Прогрессия арифметическая примеры: Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

• Геометрическая прогрессия. Формула суммы
• Простые примеры на прогресию
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Простые примеры
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Средний уровень сложности
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные примеры

9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

Главная » 9 класс. Алгебра. » 9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 1.8k. Опубликовано 22 декабря 2013

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {a_n}, т. е. в арифметической прогрессии с членами:  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …, a_n-1, a_n, …   по определению:

a₂=a₁+d;

a₃=a₂+d;

a₄=a₃+d;

a₅=a₄+d;

. ………….…

a_n=a_n-1+d; …

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:

a₂-a₁=d;

a₃-a₂=d;

a₄-a₃=d;

……….

a_n+1-a_n=d.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член a₁ и разность d.

Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член a₁ и разность d.

а) a₁=2, d=3.

Решение.  По условию разность арифметической прогрессии  d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.

a₂=a₁+d=2+3=5;

a₃=a₂+d=5+3=8;

a₄=a₃+d=8+3=11;

a₅=a₄+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; …

б) a₁=-7, d=2.

Решение. 

a₂=a₁+d=-7+2=-5;

a₃=a₂+d=-5+2=-3;

a₄=a₃+d=-3+2=-1;

a₅=a₄+d=-1+2=1. Ответ: -7; -5; -3; -1; 1; …

в) a₁=-10, d=-2.

Решение.

a₂=a₁+d=-10-2=-12;

a₃=a₂+d=-12-2=-14;

a₄=a₃+d=-14-2=-16;

a₅=a₄+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; …

Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии {a_n}. Требуется найти первый член a₁ и разность d.

а) a₂=7, a₃=-3.

Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:

d=a₃-a₂=-3-7=-10. Тогда a₁=a₂-d=7- (-10)=7+10=17. Ответ: a₁=17, d=-10.

б) a₃=-12, a₄=-16.

Решение. d=a4-a3=-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a₂=a3-d=-12- (-4)=-12+4=-8;

a₁=a₂-d=-8- (-4)=-8+4=-4. Ответ: a₁=-4, d=-4.

в) a2=-4, a₄=6.

Решение. Так как a₄=a₃+d; а в свою очередь a₃=a₂+d, то можно записать:

a₄=a2+d+d; a₄=a₂+2d ⇒ 2d=a₄— a₂=6- (-4)=6+4=10 ⇒ d=10:2=5.

Тогда a₁=a₂-d=-4-5=-9. Ответ: a₁=-9, d=5.

определение арифметической прогрессии определение арифметической прогрессии-примеры первый член и разность арифметической прогрессии

( 1 оценка, среднее 5 из 5 )

Арифметическая прогрессия – примеры задач с решениями

1. Охарактеризуйте арифметическую прогрессию:

Прогрессия (a ₂ ) ^∞ _n+1 называется «арифметической» тогда и только тогда, когда существует такое d є R действительное число, так что для всех       n є N стоит a _n+1 = _n + d
Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Для обозначения арифметической прогрессии:

• а _№ = а ₁ + (n-1)d
• а _г = а _с + (р-с)д
• с = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а _n =
• Если d > 0, прогрессия увеличивается
• Если d < 0, прогрессия уменьшается
• Если d = 0, прогрессия постоянна

---

2.Выясните, является ли следующая прогрессия арифметической:

Решение:
а ₁ = -2, ₂ = -1, ₃ = 0, ₄ = 1, ₅ = 2 и т. д.

Прогрессия арифметическая; разница d = 1.

---

3. Перечислите первые 6 членов арифметической прогрессии, удовлетворяющей следующим условиям:

a ₁ + a ₄ + a ₆ = 71
₅ – ₂ – ₃ = 2

Решение:
₁ + ₁ +3d +a ₁ +5d = 71
а ₁ + 4d – а ₁ -d –а ₁ -2d = 2

3а ₁ + 8d = 71
-а ₁ + d = 2/3

3а ₁ + 8d = 71
-3а ₁ + 3d = 6

а ₁ – d = -2
а ₁ = г — 2
а

1 = 7 — 2
а ₁ = 5

11д = 77
д = 7

(а ₂ ) _н-1 ⁶ = 5;12;19;26;33;40

---

4.Назовите первые 6 членов арифметической прогрессии, удовлетворяющей следующим условиям:

Решение:

---

5. Арифметическая прогрессия состоит из 8 чисел. Сумма средних членов равна 41, сумма первых и последних членов равна 114. Перечислите элементы прогрессии.

Решение:

---

6. Подставьте 4 числа между корнями квадратного уравнения x2 – 16x +39= 0, так что они составляют арифметическую прогрессию.

Решение:

Вставляемые числа: 5;7;9;11

---

7. Длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Длина более длинного катета составляет 24 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Периметр треугольника равен 72 см.

---

8.Найти сумму целых чисел 1+2+3+4+5+6+7+………….+100.

Решение:

Сумма чисел S = 5050.

---

9.Железные трубы хранятся в 8 рядов. Верхний ряд содержит 13 труб, следующий ряд всегда содержит на одну трубу больше, чем предыдущий. Сколько трубок?

Решение:

Есть 132 трубы.

---

10. Углы в треугольнике составляют арифметическую прогрессию. Наименьший угол равен 20°. Определить размеры остальных углов.

Решение:

Углы 20°, 60° и 100°.

---

11. Размеры сторон прямоугольного параллелепипеда составляют 3 члена арифметической прогрессии. Сумма размеров равна 24 см, объем параллелепипеда равен 312 см

3 . Определяем размеры сторон.

Решение:

Размеры сторон 3 см, 8 см и 13 см.

---

12. Как долго камень будет падать в шахту где-то в Южной Америке на глубине 2500 м, если он перемещается на 4 904 м за первую секунду и дополнительно на 9 808 м за каждую следующую секунду?

Решение:

Камень будет падать примерно 22,5 сек.

Определения и примеры арифметической прогрессии

Определения и примеры арифметической прогрессии

Введение

Математика является неотъемлемой частью почти каждой отрасли, и не зря. Числа — это строительные блоки всего в нашем мире, и без них мы бы заблудились. В этом сообщении блога мы собираемся изучить некоторые определения и примеры арифметической прогрессии, чтобы вы могли лучше понять ее. Оттуда вы сможете применять его для более эффективного решения проблем в повседневной жизни.

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое число является суммой двух предыдущих. Вот пример: 3, 5, 7, 9. Эта последовательность начинается с 3 и каждый раз увеличивается на 1. Следующим числом в последовательности будет 5, то есть сумма 3 и 4. Следующим числом в последовательности будет 7, то есть суммой 5 и 6. Следующим числом в последовательности будет 9, то есть сумма 7 и 8.

Формула арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это математический термин, используемый для описания последовательности чисел, в которой каждое число является результатом прибавления предыдущего числа к текущему числу.

Арифметические прогрессии могут быть линейными или экспоненциальными и могут быть представлены в виде графиков или таблиц.

Линейные арифметические прогрессии проще всего понять и использовать. Они представлены графом, который выглядит как лестница, где каждая ступень представляет собой число. График начинается с 0, и каждый раз, когда применяется уравнение (сложение), новое значение (1) размещается внизу лестницы. Например, если вы сложите 3 + 4 = 7, то 1 будет помещено внизу лестницы (поскольку 3 + 4 = 7), 2 будет размещено на полпути вверх по лестнице (поскольку 3 + 2 = 5) и скоро.

Экспоненциальные арифметические прогрессии сложнее понять и использовать, но они могут давать более точные результаты, чем линейные прогрессии. Они представлены таблицей, в которой перечислены все значения в одном столбце и все значения в одной строке. Чтобы вычислить экспоненциальное уравнение, вы сначала определяете, как быстро растет уравнение (с точки зрения чисел, возведенных в степень), а затем используете эту информацию для поиска каждого нового значения в таблице.

3: 4, 8, 16, 32, 64. Таким образом, каждый раз, когда вы возводите 2 в степень 3, в другом столбце будет 9.0003

Формула AP

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих. Этот термин также может использоваться для описания математического уравнения, в котором каждый шаг зависит от предыдущего. В этой статье мы рассмотрим различные типы арифметических прогрессий и приведем примеры.

Простейший тип арифметической прогрессии — непрерывная последовательность. В этом типе каждое число в последовательности является суммой двух предыдущих чисел. Например, 3 + 2 = 5,

Другой распространенный тип арифметической прогрессии — ломаная последовательность. В этом типе есть некоторые числа, которые не являются суммой двух предыдущих чисел. Например, 3 + 1 = 4, а 4 + 2 = 6.

Существуют также последовательности, включающие как неразрывные, так и разорванные последовательности. Например, 3 + 1 + 2 = 5, но 5 + 1 = 6.

 

Сумма арифметической прогрессии

Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое число в последовательности является суммой двух предыдущих чисел. Например, числа 3, 4, 5, 6 — это арифметическая прогрессия, потому что 3+4=7 и 7+5=12.

Вывод формул суммы AP

В математике арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой члены складываются вместе. Наиболее распространенной формой арифметической прогрессии является простое сложение двух чисел

, но есть и более сложные формы.

Пусть
dd = общая разность
a1a1 = первый член
a2a2 = второй член
a3a3 = третий член
amam = m-й член или любой член перед anan
anan = n-й член или последний член
d=a2?a1=a3?a2=a4?a3d=a2?a1=a3?a2=a4?a3 и так далее.

Различия между арифметической прогрессией и геометрической прогрессией

Арифметическая прогрессия — это математическая модель, которая описывает, как числа увеличиваются во времени.