Произведение косинуса на синус: Основные формулы тригонометрии. Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение и произведение тригонометрических функций в суммы.

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение и произведение тригонометрических функций в суммы.

Ещё одним полезным следствием формул сложения (наряду с формулами двойного угла) служат формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения и обратно — произведений в суммы.

Начнём с формул синуса суммы и разности:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ;	(1)
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ. Сложим формулы (1) и (2):	(2)
sin(α + β) + sin(α − β) = 2sinαcosβ.	(3)

Отсюда:

Мы получили формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов (эта сумма в реальности может оказаться разностью). Примеры:

;

.

Промежуточное равенство (3) приводит нас к ещё двум важным формулам. Сделаем замену переменных:

( x = α + β,

(4)

y = α − β.

Складывая и вычитая эти равенства, выразим из них α и β:

; .

Подставляя всё это в (3), получим:

(5)

Это формула преобразования суммы синусов в произведение. Запоминаем словесную формулировку: сумма синусов есть два синус полусуммы на косинус полуразности.

Делая в (5) замену y на −y, придём к формуле преобразования разности синусов в произведение:

Словами: разность синусов есть два синус полуразности на косинус полусуммы.

Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности:

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ;	(6)
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ. Сложим формулы (6) и (7):	(7)
cos(α + β) + cos(α − β) = 2cosαcosβ.	(8)

Отсюда:

Это формула преобразования произведения косинусов в сумму косинусов.

С помощью замены (4) приходим к формуле преобразования суммы косинусов в произведение косинусов:

Словами: сумма косинусов есть два косинус полусуммы на косинус полуразности. Теперь вычтем из равенства (7) равенство (6):

cos(α − β) − cos(α + β) = 2sinαsinβ. (9)

Отсюда:

Это формула преобразования произведения синусов в разность косинусов.

Делаем в равенстве (9) замену (4) и приходим к формуле преобразования разности косинусов в произведение синусов:

.

В целях единообразия записи поменяем местами x и y в последней формуле:

Словами: разность косинусов есть два синус полусуммы на синус обратной полуразности.

Задачи

1. Преобразуйте в произведение:
а) sin48◦ + sin32◦;	б) sin71◦ − sin13◦;

в) ; г) .

2. Упростите выражение:
а) sin83◦ − sin23◦;	б) cos35◦ + cos25◦;

в) ; г) .

1. Преобразуйте в произведение:

а) sin3α − sin7α; б) cos4α + cos10α;

в) ; г)

1. Преобразуйте в произведение:

а) sin10^◦ + cos70^◦; б) cos50^◦ − sin14

◦;

в) cos40^◦ + sin40^◦; г) sin20^◦ − cos20^◦.

1. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) ; г)

1. Докажите тождество:

а) ;

б) ;

в) cos2α − cos4α − cos6α + cos8α = −4cos5αsin2αsinα.

1. Докажите тождество:

а) sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3αcos² α; б) sin² 5α − sin² 3α = sin8αsin2α.

1. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е)

1. Докажите равенство:

а) sin87^◦ − sin59^◦ − sin93^◦ + sin61^◦

= sin1^◦;

б) cos115^◦ − cos35^◦ + cos65^◦ + cos25^◦ = sin5^◦.

1. Докажите тождество:

tgα + tg2α − tg3α = −tgαtg2αtg3α.

1. Докажите тождество:

а) tgα + 2ctg2α = ctgα;

б) tgα + 2tg2α + 4ctg4α = ctgα;

в) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8ctg8α = ctgα;

г) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8tg8α + 16ctg16α = ctgα.

1. Докажите тождество:

1. Преобразуйте в сумму или разность:

а) 2sin10^◦ cos5^◦; б) 2sin25^◦ cos55^◦;

в) ; г) .

1. Преобразуйте в сумму или разность:

а) sin2αcos5α; б) cosβ cos3β;

в) sin6γ cosγ; г) sin3ϕsin11ϕ.

1. Проверьте равенство:

а) sin2xcos3x + sin4xcos9x = sin6xcos7x;

б) sin3xsinx + sin4xsin8x = sin7xsin5x;

в) cos3xcos6x − cos4xcos7x = sin10xsinx;

г) sin4xcosx − sin5xcos2x = −sinxcos6x.

2

аналитическая-геометрия / Скалярное произведение и синус / Математика

Попробую ещё раз кратко изложить теорию этого дела. Прежде всего, надо вспомнить несколько определений. Одно из них касается угла между ненулевыми векторами. О том, что это такое, написано в учебниках. Поэтому я отмечу лишь то, что этот угол может принимать значения от 0 до 180 градусов включительно, а также то, что угол между $%a$% и $%b$% равен углу между $%b$% и $%a$%.

Помимо этого, есть ещё такое понятие как ориентированный угол между вектором $%a$% и вектором $%b$%. Здесь также можно обойтись без подробностей, заметив, что он может принимать значения от -180 до 180 градусов, и что если угол между $%a$% и $%b$% равен $%\varphi$%, то угол между $%b$% и $%a$% равен $%-\varphi$%. Имеет смысл напомнить, что здесь мы рассматриваем угол поворота, при котором $%a$% переходит в вектор, сонаправленный $%b$%. Как обычно, угол берётся со знаком «плюс» при повороте против часовой стрелки, и со знаком «минус» при повороте по часовой стрелке.

Наряду со скалярным произведением, которое задаётся формулой $%a\cdot b=|a||b|\cos\varphi$%, рассматривается также произведение, называемое косым, или псевдоскалярным, которое мы будем обозначать в виде $%a\circ b=|a||b|\sin\varphi$%. Угол здесь рассматривается ориентированный, поэтому из определения сразу следует, что $%a\circ b=-b\circ a$%. Связано это с тем, что синус — функция нечётная, и он меняет знак при смене знака угла, в отличие от косинуса.

Геометрический смысл косого произведения понятен: это ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $%a$% и $%b$%.

Основная задача теперь состоит в установлении свойства линейности косого произведения. В принципе, это можно сделать разными способами, но наиболее удобным видится следующий.

Рассматривается некоторая прямоугольная система координат с единичными базисными векторами $%i$%, $%j$%. Любой вектор можно однозначно разложить по этому базису. Пусть $%a=x_1i+y_1j$% и $%b=x_2i+y_2j$%. Заметим, что косое произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, откуда $%i\circ i=j\circ j=0$%, а ориентированный угол между $%i$% и $%j$% равен 90 градусам, откуда следует, что $%i\circ j=1$%, а также $%j\circ i=-1$%.

Теперь следующий шаг: предположим, что косое произведение на самом деле линейно. Что тогда из этого будет следовать?

Применяя наше предположение (пока только гипотетическое), мы приходим к следующему: $%a\circ b=(x_1i+y_1j)\circ(x_2i+y_2j)=x_1x_2i\circ i+y_1y_2j\circ j+x_1y_2i\circ j+y_1x_2j\circ i=x_1y_2-y_1x_2$%. То есть получается знакомая координатная формула.

Далее следует такой «трюк», который надо хорошо осознать. Мы вправе ввести некую операцию над координатными векторами, задаваемую данной формулой. Пока мы не знаем, что это будет то же самое косое произведение. Поэтому мы временно введём для неё новое обозначение в виде квадратных скобок, полагая $%[a,b]=x_1y_2-y_1x_2$% для векторов $%a$% и $%b$% с координатами $%(x_1,y_1)$% и $%(x_2,y_2)$% соответственно.

Данная операция хороша тем, что она линейна по построению. Проверка здесь тривиальна, и я её опускаю. Плоха она тем, что эта операция, вообще говоря, может зависеть от выбора системы координат. Но если мы далее докажем, что $%[a,b]=a\circ b$%, то всё встаёт на свои места: косое произведение оказывается линейным, а координатное произведение с квадратными скобками перестаёт зависеть от выбора системы координат, так как в любом случае получается произведение длин векторов на синус ориентированного угла, а это чисто геометрические характеристики.

Если среди векторов есть нулевые, то очевидно, что $%[a,b]=0=a\circ b$%. Поэтому будем считать, что оба вектора ненулевые, и тогда можно разделить на их длины. Векторы окажутся единичными по длине, и достаточно проверить справедливость равенства $%[a,b]=a\circ b$% для этого случая. Точки $%(x_1,y_1)$% и $%(x_2,y_2)$% при этом лежат на единичной окружности. Векторы $%a$% и $%b$% получаются из вектора $%i$% при помощи поворотов на углы $%\alpha$% и $%\beta$% соответственно. При этом, если ориентированный угол между $%a$% и $%b$% равен $%\varphi$%, то при повороте вектора $%i$% сначала на угол $%\alpha$%, а потом на угол $%\varphi$%, мы получаем вектор $%b$%, откуда следует, что $%\beta=\alpha+\varphi$% с точностью до кратного $%2\pi$%. Ввиду периодичности синуса, мы можем считать, что имеет место такое равенство, из которого $%\varphi=\beta-\alpha$%.

Теперь вспомним определения косинуса и синуса, из которых следует, что $%a$% имеет координаты $%(\cos\alpha,\sin\alpha)$%, и $%b$% имеет координаты $%(\cos\beta,\sin\beta)$%. Тогда, в соответствии с координатным определением, мы имеем $%[a,b]=x_1y_2-y_1x_2=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin(\beta-\alpha)=\sin\varphi$%, что и требовалось доказать. Действительно, после домножения на длины векторов у нас получится $%|a||b|\sin\varphi=a\circ b$%, и все нужные нам свойства после этого установлены.

Сумма к формуле произведения — список, доказательство, примеры, применение

Сумма к формуле произведения в тригонометрии — это формулы, которые используются для выражения суммы и разности синусов и косинусов как произведения функций синуса и косинуса. Мы можем применить эти формулы для выражения суммы или разности тригонометрических функций синуса и косинуса в виде произведений и, следовательно, упростить математические задачи. Формулы суммы к произведению могут быть получены с использованием формулы произведения к сумме в тригонометрии с использованием замен переменных.

В этой статье мы подробно рассмотрим формулу произведения суммы и выведем эти формулы, используя формулы произведения суммы. Мы также поймем применение этих формул с помощью решенных примеров для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое формулы суммирования произведений?
2.	Суммарный список формул произведения
3.	Суммарная формула произведения Доказательство
4.	Использование суммы в формуле произведения
5.	Часто задаваемые вопросы о формулах суммирования произведений

Что такое формула суммы для произведения?

Формула суммы в произведение используется для выражения суммы или разности функций синуса и суммы или разности функций косинуса как произведения функций синуса и косинуса. Эти формулы суммы к произведению также известны по отдельности,

• Формула sin a плюс sin b, то есть sin A + sin B
• Формула sin a минус sin b, то есть sin A — sin B
• Формула cos a плюс cos b, то есть cos A + cos B
• Формула cos a минус cos b, то есть cos A — cos B

Обратите внимание, что эти формулы не совпадают с формулами суммы углов в тригонометрии. Например, грех А + грех В — это не то же самое, что грех (А + В). Давайте теперь пройдемся по формулам вышеупомянутой суммы к формулам продукта в следующем разделе.

Суммирование списка формул произведения

Мы можем доказать эти формулы суммы в произведение, используя формулы произведения в тригонометрию. Сумма в формуле произведения выражается следующим образом:

• sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]
• sin A — sin B = 2 sin [(A — B)/2] cos [(A + B)/2]
• cos A — cos B = -2 sin [(A + B)/2] sin [(A — B)/2]
• cos A + cos B = 2 cos [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]

Подведение итогов к формулам произведения Доказательство

Теперь, когда мы обсудили формулы суммы в произведение в тригонометрии, давайте выведем эти формулы, используя формулы произведения в сумме, формулы которых задаются следующим образом:

• sin A cos B = (1/2) [ sin (A + B) + sin (A — B) ] — (1)
• cos A sin B = (1/2) [sin (A + B) — sin (A — B)] — (2)
• cos A cos B = (1/2) [ cos (A + B) + cos (A — B) ] — (3)
• sin A sin B = (1/2) [ cos (A — B) — cos (A + B) ] — (4)

Чтобы вывести формулы произведения суммы, предположим, что (p + q)/2 = A и (p — q)/2 = B. Теперь, взяв сумму и разность A и B, мы имеем

A + B = [(p + q)/2] + [(p — q)/2]

= p/2 + q/2 + p/2 — q/2

= p/2 + p/2

= p

A — B = [(p + q)/2] — [(p — q)/2]

= p/2 + q/2 — p/2 + q/2

= q/ 2 + q/2

= q

Теперь, подставляя значения A, B, A + B и A — B в формулы (1), (2), (3) и (4), имеем

• sin [(p + q)/2] cos [(p — q)/2] = (1/2) [ sin p + sin q ]
  2 sin [(p + q)/2] cos [(p — q)/2] = sin p + sin q — (5)
• cos [(p + q)/2] sin [(p — q)/2] = (1/2) [ sin p — sin q ]
  2 cos [(p + q)/2] sin [(p — q)/2] = sin p — sin q — (6)
• cos [(p + q)/2] cos [(p — q)/2] = (1/2) [ cos p + cos q ]
  2 cos [(p + q)/2] cos [(p — q)/2] = cos p + cos q — (7)
• sin [(p + q)/2] sin [(p — q)/2] = (1/2) [cos q — cos p]
  -2 sin [(p + q)/2] sin [(p — q)/2] = cos p — cos q — (8)

Таким образом, мы получили формулы суммы к произведению, которые задаются формулами (5), (6), (7) и (8).

Использование суммы в формуле произведения

Мы используем формулу произведения суммы для упрощения и решения математических задач в тригонометрии. В этом разделе мы поймем, как применить сумму к формулам произведения, решив несколько примеров.

Пример 1: Выразите разность косинусов cos 4x — cos x как произведение тригонометрической функции, используя формулы суммы в произведение.

Решение: Мы знаем, что cos A — cos B = -2 sin [(A + B)/2] sin [(A — B)/2]. Подставив A = 4x и B = x в эту формулу, мы получим

cos 4x — cos x = -2 sin [(4x + x)/2] sin [(4x — x)/2]

= -2 sin (5x/2) sin (3x/2)

Ответ: Следовательно, мы можем выразить разницу cos 4x — cos x как -2 sin (5x/2) sin (3x/2) как произведение тригонометрических функций .

Пример 2: Оцените значение sin 15° + sin 75°, используя формулу произведения суммы.

Решение: Для нахождения значения sin 15° + sin 75° требуется формула sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]. Подставив в формулу A = 15° и B = 75°, получим

sin 15° + sin 75° = 2 sin [(15° + 75°)/2] cos [(15° — 75°)/2 ]

= 2 sin(90°/2) cos (-60°/2)

= 2 sin 45° cos 30° — [Потому что cos(-x) = cos x]

= 2 × 1/√2 × √3/2 — [Поскольку cos 30° равен √3/2, а sin 45° равен 1/√2]

= √3/√2

= √(3/2)

Ответ: sin 15° + sin 75 = √(3/2) с использованием формулы произведения суммы.

Важные замечания по формуле суммы в произведение

• Формулы суммы в произведение используются для выражения суммы и разности тригонометрических функций синусов и косинусов в виде произведений функций синусов и косинусов.
• Мы можем вывести формулу произведения суммы, используя формулы произведения суммы в тригонометрии.
• Мы можем применить эти формулы для упрощения тригонометрических задач.
• Сумма к формуле произведения:
  • sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]
  • sin A — sin B = 2 sin [(A — B)/2] cos [(A + B)/2]
  • cos A — cos B = -2 sin [(A + B)/2] sin [(A — B)/2]
  • cos A + cos B = 2 cos [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]

☛ Похожие темы:

• 2 sinA sinB
• 2 sinA cosB
• 2 cosA sinB

Часто задаваемые вопросы о формуле суммирования произведения

Что такое формула суммы в произведении в тригонометрии?

Сумма и формула произведения в тригонометрии — это формулы, которые используются для выражения суммы и разности синусов и косинусов как произведений функций синуса и косинуса. Эта сумма к формуле продукта также известна индивидуально,

• Формула sin a плюс sin b, то есть sin A + sin B
• Формула sin a минус sin b, то есть sin A — sin B
• Формула cos a плюс cos b, то есть cos A + cos B
• Формула cos a минус cos b, то есть cos A — cos B

Список всех формул суммирования и произведения.

Формулы суммы в произведение выражаются следующим образом:

• sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]
• sin A — sin B = 2 sin [(A — B)/2] cos [(A + B)/2]
• cos A — cos B = -2 sin [(A + B)/2] sin [(A — B)/2]
• cos A + cos B = 2 cos [(A + B)/2] cos [(A — B)/2]

Как доказать формулу суммирования произведения?

Формулы суммы к произведению могут быть получены с использованием формулы произведения к сумме в тригонометрии с использованием замен переменных. Мы можем предположить, что (p + q)/2 = A и (p — q)/2 = B, и подставить их в произведение, чтобы суммировать формулы, заданные следующим образом:

• sin A cos B = (1/2) [ sin ( А + В) + грех (А — В) ]
• cos A sin B = (1/2) [ sin (A + B) — sin (A — B)]
• cos A cos B = (1/2) [ cos (A + B) + cos (A — B)]
• sin A sin B = (1/2) [cos (A — B) — cos (A + B)]

Как использовать формулу суммы для произведения?

Формулы суммы в произведение используются для выражения суммы и разности функций синуса и косинуса как произведения тригонометрических функций синуса и косинуса.

Как преобразовать сумму в произведение в тригонометрии?

Мы можем преобразовать сумму синуса и косинуса в произведение синуса и косинуса в тригонометрии, взяв соответствующие предположения о переменных и подставив их в формулы.

В чем разница между формулой произведения в сумме и суммой в произведении?

В формуле суммы произведения мы выражаем сумму тригонометрических функций синуса и косинуса в виде произведений. С другой стороны, в формуле произведения на сумму мы выражаем произведение тригонометрических функций синуса и косинуса как сумму или разность синуса или косинуса.

Формулы суммы к произведению и произведения к сумме – дифференциальное исчисление

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Выражать произведения в виде сумм.
• Выразите суммы как продукты.

Рис. 1. Оркестр Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (кредит: Эрик Чан, Flickr).

Группа марширует по полю, создавая потрясающий звук, который поддерживает толпу. Этот звук распространяется как волна, которую можно интерпретировать с помощью тригонометрических функций. Например, (рисунок) представляет звуковую волну для музыкальной ноты A. В этом разделе мы исследуем тригонометрические тождества, лежащие в основе повседневных явлений, таких как звуковые волны.

Рисунок 2.

Выражение произведений в виде сумм

Мы уже изучили ряд формул, полезных для расширения или упрощения тригонометрических выражений, но иногда нам может понадобиться выразить произведение косинуса и синуса в виде суммы. Мы можем использовать формулы произведения на сумму, которые выражают произведения тригонометрических функций в виде сумм. Давайте сначала исследуем тождество косинуса, а затем тождество синуса.

Выражение произведений в виде сумм для косинуса

Мы можем вывести формулу произведения на сумму из тождеств суммы и разности для косинуса. Если мы сложим два уравнения, то получим:

Затем делим на, чтобы выделить произведение косинусов:

Как

Произведение косинусов выразить в виде суммы.

1. Напишите формулу произведения косинусов.
2. Подставить данные углы в формулу.
3. Упростить.

Запись произведения в виде суммы с использованием формулы произведения косинуса на сумму

Запишите следующее произведение косинусов в виде суммы:

Показать решение

Начнем с написания формулы произведения косинусов:

Затем мы можем подставить заданные углы в формулу и упростить.

Попробуйте

Используйте формулу произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы или разности:

Показать решение

Выражение произведения синуса и косинуса в виде суммы

Далее мы выведем формулу произведения на сумму синуса и косинуса из формул суммы и разности для синуса. Если мы сложим сумму и разность тождеств, мы получим:

Затем мы разделим на 2, чтобы выделить произведение косинуса и синуса:

Запись произведения в виде суммы, содержащей только синус или косинус

Выразите следующее произведение в виде суммы, содержащей только синус или косинус и не содержащей произведений:

Показать решение

Напишите формулу произведения синуса и косинуса. Затем подставьте данные значения в формулу и упростите.

Попробуйте

Используйте формулу произведения к сумме, чтобы записать произведение в виде суммы:

Показать решение

Выражение произведений синусов через косинус

Выражение произведения синусов через косинус также получается из тождеств суммы и разности для косинуса. В этом случае мы сначала вычтем две формулы косинуса:

Затем мы разделим на 2, чтобы выделить произведение синусов:

Аналогичным образом мы могли бы выразить произведение косинусов через синус или получить другое произведение на сумму формулы.

Формулы произведения на сумму

Формулы произведения на сумму следующие:

Выражение произведения в виде суммы или разности

Запишите как сумму или разницу.

Показать решение

У нас есть произведение косинусов, поэтому начнем с написания соответствующей формулы. Затем подставляем данные углы и упрощаем.

Попробуйте

Используйте формулу произведения к сумме для оценки

Показать решение

Выражение сумм как произведений

Некоторые задачи требуют обратного процесса, который мы только что использовали. Формулы суммы к произведению позволяют нам выразить суммы синуса или косинуса в виде произведений. Эти формулы могут быть получены из тождеств произведения на сумму. Например, с помощью нескольких замен мы можем получить тождество суммы и произведения для синуса. Пусть и

Тогда

Таким образом, заменив и в формуле произведения на сумму замещающими выражениями, мы получим

Другие тождества суммы на произведение получаются аналогично.

Формулы суммы-произведения

Формулы суммы-произведения следующие:

Запись разности синусов в виде произведения

Запишите следующую разность синусов в виде произведения:

Показать решение

Мы начинаем написав формулу разности синусов.

Подставьте значения в формулу и упростите.

Попробуйте

Используйте формулу «сумма-произведение», чтобы записать сумму в виде произведения:

Показать решение

Оценка с использованием формулы «сумма-произведение»

Оценка Проверьте ответ с помощью графического калькулятора.

Показать решение

Начнем с того, что напишем формулу разности косинусов.

Затем подставляем данные углы и упрощаем.

Подтверждение личности

Докажите идентичность:

Показать решение

Мы начнем с левой части, более сложной части уравнения, и перепишем выражение, пока оно не совпадет с правой частью.

Анализ

Напомним, что проверка тригонометрических тождеств имеет свой собственный набор правил. Процедуры решения уравнения не совпадают с процедурами проверки личности. Когда мы подтверждаем тождество, мы выбираем одну сторону для работы и делаем замены до тех пор, пока эта сторона не превратится в другую сторону.

Проверка идентичности с использованием формул двойного угла и обратных тождеств

Проверка идентичности

Показать решение

Для проверки этого уравнения мы объединяем несколько тождеств. Мы будем использовать формулу двойного угла и обратные тождества. Мы будем работать с правой частью уравнения и перепишем ее, пока она не совпадет с левой частью.

Попробуйте

Подтвердите личность

Показать решение

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий с идентификаторами продуктов и сумм.

• Сумма идентификаторов продуктов
• Сумма к продукту и продукт к сумме идентификаторов

Ключевые уравнения

Формулы произведения на сумму
Формулы суммы к произведению

Ключевые понятия

• Из тождеств суммы и разности мы можем вывести формулы произведения на сумму и формулы произведения суммы на синус и косинус.
• Мы можем использовать формулы произведения на сумму, чтобы переписать произведения синусов, произведения косинусов и произведения синусов и косинусов в виде сумм или разностей синусов и косинусов. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
• Мы также можем получить тождества суммы-произведения из тождеств произведения-суммы с помощью подстановки.
• Мы можем использовать формулы суммирования для преобразования суммы или разности синусов, косинусов или произведений синуса и косинуса в произведение синусов и косинусов. См. (Рисунок).
• Тригонометрические выражения часто проще вычислить с помощью формул. См. (Рисунок).
• Тождества можно проверить с помощью других формул или преобразования выражений в синусы и косинусы. Для проверки тождества мы выбираем более сложную сторону знака равенства и переписываем ее до тех пор, пока она не преобразуется в другую сторону. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделу

Вербальные

1. Начиная с формулы произведения для суммирования объясните, как определить формулу для

Показать решение

Подставить косинус и синус и вычислить.

2. Обеспечьте два разных метода расчета, один из которых использует произведение для суммирования. Какой способ проще?

3. Опишите ситуацию, когда мы должны преобразовать уравнение из суммы в произведение, и приведите пример.

Показать решение

Ответы будут разными. Есть некоторые уравнения, которые включают сумму двух триггерных выражений, которые при преобразовании в произведение легче решить. Например: При преобразовании числителя в произведение уравнение принимает вид:

4. Опишите ситуацию, когда мы должны преобразовать уравнение из произведения в сумму, и приведите пример.

Алгебраический

Для следующих упражнений перепишите произведение в виде суммы или разности.

5.

Показать решение

6.

7.

Показать решение

8.

9.

Показать решение

10.

 

Для следующих упражнений перепишите сумму или разность в виде произведения.

11.

Показать решение

12.

13.

Показать решение

14.

15.

Показать решение

16.

 

Для следующих упражнений оцените произведение для следующего, используя сумму или разность двух функций. Точно оцените.

17.

Показать решение

18.

19.

Показать решение

20.

21.

Показать решение

В следующих упражнениях оцените произведение, используя сумму или разность двух функций. Оставьте в терминах синуса и косинуса.

22.

23.

Показать раствор

24.

25.

Показать раствор

26.

 

Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций. Оставьте в терминах синуса и косинуса.

27.

Показать решение

28.

29.

Показать решение

30.

31.

Показать раствор

Для следующих упражнений подтвердите тождество.

32.

33.

Показать решение

34.

35.

Показать решение

36.

37.

Показать раствор

38.

Числовой

Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций или произведение как сумму двух функций. Дайте ответ в виде синусов и косинусов. Затем оцените окончательный ответ численно, округлив до четырех знаков после запятой.

39.

Показать решение

40.

41.

Показать раствор

42.

43.

Показать решение

Технология

В следующих упражнениях алгебраически определите, является ли каждое из приведенных уравнений тождеством. Если это не тождество, замените правую часть выражением, эквивалентным левой части. Проверьте результаты, построив графики обоих выражений на калькуляторе.

44.

45.

Показать решение

Это личность.

46.

47.

Показать решение

Это не тождество, но есть.

48.

 

В следующих упражнениях упростите выражение до одного члена, затем нарисуйте исходную функцию и вашу упрощенную версию, чтобы убедиться, что они идентичны.