Делимость чисел. Признак делимости
Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.
1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.
Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.
Из определения 1 вытекают следующие утверждения:
Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.
Действительно. Так как
a=bm, b=nc,
где m и n какие то числа, то
a=(nc)m=(nm)c.
Следовательно a делится на c.
Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.
Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.
Действительно. Так как
a=mc, b=nc,
тогда
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a−b=mc−nc=(m−n)c.
Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .
Признаки делимости
Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.
Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10·r1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:
| (1) |
Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1,…,m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).
Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде
| (2) |
Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа
| (3) |
на m.
Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.
Рассмотрим разность A−A’
Покажем, что 10i−ri делиться на m при всех i=1,2,…m−1.
10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),
Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.
Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m).
Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.
Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.
Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Признак делимости на 2.
Следуя процедуре (1) для m=2, получим:
| 10=2·5+0, 10·0=2·5+0, и т.д. |
Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).
Признак делимости на 3.
Следуя процедуре (1) для m=3, получим:
Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4.
Следуя процедуре (1) для m=4, получим:
Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 5.
Следуя процедуре (1) для m=5, получим:
Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6.
Следуя процедуре (1) для m=6, получим:
Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.
Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.
Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.
Признак делимости на 7.
Следуя процедуре (1) для m=7, получим:
Все остатки разные и повторяются через 7 шагов.
| (8) |
Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.
Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.
Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Следуя процедуре (1) для m=8, получим:
Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (9) |
Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.
Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Следуя процедуре (1) для m=9, получим:
Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10.
Следуя процедуре (1) для m=10, получим:
Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Признак делимости на 41
Признак
1:
число делится на 41 тогда
и только тогда, когда модуль разности
числа десятков и четырёхкратного числа
единиц делится на 41.
Например, 369 делится
на 41, так как
делится
на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50
Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Соответствующая этому признаку функция:
Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.
Признак делимости на 59
Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и
Признак делимости на 99
Число
делится на 99 тогда
и только тогда, когда на 99 делится сумма
чисел, образующих группы по две цифры
(начиная с единиц).
Например, 12573 делится
на 99, так как на 99 делится
Соответствующая признаку функция:
Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 99.
Признак делимости на 101
Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится
Соответствующая этому признаку функция:
Признак делимости на делитель степени основания системы счисления
Если
для некоторых натуральных
и
число
делится
на натуральное
то
любое целое число
записанное
в системе счисления по основанию
равноостаточно
с числом, образованным
младшими
его цифрами. Это свойство позволяет
построить признак делимости и
равноостаточности на делитель степени
основания системы счисления.
Соответствующая этому признаку функция:
Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.
Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на
Соответствующая этому признаку функция:
Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.
Заключение.
В
результате выполнения данной работы у
меня расширились знания по математике.
Я узнала, что кроме известных мне
признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще
признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14,
15, 19 ,25 и т.д. Познакомившись с признаками
делимости чисел, думаю, что полученные
знания смогу использовать в учебе,
самостоятельно применить тот или иной
признак к определенной задаче.
Считаю,
что применение признаков делимости
чисел в изучении математики является
эффективным. Знание их значительно
ускоряет решение многих заданий.
Предложенный материал «Признаки
делимости чисел» можно использовать
как на уроках математики, так и во
внеклассных занятиях учащимися 5-9-х
классов.
математика — Кто изобрел знак делимости и почему он наоборот?
спросил
Изменено Cегодня
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Когда мы хотим выполнить деление, мы пишем, например, $8/2$ (это мы уже учим в школе). Но когда мы хотим выразить, что $2$ является делителем $8$, мы пишем: $2\mid 8$. Какого черта?? Я нахожу это очень нелогичным, вместо этого я ожидал бы $8\mid 2$.
Итак, есть ли веская причина писать $2\mid 8$ вместо $8\mid 2$, и кто придумал это обозначение?
- математика
- нотация
$\endgroup$
7
$\begingroup$
В математике отношения между $a$ и $b$ часто записываются в виде $aRb$. Я имею в виду это как в том смысле, что мы пишем эту строку для представления абстрактного отношения, так и в том смысле, что используем эту форму для записи выражений с конкретными отношениями. Почти в каждом случае они читаются как «$a$ [отношение] $b$». Для нескольких примеров у нас есть
- $a:=b$, «определено как»
- $a\geq b$, «больше или равно»
- $a\in b$, «in / является элементом»
- $a\subseteq$ «является подмножеством»
- $a\to b$, «сопоставляется с/сопоставляется с»
- $a=O(b)$, «большой-0»
Примечательно, что каждое отношение в этом списке является антисимметричным, поэтому важен порядок сначала $a$, а затем $b$.
Этот список крайне неполный, и есть еще десятки.
Правильное чтение символа $|$ — «делит / является делителем». При такой интерпретации выражение $a|b$, также известное как «$a$ делит $b$», идеально соответствует этому хорошо зарекомендовавшему себя шаблону. Хотя это может показаться нелогичным для того, у кого больше опыта в арифметике, чем в математике, на самом деле это проявление высоко стандартизированного шаблона.
$\endgroup$
8
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
9Обозначение 0000. Определен ли символ делимости (вертикальная черта) для рациональных чисел?Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 10 месяцев назад
Просмотрено 449 раз
$\begingroup$
Могу ли я использовать
$k \in \mathbb{Q}, M_{k} = \{c~|~c \in \mathbb{Q} \land k|c \}$
для обозначения множества всех кратных $k$? Или, другими словами, определен ли оператор $|$ для рациональных чисел?
Я был сбит с толку, так как немецкая версия записи в Википедии для вертикальной черты, по-видимому, ограничивает ее применимость к целым числам:
https://de.
wikipedia.org/wiki/Senkrechter_Strich
(для тех, кто умеет читать)
Редактировать:
Думаю, я перепутал $x|y$ с истинным значением для рациональных чисел, если $\frac{x}{y} \in \mathbb{Z}$. Думаю, @G Тони Джейкобс предвидел мою ошибку и рекомендовал использовать $\{ nk | n \in \mathbb{Z} \}$.
Редактировать:
На самом деле, я хотел использовать вертикальную черту в качестве стандартного блока для выражения следующего:
$f(x,y) = \text{наименьшее число $z$, чтобы $z = xa, a \in \mathbb{Z} \land z = xb, b \in \mathbb{Z}$}$
Может быть, для этого есть идиоматическое математическое обозначение?
Я разместил здесь несколько дополнений: Верно ли следующее и как узнать, как это решить?
- элементарная теория чисел
- нотация
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Если вам нужен набор всех целых чисел, кратных $k$, вы должны написать $$\{nk:n\in\Bbb{Z}\},$$ или более компактно: $$k\Bbb{Z} .
$$
Если вам нужен набор всех рациональных чисел, кратных $k$, это в любом случае снова просто $\Bbb{Q}$, пока $k\ne 0$.
Отношение делимости может быть определено в любом коммутативном кольце $R$ по правилу: Для $a,b\in R$ мы говорим $a|b$, если существует $c\in R$ такое, что $ac=b$.
Рациональные числа от до образуют кольцо, но это также и поле, и мы обычно не утруждаем себя обсуждением делимости в поле (хотя оно четко определено), потому что каждый ненулевой элемент делит каждый элемент , так что не о чем говорить. Интересна делимость в $\Bbb{Z}$ и других кольцах, не являющихся полями, потому что некоторые целые числа делятся друг на друга, а некоторые нет!
Если вы используете символ для обозначения «делимости с целым частным»… То, что вы написали, не является хорошей записью для этого, потому что символ четко определен в любом кольце. Здесь $\Bbb{Q}$ — единственное кольцо, упомянутое в вашем ОП, поэтому читатели могут интерпретировать этот символ как делимость в $\Bbb{Q}$.