Признаки делимости на 4 и 25: Признаки делимости на 4 и 25

Содержание

Признаки делимости на 11,12,13,14,15. Примеры решения задач.

Альфашкола
Статьи
Признаки делимости (Часть 2)

Признак делимости на \(11\)

Число делится на \(11\), если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на \(11\).

Задача 1. Проверить делимость чисел на \(11\): \(2547039\), \(13165648\) .

Решение. Найдем сумму цифр в четных и нечетных местах у числа \(2547039\).

\((9+0+4+2)-(3+7+5)=15-15=0-\) делится на 11.
\((8+6+6+3)-(4+5+1+1)=23-11=12-\) не делится на 11

Признак делимости на \(12\)

Число делится на 12, если оно кратно \(3\) и \(4. \)

Задача 2. Проверить делимость чисел на \(12\): \(9012\) и \(23988\).

Сумма цифр \(9012\) делится на \(3:\) \(9+0+1+2=\frac{12}{3}=4\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{12}{4}=3\).
\(23988\) сумма цифр делится на \(3:2+3+9+8+8=\frac{30}{3}=10\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{88}{4}=22.\). Вывод: числа \(9012\) и \(23988\)делятся на 12.

Признак делимости на \(13\)

Число делится на \(13\), если число его десятков умножить на \(4\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(13\).

Задача 3. Проверить делимость чисел на \(13\): \(845\) и \(676\).

\(84+(4*5)=104 -\)делится на \(13\).
\(67+(4*6)=67+24=91-\) делится на 13.

Ответ: числа \(845,676\) делятся на 13.

Признак делимости на \(14\)

Число делится на \(14\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2\) и на \(7\).

Рассмотрим число \(994:\) запись числа заканчивается чётной цифрой, следовательно признак делимости на \(2\) выполнен.

Проверяем делимость на \(7:\) \(99-2*4=99-8=91.\)

Повторяем действия: \(9-2*1=7-\) делится на \(7\). \(994\) делится \(14\).

Признак делимости на \(15\)

Число делится на \(15\), если оно делится на \(3\) и на \(5\).

Рассмотрим число \(6375.\) Число \(6375\) делится на \(3\) так как сумма его цифр кратна \(3\). Также данное число делится на \(5\), потому что на последнем месте стоит пятерка. Число \(6375\) делится на \(15\).

Признак делимости на \(17\)

Число делится на \(17\), если число его десятков умножить на \(12\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(17\).

Задача 4. Определить кратно ли семнадцати число \(29053\) .

Решение.

\(2905+36=2941\)→\(294+12=306\)→\(30+72=102\)→\(10+24=34\).

\(29053\) делится на \(17\).

Признак делимости на \(19\)

Число делится на \(19\), если удвоенное число его десятков сложить с оставшимися цифрами, кратно \(19. \)

Пример: \(646\) делится на \(19\), так как \(64+(6*2)=76\) делится на \(19\).

Признак делимости на \(23\)

Число делится на \(23\), если утроенное число его сотен сложить с оставшимися цифрами, кратно \(23\).

Пример: \(28842-288+(3*42)=414\).Повторяем действия: \(4+(3*14)=46\), \(46\) делится на \(23\), значит и \(28842\) кратно \(23\).

Признак делимости на \(25\)

Число делится на \(25\), если две его последние цифры делятся на \(25\),то есть если его последние цифры оканчиваются на \(00,25,50\) или \(75\) или число кратно \(5\).

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Сергей Андреевич Ревякин

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Вятский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 8-11 классов. Использую индивидуальный подход к каждому ученику. Помогу разобраться в сложных темах и успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ. Химия — это интересно. Химия — просто.

Надежда Викторовна Хасанова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Самаркандский Государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку и литературе. Обучаю учеников 5-11 классов. Готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к олимпиадам по русскому языку. При обучении русскому языку стараюсь найти индивидуальный подход. Перед собой ставлю задачу найти пробелы в знаниях учеников и устранить их. Уроки строю только на позитиве.

Нагима Алибалаевна Шихахмедова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Дербентский Профессиональный Педагогический Колледж №1( ДППК)

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике и русскому языку 2-5 классы. За годы работы в школе выработала свой взгляд на профессию учитель: Обучать ребенка, воспитывая в нем личность. Уметь вовремя заметить успех ученика, помочь ему раскрыться. Отдавать ученику не только определенную сумму знаний, но и частичку своей души. Стать для своих учеников таким же дорогим и родным человеком, как мама, то есть отдать им свое сердце. Учитель продолжается в своих учениках Больше всего меня радуют достижения моих учеников и их участие в олимпиадах, конкурсах

Презентация по математике Признаки делимости на 4 и 25.

5 класс. доклад, проект

Главная
Разное
Образование
Спорт
Естествознание
Природоведение
Религиоведение

Французский язык
Черчение
Английский язык
Астрономия
Алгебра
Биология
География
Геометрия
Детские презентации
Информатика
История
Литература
Математика
Музыка
МХК
Немецкий язык
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Педагогика
Русский язык
Технология
Физика
Философия
Химия
Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
Экология
Экономика

Презентация на тему Презентация по математике Признаки делимости на 4 и 25.

5 класс., предмет презентации: Математика. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 24 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

17 января
Классная работа

Признаки делимости
на 4 и 25.

Слайд 2Текст слайда:

Среди данных чисел найдите лишнее

1) 18, 261, 375, 4122
2) 29, 234, 315, 450 3) 81, 270, 333, 4321

375

4321

Слайд 3Текст слайда:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9
Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3
Число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9

Слайд 4Текст слайда:

Очень часто при решении задач, нам приходится определять: делится ли то или иное число на 2, 5, 10, 3, 9, 4, 25, 100.

125 869 874 268 : 2 = …

???

Слайд 5Текст слайда:

Возможно ли выполнить деление?

18 : 2 = …

26 : 2 = …

420 : 2 = …

94 : 2 = …

Да

Какую закономерность вы видите?

Что можно сказать о
последней цифре делимого?

15 : 2 = …

Нет

Да

Слайд 6Текст слайда:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2

Число делится на 2 только в том случае, если оно оканчивается четной цифрой (2, 4, 6, 8, 0)

Запомни правило!

Слайд 7Текст слайда:

1) 77,
2) 105,
3) 790,
4) 745,
5) 5 637

Делится ли число на 5?

Нет

Да

Слайд 8Текст слайда:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5

Число делится на 5
только в том случае,
если оно оканчивается
или на 5, или на о.

Слайд 9Текст слайда:

Что можно сказать о числе, которое делится и на 2 и на 5?

Оно оканчивается нулем
и делится на 10

Слайд 10Текст слайда:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10

Число делится на 10
только в том случае,
если оно оканчивается
на о.

Слайд 11Текст слайда:

Определить, делится ли число на 4?

112;
104;
128;
316;
1 325.

Да

ЗАДАЧА 1

Какой вывод можно сделать ?

Нет

Слайд 12Текст слайда:

Сформулируем признак делимости на 4

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4

Если число, составленное
из двух последних цифр числа,
делится на 4, то и всё число
делится на 4.

Слайд 13Текст слайда:

100,
175,
350,
496

Делится ли число на 25?

Какой вывод можно сделать ?

Да

Нет

Слайд 14Текст слайда:

Запомни правило!

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 25

Число делится на 25, в том случае, если число, составленное из двух последних цифр, делится на 25!
(то есть оканчивается на
00, 25, 50, 75)

Слайд 15Текст слайда:

ЗАДАЧА 2

Вставить пропущенную цифру,
если известно, что
число делится на 25

1 254 9. .5,
126..0,
5689..3,
12367..4.

2 или 7

0 или 5

не делится на 25

Слайд 16Текст слайда:

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Слайд 17Текст слайда:

Проверим как вы усвоили изученный материал.

ТЕСТ

Слайд 18Текст слайда:

1) Какое из данных чисел делится на 2?

а)125 б)156 в)1321

Слайд 19Текст слайда:

2) Среди чисел найдите те, которые делятся и на 2 и на 5.

а) 175 б) 390 в) 222

Слайд 20Текст слайда:

3) Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 1123*5, чтобы полученное число делилось на 25?

а) 0 б) 2 в) 3

Слайд 21Текст слайда:

4) Какое из данных чисел делится на 4?

а)122 б)346 в)1324

Слайд 22Текст слайда:

5) Какое из данных чисел, кратное 5, нужно поставить вместо ***** в неравенство 1 326

а)12 460 б)12 465 в)12 461

Слайд 23Текст слайда:

Проверим ответы:

«5» — 5 правильных ответов
«4» — 4 правильных ответа
«3» — 3 правильных ответа

1) б
2) б
3) б
4) в
5) а

Слайд 24Текст слайда:

Спасибо за урок!

Задание на дом:
№ 625,№ 630 (устно),
№ 626 (письменно),
записать 3 числа (четырёхзначное, пятизначное и шестизначное) делящихся на 25.

Скачать презентацию

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

🎓 Признаки делимости на 7, на 6 на11 и на 4 проект по математике — презентация на Slide-Share.ru

Первый слайд презентации: Признаки делимости на 7, на 6 на11 и на 4 проект по математике

Выполнила ученица 6Б класса АСОШ№2 Ефимова Анастасия 2019г.

Изображение слайда

Слайд 2

Объект исследования: Делимость натуральных чисел. Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел. Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел. Задачи: Изучить историографию вопроса. 2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе. 3. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11. Сделать вывод Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Изображение слайда

Слайд 3

Немного из истории. Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.). При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.

Изображение слайда

Слайд 4

Выделялись классы: 1. совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), 2.дружественных чисел : (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), 3.фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), 4.Простых чисел

Изображение слайда

Слайд 5

II. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе. При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа. Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка. Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b — делитель а, b делит а. Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

Изображение слайда

Слайд 6

III. Признак делимости на 4. 25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ; … Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка. Признак делимости на 4 читается так: Натуральное ч исло делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Изображение слайда

Слайд 7

IV. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11 описанные в различных источниках. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7. Примеры: 478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7. 479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7. 2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7. Примеры: 4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7. 57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

Изображение слайда

Слайд 8

3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7. Примеры: 252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7. 636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7. 4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7. Примеры: 455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7. 244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7. 5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7. Примеры: 882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7. 996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7. 6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7. Примеры: 2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7. 1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

Изображение слайда

Слайд 9

7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Примеры: 483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7. 564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7. 8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7. Примеры: 10׃7=1 (ост 3) 100׃7=14 (ост 2) 1000׃7=142 (ост 6) 10000׃7=1428 (ост 4) 100000׃7=14285 (ост 5) 1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки. Число 1316 делится на 7, т.к. 1· 6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7). Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).

Изображение слайда

Слайд 10

V. Признаки делимости на 11. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо. Пример: 2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11. 1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11. 2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11. Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11. Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11. 3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр. Примеры: 594 делится на11, т. к. 5+4=9, 9-в середине. 473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине. 861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Изображение слайда

Слайд 11

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50; 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37; 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19; 4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости — это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Признаки делимости на 7, на 6 на11 и на 4 проект по математике

Выводы: В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Работая с разными источниками,я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты. Может, поэтому они не изучаются в школе. Собранный материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Список использованной литературы (источников): 1.Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352. 2.Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980, 96 с. – (Популярные лекции по математике.) 3.Гельфанд М. Б. , Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., — «Просвещение», 1985. 4.Депман И. Я. История арифметики. М., — «Просвещение», 1965 г.

Изображение слайда

Проверка ЛЮБОГО числа на делимость – TOM ROCKS MATHS

Alex Nikic

Делится ли число 245 на 5? 642 делится на 2?

Возможно, вы уже догадались, что да. Довольно легко, верно? Но что, если я спрошу вас, делится ли 6 653 322 на 3?

Уже не так просто…

Что, если бы мы захотели узнать, делится ли любое число на любое другое число, например, делится ли 4 863 685 на 445, быстро и эффективно — без калькулятора? К концу этой статьи у вас есть инструменты, чтобы сделать именно это — давайте начнем!

Упрощение задачи

Часто в математике помогает упростить задачу. Вместо того, чтобы интересоваться делимостью на любое число, давайте сначала рассмотрим более простой вопрос: как узнать, делится ли число на 2? Еще один полезный метод решения задач по математике — просто составить список и попробовать несколько примеров. По сути, если число делится на 2, оно должно быть в таблице умножения на 2, поэтому давайте начнем с перечисления таблицы умножения на 2:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 …

Уже заметили закономерность?

Все числа в таблице умножения на 2 имеют конечную цифру 0, 2, 4, 6 или 8, тогда как любая другая цифра, например 3 или 5, отсутствует в последней цифре. Следовательно, мы могли бы сказать, что число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8.

5, мы могли бы использовать тот же метод и попытаться найти закономерность. Перечисление таблицы 5 раз:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50…

Еще проще! Поскольку числа в таблице умножения на 5 могут оканчиваться только на 0 или 5 и ни на какую другую цифру, кажется, что мы можем с уверенностью сказать, что число делится на 5 тогда и только тогда, когда его конечная цифра 0 или 5. На самом деле, самый простой Например, при таком рассмотрении это таблица умножения на 10: если число оканчивается на 0, оно должно делиться на 10.

Теперь у нас есть некоторые идеи, как определить, делится ли число на 2, 5 и 10. Более того, если если немного подумать, вы также сможете выяснить, делится ли число на 100, 1000, 10000, … и, соответственно, числа 20, 200, 2000, … и 50, 500, 5000 и т. д. Попробуйте сами!

Теперь давайте попробуем другие знаменатели, например, как узнать, делится ли число на 4? Снова начнем с перечисления кратных 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76. , 80, 84, 88, 92, 96, 100…

Здесь мы видим, что все эти числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8, однако мы не можем сказать, что это условие делимости на 4. Число 26 оканчивается на 6, однако оно не может делиться на 4. На самом деле, чтобы определить именно эту закономерность, нужно выписать гораздо больше чисел, кратных 4:9.0007

124, 128, 132, 136, …

200, 204, 208, 212, …

340, 344, 348, 352, …

Иногда стратегия листинга не позволяет легко определить закономерность , но если вы внимательно посмотрите на последние две цифры в каждом из приведенных выше чисел: 24, 28, 32, 36, 4, 8, 12, 40, 44, 48, 52 — все они сами делятся на 4! Итак, мы можем предположить, что для того, чтобы число делилось на 4, последние две цифры должны делиться на 4.

Доказательства

До сих пор мы неплохо справлялись, просто глядя на примеры, но, как мы только что видели с делимостью на 4, возникают проблемы. Наше первоначальное утверждение о делимости на 4 при условии, что оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, оказалось неверным, хотя по схеме оно казалось достаточно убедительным. Вот тут-то и появляются математические доказательства, и именно поэтому они так важны. Доказательства позволяют нам знать наверняка, является ли факт истинным или нет, для любого числа, а также могут позволить нам обнаружить вещи, которых нельзя достичь перечислением множителей, подобных приведенным выше.

Давайте начнем с проверки на делимость на 2.

В нашей системе счисления каждая цифра представляет собой степень, кратную 10. Возможно, вы помните, что в начальной школе изучали таблицы стоимостных значений. Для числа 134:

Сотни	TENS
100	30	4

9006 134 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 4.

×1

Обобщив это с помощью некоторой алгебры, мы можем представить любое число в виде:

N = a + 10b + 100c + 1000d + …

Здесь важно отметить, что a, b, c, d, … должны быть целыми числами (целыми) от 0 до 9, так как наша система счисления работает именно так. . Каждая цифра находится в диапазоне от 0 до 9 в каждом разряде.

Возвращаясь к делимости на 2, мы можем выразить число, кратное 2, как 2M, так как мы имеем, что по определению любое число, умноженное на 2, является кратным 2. Поэтому в конце нашего доказательства мы хотим если число делится на 2, появится 2M. Начнем с нашего общего числа N:

N = a + 10b + 100c + 1000d + …

Используя тот факт, что 10 = 2 x 5:

N = a + (2*5)b + (2*50)c + (2*500) d + …

Преобразуя это:

N = a + 2(5b + 50c + 500d + …)

Затем мы можем просто определить M как все в скобках (поскольку это все еще будет целое число), и так можно напишите:

N = a + 2M

Анализ этого последнего утверждения означает, что любое число может быть выражено как кратное 2 плюс какое-то другое число. Так как четное число = четное число + четное число, а мы знаем, что 2М явно четно, то из этого следует, что N четно тогда и только тогда, когда и четны. Кроме того, поскольку , представляет собой последнюю цифру N и, следовательно, находится между 0 и 9, и должны быть либо 0, 2, 4, 6 или 8. Следовательно, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра цифра может быть 0, 2, 4, 6 или 8 — точно так, как мы говорили ранее!

Аналогично, аналогичный подход можно использовать для 5 и 10.

Доказательство делимости на 4 немного отличается, поэтому давайте рассмотрим его более подробно:

N = a + 10b + 100c + 1000d + …

N = a + 10b + 4(25)c + 4(250)d + …

N = a + 10b + 4(25c + 250d +…)

N = a + 10b + 4M

Поэтому для Чтобы N делилось на 4, число a + 10b должно делиться на 4 (поскольку кратное 4 плюс кратное 4 само по себе кратно 4). Поскольку a и b представляют две последние цифры числа, это означает, что число делится на 4 тогда и только тогда, когда его последние две цифры делятся на 4. Опять же, это то же самое, что мы обнаружили ранее.

Используя идеи, которые мы обсуждали выше, попробуйте самостоятельно завершить доказательство делимости на 8. Вот несколько первых шагов для начала:

N = a + 10b + 100c + 1000d + 10000e + …

N = a + 10b + 100c + 8(125)d + 8(1250)e +…

Теперь у нас есть доказательства для проверки делимости на несколько чисел — 2, 4, 5, 8, 10 — но мы, конечно же, упускаем очень важное число в виде числа 3. Давайте начнем с перечисления кратных чисел 3, чтобы попытаться найти закономерность:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, …

К сожалению, мы не можем посмотреть в последних цифрах здесь, так как используется каждая цифра от 0 до 9. Можете ли вы найти что-нибудь еще, что может быть полезно? А если сложить все цифры? Казалось бы, сумма всех цифр, кратных 3, дает число, кратное 3:

3 = 3

6 = 6

9 = 9

1 + 2 = 3

1 + 5 = 6

1 + 8 = 9

2 + 1 = 3

2 + 4 = 6

…

Итак, кажется, что для того, чтобы число было кратным 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Однако убеждены ли вы, что это будет работать для всех номеров? Можете ли вы найти контрпример? Я думаю, пришло время для доказательства.

N = a + 10b + 100c + 1000d + …

Пользуясь тем, что 10 = 9 + 1 (на единицу больше, чем кратное 3), а также тем, что 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 и т. д. :

Н = а + (9+1)б + (99+1)с + (999+1)d + …

N = a + 9b + b + 99c + c + 999 d+ d +…

Собирая вместе общие множители:

N = a + b + c + d + … + 9b + 99c + 999d + …

N = a + b + c + d + … + 3(3b + 33c + 333d +…)

N = a + b + c + d + … + 3M

Следовательно, для N быть кратным 3, a+b+c+d+… должно быть кратно 3: это означает, что сумма цифр числа должна быть кратна 3, чтобы само число было кратно 3. В В случае, если a+b+c+d+… слишком велико, чтобы увидеть, делится ли оно на 3, вы всегда можете повторить этот алгоритм, вместо этого глядя на сумму его цифр. Кроме того, процесс, аналогичный описанному выше, можно использовать для доказательства делимости на 9. . Еще один шанс для вас проверить свое понимание, попробовав это для себя!

Теперь мы наконец можем ответить на один из вопросов, поставленных в начале статьи: делится ли 6 653 322 на 3?

Простое сложение цифр: 6 + 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 = 27, что кратно 3, поэтому 6 653 322 действительно делится на 3. На самом деле:

6 653 322 ÷ 3 = 2 217 774

Однако нам еще предстоит пройти долгий путь, прежде чем мы узнаем, делится ли какое-либо число на любое другое. Есть много других приемов делимости на другие конкретные числа, например, на 11, на которые у нас сейчас нет времени. Если вам интересно, я предлагаю попытаться найти и доказать их самостоятельно, используя идеи, которые мы обсуждали до сих пор.

Чтобы доказать делимость в общем случае любого числа, нам понадобится еще немного математики…

Алгоритм делимости

Алгоритм делимости позволяет нам узнать, делится ли число на число, оканчивающееся в 1, 3, 7 или 9. Поскольку полное объяснение того, почему это работает, довольно сложно, я оставлю его до конца статьи для заинтересованного читателя. А пока мы просто рассмотрим ключевые шаги того, как использовать его на практике.

Во-первых, пусть M ₀ будет числом, которое вы хотите разделить, а p будет числом, на которое вы хотите разделить. Мы хотим найти такое значение k, что m = (kp+1)/10 — целое число. Другими словами, мы хотим найти такое значение k, что kp+1 кратно 10.

Например, если мы хотим проверить делимость на 3, у нас есть m = (3k+1)/10 и нам нужно найти значение k, которое делает это число целым, т.е. что делает 3k+1 кратным 10. Немного подумав, мы видим, что это выполняется, когда k = 3, так как 3k + 1 = 3×3 + 1 = 10. Подставив это в нашу формулу, это означает, что m = ( 3×3 + 1)/10 = 1. Итак, для делимости на 3 возьмем m = 1,

Для более сложного примера, если бы мы хотели проверить делимость на 17, у нас было бы m = (17k+1)/10. Чтобы сделать 17k + 1 кратным 10, мы можем проверить возрастающие значения k следующим образом:

k = 1: 17×1 + 1 = 18

k = 2: 17×2 + 1 = 35

….

k = 7: 17×7 + 1 = 120

Следовательно, для делимости на 17 мы выбираем m = (17×4 + 1)/10 = 12.

Обратите внимание, быстрый способ найти значения k (и убедитесь, что вы можете рассчитать их самостоятельно) выглядит следующим образом:

Когда p оканчивается на 1: выберите k = 9

Когда p оканчивается на 3: выберите k = 3

Когда p оканчивается на 7: выберите k = 7

Когда p оканчивается на 9: выберите k = 1

Поскольку p четно или кратно 5, не существует значения k, для которого 2k+1 и 5k+1 соответственно кратны 10. Но, как мы увидим позже, это не слишком большая проблема, поскольку мы есть способ обойти это.

Для следующего шага в нашем алгоритме мы должны написать M ₀ , число, на которое мы хотим разделить, как M ₀ = 10a ₁ + b ₁ (что легко сделать для любого числа). Для нашего рекурсивного шага мы запишем M ₁ = mb ₁ + a ₁ (где все эти числа теперь известны — m получено из наших расчетов выше, а b ₁ и вверх М ₀ ). Исходя из этого результата, мы затем повторяем процесс:

M ₀ = 10a ₁ + b ₁ → M ₁ = mb ₁ + A ₁

M ₁ = 10A ₂ + B ₂ → M ₂ = MB ₂ + A ₃

_… + ₃

… . _n + b _n → M _n = mb _n + a _n

. мы ответили на наш первоначальный вопрос. Точно так же, если M _n не делится на наше число, то и M 9 не делится.0197 0 , и, таким образом, наше исходное число не делится на рассматриваемое число.

Это, конечно, довольно сложно при использовании символов и переменных, поэтому давайте рассмотрим пример. Предположим, мы хотим узнать, делится ли 1326 на 3. Из нашей предыдущей работы мы должны взять m = 1. Выполняя рекурсивный алгоритм, мы имеем:

M ₀ = 1326 = 10a ₁ + b ₁ = 10 x 132 + 6, поэтому a ₁ = 132, b ₁ = 6

Таким образом, для вычисления M ₁ : M ₁ = mb ₁ + a ₁ = 1 x 6 + 132 = 138

M ₁ = 138 = 10a ₂ + b ₂ = 10 x 13 + 8 , поэтому a ₂ = 13, b ₂ = 8

Таким образом, для вычисления M ₂ : M ₂ = mb ₂ + a _{2 90 90 2 = 1 3 90 90 80 = 1 3 х 90 90 80 ₂ = 21 = 10a ₃ + b ₃ = 10×2 + 1, поэтому a ₃ = 2, b ₃ = 1}

Таким образом, для вычисления M ₃ : M ₃ = mb ₃ + a ₃ = 1 x 1 + 2 = 3

Здесь мы понимаем, что M ₃ = 3, что, конечно, делится на 3, а значит, М ₀ = 1326 тоже делится на 3! Также вполне допустимо сказать, что M ₂ = 21, что делится на 3, избавляя нас от дополнительной работы по другой рекурсии, поскольку все, что нам нужно сделать, это уменьшить M _n до небольшого числа, чтобы определить, является ли оно делится на р или нет.

На этот раз, скажем, мы хотим узнать, делится ли 1326 на 17. Используя предыдущее вычисленное значение для m, мы будем использовать m = 12:

M ₀ = 1326 = 10a ₁ + b ₁ = 10 x 132 + 6, поэтому a ₁ = 132, b ₁ = 6

Таким образом, для вычисления M ₁ : M ₁ = mb _{1 9027 x 6} + 1 9 + 132 = 204

M ₁ = 204 = 10a ₂ + b ₂ = 10 x 20 + 4, следовательно, ₂ = 20, B ₂ = 4

Итак, чтобы рассчитать M ₂: M ₂ = MB ₂ + A ₂ = 12 x 4 + 20 = 68

M _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{= 12 x 40197}}}}}}}}}}}

_{2 _{2 _{= 12 x 40197
_{2 _{2 _{2 _{2 _{2 _{. = 68 = 10a ₃ + b ₃ = 10 x 6 + 8, поэтому a ₃ = 6, b ₃ = 8
Таким образом, для вычисления M _{3 _{8 9 : M 3₃ + a ₃ = 12 x 8 + 6 = 102}}
M ₃ = 102 = 10a ₄ + b ₄ = 10 x 10 + 2, следовательно, a ₄ = 10, B ₄ = 2
Итак, чтобы вычислять M ₄: M ₄ = MB ₄ + A ₄ = 12 x 2 + 10 = 34
Просмотр M _{. 4} , 34 действительно делится на 17 (34 ÷ 17 = 2), и поэтому 1326 делится на 17.
Факторизация должны использовать факторизацию, чтобы вынести из нашего начального числа все числа, кратные 2 и 5, и работать с ними отдельно.
Например, если мы проверяли делимость на 48:
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 16 x 3
Следовательно, нам нужно проверить делимость только на 3 и 16. Наше число должно быть делится на оба, чтобы также делиться на 48. Проверка на делимость на 3 не так уж сложна, но как насчет 16?
Давайте рассмотрим пример: делится ли 408 на 48?
Разложение на множители кратных 2 и 5 из обоих:
Глядя на оба дерева, мы замечаем, что они оба содержат три двойки (их наибольший общий делитель равен 2x2x2 = 8). Это значит, что мы можем смело делить оба на 2 трижды, значительно упрощая вопрос.
Делится ли 408 на 48? → Делится ли 51×8 на 6×8? → Делится ли 51 на 6?
Ответить на этот вопрос гораздо проще: 51 не делится на 6. Следовательно, 408 не делится на 48. к 445?
Разложение на множители 2 и 5: 445 = 5 x 89, следовательно, нам нужно проверить делимость на 5 и 89. Поскольку 4 863 685 оканчивается на 5, оно делится на 5,
Выполнение алгоритма делимости для p = 89:
m = 89k + 110, выбор k = 1: m = (89×1 + 1)/10 → m = 9
M ₀ = 4 863 685 = 10a ₁ + b ₁ = 10 x 486,368 + 5, therefore a ₁ = 486,368, b ₁ = 5
So to calculate M ₁ : M ₁ = mb ₁ + a ₁ = 9 x 5 + 486 368 = 486 413
M ₁ = 486 413 = 10a ₂ + b ₂ = 10 x 48 641 + 3, поэтому a ₂ = 48 641, b ₂ = 3
Таким образом, для расчета M ₂ : M ₂ = mb _{2 9}
1 8
+ a + 48,641 = 48 668
M ₂ = 48 668 = 10A ₃ + B ₃ = 10 x 4866 + 8, A ₃ = 4866, B ₃ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 4866, B ₃ = = . 3 : M ₃ = mb ₃ + a ₃ = 9 x 8 + 4866 = 4938
M ₃ = 4938 = 10a ₄ + b ₄ = 10×493 + 8, therefore a ₄ = 493, b ₄ = 8
So to calculate M ₄ : M ₄ = mb ₄ + a ₄ = 9 x 8 + 493 = 565
M ₄ = 565 = 10a ₅ + b ₅ = 9 10 8 a5 1,6 , b ₅ = 5
Таким образом, для вычисления M ₅ : M ₅ = mb ₅ + a ₅ = 9x 5 + 56 = 101
M ₅ = 101 = 10a ₆ + b ₆ = 10×10 + 1, поэтому a ₆ = 10, b ₆
0 M ₆ : M ₆ = mb ₆ + a ₆ = 9 x 1 + 10 = 19
Поскольку 19 не делится на 89, 4 863 685 не делится на 90 070 2 Используя этот подход, компьютеры может вычислить делимость огромных чисел — чисел настолько больших, что их деление «обычными методами» заняло бы слишком много времени. Представьте, что вы пытаетесь разделить число из миллиона или миллиарда цифр на 3; гораздо быстрее просто сложить его цифры и повторить это с результатом, чтобы получить ответ намного быстрее. Именно такие методы математики используют для решения чрезвычайно больших и сложных задач, способствуя новым открытиям и технологиям, расширяя наши знания и понимание того, как все в мире работает.
Подводя итог, чтобы определить, делится ли одно число на другое, мы должны:
Вынести из делителя любые числа, кратные 2 и 5
Вычеркнуть из делящегося числа все числа, кратные 2 и 5, если возможно
Проверка на делимость на оставшиеся множители с помощью алгоритма деления и предыдущих приемов
Наконец, вот краткое изложение полезных сокращений и приемов делимости, которые мы обсуждали ранее:
Делимость на 2 — Конечная цифра делится на 2
Признак кратности 4 – Конечные 2 цифры делятся на 4
Признак кратности 8 – Конечные 3 цифры делятся на 8
Признак кратности 5 – Конечная цифра 0 или 5
Признак делимости на 100 — Конечные 2 цифры равны 0
Признак делимости на 3 — Сумма цифр делится на 3
Признак делимости на 9 — Сумма цифр делится на 9
Объяснение алгоритма делимости Начнем с переписывания шагов алгоритма с явной формулой для m = (kp+1)/10
M ₀ = 10a ₁ + b ₁
M _{1 ₁ + A ₁ = ((KP + 1)/10) B ₁ + A ₁ = 10A ₂ + B ₂}
M _{2 _{= MB} = MB} = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB = MB _{= MB _{. ₂ = ((kp+1)/10)b ₂ + a ₂ = 10a ₃ + b ₃}}
….
M _n = mb _n + a _n = ((kp+1)/10)b _n + a _n
Далее умножаем формулу для M 1
M ₀ = 10A ₁ + B ₁
10M ₁ = (KP + 1) B ₁ + 10A ₁
= KB _{9017
7 = KB _{7 = KB
7 = KB 9017 9017 = KB
7 = KB = KB = KB = KB = KB .} + b ₁
= kb ₁ p + M ₀
Итак, теперь у нас есть M ₁ по исходному номеру M ₀ . Repeating this idea we next multiply M ₂ by 10 ² = 100:
100M ₂ = 10(kp+1)b ₂ + 100a ₂
= 10kb ₂ p + 100a ₂ + 10B ₂
= 10KB ₂ P + 10 (10A ₂ + B ₂)
= 10KB ₂ P + 10. 979797979797979797979797979._{97979797979797979797979._9797979797}
9000 2 = 10KB ₂ P + 10.97979797979797979797 9000 2
= 10KB ₂ P + 10.979797979797979797 9000 2 9000 2
= 10KB ₂. + кб ₁ р + М ₀
= (kb ₁ + 10kb ₂ )p + M ₀
Это дает M ₂ в единицах исходного M 9 8 0 9. Таким образом, мы продолжаем каждый м _K, где M _K умножается на 10 ^K:
1000M ₃ = 100 (KP + 1) B ₃ + 1000A _{3 908}
7
7 9000 9000
7 9000 9000
7 9000 9000
7 9000 9000
7 9000 9000 9000 9000 9000
7
7 9000 9000
7 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000
7 9000 9000 9000 9000
7 9000 9000 9000
7 _{. ₃ р + 100(10а ₃ + б ₃ )
= 100кб ₃ р + 100М ₂
= 100kb ₃ p + (kb ₁ + 10kb ₂ )p + M ₀
= (kb ₁ + 10kb ₂ + 100kb ₃ )p + M ₀
…
10 ^N M _N = (KB ₁ + 10KB ₂ + 100KB ₃ +… + 10 ^N-74 KB ).
10 ⁿ M _n ^{= pA + M ₀}
M ₀ = 10 ⁿ M _n – pA
Итак, если 10 ⁿ M _n делится на p, то M ₀ делится на p. Так как p не может быть кратным 2 или 5, то если 10 ⁿ M _n делится на p, то M _n делится на p, и верно обратное (по лемме Евклида).
Следовательно, если p делит M _n , то p делит M ₀ , а если p не делит M _{n, то} p не делит M ₀ .
Нравится:
Нравится Загрузка…
Делимость и конгруэнтность
Этот раздел преследует две цели. Во-первых, теперь, когда у нас есть некоторый опыт математического доказательства, мы собираемся расширить типы вопросов, которые мы можем доказать, введя отношения деления и сравнения. Во-вторых, это первый шаг в создании инструментов, необходимых для работы с некоторыми алгоритмами шифрования.
Подраздел Отношение разделения
В примере 1.3.3 мы видели отношение деления. Поскольку мы будем часто использовать это отношение, мы введем его собственное обозначение.
Определение 3.1.2. Отношение делит.
Пусть \(a \and b\) два целых числа, где \(a \not= 0\text{.}\) Мы говорим, что \(a\) делит \(b\) , и пишем \(a \divides б\) если существует целое число \(m\) такое, что \(b = am\text{.}\)
Мы говорим, что \(a\) является фактором \(b\text{,}\) и \(b\) является кратным \(a\text{.}\)
Пример 3.1.3.
Ниже приведены примеры отношения деления:
\(3 \делит 6\), так как \(6 = 3\cdot 2\)
\(4 \делит 100\), так как \(100 = 4 \cdot 25\)
Вот некоторые не-примеры:
\(4 \nmid 10\), поскольку не существует целого числа \(m\), для которого \(10 = 4m\text{.}\)
\(6 \nmid 3 \text{.}\) Порядок имеет значение.
Самое время вспомнить, что относительное утверждение \(a \mid b\) является пропозициональным утверждением. Это правда или ложь. Давайте сравним отношение делит с некоторыми подобными символами.
Пример 3.1.4.
Какие объекты относятся к каждому из следующих? Каково значение, истинное или числовое?
\(\displaystyle 2 \mid 8 \)
\(\displaystyle 14 \модуль 5 \)
\(\displaystyle 20 / 4 \)
\(\displaystyle 8 \mid 4 \)
\(\displaystyle 8 \div 4\)
Раствор.
Это заявление. Он говорит: «2 делится на 8 поровну». Это утверждение верно.
Это номер. Его значение равно 4, так как остаток от деления 14 на 5 равен 4.
Это номер. Его значение равно 5.
Это заявление. Там написано «8 делится на 4 поровну». Это неверно.
Это номер. Его значение равно 2.
Отношение делимости обладает некоторыми очень хорошими свойствами, которые позволяют нам практиковать наш новый навык математического доказательства на этом новом объекте.
Предложение 3.1.5. Свойства делимости.
Пусть \(a, b, c \in \Z\) с \(a \not= 0\text{.}\) Тогда:
Если \(a \делит b\) и \(a \делит c\), то \(a \делит ( b + c ) \text{.}\)
Если \(a \делит b\), то \(a \делит bc\) для всех \(c\in \Z\text{.}\)
Если \(a \делит b\) и \(b \делит c\), то \(a \делит c \text{.}\)
Видео/Ответ. Следствие 3.1.6.
Если \(a, b, c\in \Z\) с \(a\не= 0\) такими, что \(a\делит b\) и \(a \делит c\text{,}\), то \({ a\divides (bm+cn)}\) где \(m \и n\) — некоторые целые числа.
Видео / Ответ. Теорема 3.1.7. Алгоритм деления.
Пусть \(n\) — целое число, а \(d\) — целое положительное число. Тогда существуют уникальные целые числа \(q \и r\) такие, что
\begin{уравнение*}
n = dq + r \hspace{1em} \text{with} \hspace{1em} 0\le r \lt d
\end{уравнение*}
Эта теорема плохо названа. На самом деле это не «алгоритм», а последовательность шагов для получения ответа. Впрочем, это всегда так называлось. 🤷‍♂️
Пример 3.1.8.
Используйте алгоритм деления, чтобы записать каждое деление как \(n = dq +r\) с \(0 \le r \lt d\text{,}\) с переменными, определенными в операторе выше.
\(\displaystyle 543 \div 7\)
\(\displaystyle -42 \div 13\)
Видео / Ответ.
Подраздел Отношение конгруэнтности
Определение 3.1.9. Отношение конгруэнтности.
Пусть \(a \и b\) — два целых числа, а \(m\) — целое положительное число. Мы говорим, что \(a\) сравнимо с \(b\) по модулю \(m\) , если
\begin{уравнение*}
м \делит (б-а)
\end{уравнение*}
Пишем \(a \equiv b \pmod m\)
Мы называем \(m\) модулем .
Пример 3.1.10.
Каждое из этих утверждений верно:
\(\displaystyle 13 \equiv 6 \pmod 7 \)
\(\displaystyle -8 \equiv 6 \pmod 7 \)
\(\displaystyle 7 \equiv 0 \pmod 7\)
Видео / Ответ.
Определение 3.1.12. Классы конгруэнтности.
Если \(a\) является целым числом, а \(m\) является положительным целым числом, мы определяем класс конгруэнтности \(a\) по модулю \(m\) как множество всех целых чисел, конгруэнтных \(m\) (а\) по модулю \(м\текст{.}\)
\begin{уравнение*}
\left[ a \right]_m = \left\{ b \mid b \equiv a\pmod{m} \right\}
\end{уравнение*}
Пример 3.1.13.
На какой класс соответствия указывает набор:
\(\displaystyle \left\{\dots, -6, -1, 4, 9, 14, \dots\right\}\)
\(\displaystyle \left\{\dots, -13, 20, 53, 86, \dots \right\}\)
Видео / Ответ.
Пример 3.1.14.
Найти все классы конгруэнтности по модулю 5.
Подсказка.
Каким числам равен 0 по модулю 5? 1? 2? 3? 4? 5? 6? 7?… Все ли мы рассмотрели?
Раствор.
Всего имеется пять классов конгруэнтности по модулю 5:
\(\displaystyle [0]_5 = \{\dots, -5, 0, 5, 10, \dots \}\)
\(\displaystyle [1]_5 = \{\точки, -4, 1, 6, 11, \точки \}\)
\(\displaystyle [2]_5 = \{\точки, -3, 2, 7, 12, \точки \}\)
\(\displaystyle [3]_5 = \{\точки, -2, 3, 8, 13, \точки \}\)
\(\displaystyle [4]_5 = \{\точки, -1, 4, 9, 14, \точки \}\)
В общем случае всегда будет \(m\) различных классов конгруэнтности по модулю \(m\text{.}\)
Предложение 3.1.15.
Пусть \(m\) — натуральное число. Тогда целые числа \(a \и b\) конгруэнтны по модулю \(m\) тогда и только тогда, когда существует такое целое число \(k\), что \({a = b + km}\text{.}\)
Видео / Ответ. Предложение 3.1.16.
Пусть \(m\) — натуральное число. Если \({ a \equiv b \pmod m}\) и \({c \equiv d \pmod m}\), то
\begin{уравнение*}
a + c \equiv b + d \pmod m \hspace{1em} \and \hspace{1em} ac \equiv bd \pmod m
\end{уравнение*}
Видео / Ответ. Совокупность операций сложения и умножения по модулю \(m\) мы называем модульной арифметикой .
Упражнения Упражнения
1.
Показать, что если \(a \equiv b\pmod{m}\text{,}\), то \(b \equiv a \pmod{m}\)
Подсказка.
Если \(m \делит (b-a)\text{,}\) как мы можем написать, что \(m \делит (a-b)\text{?}\)
2.
Покажите, что если \(a, b, \и c\) являются целыми числами с \(a\не=0 \и c \не= 0\) такими, что \(ac \делит bc\), то \(a\делит б\текст{.}\)
Раствор.
Доказательство.
Предположим, что \(a, b, c\) — целые числа с \(a \ne 0\) и \(c\ne 0\) такие, что \(ac \delits bc\text{.}\) Тогда существует целое число \(m\) такое \(bc = acm\)
Так как \(c \ne 0\text{,}\) мы можем разделить обе части уравнения на \(c\text{,}\) и получить равенство \(b = am\text{.}\) Таким образом \(a \делит b\text{.}\)
3.
Используйте алгоритм деления, чтобы записать следующие деления в виде \(n = dq + r\) с переменными, определенными в теореме:
17 делится на 9
1234 делится на 23
0 делится на 13
8 делится на 1
Раствор.
\(\displaystyle 17 = 9\cdot 1 + 8 \)
\(\displaystyle 1234 = 23 \cdot 53 + 15\)
\(\displaystyle 0 = 13 \cdot 0 + 0\)
\(\displaystyle 8 = 1 \cdot 8 + 0\)
4.
Определите, конгруэнтны ли следующие целые числа 3 по модулю 7:
37
66
-17
-67
80
Раствор.
Поскольку \(37 — 3 = 34\) не делится на 7, заключаем, что \(37 \не\эквив 3\pmod 7\)
Поскольку \(66 — 3 = 63\) делится на 7, мы заключаем, что \(66 \эквив 3\pmod 7\)
Поскольку \(-17 — 3 = -20\) не делится на 7, заключаем, что \(-17 \не \эквив 3\pmod 7\)
Поскольку \(-67 — 3 = -70\) делится на 7, мы заключаем \(-67 \эквив 3\pmod 7\)
Поскольку \(80 — 3 = 77\) делится на 7, мы заключаем \(80 \эквив 3\pmod 7\)
5.
Перечислите все целые числа от -100 до 100, которые равны -1 по модулю 25
Раствор.
Эти числа равны \(-1, -26, -51, -76, 24, 49, 74, 99,\) все числа вида \(-1 + 25 \cdot k\) для целых чисел \(k\text{.}\)
6.
Предположим, что \(a \and b\) являются целыми числами, \(a \equiv 4 \pmod{13}\) и \(b \equiv 9\pmod{13}\text{.}\) Найдите целое число \ (c\) с \(0 \le c \le 12\) такой, что:
\(\displaystyle c \equiv 9a \pmod{13} \)
\(\displaystyle c \equiv 11b \pmod{13} \)
\(\displaystyle c \equiv a+b \pmod{13} \)
92 \pmod{13} \)
Раствор.
10
8
0
6
0
7.
Найдите контрпримеры к следующим утверждениям:
Если \(ac \equiv bc \pmod m\), где \(a, b, c, m \in \Z\) с \(m \ge 2\text{,}\), то \(a \ экв б \pmod m\text{. 2 \equiv 4 \pmod 5\text{.}\)
Подраздел Форум Сообщения об этом разделе
Краткий тест на делимость
В жизни картинка стоит тысячи текстов, хороший ярлык стоит дополнительного времени в Minecraft, а план может прояснить любой проект. В математике мы, как правило, тратим много времени на сокращение, упрощение и деление.
Ярлыки делимости сокращают, упрощают и сокращают работу вдвое, как вы не поверите. Они помогают нам быстрее упрощать дроби, быстрее делить и лучше успевать на уроках математики, тем самым возвращая нас к видеоиграм, строительству американских горок и попыткам захватить мир.
Правила делимости — это подсказки, которые помогают нам узнать, можем ли мы разделить два числа без остатка или нет. Для большинства чисел существуют правила делимости, но сейчас мы рассмотрим только числа от 2 до 12.
Начнем с 2.} Мы знаем, что число делится на 2, если оно может спеть дуэтом. Просто шучу. Ни один номер не может петь дуэтом в одиночку. Число делится на 2, если его последняя цифра четная. Например, 8384 делится на 2, потому что его последняя цифра 4 — четное число. С другой стороны, 4231 равно 9.0004 не делится на 2, потому что его последняя цифра, 1, такая же нечетная, как кошка на поводке.
Чтобы узнать, делится ли число на 3, складываем. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Возьмем, к примеру, число 816. Так как сумма его цифр 8 + 1 + 6 = 15, а 15 делится на 3, то и все число 816 делится на 3. А как же 263? Так как 2 + 6 + 3 = 11, а 11 определенно не делится на 3, то и 263 не делится на 3.
Тест на делимость на 4 основан на девизе: «Важно не то, как вы начнете, а то, как вы закончите». Число делится на 4, если его последние две цифры делятся на 4. В качестве примера возьмем 89 016. Поскольку его последние две цифры — 16, а 16 делится на 4, все число 89 016 делится на 4. Число 3533 не такое удачное. Последние две цифры в числе 3533 — 33, но 33 не делится на 4, поэтому мы знаем, что все число не проходит проверку на кратность 4. облом.
Определить, делится ли число на 5, довольно просто. Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5. Если оно оканчивается на любое другое число, оно не делится на 5. Бум.
Признак делимости на 6 основан на признаках делимости на 2 и 3. Если число делится на и на , и на , и на , на 3, то оно также делится на 6. Помните, 2 и 3 или ничего. Например, делится ли число 216 на 6? Хорошо, оно заканчивается четным числом (6), поэтому мы знаем, что оно делится на 2. Когда мы складываем цифры, мы получаем 2 + 1 + 6 = 9, что делится на 3, поэтому мы также знаем, что 216 делится на 2 на 3. Поскольку мы только что показали, что число 216 делится и на 2, и на 3, оно должно делиться и на 6.
Проверка делимости на 7 немного сложнее. Чтобы выяснить, делится ли число на 7, мы удваиваем последнюю цифру, а затем вычитаем ее из остальной части числа. Если результат делится на 7, то и все число делится на 7. Возьмем, например, число 271. Последняя удвоенная цифра (1) равна 2. Когда мы вычитаем 2 из 27, мы получаем 25. Поскольку 25 не делится на 7, число 271 также не делится на 7. Давайте посмотрим на число 224. Если мы удвоим последнюю цифру (4), то получим 8. Далее мы вычтем 22 – 8, что равно 14. Поскольку 14 делится на 7, то и 224 делится.
Проверка на делимость 8 аналогична проверке на делимость на 4, плюс цифра. Если последние три цифр числа делятся на 8, то и все число делится на 8. Возьмем 23 888. Так как 888 делится на 8, то и все число делится на 8.
Мы в деле. Как насчет 9? Тест на делимость 9 аналогичен тесту на 3. Если сумма его цифр делится на 9, то и все число делится на 9. Возьмем в качестве примера 981. С 9+ 8 + 1 = 18, а 18 делится на 9, то и все число 981 делится на 9.
Тест на делимость на 10 — еще один пример того, почему ноль — наш герой. Если число оканчивается на 0, оно делится на 10. Если оно оканчивается чем-то другим, кроме 0, это негеройское число, не делящееся на 10. Жесткий.
Тест на делимость на 11 может показаться немного странным. Чтобы решить, делится ли число на 11, мы вычитаем, а затем складываем каждую цифру числа слева направо, пока не получим окончательное значение. Если это конечное значение делится на 11, то и все число делится на 11. 2291 делится на 11? Во-первых, мы находим чередующуюся сумму цифр следующим образом (начиная с вычитания): 2 — 2 + 9 — 1 = 8. Поскольку 8 не делится на 11, то 2291 также не делится на 11. Давайте попробуем это с 10,802. Поскольку 1 – 0 + 8 – 0 + 2 = 11, а 11 делится на 11, мы знаем, что 10 802 делится на 11. Круто, да?
Тест на делимость 12 основан на наших хороших друзьях 3 и 4. Если число делится и на 3, и на 4, оно делится и на 12. Допустим, мы хотим узнать, делится ли число 8724 на 12. Мы проверяем, делится ли оно на 3, затем мы проверяем, делится ли оно на 4 (или наоборот). Если оно проходит обе проверки, то оно делится на 12. Сложение цифр дает нам 8 + 7 + 2 + 4 = 21, а 21 делится на 3, поэтому 8724 делится на 3. Теперь мы должны проверить, оно делится на 4. Поскольку последние две цифры числа 8724 равны 24, а 24 делится на 4, мы знаем, что число 8724 делится на 4.
No related posts.}}}}}}}}}}