Производная 1 2x: Решите производную y=1/2x — ответ на Uchi.ru

alexxlab / / Разное

12. Производная функции

§12. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.

Пусть – приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Производной функции в точке называется предел

.

Геометрический смысл производной: , т.е. значе- ние производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке .

Уравнение касательной , проведенной к графику функции в точке с абсциссой :

. Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией

113

и обозначается . Процесс нахождения производной называют также дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций

1.. 2..

3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. .

10. .

11. .

Правила дифференцирования функций

. Пусть – постоянная, – дифференцируемые функции. Тогда:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

. (правило дифференцирования сложной функции: .

114

Физический смысл производной

Если – функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная есть скорость, а вторая производная – ускорение этой точки в момент времени .

Интервалы возрастания и убывания функции Если функция дифференцируема на интервале и ( ) для всех , то функция воз- растает (убывает) на интервале . Экстремумы функции Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство ( ). Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими. Точки экстремума функции находятся среди критических точек.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда: 1) если при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума функции ; 2) если при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума функции .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на некотором отрезке , нужно вычислить значения функции в критических точках, лежащих в интервале , и на концах отрезка, а затем из полученных таким

115

образом значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Сколько существует точек на графике функции , в которых касательная параллельна прямой ? Решение. .

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен . Прямая параллельна тем касательным, у которых угловой коэффициент равен . Поэтому: ; , откуда находим: , .

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой Решение. ; ; .

Уравнение касательной: , т.е. .

Эта прямая пересекает координатные оси в точках и . . Ответ: .

116

Пример 3. Найти середину интервала убывания функции Решение. Функция определена и имеет производную на всей числовой прямой. Она убывает в интервале, где .

.

.

Итак, функция убывает в интервале . Середина этого интервала: . Ответ: 1.

Пример 4. Найти наибольшее значение функции

на отрезке . Решение. Найдем производную функции :

.

.

Наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел , , . Имеем: ;

; . Поэтому .

Ответ: .

Пример 5. Найти число точек экстремума функции . Решение. =

117

. . Исследуя знак производной

при переходе через эти критические точки, получаем, что – точка максимума, – точка минимума, а не является точкой экстремума. Ответ: 2. Пример 6. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса .

Решение. Пусть – радиус основания цилиндра, – высо-та цилиндра. Проведем осевое сечение цилиндра.

. Из прямоугольного треугольника , т. е. .

Объем цилиндра: . Нужно найти значение , при котором функция принимает наибольшее значение. . . При переходе через точку производная меня- ет знак с плюса на минус, поэтому – точка максимума

118

функции . Так как функция в промежутке имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то при функция принимает наибольшее значение в промежутке .

Ответ: 20.

Пример 7. Найти все значения параметра , при которых наименьшее значение функции на отрезке отрицательно. Решение. Так как , то .

Обозначим . Тогда искомыми значениями параметра будут те, при которых наименьшее значение функции на отрезке отрицательно.

График функции – парабола, ветви которой направлены вверх; абсцисса вершины параболы: (рис. 1). (В данной задаче знак дискриминанта не имеет значения.)

а) б) в)

Рис. 1

Наименьшее значение функции на отрезке в случаях а), б), в) достигается соответственно в точках

119

. Поэтому условию задачи удовлетворяют те значения параметра , которые являются решением совокупности следующих трех систем:

Имеем: ; ; . Следовательно, . Ответ: .

120

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти производную функции в точке : а) , ; (Ответ: )

б) , ; (Ответ: )

в) , ; (Ответ: )

г) , ; (Ответ: )

д) , .

(Ответ: – 24)

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению функции в точке касания.

Найти сумму абсцисс точек касания. (Ответ: 10)

3. Прямая касается параболы в точке

с абсциссой . Найти сумму . (Ответ: 2)

4. Материальная точка движется по оси по закону

( – координата в метрах, – время в

секундах). Через сколько секунд после начала движения

точка остановится? (Ответ: 5)

5. Найти длину отрезка, отсекаемого осями координат на ка-

сательной к кривой , проведенной в точке с

абсциссой . (Ответ: 25)

6. Найти площадь треугольника, образованного координат-

ными осями и касательной к кривой в точке

. (Ответ: )

121

7. К графику функции в точке

проведена касательная. Найти расстояние от начала коор-

динат до этой касательной. (Ответ: 0,6)

8. Найдите точки максимума функции . (Ответ: 2)

9. Сколько точек экстремума имеет функция ? (Ответ: 2)

10. Найти длину интервала, на котором функция

убывает. (

Ответ: 1,5)

11. Найти количество целых чисел, принадлежащих проме-

жутку убывания функции . (Ответ: 4)

12. При каком значении максимум функции равен 2? (Ответ: – 1)

13. Найти модуль разности экстремумов функции . (Ответ: 13,5) 14. Найти значение функции в точке ее

минимума. (Ответ: 5)

15. Найти наименьшее значение функции на

отрезке . (Ответ: – 1)

16. Найти наибольшее значение функции

на отрезке . (Ответ: 3)

122

17. Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Ответ: 1)

18. Найти наибольшее значение функции ,

если график этой функции проходит через точку .

(Ответ: )

19. Найти сумму наибольшего и наименьшего целых значений

функции

а) ; (Ответ: 10)

б) . (Ответ: 51)

20. Найти максимально возможную площадь прямоугольника

с периметром, равным 72. (Ответ: 324) 21. Найти высоту конуса наибольшего объема, образующая

которого имеет длину . (Ответ: 1) 22. Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка , а катетами служат отрезки координатных осей? (Ответ: 4)

23.Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб

для подачи воды. При каком угле наклона боковых сте- нок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей? (Ответ: )

24. {2}-4ac}}{2a}.

x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}

Возведите -23 в квадрат.

x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}

Умножьте -4 на 12.

x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}

Умножьте -48 на -24.

x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1681}}{2\times 12}

Прибавьте 529 к 1152.

x=\frac{-\left(-23\right)±41}{2\times 12}

Извлеките квадратный корень из 1681.

x=\frac{23±41}{2\times 12}

Число, противоположное -23, равно 23.

x=\frac{23±41}{24}

Умножьте 2 на 12.

x=\frac{64}{24}

Решите уравнение x=\frac{23±41}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 23 к 41.

x=\frac{8}{3}

Привести дробь \frac{64}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

x=\frac{-18}{24}

Решите уравнение x=\frac{23±41}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из 23.

x=-\frac{3}{4}

Привести дробь \frac{-18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6. {2}}=\sqrt{\frac{1681}{576}}

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

x-\frac{23}{24}=\frac{41}{24} x-\frac{23}{24}=-\frac{41}{24}

Упростите.

x=\frac{8}{3} x=-\frac{3}{4}

Прибавьте \frac{23}{24} к обеим частям уравнения.

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Цепное правило

Цепное правило

Цепное правило

Наша цель — дифференцировать такие функции, как

        y = (3x + 1) 10

Цепное правило 

Если
y = y(u)

является функцией u, и

          ты = u(x)

является функцией x затем

dy           dy дю
=                                      
дх дю       дх         


В нашем примере у нас есть

        y  = и 10

и

        у  = 3x + 1

так что

        dy/dx =  (dy/du)(du/dx) 

        =  (10u 9 ) (3)  =  30u 9   =  30 (3x+1) 9  

 

Доказательство цепного правила

Вспомните альтернативное определение производной:


 

Примеры  

Найти f'(x), если

  1. f(x) = (x 3 — x + 1) 20

  2. f(x) = (x 4 — 3x 3 + х) 5

  3. f(x) = (1 — x) 9 (1-x 2 ) 4

  4. (х 3 + 4х — 3) 7
    f(x)  =                              
    (2x — 1) 3  

Решение:

  1. Здесь 

            f(u) = u 20

    и 

            u(x) = x 3 — х + 1

    Так что производная равна 

            [20u 19 ] [3x 2 — 1]  =  [20(x 3 — x + 1) 19 ] [3x 2 — 1]

  2. Здесь 

            f(u) = u 5

    и 

            u(x) = x 4 — 3x 3 + x

    Так что производная равна 

            [5u 4 ] [4x 3 — 9x 2 + 1]  =  [5(x 4 — 3x 3 ) + х) 4 ] [4x 3 — 9x 2 + 1]

  3. Здесь нам нужны и произведение, и цепное правило.

            f'(x) = [(1 — х) 9 ] [(1 — х 2 ) 4 ]’ + [(1 — х) 9 ] ‘  [(1 — x 2 ) 4 ]

    Сначала мы вычисляем

            [(1 — x 2 ) 4 ] ‘ = [4(1 — х 2 ) 3 ] [-2x]

    и

            [(1 — x) 9 ] ‘ = [9(1 — x) 8 ] [-1]

    Собрав все это вместе, мы получим

            f'(x) = [(1 — х) 9 ] [4(1 — х 2 ) 3 ] [-2x] — [9(1 — x) 8 ]  [(1 — x 2 ) 4 ]

  4. Здесь нам нужны и частное, и цепное правило.

    (2x — 1) 3 [(х 3 + 4х — 3) 7 ] ‘  —  (x 3 + 4x — 3) 7 [(2x — 1) 3 ]
    f ‘(x) =                                                                                       
    (2x — 1) 6

    Сначала мы вычисляем

            [(x 3 + 4x — 3) 7 ] ‘ = [7(x 3 + 4x — 3) 6 ] [3x 2 + 4]

    и

            [(2x — 1) 3 ] ‘  = [3(2x — 1) 2 ] [2]

    Все это вместе дает

    . 7(2x — 1) 3 (x 3 + 4x — 3) 6 (3x 2 + 4)  +  6(x 3 + 4x — 3) 7 (2x — 1) 2
    f ‘(x) =                                                                                                                      
    (2x — 1) 6  

    Упражнение

    Найдите производную от

    х 2 (5 — х 3 ) 4
    f(x)  =                            
    3 — х

 

Заявка

Предположим, вы положили в банк 1000 долларов под процентную ставку. r начисляется ежемесячно в течение 3 лет. Тогда сумма А, которая будет на счету в конце из трех лет будет

А = 1000(1 + г/12) 36

Найдите скорость, с которой растет А по отношению к увеличению процентной ставки.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *