Признаки деления на: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства

Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000, 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000, 100, 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

Формулировка признака делимости на 10, 100 и т.д. с примерами

Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

Определение 1

Если число заканчивается на 0, то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

Теперь запишем признак делимости на 100:

Определение 2

На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.

Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0, поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

Пример 1

Условие: определите, какие числа из ряда 500, −1 010, −50 012, 440 000 300 000, 67 893 можно разделить на 10, 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100.

Решение

Согласно признаку делимости на 10, мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с −1 010, 440 000 300 000, 500, ведь они все заканчиваются нулями. А вот для −50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3.

На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000, поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце (4). Зная признак делимости на 100, можно сказать, что −1 010, −50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

Ответ: на 10 можно разделить числа 500, −1 010, 440 000 300 000; на 10 000 – число 440 000 300 000; на 100 не делятся числа 1 010, −50 012 и 67 893.

Как доказать признаки делимости на 10, 100, 1000 и др.

Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100, 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10. Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

Определение 3

Чтобы определить, делится ли целое число на 10, нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0, то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10. Докажем, что в конце у него стоит 0.

Поскольку a можно разделить на 10, то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q, при котором будет верным равенство

a=10·q. Вспомним правило умножения на 10: произведение 10·q  должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a=10·q  последним будет стоять 0. Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10. Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10, его можно представить в виде a=a1·10. Здесь число a1 получается из a, в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a=a1·10  будет следовать делимость a на 10. Таким образом мы доказали достаточность условия.

Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100, 1000 и т.д.

Прочие случаи делимости на 1000, 100, 10 и др.

В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10. Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем.

Здесь нужно применить другие методы решения.

Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

Пример 2

Условие: определите, можно ли разделить 11n+20n-21 на 10 при любом натуральном значении n.

Решение

Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

11n+20n-21=(10+1)n+20n-21==Cn0·10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102·10n-2+Cnn-1·10·1n-1+Cnn·1n++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102·n·10+1++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102+30n-20==10·10n-1+Cn1·10n-2+…+Cnn-2·101+3n-2

Мы получили выражение, которое можно разделить на 10,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n. Значит, исходное выражение 11n+20n-21 можно разделить на десять при любом натуральном n.

Ответ: данное выражение делится на 10.

Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

Пример 3

Условие: выясните, будет ли 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном n.

Решение

Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11n+20n-21=111+20·1-21=10. Деление десяти на десять возможно.

Допустим, что выражение 11n+20n-21 будет делиться на 10 при n=k, то есть 11k+20k-21 можно разделить на 10.

Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11n+20n-21 делится на 10 при n=k+1. Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

11k+1+20·k+1-21=11·11k+20k-1=11·11k+20k-21-200k+230==11·11k+20k-21-10·20k-23

Выражение 11·11k+20k-21 в данной разности можно разделить на 10, поскольку такое деление возможно и для 11k+20k-21, а 10·20k-23 тоже делится на 10, потому что это выражение содержит множитель 10. Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном значении n.

Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n, допускается следующий подход: доказываем, что при n=10·m, n=10·m+1, …, n=10·m+9, где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10. Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n. Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Доклад «Признаки делимости» | Образовательная социальная сеть

VI  ГОРОДСКАЯ МЕЖШКОЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«Я — исследователь»

Секция «Математика»

Тема: «Признаки делимости чисел»

                        Выполнил:

        ученик 6 «А» класса

             МБОУ школы № 132                Ленинского района

Жулябин Дмитрий Алексеевич

                                                Научный   руководитель:

Климанова Наталья Николаевна                                                                                                                                                                                                                                                              

учитель математики

Самара, 2015 г.

Содержание

I. Введение ………………………………………………………………………..3

II. Делимость чисел ………………………………………………………………5

1. Понятие делимости чисел…………………………………………………5

2. Свойства делимости……..…………………………………………………6

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе  на 2, 3, 5, 9, 10………7

4. Признаки    делимости   чисел,  не   изучаемые  в   школе

     (на 4, 11, 25, 6, 12, 15, 13)…………………………..…………………………..10

III . Задачи для самостоятельного решения……………………………………12

IV.  Заключение………………………………………………………………….14

V.  Приложение. Таблица «Признаки делимости чисел»……………………..15

VI. Список литературы…………………………………………………..………16

I. Введение.

Жалок тот ученик, который

не превосходит своего учителя.

Леонардо да Винчи

        Математика — самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление».

Вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики остается еще много неясного.

Решая задачи и выполняя действия на деления, не всегда удается число разделить нацело. Возникает  необходимость предсказать – делится число нацело или нет. Поэтому  в математике исследуются  условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым  можно определить делится ли натуральное число  на другое натуральное число или нет.

Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число  b,  можно  произвести  деление этих чисел. Но при решении некоторых  задач  это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно  знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

Изучая  в курсе математики признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, у меня возник вопрос: «Нельзя ли, не прибегая к непосредственному делению числа, установить его делимость  на другое натуральное число?». Именно поэтому для творческой работы  мной выбрана тема «Признаки делимости чисел».

Актуальность  выбранной темы  заключается  в  том,  что  знание признаков  делимости чисел поможет учащимся более быстро выполнять  сокращения  дробей,  нахождения и вынесения общего множителя  за скобки, при упрощении выражений.

Цель  исследовательской  работы:  осветить признаки делимости чисел  на 2,  3,  4,  5,  6,  9, 10,  11,  12,  13,  15,  25.

        В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой  следующие  задачи:

• Изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел», расширить и углубить свои знания по этой теме.
• Овладеть в совершенстве признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы.
• Рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел, подобрать серию задач, связанных  с  признаками делимости чисел для самостоятельного решения.
• Разработать мини-справочник «Признаки делимости чисел».

Объект исследования: признаки делимости чисел.

Предмет исследования: изучение правил и методов делимости чисел.

II. Делимость чисел.

    Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

      Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 были известны  с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леонардо Фибоначчи (1170-1228).

Мы знаем, что в результате сложения, вычитания или умножения целых чисел всегда получается число целое. А вот деление натуральных чисел нацело не всегда возможно. Для того чтобы узнать, делится ли натуральное число а на натуральное число b нацело, надо предварительно выяснить некоторые общие свойства делимости чисел.

 

1. Понятие делимости чисел.

Разделить число а на число b – это значит найти такое число q, при умножении которого на b получается а, т.е. b∙q = а. Если для целых чисел а и b такое число q существует, то говорят, что а делится на b.

Целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число q, такое, что а = b∙q.

В том случае, когда а делится нацело на b, число а называется кратным числу b, а число b называется делителем числа а.

Например, число 45 делится нацело на число 9, так как существует натуральное число 5, такое, что выполняется равенство  9 ∙ 5 = 45. Число 73 не делится на 9, так как не  существует такое целое число q, при котором выполняется равенство 9 ∙ q = 73.

При определении делимости мы исключили случай, когда b = 0. В том случае, когда а = 0 и b = 0, любое число может выступать в роли частного, т.е.  частное   становится   неопределенным. Если а ≠ 0 и b = 0,  то равенство а = 0∙q не будет верным ни при каком значении q.

2. Свойства делимости.

 

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое нацело, можно просто разделить первое число на второе. Если при делении остатка не будет, значит, числа делятся нацело. Если же при делении получится остаток,  не равный нулю, значит, эти числа нацело не делятся. Можно ли, не производя самого деления, установить, делится ли одно число на другое нацело?

Можно, так как делимость одних чисел связана с делимостью других. Поэтому надо найти такие свойства делимости, при помощи которых было бы возможно, не производя деления, установить, является ли данное число кратным другому.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли сумма этих чисел на 3?

180 + 210 = 10∙18 + 10 ∙21 = 10∙ (18 + 21) = 10∙39

39 делится на 3. А это значит, что сумма чисел 180 и 210 делится на 3.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.  

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли разность этих чисел на 3?

210 — 180 = 10∙21 — 10 ∙18 = 10∙ (21 -18) = 10∙3

Значит, разность 210 и 180 делится на 3.

Делимость произведения.

Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число.

Например, известно, что число 147 делится на 49. А 49 делится на 7. Делится ли 147 на 7?

147 = 49∙3 = (7∙7) ∙3 = 7∙(7∙3) = 7 ∙ 21

Полученное равенство показывает, что число 147 делится на 7.

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе.

Рассмотрим сначала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10.

Признак делимости на 2: если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Оканчи-вается	Пример	Представили в виде суммы слагаемых	Вывод
0	2210	1000∙2 + 100∙2 + 10∙1 + 0	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
2	2212	1000∙2 + 100∙2 + 10∙1 + 2	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
4	2214	1000∙2 + 100∙2 + 10∙1 + 4	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
6	2216	1000∙2 + 100∙2 + 10∙1 + 6	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
8	2218	1000∙2 + 100∙2 + 10∙1 + 8	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2

     Например,  число  2472  делится на 2, т. к. 2472 = 1000∙2 + 100∙4 + 10∙7 + 2. Все четыре слагаемых делятся на 2. Значит, число 2472 делится на 2.

Число 2477  не делится на 2, т.к. 2477 = 1000∙2 + 100∙4 + 10∙7 +7. Первые три слагаемых делятся на 2, а четвёртое слагаемое не делится на 2. Значит, число 2477 не делится на 2.

Числа, делящиеся на 2, называют чётными. Числа, не делящиеся на 2, называют нечётными.

Признак  делимости  на  3:  если  сумма цифр числа  делится  на 3, то  и  само  число  делится  на  3.

Делится ли число на 3	Сумма цифр	Вывод
270	2 + 7 + 0 = 9.	число 9 делится на 3. Значит 270 делится на 3
541	5+4 +1 = 10.	число 10 не делится на 3. Значит 541 не делится на 3

Признак  делимости  на  5: если  число  оканчивается  одной из цифр  0  или  5, то  оно  делится  на  5.

Делится ли число на 5	Представим в виде	Вывод
2570	2570 = 257 ∙ 10.	Второй множитель 10 делится на 5, значит, число 2570 делится на 5.
645	645= 100∙6 + 10∙4 + 5.	Все слагаемые делятся на 5, значит,  число  645  делится на 5.
643	643= 100∙6 + 10∙4 + 3.	Первое и второе слагаемые делятся на 5, третье слагаемое не делится на 5. Значит число  643  не делится на 5.

Признак  делимости  на  9:  если  сумма  цифр  числа  делится  на  9, то  и  само  число  делится  на  9.

Делится ли число на 9	Сумма цифр	Вывод
576	5 + 7 + 6 = 18.	число 18 делится на 9. Значит 576 делится на 9
535	5+3 +5 = 13.	число 13 на 9 не делится. Значит 535 не делится на 9

Признак  делимости на 10:  если  число  оканчивается  цифрой   0,  то оно делится на 10.

Делится ли число на 10	Представим в виде	Вывод
4370	4370 = 437 ∙ 10.	Один из множителей делится на 10, значит, число 4370 делится на 10.
2378	2378= 1000 ∙2 + 100 ∙3+ +10∙7 +8.	Первое, второе, третье  слагаемые делятся на 10, а четвертое слагаемое не делится на 10. Значит число  2378  не делится на 10.

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 4.

Делится ли число на 4	Представим в виде	Вывод
664	664 = 600 + 60 + 4 =  =100∙6 + 10∙6 + 4 = =100∙6 + (10∙6 + 4)	(10∙6 + 4) представляет собой число 64, а это число делится на 4. Значит, и число 664 делится на 4.
433	433= 100∙4 + (10∙3 + 3).	(10∙3 + 3) представляет собой число 33, а это число не делится на 4. Значит, число 433 не делится на 4.

Признак делимости на 11: число делится на 11 тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Делится ли число на 11	Запишем по правилу	Вывод
4939.	(9 +9) — (4 + 3) = 18-7=11.	Полученное число11 делится на 11, значит, число 4939 делится на 11.
1534	(5 +4) — (1 +3) =9 – 4= 5.	Полученное число 6 не делится на 11, значит, число 1534 не делится на 11.

Признак делимости на 25: число делится на 25 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 25.

Делится ли число на 25	Запишем по правилу	Вывод
875	875= 800 + 70 + 5  = = 100∙8 + 10∙7 + 5 = =100∙8 + (10∙7 + 5)	(10∙7 + 5) представляет собой число 75, а это число делится на 25. Значит, и число 875 делится на 25.
427	427 = 100∙4 + (10∙2 + 7).	(10∙2 + 7) представляет собой число 27, а это число не делится на 25. Значит, число 427 не делится на 25.

Сформулируем ещё несколько признаков делимости чисел.

Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

234:2=117     2+3+4=9:3, значит 234 делится на 6

Признак делимости на 12: для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 3.

108:4=27     108:3= 1+0+8= 9:3,     значит 108:12=9

Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо  и  достаточно,  чтобы  оно  делилось  на  5  и   на  3, т.е. чтобы оно  оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 13: число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.        

858 делится на 13,  так как   85 — 9·8 = 13  делится на 13.

III. Задачи для самостоятельного решения.

1. Делится ли на 9 тридцатизначное число, у которого первая цифра 8, последняя 1, а остальные цифры равны нулю?  

РЕШЕНИЕ: 8000….1.  Найдем сумму цифр 8+0+0+…+0+1=9, сумма цифр делится на 9, значит и само число делится на  9

2. Делится ли на 81 число, записанное 81 единицей?

РЕШЕНИЕ:

3. При  делении на 2  число  дает  в остатке 1, а при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток дает число при делении на 6?

РЕШЕНИЕ:

4. Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9 и на 11.

РЕШЕНИЕ:

5. Выписали подряд все цифры от 1 до 9 включительно, а затем от 9 до 1. Будет ли полученное число делиться на 9?

РЕШЕНИЕ:

6. Выписали  подряд  натуральные числа, начиная с 1 и заканчивая числом 11. будет ли полученное число кратно 9?

РЕШЕНИЕ:

7. К числу 43 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

РЕШЕНИЕ:

8. Какие из данных чисел 384123, 108675, 138963, 903150  делятся на: 3; на 4; на 9; на 25?

РЕШЕНИЕ:

9. Сократите дробь:  

РЕШЕНИЕ:

10.  Вместо звёздочек поставьте некоторые числа так, чтобы число 5*4* делилось на 9 и на 4. Найдите все возможные решения.

РЕШЕНИЕ:

11.  Какие  из  данных  чисел  7194, 18456, 36735, 17214, 781120 делятся: на 6; на 15; на 12?

РЕШЕНИЕ:

IV.  Заключение.

В данной работе мной рассмотрено понятие делимости чисел, некоторых его свойств, признаков делимости и задачи, решение которых связано с ними.

При написании данной творческой работы я изучил большое количество  дополнительной научной литературы по теме «Признаки делимости»,  расширил и углубил свои знания по данному вопросу, овладел простейшими и более сложными признаками делимости чисел.

Рассмотрев различные признаки делимости чисел, я убедился, что знание этих признаков существенно поможет при вынесении общего множителя за скобки, упрощении выражений, сокращении дробей, а так же значительно сэкономит время в получении  ответа  на вопрос, об определении делимости   числа, не прибегая  к  самому действию деления.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях на повторение. Данная работа будет полезна и для учащихся при самостоятельной подготовке к экзаменам по математике и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах.

V.  Приложение.     Таблица «Признаки делимости чисел»

на 2	На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8)
на 3	На 3 делятся  те,  и только  те  натуральные  числа,  сумма  цифр которых делится на 3
на 4	На 4 делятся  те, и только те натуральные числа, в  записи которых последние две  цифры  образуют  число,  делящееся  на 4
на 5	На 5  делятся те, и только  те  натуральные  числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5.
на 6	На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3
на 8	На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8
на 9	На 9  делятся  те,  и только те натуральные  числа,  сумма  цифр которых делится на 9
на 10	На 10 делятся те, и только те натуральные  числа,  запись  которых  оканчивается на 0
на 11	На  11 делится  то  число, когда разность между суммой цифр, стоящих на   чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.
на 12	На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число,  делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3.
на 13	Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней    цифры умноженной на 9 из этого числа  без последней цифры делится на 13.
на 15	На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3
на 25.	Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними

VI. Список литературы

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2008.
2. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- 4-е изд., испр.- М.: Наука,  2008.
3. Депман И.Я.,  Виленкин Н.Я.  За  страницами  учебника  математики. — М.: Просвещение, 2006.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: дополнительные главы к школьному  учебнику 8 класс.  Учебное  пособие  для  учащихся школ  и  классов  с  углубленным  изучением  математики. – М.: Просвещение, 2007.
5. Никольский С.М. Арифметика 5 класс: учебник для общеобразовательных школ. — М.: издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 2003.
6. Фридман Л.М. Изучаем математику. Кн. для учащихся 5-6 кл. — М.: Просвещение, 2005.

 

Что такое знак деления? | Определение из TechTarget

К

• Участник TechTarget

Знак деления имеет вид тире или двойного тире с точкой вверху и точкой внизу (÷). Это равносильно слову «разделить на». Этот символ встречается в основном в учебниках по арифметике для начальной школы. Он редко используется профессиональными или академическими математиками, учеными или инженерами.

Математически знак деления эквивалентен косой черте. Так, например, 4 ÷ 5 = 4/5 = 0,8, а -100 ÷ 10 = -100/10 = -10. В общем, для любого действительного числа

x и любого ненулевого действительного числа y всегда верно следующее:

х ÷ у = х / у

Знак деления также математически эквивалентен символу соотношения, обычно обозначаемому двоеточием (:) и читающемуся как «равно». Таким образом, для любого действительного числа x и любое ненулевое действительное число y выполняется это уравнение:

х ÷ у = х : у

На большинстве IBM-совместимых компьютеров символ деления можно сгенерировать, активировав функцию NUM LOCK, удерживая нажатой клавишу ALT и вводя 246 на цифровой клавиатуре, расположенной с правой стороны клавиатуры. Знак деления появляется при отпускании клавиши ALT. Этот прием работает в большинстве текстовых процессоров и даже в некоторых графических и DOS-программах.

См. также Математические символы.

Последнее обновление: сентябрь 2005 г.

словарь данных

Словарь данных — это набор описаний объектов данных или элементов модели данных, на которые могут ссылаться программисты и другие лица.

Сеть

• доступность сети

  Доступность сети — это время безотказной работы сетевой системы в течение определенного интервала времени.

• NFV MANO (управление и оркестрация виртуализации сетевых функций)

  NFV MANO (управление виртуализацией и оркестровкой сетевых функций), также называемый MANO, представляет собой архитектурную основу для …

• Сетевой коммутатор

  Сетевой коммутатор соединяет устройства в сети друг с другом, позволяя им общаться путем обмена пакетами данных.

Безопасность

• GPS-глушение

  Подавление сигналов GPS — это использование устройства, передающего частоту, для блокирования или создания помех радиосвязи.

• контрольная сумма

  Контрольная сумма — это значение, представляющее количество битов в передаваемом сообщении, которое используется ИТ-специалистами для обнаружения …

• информация о безопасности и управление событиями (SIEM)

  Управление информацией о безопасности и событиями (SIEM) — это подход к управлению безопасностью, объединяющий информацию о безопасности …

ИТ-директор

• доказательство концепции (POC)

  Доказательство концепции (POC) — это упражнение, в котором работа сосредоточена на определении того, можно ли превратить идею в реальность.

• зеленые ИТ (зеленые информационные технологии)

  Green IT (зеленые информационные технологии) — это практика создания и использования экологически безопасных вычислений.

• ориентир

  Контрольный показатель — это стандарт или точка отсчета, которые люди могут использовать для измерения чего-либо еще.

HRSoftware

• самообслуживание сотрудников (ESS)

  Самообслуживание сотрудников (ESS) — это широко используемая технология управления персоналом, которая позволяет сотрудникам выполнять множество связанных с работой …

• платформа обучения (LXP)

  Платформа обучения (LXP) — это управляемая искусственным интеллектом платформа взаимного обучения, предоставляемая с использованием программного обеспечения как услуги (…

• Поиск талантов

  Привлечение талантов — это стратегический процесс, который работодатели используют для анализа своих долгосрочных потребностей в талантах в контексте бизнеса …

Служба поддержки клиентов

• привлечения клиентов

  Вовлечение клиентов — это средство, с помощью которого компания устанавливает отношения со своей клиентской базой, чтобы повысить лояльность к бренду и . ..

• прямой электронный маркетинг

  Прямой маркетинг по электронной почте — это формат кампаний по электронной почте, в котором отдельные рекламные объявления рассылаются целевому списку …

• полезные сведения

  Практическая информация — это выводы, сделанные на основе данных, которые можно превратить непосредственно в действие или ответ.

Знак разделения Определение и значение

• Основные определения
• Тест
• Примеры
• Британский

Показывает уровень сложности слова.

Сохрани это слово!

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

---

существительное Арифметика.

символ (÷) или (/), помещаемый между двумя выражениями и обозначающий деление первого на второе.

ВИКТОРИНА

ВЫ ПРОЙДЕТЕ ЭТИ ГРАММАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ИЛИ НАТЯНУТСЯ?

Плавно переходите к этим распространенным грамматическим ошибкам, которые ставят многих людей в тупик. Удачи!

Вопрос 1 из 7

Заполните пропуск: Я не могу понять, что _____ подарил мне этот подарок.

Происхождение знака деления

Впервые записано в 1930–1935 гг.

Dictionary.com Полный текст На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2022

Как использовать знак деления в предложении

• За исключением того, что Braves не выиграли 14 вымпелов подряд (они выиграли 14 титулов подряд в дивизионе), а Smoltz также республиканец.

  Консервативный Курт говорит, что его политика, а не питчинг, не позволила ему попасть в Зал славы|Бен Джейкобс|9 января 2015 г.|DAILY BEAST каждый признак привязки.

  Как полиция ПК угрожает свободе слова|Ник Гиллеспи|9 января 2015|DAILY BEAST

• Было трудно не воспринять это как знак, личный комментарий по поводу моих неудачных еврейских свиданий.

  Моя неделя на еврейском Tinder|Эмили Шайр|5 января 2015|DAILY BEAST

• Если он это сделал, это может быть признаком того, что наши политики готовы возобновить подлинную политику вне партий.

  Кристи обвиняет родителей в плохой экономике|Моника Поттс|3 января 2015 г.|DAILY BEAST

• У президента Гарри Трумэна на столе была табличка с надписью: «Доллар останавливается здесь».

  Переписывание «Нет детей» угрожает будущему ваших детей|Джона Эдельман|3 января 2015 г.|DAILY BEAST

• В каждом подразделении, помимо штаба отделения, были офицеры, выделенные из штаба.

  Маршалы Наполеона|Р. П. Данн-Паттисон

• Учитывая еще одну дивизию, которую мы могли бы попробовать: как обстоят дела, мои войска не покроют расстояние.

  Дневник Галлиполи, Том I|Иэн Гамильтон

• В ней он снова почувствовал, более отчетливо, чем прежде, другого человека — разделение, конфликт.

  Волна|Алджернон Блэквуд

• Вторым основным направлением нашего обучения было своего рода математическое обучение.

  No related posts.