример:

1) 92
    9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68
    6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Слайд 14.

Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

Слайд 15.

Пример:

1) 1380
    Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715
    Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Слайд 16.

Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Слайд 17.

Пример:

948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Слайд 18.

Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Слайд 19.

Пример:

364
36 – (4 • 2) = 28
28 : 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Слайд 20.

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Слайд 21.

Пример:

24816
816 : 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Слайд 22.

Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

Слайд 23.

Пример:

952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.

Слайд 24.

Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Слайд 25.

Пример:

27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27 : 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Слайд 26.

Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Слайд 27.

Пример:

1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Слайд 28.

Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Слайд 29.

Пример:

1) 103785
    1 + 3 + 8 = 12
    0 + 7 + 5 = 12
    Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627
    9 + 6 + 6 + 7 = 28
    1 + 3 + 2 = 6
    28 – 6 = 22
    22 : 11 = 2
    Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Слайд 30.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

Слайд 31.

Пример:

845
84 + (4 • 5) = 104 : 13
10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.

Слайд 32.

Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Слайд 34.

Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Слайд 35.

Пример:

646
Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Слайд 36.

Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Слайд 37.

Пример:

2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Слайд 38.

Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Слайд 39.

Пример:

28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 • 42) = 414
4 + (3 • 14) = 46
46 делится на 23.

Слайд 40.

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

Слайд 41.

Пример:

122166
12 + 21 + 66 = 99

Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Слайд 42.

Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

Слайд 43.

Пример:

590547
59 – 05 + 47 = 101
101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.

20.10.2012

Признаки делимости натуральных чисел. Практикум по решению задания №19 ЕГЭ (базовый уровень)

1. «Признаки делимости натуральных чисел» практикум по решению задания №19 ЕГЭ (базовый уровень).

Муниципальное автономное
общеобразовательное учреждение лицей №64
г.Краснодара
«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ
ЗАДАНИЯ №19 ЕГЭ (БАЗОВЫЙ
УРОВЕНЬ).
Выполнил учитель математики
МАОУ Лицей №64 г. Краснодара
Строева Светлана Владимировна

2. Немного из истории

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10
были известны с давних времен.
Признак делимости на 2 знали древние
египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

3. Немного из истории:

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ:
Признаки
делимости на 2, 3 и 5
были обстоятельно
изложены итальянским
математиком Леонардо
Фибоначчи (1170-1228).

4. Признаки делимости чисел:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ:
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2
Число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то
это число делится на 2 нацело
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4
Число делится на 4, если две последние его
цифры делятся на 4.
135 456 делится на 4, т.к. 56:4=14
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и
на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится
на 3.
462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на
2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на
3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12,
12:3=4)
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 8
Число делится на 8, если три его последние цифры – нули или
образуют число, которое делится на 8.
21 952 делится на 8, т.к. 952:8= 119
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3
Число делится на 3 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 3.
75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число
12 делится на 3
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9
Число делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 9.
69759 — делятся на 9, так как сумма их
цифр делится на девять
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11
Число делится на 11 если сумма цифр
стоящих на четных местах равна
сумме цифр стоящих на нечетных
местах или отличается от нее на
число кратное 11.
242 — делится на 11, так как сумма
цифр на нечетных позициях 4; сумма
цифр на четных позициях 4.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5
Число оканчивается цифрами 0 или 5, то это число
делится без остатка на 5.
2645, 540, 23785, 6430, т. к. их запись оканчивается
цифрами 0 либо 5.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно
оканчивается на нoль.
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как
последняя цифра этих чисел равна нулю.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 15
Число делится на 15 тогда и только
тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Число 6375 делится на 3, т.к. сумма его
цифр кратна 3. Также заданное число
делится на 5, потому что на последнем
месте стоит пятерка. Из этого следует,
что число 6375 делится на 15.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 25
Число делится на 25, если число, образованное
его последними двумя цифрами делятся на 25.
652 475 делится на 25, т.к. 75 делится на 25
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 1
Найдите четырёхзначное число, кратное 15,
произведение цифр которого больше 0, но меньше
25.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение: Число кратное 15 делится на 5 и на 3,
значит, данное число оканчивается на 5 ( 0 не
удовлетворяет условию, произведение цифр
которого больше 0). Остальные цифры подбираем
так, чтобы сумма цифр делилась на 3 и
произведение цифр которого больше 0, но меньше
25.
Ответ: 1125
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 2
Вычеркните в числе 85417627 три цифры так,
чтобы получившееся число делилось на 18. В
ответе укажите какое-нибудь одно получившееся
число.
Решение: Число кратное 18 делится на 2 и на 9,
значит, последняя цифра должна быть четной.
Вычеркиваем последнюю цифру.
8+5+4+1+7+6+2=33, следовательно, вычеркиваем
2 цифры сумма которых равна 6 или 15.
Ответ: 84762
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 3
Найдите чётное пятизначное натуральное число,
сумма цифр которого равна их произведению. В
ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение: Т.к. сумма цифр числа равна их
произведению, то используемые цифры должны
быть маленькими и число должно оканчиваться
на четную цифру.
Ответ:11152
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 4
Найдите четырёхзначное число, кратное 25, все
цифры которого различны и нечётны. В ответе
укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение: Число кратное 25 должно
оканчиваться на 00 или 25, или 50, или 75.
Нашему условию удовлетворяет 75. Остальные
цифры подбираем так, чтобы все цифры числа
были различны и нечётны.
Ответ: 1375
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 5
Найдите трёхзначное натуральное число,
большее 800, которое делится на каждую свою
цифру и все цифры которого различны и не
равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь
одно такое число
Решите самостоятельно.
Ответ: 816
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 6
Найдите чётное трёхзначное натуральное число,
сумма цифр которого на 1 меньше их
произведения. В ответе укажите какое-нибудь
одно такое число
Решите самостоятельно.
Ответ: 142
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 7
Найдите шестизначное натуральное число,
которое записывается только цифрами 2 и 0 и
делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь
одно такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 222000
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 8
Найдите четырёхзначное число, кратное 33, все
цифры которого различны и нечётны. В ответе
укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение: Если число кратно 33, значит, оно
делится на 11 и на 3. Выпишем все нечетные
цифры и найдем пары цифр суммы которых
равны и делятся на 3.
1,3,5,7,9
Нашему условию удовлетворяют пары 3,9 и 5,7.
Ответ: 3597
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 9
Найдите четырёхзначное число, кратное 15,
произведение цифр которого больше 35, но
меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно
такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 1185
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 10
Найдите пятизначное число, кратное 25, любые
две соседние цифры которого отличаются на 2. В
ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 13575
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 11
Вычеркните в числе 65031029 три цифры так,
чтобы получившееся число делилось на 15. В
ответе укажите какое-нибудь одно получившееся
число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 50310
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 12
Найдите трёхзначное число, кратное 25, все
цифры которого различны, а сумма квадратов
цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе
укажите какое-нибудь одно такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 125
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 13
Найдите пятизначное число, кратное 15, любые
две соседние цифры которого отличаются на 2. В
ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 13575
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ:
Задача 14
Вычеркните в числе 74513527 три цифры так,
чтобы получившееся число делилось на 15. В
ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решите самостоятельно.
Ответ: 74535

25. Практическая значимость:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ:
Знание и использование вышеперечисленных
признаков
делимости
натуральных
чисел
значительно упрощает многие вычисления, тем
самым
экономит
время,
предупреждает
вычислительные ошибки, которые можно сделать
при выполнении действия деления. {32} \equiv 1 \pmod {64}$, поэтому, если вы отметите $[0,63]$, все готово.

$\endgroup$

6

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

. 9{(2n+2)} + 9,56.n + 9,55.n) — 8,56.n — 8,55 + 56 = \\ 9.F(n) — 448.n — 384 = \\ 9.F(n) — 64.7.n — 64,6$

Теперь из последней формы F(n+1) уже очевидно, что: если 64/F(n), то 64/F(n+1).
И это именно тот шаг индукции, который вы должны сделать, чтобы завершить доказательство.

В общем: обычно такие задачи решаются выражением $F(n+1)$ через $F(n)$. Таким образом, вы можете использовать гипотезу индукции (которую вы предполагаете, что она верна). В нашем случае это тот факт, что $64/F(n)$. И тогда то, что останется, обычно будет чем-то, что очевидно делится на то число, на которое они просят вас доказать, что оно делится (в нашем случае это значение равно $64,7.n + 64,6$, которое очевидно делится на 64).

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Доказательство по индукции.

Пусть P(n) обозначает утверждение: «3 ²ⁿ⁺² +56n+55 делится на 64»

Базовый шаг:

P(0) истинно, поскольку 3 ²⁽⁰⁾⁺² +56(0)+55= 64. Это завершает базовый шаг.

Индуктивный шаг:

Предположим, что P(k) истинно для произвольного неотрицательного целого числа k, то есть мы предполагаем, что 3 ^2k+2 +56k+55 делится на 64 (гипотеза индукции). Теперь мы должны показать, что если мы предположим, что P(k) истинно, то P(k+1) также истинно.

Обратите внимание, что P(k+1) = 3 ^2(k+1)+2 +56(k+1)+55

->3 ^2k+4 +56k+56+55

— >3 ² *3 ^2k+2 +56k+56+55 (из основ алгебры мы знаем, что 3 ^2k+4 =3 ² *3 ^2k+2 )

->9* 3 ^2k+2 +56k+56+55

->8*3 ^2k+2 +3 ^2k+2 +56k+56+55 (Из основ алгебры мы знаем, что 9*3 ^2k+2 =8*3 ^2k+2 +3 ^2k+2 )

->8(3 ^2k+2 +7)+3 ^2k+2 +56k+55 (с учетом первого и четвертого членов)

->8(3 ^2k+2 +56k-56k +55-48)+3 ^2k+2 +56k+55 (равно приведенному выше выражению)

->8(3 ^2k+2 +56k+55-8(7k+6))+3 ^2k+2 +56k+55 (факторинг -56k и -48)

->8(3 ^2k+2 +56k+55)-64(7k+6)+3 ^2k+2 +56k+55 (равно приведенному выше выражению)

->9(3 ^2k+2 +56k+55)-64 (7k+6)

Результирующее выражение: ->9(3 ^2k+2 +56k+55)-64(7k+6)

Используя индуктивную гипотезу, мы заключаем, что приведенное выше выражение делится на 64.