Примеры решения типовых задач по дифференциальному исчислению функций одной переменной
Задача 12. Найти указанные пределы:
Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента Х=2 приводит к неопределенности вида 0/0. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2). Так как аргумент Х только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель (х-2) отличен от нуля при Х®2:
Б) пусть Arctg 2X=Y. Тогда 2х=Tg Y; очевидно, что если Х®0, то Y®0. Следовательно,
(используем первый замечательный предел).
Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной.
В) При Х®¥ Основание стремиться к 1, а показатель степени 4х+1 стремиться к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1¥. Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:
Тогда
Положим 2х+3=-4у; при Х®+¥ переменная У® —¥. Выразим показатель степени через новую переменную У. Так как 2х=-4у-3, то 4х+1=-8у-5. Таким образом,
(используем второй замечательный предел).
Г) При Х®2 Основание (3х-5) Стремится к единице, а показатель степени стремиться к бесконечности.
Положим 3х-5=1+A, где A®0 При Х®2. Тогда
Выразив основание и показатель степени через A, получим
Задача 13.
Функция У задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента Х:
Рис. 5.
Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции У при приближении аргумента Х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.
Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-¥, -2), (-2, 1) и (1, +¥). При Х=-2 и Х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке Х=-2:
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке Х=1:
Так как односторонние пределы функции У в точке Х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.
Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельным значениями.
Следовательно, в точке Х=1 скачок функции . График функции показан на рис. 5.
Задача 14. Дана функция
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента Х1=-2 и Х2=3; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [-6;6].
Решение. Если ищется предел функции У=F(х) при условии, что аргумент Х, стремясь к своему предельному значению A, может принимать только такие значения, которые меньше A, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке Х=A и условно обозначается так:
Функция У=F(х) непрерывна при Х=A, если выполняются следующие условия: 1) функция У=F(х) определена не только в точке A, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;
2) функция У=F(х) имеет при Х®A конечные и равные между собой односторонние пределы;
3) односторонние пределы при Х®A Совпадают со значением функции в точке A, т.
е.
Если для данной функции У=F(х) в данной точке Х=A хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке Х=A.
Разрыв функции У=F(х) в точке Х=A называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.
При Х=-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при Х®-2 слева и справа
Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;
Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным.
Таким образом, при Х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода. При Х=3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.
Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных).
Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке составим следующую таблицу:
|
Х |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
У |
9/2 |
5 |
6 |
9 |
+¥ |
-3 |
0 |
1 |
3/2 |
9/5 |
2 |
15/2 |
9/4 |
График функции показан на рис.
6.
Рис. 6.
Задача 15. Найти производные функций
А) б)
В) г)
Решение. а) Пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
Б) Предварительно прологарифмируем по основанию в обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая lnУ сложной функцией от переменной Х:
В) В данном случае зависимость между аргументом Х и функцией У задана уравнением, которое не разрешено относительно функции У. Чтобы найти производную
Из полученного равенства, связывающего Х, у И у’, находим производную У’:
Г) Зависимость между переменными Х И У задана параметрическими уравнениями.
Чтобы найти искомую производную У’, находим предварительно дифференциалы Dx И Dy и затем берем отношение этих дифференциалов
Задача 16. Найти производную второго порядка : а) б)
Решение. а) Функция У задана в неявном виде. Дифференцируем по Х обе части заданного уравнения, считая при этом У функцией от Х:
(1)
Снова дифференцируем по Х обе части (1):
(2)
Заменив У’ в (2) правой частью (1), получим
Б) Зависимость между переменными Х И У задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную У’, находим сперва дифференциалы Dy И Dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная второго порядка . Следовательно, чтобы найти У’’, надо найти дифференциал Dy’:
Тогда
Задача 17. Найти приближенное значение функции при Х2=5,85 исходя из ее точного значения при Х1=6.
Решение. Известно, что дифференциал Dy функции У=F(х) представляет собой главную часть приращения этой функции DУ. Если приращение аргумента DХ Мало по абсолютной величине, то DУ приближенно равно дифференциалу, т. е. D
Пусть Х=х1, Х+DХ=х2, т. е. DХ=х2-х2.
Тогда
Или
(1)
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при Х=х2, если известно значение функции и ее производной при Х=х1.
Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной F’(X) при Х=6:
Применяя (1), получаем
Задача 18.
Найти приближенное значение величины Tg 470.
Решение. Применяем формулу
Рассмотрим функции У=Tgx. Дифференциал . Так как Tg 450=1, то положим Х1=450 и Х2=470. Приращение DХ=470-450=20, или в радианном измерении . Следовательно,
Задача 19. Данная парабола и радиус окружности R=10, центр которой находится в начале координат.
Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения.
Решение. 1) Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: Х2+у2=R2, где R – радиус окружности. Следовательно, Х2+у2=100 есть уравнение данной окружности.
Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решаем совместно систему:
В результате находим, что парабола и окружность пересекаются в двух точках: А (-8;-6) и В (8;-6) (рис.
7).
Рис. 7.
2) Известно, что угловой коэффициент касательной к кривой У=F(х) в точке М0 (х0;у0), лежащей на этой кривой, равен значению производной в точке касания, т. е. .
Для определения угловых коэффициентов касательных к параболе в точках А и В находим производную У’:
Следовательно,
Уравнение касательной к кривой У=F(х) в точке М0 (х0;у0) имеет вид
(1)
Подставив в (1) координаты точки А и значение углового коэффициента KА=2, получим уравнение касательной к данной параболе в точке А:
Подставив в (1) координаты точки В и KВ=-2, получим уравнение касательной к данной параболе в точке В:
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к кривой У=F(х) в точке М0 (х0;у0) имеет вид
(2)
Подставив в (2) координаты точки А и KА=2, находим уравнение нормали в точке А: Х+2у+20=0.
Аналогично находим уравнение нормали в точке В: Х-2у-20=0.
3) Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Под углом двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке пересечения. Так как заданные кривые являются симметричными относительно оси ординат, то углы, образуемые данными кривыми в точках их пересечения, будут равны между собой. По этому достаточно найти угол между касательными к параболе и к окружности только в одной точке, например в точке А.
Определим угловой коэффициент KАЕ касательной АЕ, проведенной к окружности Х2+у2=100 в точке А (-8;-6):
Из аналитической геометрии известно, что угол J Между двумя прямыми определяется по формуле
(3)
Положив в (3) K1=KAC=2 и K2=KAЕ=-4/3, получим:
Таким образом, острый угол J , образуемый параболой и окружностью в точке пересечения А, составляет приближенно 63026’.
Задача 20. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так: Х2-6х+10=(х-3)2+1. Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента Х. Следовательно, область существования данной функции служит вся числовая ось.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3. Установим четность и нечетность функции. Так как У(-х)¹У(х) и У(-х)¹ — у(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
Знаменатель Х2-6х+10>0 для любого значения Х. Как видно, при Х<3 первая производная отрицательна, а при Х>3 положительна. При Х=3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс.
В этой точке функция имеет минимум:
Итак, А (3;0) – точка минимума (см. рис. 8). Функция убывает на интервале (-¥,3) и возрастает на интервале (3,+¥).
Рис. 8.
5. Определяем точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем всю числовую ось на три интервала: (-¥,2), (2,4), (4,+¥). Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При Х1=2 и Х2=4 вторая производная меняет свой знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:
Следовательно, Р1 (2;ln2) и Р2 (4;ln2) – точка перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах (-¥,2) и (4,+¥) и вогнутым в интервале(2,4).
6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты У=Kx+B воспользуемся формулами:
Имеем
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот.
График исследуемой функции показан на рис. 8.
Задача 21. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1. Функция терпит разрыв при Х=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как У(-х)¹У(х) и У(-х)¹ — у(х).
3. Исследуем функцию на экстремум, используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке Х0 вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция F(X) имеет максимум при F’’(X0)<0 и минимум при F’’(X0)>0. Находим первую производную:
(1)
Или
Как видно, первая производная равна нулю при Х=1 и Х=3 и не существует при Х=2. Так как при Х=2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную У’’:
Сократив на (х-2) и выполнив преобразования в числителе, получим
(2)
Так как , то при Х1=1 функция имеет максимум.
Так как , то при Х2=3 функция имеет минимум.
Вычислим значения функции в точках экстремума: У(1)=3; У(3)=7. Следовательно, А (1;3) – точка максимума, В (3;7) – точка минимума.
4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.
5. Определим асимптоты графика функции. Х=2 есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:
Следовательно, У=х+3 – уравнение наклонной асимптоты. График исследуемой функции приведен на рис. 9.
Рис. 9. Рис. 10
Задача 22. Расстояние от центральной усадьбы совхоза до районного центра, расположенного у асфальтированной прямолинейной дороги составляет 26 км (отрезок АВ на рис. 10), а кратчайшее расстояние от центральной усадьбы до этой дороги – 10 км (отрезок АС). Скорость велосипедиста на асфальтированной дороге равна 20 км/ч, а за ее пределами – 12 км/ч.
Найти минимальное время, в течение которого велосипедист преодолеет путь от центральной усадьбы до районного центра.
Решение. Пусть CD=Х, тогда . Путь велосипедиста состоит из двух участков AD и BD. На первом участке его скорость равна 12 км/ч, на втором – 20 км/ч. Время, затраченное велосипедистом на весь путь,
(1)
(Из прямоугольного треугольника АВС следует, что ВС=24; следовательно, BD=24-Х).
Исследуем функцию (1) на экстремум. Найдем первую производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение. Имеем
(2)
Определим знак производной (2) при Х<7,5 и при Х>7,5.
При Х=7,5 производная изменяет знак с минуса на плюс; значит, при этом значении аргумента функция имеет минимум. Подставив в (1) Х=7,5, получим
Таким образом, минимальное время нахождения в пути велосипедиста составляет 1 ч 52 мин.
Заметим, что при Х=0, т.
е. если выбрать кратчайший путь до асфальтированной дороги, а затем двигаться по ней, то время в пути составит У(0)= 2ч 02 мин. Если же выбрать прямой путь по не асфальтированной дороге (т. е. при Х=24), то время в пути составит 2 ч 10 мин.
Задача 23. Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А (0;1).
Решение. Радиус кривизны вычисляется по формуле
Дважды дифференцируя данную функцию, находим
Вычислим значения производных У’’ и Y’ в заданной точке А (0;1), т. е при Х=0; имеем . Тогда радиус кривизны
Для нахождения координат центра кривизны С (хс;ус) воспользуемся формулами
Подставив в эти формулы координаты точки А и найденные значения производных, получим:
Итак, точка С (5/2;-1/4) – центр кривизны.
Кривая , точка А (0;1), центр кривизны С (5/2;-1/4) и радиус кривизны R»2,8 изображены на рис.
11.
Рис. 11.
Задача 24. Найти радиус кривизны кривой R=Asin3J (трех лепестковая роза) в точке А (P/6;А).
Решение. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением R=F(J), то радиус кривизны вычисляется по формуле
(*)
Дважды дифференцируя данную функцию R=Asin3J, найдем R’=3Acos3J, R’’=-9Asin3J.
Вычислим значения производных R’И R’’ в точке А (P/6;А), т. е. при J=P/6 и R=А. Имеем: R’(P/6)=0 и R’’(P/6)=-9A. Подставив в формулу (*) R=A, R’=0 и R’’= —9A, получим
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Таблица производных и правила дифференцирования функций
Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач.
Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.
Содержание
Что такое производная функции
Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле:
, то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.
Характеристика производной и ее смысл
Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Таблица производных
Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.
Правила дифференцирования
| № правила | Название правила | Правило дифференцирования |
| 1 | Производная постоянной величины | , С-постоянная |
| 2 | Производная суммы | . |
| 3 | Производная произведения постоянной на функцию | , С – постоянная |
| 4 | Производная переменной x | |
| 5 | Производная произведения двух функций | |
| 6 | Производная деления двух функций | |
| 7 | Производная сложной функции |
Таблица производных простых и сложных функций
Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.
| Номер формулы | Название производной | Основные элементарные функции | Сложные функции |
| 1 | Производная натурального логарифма по x | ||
| 2 | Производная логарифмической функции по основанию a | ||
| 3 | Производная по x в степени n | ||
| 4 | Производная квадратного корня | ||
| 5 | Производная a в степени x | ||
| 6 | Производная e в степени x | ||
| 7 | Производная синуса | ||
| 8 | Производная косинуса | ||
| 9 | Производная тангенса | ||
| 10 | Производная котангенса | ||
| 11 | Производная арксинуса | ||
| 12 | Производная арккосинуса | ||
| 13 | Производная арктангенса | ||
| 14 | Производная арккотангенса |
Примеры нахождения производных
Пример 1
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .
Решение:
Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:
По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).
По правилам дифференцирования 3 и 4.
По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”
Итак, получим: .
Пример 2
Найти производную функции
Решение:
Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.
Ответ:
Пример 3
Найти производную функции
Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.
Ответ:
Пример 4
Найдите производную функции
Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.
Ответ:
Пример 5
Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции
Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.
То есть мы имеем функцию вида .
Возьмем производную этой функции:
Ответ:
Пример 6
Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м
Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.
Находим скорость тела:
Ответ: 3 м/с.
Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Производная арктангенса: формула, доказательство, примеры, решение
Узнайте о производной арктангенса, формуле, доказательстве, решении и о том, как различать арктангенс с помощью цепных правил и правил произведения.
от Алана Уокера — Опубликовано на 26 октября 2022 г.
Введение в производную арктана
Производные имеют широкий спектр применения практически во всех областях техники и науки. Все производные тригонометрических функций можно найти, следуя производной sin x и cos x. Или мы можем напрямую найти производную от арктангенса х, применив первый принцип дифференцирования. В этой статье вы узнаете, что такое производная арктангенса x и как вычислить производную арктангенса x, используя различные подходы. 92} $$
Как доказать производную от arctanx?
Существует множество способов получения производных tan x. Следовательно, мы можем доказать производную от arctan x, используя;
Первый принцип
Цепная линейка
Производная Арктана по первому принципу
Производная функции по первому принципу относится к нахождению общего выражения для наклона кривой с помощью алгебры. Он также известен как дельта-метод.
Производная является мерой мгновенной скорости изменения, которая равна
$$f(x) \;=\; \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Доказательство производной arctanx по первому принципу
Чтобы доказать производную tan x по первому принципу, замените f(x) на загар х.
$$f (x) \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{arctan (x+h) — arctan x}{h} $$
Теперь, используя тригонометрическую формулу, tan-1 x-tan-1 y =tan-1 x-y 1 +xy , значит,
$$f (x) \;=\; \lim_{h \to 0}[(\frac{1}{h})\;arctan (\frac{x+h-x}{1+x(x+h)}] $$
Упрощение,
9092}$$Как найти производную арктангенса x с помощью калькулятора?
Самый простой способ отличить arctan x — использовать онлайн-инструмент. Для этого вы можете воспользоваться нашим калькулятором производных. Здесь мы предлагаем вам пошаговый способ расчета производных с помощью этого инструмента.
Запишите функцию как arctan x или tan-1x в поле ввода функции. На этом шаге вам нужно указать входное значение в виде функции, так как вам нужно вычислить производную от arctan(x).
Теперь выберите переменную, по которой вы хотите дифференцировать arctan x. Здесь вы должны выбрать x’.
Выберите, сколько раз вы хотите различать арктангенс (арктангенс x). На этом шаге вы можете выбрать 2 для второй производной, 3 для третьей производной и так далее.
Нажмите кнопку расчета. После этого шага вы получите производную от арктангенса x в течение нескольких секунд.
Часто задаваемые вопросы
Что такое arctan в исчислении?
Обратное значение тангенса тригонометрической функции. Тангенс – это наклон кривой или линии. Это отношение стороны, противолежащей углу, к прилежащей стороне к этому углу. Пишется как;
tan -1 x =y или x = tan y
Является ли arctan дифференцируемым?
Да, он дифференцируем в своей области. Потому что в области arctan его производная существует в каждой точке. Он используется для определения меры угла между перпендикулярной длиной и базовой длиной.