Тригонометрические выражения. Профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тригонометрические функции углов
В жизни мы описываем не только объекты, но и отношения между ними: например, дружба, любовь – на них не укажешь пальцем, однако мы не только говорим про них, но и изучаем (целые романы посвящены отношениям между людьми).
В математике отношение объектов тоже является объектом для изучения. Так, функция – это отношение двух множеств (соответствие между их элементами) (см. рис. 1).
Рис. 1. График функции
Угол на плоскости можно рассматривать как отношение между двумя прямыми (см. рис. 2). При этом стороны угла могут быть не ограничены лучами или конечными отрезками, но его величина меняться не будет – это важное свойство, которое мы можем использовать при измерении.
Рис. 2. Угол на плоскости
Другое важное свойство – это ограниченность угла. Если отрезок можно взять сколь угодно большой длины, то угол ограничен полным кругом (см.
рис. 3).
Рис. 3. Угол ограничен полным кругом
Именно на этом основана идея измерения углов в градусах: максимальный угол делим на некоторое количество одинаковых частей (договорились, что их будет ), тогда величина угла будет равна количеству таких единиц (градусов), которые в него вмещаются (см. рис. 4).
Рис. 4. Угол равный
Но такой способ измерения не всегда удобен. Треугольник однозначно задается тремя своими сторонами. Значит, углы можно связать с длинами. Это позволит решать разные задачи: например, зная длины отрезков, находить углы и наоборот.
Вспомним, что угол не зависит от длины своих сторон. Если рассмотреть прямоугольные треугольники с острыми углами , то все такие треугольники будут подобны (см. рис. 5).
Рис. 5. Подобные прямоугольные треугольники с острыми углами
То есть отношение длин их соответствующих сторон будет одинаковым:
Более того, если взять треугольник с другим острым углом, то такие отношения будут отличаться.
Всего можно выделить 6 различных соотношений, каждое из которых имеет свое название (см. рис. 6):
Рис. 6. Прямоугольный треугольник
- синус – отношение противолежащего данному углу катета к гипотенузе:
- косинус – отношение прилежащего к данному углу катета к гипотенузе:
- тангенс – отношение противолежащего данному углу катета к прилежащему катету:
- котангенс – отношение прилежащего к данному углу катета к противолежащему катету:
- секанс – отношение гипотенузы к катету, прилежащему к данному углу:
- косеканс – отношение гипотенузы к катету, противолежащему данному углу:
На самом деле, чтобы связать угол и длины сторон прямоугольного треугольника, нам достаточно всего одной функции, например, синуса.
По известному синусу можно восстановить значения всех остальных функций (мы тренировались это делать с использованием основных тригонометрических тождеств). Поэтому можно было бы выразить все остальные соотношения длин сторон прямоугольного треугольника через синус. Но эти формулы получаются довольно громоздкими, а тригонометрические функции очень часто встречаются при решении различных задач, поэтому всем им дали отдельные названия и для каждой исследовали свойства. Правда, это не касается секанса и косеканса – они встречаются редко и легко выражаются через синус и косинус. По этой же причине иногда отдельно не выделяют свойства котангенса – это просто обратное значение тангенса. В дальнейшем мы в основном будем рассматривать синус, косинус, тангенс и иногда котангенс.
Подчеркнем еще одно важное свойство – так как значение синуса не зависит от длин сторон, то можно его посчитать один раз для конкретного треугольника, а затем использовать полученное значение для данного угла в любом треугольнике.
Раньше для этих целей составляли специальные таблицы (самая известная – таблица Брадиса (см. рис. 7)), сейчас в любом телефоне значение тригонометрических функций любого угла можно посчитать на калькуляторе (правда для этого используются более сложные алгоритмы, связанные с представлениями этих функций в виде многочленов, но в школьном курсе мы это рассматривать не будем).
Рис. 7. Таблица Брадиса
Взаимосвязь тригонометрических функций
Вспомним, как связаны между собой тригонометрические функции:
Это основные соотношения, из них можно вывести и другие:
Тригонометрические функции от до
Мы ввели тригонометрические функции только для острых углов, но для решения геометрических задач этого недостаточно. Можно расширить понятие тригонометрических функций для произвольных углов – от нулевого до развернутого ( Это удобно сделать с помощью единичной окружности – окружности с центром в начале координат и радиусом (см.
рис. 8).
Рис. 8. Единичная окружность
Рассмотрим точку на окружности , лежащую в первой четверти (см. рис. 9). Ее координаты зависят от острого угла , отложенного от положительного направления оси против часовой стрелки (мы будем откладывать угол против часовой стрелки – это договоренность, можно было бы двигаться и по часовой стрелке). Рассмотрев прямоугольный треугольник, получим, что абсцисса точки равна косинусу угла ; ордината равна синусу угла (см. рис. 9).
Рис. 9. Абсцисса точки равна , а ордината равна
При расширении инструмента важно, чтобы новое определение не противоречило старому, поэтому расширим полученный результат для произвольного положения точки. Косинусом и синусом угла будем называть координаты и точки .
При этом, чтобы сохранить рассмотренные ранее соотношения для тригонометрических функций, мы определим тангенс и котангенс так:
Обратите внимание, что для острых углов по значению любой из тригонометрических функций можно было однозначно восстановить значения всех остальных, используя основные тригонометрические тождества.
Для произвольных углов это уже не так. К примеру, если синус угла равен , то косинус угла может равняться как , так и (чтобы сумма их квадратов равнялась ).
Таким образом, зная, что угол острый, мы имели дополнительную информацию, хотя могло показаться, что мы ее и не используем. Теперь же, чтобы однозначно восстановить все тригонометрические функции по значению одной, нужно еще указать четверть, в которой находится точка , то есть нужна дополнительная информация. Подробнее об этом мы поговорим на практическом занятии.
Расширение понятия «угол»
В геометрии мы определили понятие угла так: это часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки. Это накладывает ограничения на величину угла: минимальный – это нулевой угол (), максимальный – полный (). Но термин «угол» можно встретить не только в геометрии. Например, мы можем сказать об угле поворота.
Так, выполняя команду «Направо», солдат поворачивается на ; выполняя команду кругом – на .
Фигуристка в прыжке может сделать полный оборот – повернуться на . Пока что мы не выходили за рамки геометрического понятия угла. Все указанные углы можно изобразить так: до и после поворота рисуем лучи вдоль линии зрения (см. рис. 10).
Рис. 10. Изображенные углы , ,
Но как нарисовать угол поворота, если фигуристка сделала полтора оборота? Как раньше нарисовать не получится – полученный угол ничем не будет отличаться от угла, соответствующего половине оборота, то есть (см. рис. 11). Более того, и углы в ; и т.д. оборота будут на рисунке выглядеть одинаково. Чтобы различать такие углы, придется расширить само понятие угла.
Рис. 11. Изображенный угол
Итак, фигуристка сделала полтора оборота. Это один полный поворот на и еще разворот на . Угол поворота мы определим как сумму этих величин:
Еще пример: во время прыжков спортсмен сделал тройное сальто и вошел воду. Вокруг своей оси он сделал полных оборота – это поворота на (), и еще половину — .
Итого угол поворота составит:
В общем случае, угол поворота равен:
При повороте нужно учесть и его направление: по часовой стрелке или против. Для этого удобно использовать давно известный нам инструмент – отрицательные числа. Угол поворота принято считать положительным, если поворот происходит против часовой стрелки; отрицательным – если по часовой (см. рис. 12).
Рис. 12. Направление угла поворота
Таким образом, мы расширили понятие угла: ввели углы больше и отрицательные углы.
Тригонометрические функции произвольных углов
Вернемся к единичной окружности. Возьмем луч и будем поворачивать его на угол . Для отрицательных мы просто получим поворот против часовой стрелки и соответствующую точку (см. рис. 13).
Рис. 13. Тригонометрические функции для отрицательного угла
Для , больших , мы сделаем один или несколько полных оборотов и снова получим некоторую точку (см. рис. 14).
Координаты этой точки мы и будем называть синусом и косинусом этого угла. При этом все описанные ранее свойства тригонометрических функций будут выполняться и для обобщенного понятия угла.
Рис. 14. Тригонометрические функции для угла, большего
Обратите внимание, что для расширенного понятия угла уже не получится восстановить угол по значению его тригонометрических функций, даже если известна координатная четверть. Например, если точка расположена таким образом (см. рис. 15), то угол может равняться , , и т.д.
Рис. 15. По значению тригонометрических функций не получится восстановить угол
Но такая неоднозначность не должна нас пугать, мы с ней часто встречаемся в жизни. Так, у каждого человека есть размер обуви, но по размеру обуви восстановить человека, которому эта обувь принадлежит, не получится (иначе бы детективам было очень просто).
Другой пример – часы. Если вы находитесь в комнате без окон, то по этим часам не сможете определить, сейчас 12 часов дня или ночи.
А, если не выходили из нее больше суток, то не сможете определить даже какого именно дня или ночи сейчас 12 часов.
Мы обсуждали, зачем нужны тригонометрические функции для геометрических углов понятно: с их помощью мы можем вычислять длины и углы. А зачем они нужны для обобщенного понятия угла? Как минимум, для описания вращательного движения – ведь именно на примере поворотов мы обобщали понятие угла. Но кроме вращения тригонометрические функции произвольного угла помогают описать любое повторяющееся движение: механические колебания, звуковые волны, распространение света. Также они нашли применение в обработке данных и моделировании процессов.
Значения тригонометрических функций углов
Теперь поговорим о значениях тригонометрических функций для различных углов. И для начала вспомним, что кроме градусов, углы еще можно измерять в радианах. радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная радиусу окружности.
Полная окружность будет соответствовать углу в радиан (так как она содержит длин радиусов ).
Тогда радиан соответствует углу . Составив пропорцию, можно перевести любой другой угол из градусов в радианы и наоборот:
Теперь перейдем непосредственно к значениям тригонометрических функций. Мы будем рассматривать значения только косинуса и синуса. Значения тангенса и котангенса можно будет легко вычислить, используя их определение:
1) Для некоторых острых углов можно получить точные значения тригонометрических функций, рассмотрев соответствующие прямоугольные треугольники. Из треугольника с углами и (используя свойство катета, лежащего против угла в ):
Из прямоугольного треугольника с углами по (используя то, что он равнобедренный):
2) Для углов , , и значения синуса и косинуса удобно найти с помощью единичной окружности. Этим углам соответствуют точки на координатных осях. Смотрим на координаты точек и записываем (см. рис. 16):
Рис. 16.
Единичная окружность
Для наглядности составим таблицу всех полученных значений:
|
Градусы |
|||||||
|
Радианы |
|||||||
|
Cos |
|||||||
|
Sin |
3) Для остальных углов значения синуса и косинуса можно найти приближенно с помощью таблиц Брадиса, или просто воспользовавшись калькулятором.
При вычислениях на калькуляторе обращайте внимание, в каких единицах вы вводите значение: градусах или радианах!
Теперь давайте посмотрим, как можно без калькулятора вычислить косинусы и синусы некоторых других углов. Мы научимся выражать их через значения тригонометрических функций острых углов. Эти навыки могут быть полезны, ведь калькулятор дает лишь приближенное значение, а для некоторых острых углов мы знаем точные значения. Кроме того, эти выражения мы сможем использовать и в тех случаях, когда нам не задано значение угла, но нужно упростить выражение.
Но в целом большинство формул, которые мы получим сейчас и будем получать в дальнейшем, будут нужны лишь для отработки техники решения различных заданий, в которых встречаются тригонометрические функции. На практике они встречаются довольно редко.
Итак, если мы знаем значение тригонометрических функций для угла , то мы можем их найти и для следующих углов:
1) для угла эти формулы мы уже знаем:
2) для угла .
Значит, их координаты равны, а координаты – противоположны. Получим соотношения:
Как мы уже знаем, это говорит о том, что синус – нечетная функция, а косинус – четная. Несложно убедиться, что тангенс и котангенс – нечетные функции.
Рис. 17. Точка симметрична точке относительно оси
3) Для угла . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч еще на . Мы получим точку , симметричную точке относительно начала координат (см. рис. 18). Координаты этих точек противоположны:
Рис. 18. Точку , симметрична точке относительно начала координат
4) Для угла . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч на . При этом мы сделаем полный оборот и снова попадем в эту же точку. Тогда:
Рассмотренные формулы называют формулами приведения.
Ведь комбинируя эти формулы, можно привести косинус и синус любого угла к значению функций для острого угла. Этим мы займемся на практическом занятии.
Забегая немного наперед, отметим, что – это период функции косинуса и синуса. То есть это такой минимальный промежуток, через который значения функции повторяются.
А вот у тангенса и котангенса период равен . Ведь для любого :
Аналогичные выкладки можно сделать и для котангенса.
Формулы двойного аргумента
Как мы уже отмечали, формулы приведения позволяют не только вычислять значения функций без калькулятора, но и помогают упрощать выражения. Давайте рассмотрим еще ряд формул, которые также могут пригодиться как при расчете значений функций, так и при упрощении выражений.
В формулах приведения мы прибавляли к аргументу определенные значения: , , . Посмотрим, как будут выглядеть формулы при добавлении произвольного значения :
Чтобы получить аналогичные формулы для разности, достаточно заменить на .
При этом:
В итоге получим формулы:
С выводом этих формул вы можете ознакомиться ниже.
Вывод формул суммы и разности косинусов и синусов
Начнем с доказательства формулы косинуса разности. Рассмотрим на единичной окружности две точки: и (см. рис. 1).
Рис. 1. Рассматриваемые точки и
Им соответствуют углы и , их координаты: Тогда координаты векторов будут такие же:
Угол между этими векторами:
Если , то:
В любом случае:
То есть:
Вычислим этот косинус с помощью скалярного произведения:
Заменив на , получим:
Теперь получим формулу синуса суммы. Воспользуемся формулой приведения:
Применим формулу косинуса разности:
Снова используя формулы приведения, получим ответ:
Заменив на , получим:
Если в этих выражениях заменить на , то мы получим часто использующиеся для упрощения выражений формулы двойного аргумента:
Все рассмотренные формулы можно применять для упрощения выражений как в одну, так и в другую сторону.
Мы это потренируемся делать на практическом занятии.
Используя основное тригонометрическое тождество, можно получить еще несколько выражений для косинуса двойного угла:
Выразим из них и :
Эти выражения называют формулами понижения степени, ведь они позволяют перейти от квадрата тригонометрической функции к тригонометрической функции первой степени. Еще их называют формулами половинного аргумента, ведь, зная мы сможем найти косинус и синус половины этого угла. Это позволит записать, к примеру, точное значение синуса и косинуса :
Синус острого угла – положительная величина. Значит:
Аналогично:
Формулы суммы, разности аргументов, формулы двойного и половинного аргумента можно записать и для тангенса и котангенса. Для этого достаточно записать определение этих функций через синус и косинус и преобразовать выражение. А это уже технические моменты, над которыми мы поработаем на практическом занятии.
Сумма и произведение тригонометрических функций
Познакомимся еще с некоторыми формулами, которые помогут упростить выражение, содержащее тригонометрические функции. Вернемся к формулам косинуса суммы и разности:
Сложив левые и правые части выражений, получим:
Полученная формула позволяет преобразовать сумму косинусов в произведение и наоборот. Чтобы ее было удобнее применять слева направо, введем новые обозначения:
Получим:
Снова вернемся к косинусу суммы и разности. Вычтя их второго равенства первое, получим:
Или для применения формулы слева направо:
Рассмотрев формулы синуса сумма и разности, можно получить соответствующие выражения для синусов.
Сложив, получим:
Делаем замену:
Получаем:
При вычитании получим:
Все указанные формулы позволяют упростить выражения, преобразовав сумму косинусов и синусов в их произведение или наоборот.
При желании эти формулы можно запомнить или же найти их в справочнике. Или же можно помнить, как они выводятся. Тогда достаточно будет знать лишь формулы косинуса и синуса суммы.
Заключение
Итак, сегодня мы рассмотрели множество формул, которые помогают преобразовывать тригонометрические выражения. Конечно, на практике такое большое количество формул не применяется, нам они будут нужны для отработки техники преобразований различных тригонометрических выражений. Этой техникой мы займемся на практическом занятии.
Список рекомендованной литературы:
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2019.
- Мордкович А.Г., Семенов П.В., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник, издательство «Мнемозина», 2019.
- Колмогоров А.Н., Дудинцев Ю.П., Абрамов А.М. Алгебра и начала математического анализа.
10 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2019.
10 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2019.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
- Интернет-портал «yaklass.ru»
- Интернет-портал «cleverstudents.ru»
- Интернет-портал «ru.solverbook.com»
Рекомендованное домашнее задание.
- На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки на угол .
- Определить знак , если .
- Доказать тождество:
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6.
Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Синус,косинус,танг
енс,котангенс угла
Тема: Определение
синуса, косинуса,
тангенса и
котангенса.
Цели урока:
• 1.Знать определение синуса,
косинуса, тангенса и котангенса.
• 2.Уметь применять эти
определения к решению
примеров и задач.
• 3.Привитие творческой
активности и самостоятельности
План урока
• История развития
тригонометрии.
• Повторение курса
геометрии.
• Изучение нового
материала.
• Закрепление
Историческая справка
тригонон
Тригонометрия
метрио
(измерение треугольника)
Древний
Вавилон-умели предсказывать
солнечные и лунные затмения.
Древнегреческие
учёные-составили
таблицы хорд(первые
тригонометрические таблицы)
Учёные
Индии и Ближнего Востокаположили начало радианной мере угла.
Большой вклад в развитие
тригонометрии внесли:
• Гиппарх
• Птолемей
• Франсуа Виет
• Эйлер
• Бернулли
Повторение
А
sinC=
COS C=
tg C=
?
В
С
Повторение
Для единичной полуокружности
y
у
SIN A =
= Y
R
X
1
COS A=
=X
R
В
-1
А
1
х
0 ≤SIN A≤ 1
-1 ≤ COS A ≤1
Повторение
Основное
тригонометрическое
тождество:
2
SIN
2
X+COS
Х=1
у
А
О
х
Угол поворота против часовой стрелкиположительный У
В
А
О
Х
Угол поворота по часовой стрелке отрицательный
У
А
х
О
В
Угол поворота
Положительный
Отрицательный
У
У
В
o
700
А
Х
O
А Х
-700
В
Из курса геометрии
известно:
Мера угла в градусах
выражается числом
от
0
0
до
0
180
Ответь на вопрос:
Каким числом
может выражаться
в градусах угол
поворота?
В Ы В О Д:
Угол поворота может
выражаться в градусах
каким угодно
действительным числом
от -∞ до +∞
Рассмотрим примеры
У
У
В
1350
О
Х
А
В
1350+3600n
, n=0,1,-1,2,-2….
.
О
Х
-1350
А
ВЫВОД
Существует бесконечно много углов
поворота, при которых начальный
радиус ОА переходит в радиус ОВ.
В зависимости от того, в какой
координатной четверти
окажется радиус ОВ, угол α
называют углом этой
четверти.
ЗАПОМНИ
00<α<900 ,то α -угол 1 четверти.
900<α<1800 ,то α – угол 2 четверти.
1800<α<2700 ,то α – угол 3 четверти.
2700<α<3600 ,то α- угол 4 четверти.
В ы в о д:
Эти углы не относятся ни к какой
четверти.
0
0
,
,±
0
90
,±
0
180
Углом какой четверти
является угол β,если:
0
β=167
0
β=287
0
β=-65
Стр.153.- определение.
y
Sinα=
X
Cos=
R
y
tgα=
R
X
ctgα=
X
y
Лабораторная
работа
В Ы В О Д:
Синус, косинус, тангенс и
котангенс не зависят от
радиуса.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вычертите три окружности произвольного
радиуса с центром в начале координат.
Постройте начальный радиус ОА.
Поверните начальный радиус на угол α=450
В каждом из случаев найдите SIN 450.
(смотри пример 1. стр.154.)
Какой получился результат? Сделай вывод..
Запомни
Sinα, Cosαопределены
при любом α.
Почему?
Стр.154
При
каком α tgα
не определён?
Почему?
sinα
, cosα ,
tgα , ctgα
–называют
тригонометрическими
функциями.
Для единичной окружности:
• Область значения
синуса и косинуса
есть промежуток
[-1;1]
• Область значения
тангенса и
котангенса есть
множество всех
действительных
чисел.
Найти синус,
косинус,тангенс и
котангенс
0
270
English Русский Правила
Калькулятор — cos(1) — Солуматы
Cos, расчет онлайн
Итог:
Тригонометрическая функция cos вычисляет cos угла в радианах, градусов или градианов.
cos online
Описание:
Калькулятор позволяет использовать большинство из тригонометрических функций , есть возможность вычислить косинус ,
синус
и касательная
угла через одноименные функции.
Косинус тригонометрической функции отметил cos , позволяет вычислить косинус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градусы, грады и радианы, которые по умолчанию являются угловыми единицами.
- Расчет косинуса
- Специальные значения косинуса
- Основные свойства
Расчет косинуса угла в радианах
Калькулятор косинуса позволяет через функцию cos вычислить онлайн косинус угла в радианах, вы должны сначала выберите нужную единицу, нажав на кнопку параметров расчетного модуля. После этого можно приступать к расчетам.
Чтобы вычислить косинус онлайн от `pi/6`, введите cos(`pi/6`), после вычисления результат `sqrt(3)/2` возвращается.
Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые специальные углы и делать
расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.
Вычислить косинус угла в градусах
Чтобы вычислить косинус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.
Чтобы вычислить косинус 90, введите cos(90). возвращает 0.
Вычислить косинус угла в градусах
Для вычисления косинуса угла в градианах необходимо сначала выбрать нужную единицу измерения нажав на кнопку модуля расчета параметров. После этого можно приступать к вычислениям.
Чтобы вычислить косинус 50, введите cos(50), после вычисления возвращается результат `sqrt(2)/2`.
Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые специальные углы и выполнять исчисление со специальными ассоциированными точными значениями.
Косинус допускает некоторые специальные значения, которые калькулятор может определить в точных формах.
Вот список
специальные значения косинуса :
| cos(`2*pi`) | `1` | |
| cos(`pi`) | `-1` | |
| cos(`pi/2`) 70 7 7 7 90 90 90 90 | ||
| cos(`pi/4`) | `sqrt(2)/2` | |
| cos(`pi/3`) | `1/2` | |
| `sqrt(3)/2` | ||
| cos(`2*pi/3`) | `-1/2` | |
| cos(`3*pi/4`) | `-sqrt(2)/2` | |
| cos(`5*pi/6`) | `-sqrt(3)/2` | |
| cos(`0`) | `1` | `1` |
| cos(`-pi`) | `-1` | |
| cos(`pi/2`) | 7-7 `09` 90` | pi/4`)`sqrt(2)/2` |
| cos(`-pi/3`) | `1/2` | |
| cos(`-pi/6`) | `sqrt(3)/2` | |
| cos(`-2*pi/3`) | `-1/2` | |
| cos(`-3*pi/4`) | `-sqrt(2)/2` | |
| cos(`-5*pi/6`) | `-sqrt(3)/2` |
`AA x в RR, k в ZZ`,
- `cos(-x)= cos(x)`
- `cos(x+2*k*pi)=cos(x)`
- `cos(pi-x)=-cos(x) `
- `cos(pi+x)=-cos(x)`
- `cos(pi/2-x)=sin(x)`
- `cos(pi/2+x)=-sin(x) )`
Производная косинуса равна -sin(x).
Первообразная косинуса равна sin(x).
Функция косинуса является четной функцией для каждого действительного x, `cos(-x)=cos(x)`. Следствием для кривой, представляющей функцию косинуса, является то, что она допускает ось ординат как ось симметрии.
Калькулятор имеет решатель, который позволяет решать уравнение с косинусом вида cos(x)=a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения типа `cos(x)=1/2` или `2*cos(x)=sqrt(2)` с этапами расчета.
Синтаксис:
cos(x), где x — мера угла в градусах, радианах или градах.
Примеры:
cos(`0`), возвращает 1
Производная косинус :
Чтобы дифференцировать функцию косинуса онлайн,
можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции косинуса.
Первообразная косинуса :
Калькулятор первообразной позволяет вычислить первообразную функции косинуса.
Первопроизводная от cos(x) является первообразной(`cos(x)`)=`sin(x)`
Предельный косинус :
Калькулятор предела позволяет вычислить пределы функции косинуса.
предел cos(x) is limit(`cos(x)`)
Обратная функция косинуса :
обратная функция косинуса является функцией арккосинуса, отмеченной как arccos.
Графический косинус:
Графический калькулятор может отображать функцию косинуса в заданном интервале.
Свойство функции косинуса:
Функция косинуса является четной функцией.
Расчет онлайн с косинусом
См. также
Список связанных калькуляторов:
- Арккосинус : arccos. Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.
- Арксинус : арксинус. Функция arcsin позволяет вычислить арксинус числа. Функция arcsin является обратной функцией функции синуса.
- Арктангенс: арктангенс. Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа. Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
- Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
- Косинус: cos. Кос-тригонометрическая функция вычисляет косинус угла в радианах, градусов или градианов.
- Косеканс: косеканс Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
- Котангенс : котан. Тригонометрическая функция котана для вычисления котана угла в радианах, градусов или градианов.
- Тригонометрическое расширение: expand_trigo. Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.
- Тригонометрическая линеаризация : linearization_trigo. Калькулятор, позволяющий линеаризовать тригонометрическое выражение.
- Упростить калькулятор: упростить. Калькулятор, который может упростить алгебраическое выражение онлайн.
- Секанс : сек. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
- Синус : синус. Тригонометрическая функция sin для вычисления греха угла в радианах, градусов или градианов.
- Тангенс: коричневый. Тригонометрическая функция тангенса для вычисления тангенса угла в радианах, градусов или градианов.
Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.
Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.Напоминания о курсах, калькуляторы, упражнения и игры: Тригонометрические функции, Вещественные функции
Калькулятор косинуса. Найдите косинус (x) по формуле
. Бесплатный онлайн-калькулятор косинуса помогает рассчитать значение косинуса заданного угла в градусах, радианах, милли-радиан и π радиан.
Здесь у нас есть гораздо больше для вас, в том числе, как найти кривую косинуса, элементарный закон косинуса и многое другое! Итак, давайте начнем с общего определения косинуса.
В математике тригонометрические функции — это действительные функции, относящиеся к прямоугольному треугольнику с двумя длинами сторон и одной гипотенузой. Предполагая прямоугольный треугольник, функция cos (x) угла определяется как длина прилегающей стороны, деленная на длину гипотенузы. Значение этой тригонометрической функции cos(x) для заданного угла можно рассчитать с помощью калькулятора косинуса. Кроме того, диапазон косинуса равен \(-1 ≤ cos ≤ 1\), а период косинуса равен \(2π\).
Формула косинуса:Формула для функции косинуса:
$$ cos(θ) = \frac {\text{adjacent} b}{\text{гипотенуза} c} $$
Решить cos вручную, просто используйте значение соседней длины и разделите его на гипотенузу.
Кроме того, онлайн-калькулятор секущей используется для нахождения секанса заданного угла в градусах, радианах или π радианах.
Как найти косинус угла?Поскольку косинус угла θ представляет собой отношение между прилегающей длиной угла и гипотенузой, поэтому примените следующую формулу, чтобы найти косинус угла:
$$cos(α) = \frac{b}{c}$$
Пример 1:Рассчитать значение cos θ?
Решение:
Если длина прилежащей стороны равна 12, а значение гипотенузы равно 6, то по формуле cos:
\[ cos θ = \frac{12}{6} = 2\]
Пример 2:Найдите значения Cos 60°.
Решение:
Используя таблицу косинусов или калькулятор,
\[ Cos 60°= \frac{1}{2} = 0,5\]
Вы также можете использовать калькулятор косинуса для безошибочного вычисления.
График косинуса : График косинуса представляет собой повторяющуюся кривую вверх/вниз.
Эта кривая известна как косинусоидальная волна. При построении графика всегда помните:
- Кривая начинается с 0 углов.
- Как только кривая запустится, она сначала уменьшится до значения -1.
- После уменьшения кривая увеличится до значения 1, а затем весь процесс будет продолжаться бесконечно.
Значение функции косинуса для всех распространенных углов можно быстро подобрать из следующей таблицы для быстрых вычислений:
Как работает калькулятор косинуса?
Этот калькулятор косинуса показывает, как быстро найти косинус всего за два шага.
Кроме того, онлайн-калькулятор синуса поможет вам определить тригонометрические значения синуса для заданного угла в градусах, радианах или π радианах.
Ввод:- Введите значение заданного угла θ.
- На втором этапе просто выберите градус, радиан, м радиан или пи (π) радиан из раскрывающегося меню.
- Нажмите кнопку «Рассчитать»
Этот калькулятор определит следующие выходные данные, используя формулу косинуса и таблицу.
- Отображается значение косинуса в радианах, градусах, м радианах или пи (π) радианах.
- Отображает ответы в простейшей форме.
- Единица измерения угла будет доставлена так же, как вы ввели
Если у вас есть треугольник и вы хотите связать все три его стороны с одним углом, вам нужно применить правило косинуса.
Однако, чтобы найти длину стороны, вы должны знать две другие стороны, а также противолежащий угол.
Косинус тригонометрической функции обычно используется для определения местоположения и расчета расстояний в системе GPS смартфонов и устройств IOS. Кроме того, его также можно использовать в космическом полете и на баллистических траекториях.
Почему Cos положительный?Cos помечен как положительный по той причине, что θ всегда будет измеряться от положительной оси x.
Зачем нужны тригонометрические функции?Почти все тригонометрические навыки помогают учащимся работать со сложными углами и размерами за сравнительно короткое время. Они могут быть реализованы и во многих других областях. например:
- Архитектура
- Машиностроение
- Науки
- Математика и др.
Что ж, благодаря косинусному калькулятору, который без каких-либо затрат предоставляет поддержку для вычисления значения косинусной функции в любое время.