Продолжайте практиковать Проблемы
Реклама
Вопрос Видео: Решение уравнений с учетом первой производной полиномиальной функции в точке
Стенограмма видео
Пусть 𝑓 числа 𝑥 равно 𝑥 в кубе минус четыре 𝑥 минус 18. Какое значение 𝑥 решает уравнение 𝑓 простое число 𝑥 равно 92?
Вопрос дает нам кубическую функцию 𝑓 от 𝑥. И он хочет, чтобы мы нашли значения 𝑥, которые решают уравнение 𝑓 простое число 𝑥 равно 92. Во-первых, нам нужно помнить, что 𝑓 простое число 𝑥 означает производную функцию 𝑓 от 𝑥. Итак, чтобы найти 𝑓 простое число 𝑥, нам нужно дифференцировать наше кубическое уравнение 𝑥 в кубе минус четыре 𝑥 минус 18.
Мы помним, что когда мы дифференцируем сумму или разность членов, мы можем просто дифференцировать каждый член по отдельности. И мы можем различать все эти термины, используя правило степени для дифференцирования.
Для любых констант 𝑎 и 𝑛 производная от 𝑎𝑥 в 𝑛-й степени по 𝑥 равна 𝑛𝑎𝑥 в степени 𝑛 минус единица. Умножаем на показатель степени 𝑥 и уменьшаем этот показатель на единицу.
Итак, сначала дифференцируем 𝑥 в кубе. Умножаем на показатель степени трех и уменьшаем этот показатель степени на единицу. И мы можем упростить это до трех 𝑥 в квадрате. Далее, чтобы дифференцировать наш второй член отрицательной четверки 𝑥, мы перепишем это как отрицательную четверку 𝑥 в первой степени. Теперь, чтобы дифференцировать это, мы умножаем на показатель степени 𝑥, который равен единице, а затем уменьшаем этот показатель на единицу. И мы можем снова упростить это. Умножение на единицу не меняет нашего значения. А 𝑥 в степени один минус один равно 𝑥 в нулевой степени. А 𝑥 в нулевой степени равно единице. Итак, это выражение упрощается, чтобы дать нам минус четыре.
Мы могли бы дифференцировать наш окончательный член минус 18, переписав его как минус 18 раз 𝑥 в нулевой степени. Однако мы могли бы также просто помнить, что производная любой константы равна нулю.
Мы хотим решить это уравнение относительно 𝑥. Мы начнем с добавления четырех к обеим частям этого уравнения. И это дает нам 96 равно трем 𝑥 в квадрате. Теперь разделим обе части этого уравнения на три. И это дает нам, что 32 равно 𝑥 в квадрате. Наконец, мы можем решить это уравнение для 𝑥, взяв квадратный корень из обеих частей, где, как мы помним, мы получим положительный и отрицательный ответ. Это дает нам, что 𝑥 равно положительному или отрицательному корню 32.
И мы могли бы оставить наш ответ таким. Однако мы можем упростить это, вспомнив, что 32 — это два в пятой степени, что мы можем записать как два раза два в четвертой степени. Используя это, мы видим, что квадратный корень из 32 — это квадратный корень из двух, умноженных на два в четвертой степени.