Элементарная алгебра
Элементарная алгебра
ОглавлениеГлава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8.  Частные приемы решения уравнений высших степеней§ 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII.  СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ§ 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.  § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1.  Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА |
Способы решения систем уравнений — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике.
Базовый уровень Сложные задачи
1. Способы решения систем уравнений
2. Различные способы решения систем уравнений
метод подстановки
метод сложения
метод введения новых переменных
графический метод
3. Метод подстановки
• Одно из уравнений системы преобразуют к виду, вкотором y выражено через х ( или х через y )
• Полученное выражение подставляют вместо y (или
вместо х ) во второе
уравнение.
В результате
получается уравнение с одной переменной
• Находят корни этого уравнения
• Воспользовавшись выражением y через х(или х через y),
находят соответствующие значения х (или y)
Метод сложения
• Преобразовать коэффициенты так,
чтобы коэффициенты при х или у
были противоположными числами
• Сложить получившиеся уравнения
• Решить уравнение с одной переменной
5. Метод введения новых переменных
• Замени одно или два выражения в уравнениях системыновыми переменными так, чтобы вновь полученные
уравнения стали более простыми.
• Реши полученную систему уравнений
методам
наиболее подходящим для э той системы уравнений.
• Сделай обратную замену, для того, чтобы найти
значения первоначальных переменных.
• Запиши ответ в виде пар значений (x,y), которые были
найдены на третьем шаге.
6. Графический метод
Выразить в обоих уравнениях системы
переменную у через переменную х
Построить графики функций в одной
системе координат.
Отметить точки пересечения графиков,
выписать их координаты.
Записать в ответ полученные пары
чисел (х;у).
7. Способ подстановки
Графики пересекаютсяв четырех точках (они
обозначены буквами А,
В, С, Д), следовательно,
данная система
уравнений имеет четыре
решения:
(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Преимущества и недостатки
метода
Графический метод решения систем, как и графический
метод решения уравнений, красив, но ненадежен:
• во-первых, потому, что графики уравнений мы сумеем
построить далеко не всегда;
• во-вторых, даже если графики уравнений удалось
построить, точки пересечения могут быть не такими
«хорошими», как в специально подобранных примерах
учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами
чертежа.
9. Метод сложения
Проверь себяРеши систему уравнений, используя метод
x y 5,
подстановки:
xy 6.
Реши систему уравнений, используя метод
3x 2 y 5,
сложения:
2 x 5 y 16.
Реши систему уравнений , используя
графический способ: x y 1,
x y 25.
Реши систему уравнений, используя метод
подстановки: 2 x y 1,
2
2
2
2 x xy y 1.
2
10. Преимущества и недостатки метода
Выводрешения систем уравнений. Каждый выберет для себя
способ, который ему больше всего понравился, самое
главное — что каждый из Вас научился решать
системы такого вида и поэтому эпиграфом могли
служить слова Б.В.Гнеденко:
«Ничто так не содействует
усвоению предмета, как действие
с ним в разных ситуациях»
English Русский Правила
Стратегии решения систем уравнений на ACT
Система уравнений представляет собой набор из двух или более уравнений, включающих две или более переменных. Чтобы решить систему уравнений в тесте ACT Math, вам нужно по одному уравнению для каждой переменной в системе. Обычно это означает два уравнения и две переменные.
Вы можете решить систему линейных уравнений двумя способами:
С заменой. С помощью этого метода вы решаете одно уравнение для переменной через другую(ые), а затем подставляете это значение во второе уравнение.
Путем объединения уравнений (исключение). Чтобы использовать этот метод, вы добавляете или вычитаете два уравнения таким образом, чтобы одна переменная выпадала из полученного уравнения.
Оба эти метода похожи тем, что позволяют написать одно уравнение с одной переменной, которое затем можно решить, используя обычные алгебраические приемы. После того, как вы узнаете значение одной переменной, вы можете подставить это значение обратно в одно из двух исходных уравнений (обычно более простое), чтобы получить значение оставшейся переменной.
Подстановку легче использовать, когда переменная в одном уравнении уже изолирована или когда ее можно легко изолировать.
Пример 1
Если х + 9 = х и 7 х – 2 = 2 х , то каково значение ху ?
(А) 48
(Б) 49
(К) 50
(Д) 51
(Е) 52
Этот вопрос дает вам два уравнения с двумя переменными. В первом уравнении y уже изолированы с одной стороны уравнения, поэтому замена должна работать хорошо. Подставьте x + 9 вместо y во втором уравнении:
Упрости и реши:
Теперь, когда вы знаете значение x , подставьте это значение обратно в уравнение, с которым проще всего работать — в данном случае, в первое уравнение — и решите для y :
Таким образом, x = 4 и y = 13, поэтому xy = 52. Правильный ответ — вариант (E).
Технику объединения уравнений легче использовать, когда оба уравнения содержат по существу один и тот же член. Посмотрите следующий пример.
Пример 2
Если 4 s + 5 t = 9 и 9 s + 5 t = –11, каково значение s + t ?
(А) 2
(Б) 1
(С) 0
(Г) –1
(Э) –2
Ответить на этот вопрос с помощью подстановки было бы сложно, потому что ни одну из переменных не очень легко изолировать на одной стороне уравнений. Однако в оба уравнения входит член 5 t , так что вы можете объединить два уравнения с помощью вычитания.
Когда вы вычитаете одно уравнение из другого, член t выпадает. Полученное уравнение легко решить:
Как всегда, когда вы знаете значение одной переменной, вы можете подставить это значение обратно в любое уравнение — в зависимости от того, что кажется проще — и найти другую переменную, например:
Итак, с = –4 и t = 5, что означает с + t = 1. В результате правильный ответ — Вариант (В).
Эта статья взята из книги:
- ACT Math For Dummies,
Об авторе книги:
Марк Зегарелли — автор книг Basic Math & Pre-Algebra For Dummies, SAT Math For Dummies (оба от Wiley) и пять других книг по основам математики, исчисления и логики. Он имеет степень по английскому языку и математике в Университете Рутгерса и является репетитором и учителем математики.
Эту статью можно найти в категории:
- ACT ,
Математика, математика и статистика — Набор академических навыков
Решение одновременных линейных уравнений (экономика)
How ? 3 Метод замещения 3.1 Видео пример 4 Исключение 4.1 Определение 4.2 Рабочие примеры 5 Применение одновременных линейных уравнений в экономике 6 Спрос и предложение 6. 1 Обратные уравнения спроса и предложения 7 Сравнительная статистика 7.1 Налог на единицу продукции 7.2 Адвалорный налог 8 Анализ затрат-выпуска 9Макроэкономическое равновесие9.1 Видеопример 10 Рабочая тетрадь 11 Проверь себя 12 Внешние ресурсы
Решение одновременных линейных уравнений
Два или более линейных уравнения, содержащие одни и те же неизвестные переменные, называются системой одновременных линейных уравнений . Решение такой системы означает нахождение значений неизвестных переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно.
Ниже приведены примеры использования одновременных уравнений в экономике.
Существует два распространенных метода решения одновременных линейных уравнений: подстановка и исключение . В некоторых вопросах один метод является более очевидным выбором, часто потому, что он упрощает процесс решения уравнений; в других случаях выбор метода зависит от личных предпочтений. В любом случае оба метода в конечном итоге приведут к одному и тому же решению.
Примечание : Чтобы иметь возможность решить любую систему линейных уравнений, мы должны иметь как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
Здесь мы сосредоточимся на системах с двумя уравнениями и двумя переменными.
Сколько решений?
Система одновременных линейных уравнений может иметь либо: одно единственное решение , бесконечное множество решений либо никаких решений .
Мы знаем, что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, поэтому в системе двух линейных уравнений есть две прямые линии. Если эти строки:
1) Пересекаются есть одна уникальная решение системы уравнений. Это имеет смысл, так как может быть только пара значений (по одному для каждой переменной), которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. Эта пара значений будет соответствовать точке пересечения.
2) Являются ли одной и той же линией говорят, что существует бесконечно много решений системы уравнений: все пары значений переменных в одной строке удовлетворяют уравнению другой строки, так как они являются одной и той же линией .
3) Параллельны ли существует нет решений : нет пар значений $x$ и $y$ которые лежат на обеих прямых (поскольку прямые никогда не могут пересекаться!) и поэтому не может быть пар значения переменных, которые удовлетворяют обоим уравнениям.
Один из способов определить, может ли быть решена система двух линейных уравнений и сколько у нее решений, состоит в том, чтобы представить оба уравнения в виде: \[y=ax+b\], где $a$ — наклон прямой. $b$ — точка пересечения с осью $y$. Теперь должно быть ясно, соответствуют ли эти два уравнения:
1) Разные и непараллельные линии (разные наклоны), поэтому есть одно единственное решение.
2) Одна и та же линия (тот же наклон и точка пересечения), а значит, существует бесконечно много решений.
3) Параллельные прямые (у них одинаковый наклон, но разное пересечение), поэтому решений нет.
Метод подстановки
Метод подстановки включает подстановку одного уравнения в другое, чтобы исключить одну из переменных. Затем мы можем найти другую переменную. Следующим шагом является подстановка значения этой переменной в одно из уравнений для определения значения другой переменной. Обратите внимание, что это может потребовать изменения одного из уравнений таким образом, чтобы его можно было легко подставить в другое уравнение.
Рабочий пример
Решите эту пару линейных одновременных уравнений Хорошая идея — пометить уравнения, чтобы к ним было легче обращаться. \begin{align} y\,-\,2x &= 1 & \textbf{(1)} \\ 2y-3x &=5 & \textbf{(2)} \end{align}
Первый шаг затем преобразовать уравнения $(1)$ и $(2)$ в вид $y=ax+b$. Это дает: \begin{align} y&=2x+1 & \textbf{(3)} \\ y&=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} & \textbf{(4)} \end{выравнивание}
, где уравнению $\textbf{(3)}$ соответствует уравнение $\textbf{(1)}$, а уравнению $\textbf{(4)}$ соответствует уравнение $\textbf{(2)}$. Теперь мы можем видеть, что два уравнения соответствуют различным и непараллельным линиям (поскольку они имеют разные наклоны), и, таким образом, существует одно единственное решение этой системы уравнений. Теперь решим эту систему методом подстановки.
Подстановка уравнения $\textbf{(3)}$ в уравнение $\textbf{(2)}$ дает:
\[2(1+2x)-3x=5\] Примечание : Мы можем подставить уравнение $\textbf{(3)}$ в уравнение $\textbf{(2)}$, потому что уравнение $\textbf{(3)}$ является просто перестроенной версией уравнения $\textbf{ (1)}$. Мы также могли бы заменить уравнение $\textbf{(4)}$ уравнением $\textbf{(1)}$. Однако мы не могли подставить уравнение $\textbf{(3)}$ в уравнение $\textbf{(1)}$ (или $\textbf{(4)}$ в $\textbf{(2)}$), потому что это одно и то же уравнение .
Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной, которое можно изменить и решить, чтобы найти $x$.
\begin{align} 2(1+2x)-3x&=5 \\ 2+4x-3x&=5\\ 2+x&=5\\ x&=3 \end{align}
Теперь у нас есть значение для $x$ это можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Проще всего использовать переставленное выражение для уравнения $\textbf{(1)}$ (уравнение $\textbf{(3)}$):
\[y= 2\times 3+1=7.\]
Решение $x=3$ и $y=7$ удовлетворяет обоим уравнениям. Рекомендуется проверить свое решение, подставив эти значения $x$ и $y$ в исходные уравнения.
\begin{align} y — 2x &= 1 & \textbf{(1)}\\ 7 — 2 \times 3 &= 7 — 6 = 1. \\ \\ 2y — 3x &= 5 & \textbf {(2)}\\ 2 \times 7 — 3 \times 3 &= 14 — 9 = 5. \end{align}
|center
На этом графике показаны линии $y-2x=1$ и $2y -3x=5$. Решением этих одновременных уравнений является точка, в которой пересекаются две прямые. Мы видим, что это точка $(3,7)$, что согласуется с нашим решением.
Рабочий пример
Решите эту систему двух одновременных линейных уравнений.
\begin{align} 5y-2x=45\\ 6x=15y-135 \end{align}
Решение
Преобразование двух уравнений в форму $y=ax+b$ дает: \begin{align} y=&\dfrac{2x}{5}+9\\ y&=\dfrac{2x}{5}+9 \end{align}
Линии одинаковые, поэтому решений бесконечно много.
Видеопример
Профессор Робин Джонсон использует метод подстановки для решения одновременных уравнений $3x-2y=7$ и $y+4x=5$.
Исключение
Определение
При наличии двух одновременных линейных уравнений с двумя неизвестными мы также можем применить метод исключения . Метод исключения включает в себя выбор переменной для исключения.
Начните с умножения обоих уравнений на соответствующие константы так, чтобы в каждом уравнении выбранная переменная имела одинаковый коэффициент (независимо от его знака: положительный или отрицательный).
Тогда в зависимости от знака коэффициента этой же переменной либо добавить или вычесть одно уравнение из другого так, чтобы члены, включающие исключаемую переменную, сокращались.
Оставшееся уравнение с одной переменной и может быть решено обычным способом; затем значение этой переменной подставляется в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение исключенной переменной.
Примеры работы
Пример работы
Решение одновременных линейных уравнений
\begin{align} 2x+y &= 7 \\ 3x-y &= 8 \end{align}
Решение
Преобразование двух уравнений в форму $y=ax+b$ дает: \begin{align} y=&-2x+7\\ y&=3x-8 \end{align}
Линии имеют разные склоны, поэтому есть одно единственное решение. Теперь найдем его методом исключения.
Давайте сначала пометим уравнения: \begin{align} 2x+y &= 7 & \textbf{(1)} \\ 3x-y &= 8 & \textbf{(2)} \end{align}
Обратите внимание, что коэффициент при $y$ один и тот же с точностью до знака в обоих уравнениях. Поскольку одно положительное, а другое отрицательное, если мы сложим два уравнения вместе, $y$ сократятся.
\begin{align} &2x+y=7\\ &3x-y=8\\ &\overline{5x \quad\;\;\, = 15} \end{align}
Итак, $x=3$ .
Теперь подставьте это значение вместо $x$ обратно в уравнение $\textbf{(1)}$.
\begin{align} 2x + y &= 7 \\ 2\times 3+y&=7\\ 6+y &=7\\ y&=1 \end{align}
Значения $x=3$ , $y=1$ удовлетворяют обоим приведенным уравнениям.
|center
На этом графике показаны линии $2x+y=7$ и $3x-y=8$. Решением этих одновременных уравнений является точка, в которой пересекаются две прямые. Мы видим, что это точка (3,1), которая согласуется с нашим решением.
Рабочий пример
Решите эту систему двух одновременных линейных уравнений.
\begin{align} 2x + 3y &= 4 \\ x — 2y &= -5 \end{align}
Решение
Преобразование двух уравнений в форму $y=ax+b$ дает: \begin {align} y=&-\dfrac{2x}{3}+\frac{4}{3}\\ y&=\dfrac{x}{2}+\frac{5}{2} \end{align}
Линии имеют разный наклон, поэтому есть одно единственное решение. Теперь найдем его методом исключения. Сначала обозначьте уравнения 1 и 2 соответственно.
\begin{align} 2x + 3y &= 4 & \textbf{(1)} \\ x — 2y &= -5 & \textbf{(2)} \end{align}
Мы хотим сделать коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях одинаковы. Для этого умножьте уравнение (2) на $2$.
\[2x-4y=-10\]
Поскольку коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях положительны, мы вычитаем уравнение 2 из уравнения 1 .
\begin{align} &2x+3y=4\\ &2x-4y=-10\\ &\overline{\qquad \; 7y =14} \end{align}
Итак, $y=2$.
Подстановка этого значения вместо $y$ обратно в одно из исходных уравнений даст $x$.
\begin{align} x — 2y &= -5 & \textbf{(2)} \\ x-2\times 2&=-5\\ x-4&=-5\\ x&=-1 \end{ align}
Значения $x=-1$ и $y=2$ удовлетворяют обоим приведенным уравнениям.
|center
На этом графике показаны линии $2x+3y=4$ и $x-2y=-5$. Решением этих одновременных уравнений является точка, в которой пересекаются две прямые.
Рабочий пример
Решите эту систему двух одновременных линейных уравнений.
\begin{align} 3y-4x=15\\ -12x=18-9y \end{align}
Решение
Преобразование двух уравнений в форму $y=ax+b$ дает: \begin{align } y=&-\dfrac{4x}{3}+5\\ y&=\dfrac{4x}{3}+2 \end{align}
Линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения $y$ ( они параллельны), поэтому решений нет, так как они никогда не пересекаются.
Подстановка уравнения $\textbf{(1)}$ в уравнение $\textbf{(2)}$ дает: \begin{align} 5p-25&=-2p+24\\ \Rightarrow 7p&=49\\ \Rightarrow p&=7 \end{выравнивание}
Подстановка этого значения $p$ в уравнение $\textbf{(1)}$ дает: \begin{align} q&=5\times 7-25\\ \Rightarrow q&=10 \end{align}
Итак решение этой системы уравнений есть $q=10$ и $p=7$. D} {2}+12 \end{align} и попросил найти рыночное равновесие. 9С$. Затем две функции становятся такими: \begin{align} &p=\dfrac{q}{5}+5\\ &p=-\dfrac{q}{2}+12 \end{align} Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных и поэтому может решить эту систему уравнений. Попробуйте сами (подсказка: вы должны получить те же значения для $p$ и $q$, что и выше).
Сравнительная статика
Примером сравнительной статики является влияние налога. Здесь мы рассмотрим два вида налога: налог на единицу продукции и налог на стоимость.
Налог на единицу продукции
A 9S $, поэтому, чтобы найти рыночное равновесие, мы можем записать функции спроса и (с учетом налогов) предложения в виде: \begin{align} &p=\dfrac{q}{5}+5,7 & \textbf{(1)}\ \ &p=-\dfrac{q}{2}+12 & \textbf{(2)}\\ \end{align} Поскольку оба уравнения имеют разные наклоны, система разрешима. Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки. Преобразование уравнения $\textbf{(1)}$ так, чтобы получилось $q$, испытуемый дает: \begin{align} \dfrac{q}{5}&=p-5. 7\\ \Rightarrow q&=5p-28.5& \textbf {(3)}\\ \end{align} Теперь мы можем подставить уравнение $\textbf{(3)}$ в уравнение $\textbf{(2)}$ следующим образом: \begin{align} &p=-\dfrac {5p-28.5}{2}+12\\ \Стрелка вправо &2p=-5p+28.5+24\\ \Стрелка вправо &7p=52.5\\ \Стрелка вправо &p=7.5\\ \end{align}
Подстановка этого значения $p$ в уравнение $\textbf{(3)}$ дает: \begin{align} q&=5\times 7,5-28,5\\ &=9 \end{align}
налога, взимаемого с производителей, равновесное количество упало с 10 долларов за килограмм до 9 долларов за килограмм, а равновесная цена выросла с 7 до 7,05 долларов за килограмм.
На приведенном выше графике видно, что налог вызывает сдвиг кривой предложения влево. Следовательно, точка равновесия (пересечение функции предложения с учетом налога и функции спроса) также сместилась влево.
Чтобы рассчитать доход, полученный от этого налога, мы умножаем сумму налога на единицу на количество, произведенное в равновесии: \[\text{налог}=£(0,70\times 9)=£6,30\] Это равно к области заштрихованного розового прямоугольника, показанного на графике выше. S$, поэтому, чтобы найти рыночное равновесие, мы можем записать спрос и (налог -модифицированный) поставка функционирует как: \begin{align} &p=0.21q+5.25 & \textbf{(1)}\\ &p=-\dfrac{q}{2}+12 & \textbf{(2)}\ \ \end{align} Поскольку оба уравнения имеют разные наклоны, система разрешима. Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки. Преобразование уравнения $(2)$ для получения $q$ испытуемым дает: \[q=-2p+24\;\;\; \textbf{(3)}\] Подстановка уравнения $(3)$ в уравнение $(1)$ дает: \begin{align} p&=0,21(-2p+24)+5,25\\ &=-0,42p+10,29\\ &\Rightarrow 1.42p=10.29\\ &\Rightarrow p=7.246… \end{align}
Подстановка этого значения $p$ в уравнение $(3)$ дает: \begin{align} q&= -2\times 7,246…+24\\ &=9,507… \end{align}
Таким образом, новая равновесная цена и количество бананов (до $2$d.p.) равны $p=7,25$ и $q= 9,51$. Другими словами, равновесная цена бананов (в долларах США) составляет 7,25 долларов США, а равновесное количество — 9,51 долларов США за килограмм. Чтобы вычислить доход, полученный от адвалорного налога, мы должны найти произведение равновесного количества и суммы налога:
$0,05\умножить на 9,507. ..=0,48$ (до $2$d.p.)
Таким образом, налоговые поступления составляют 0,48 доллара США.
Анализ затрат-выпуска
Анализ затрат-выпуска используется, чтобы показать, как взаимосвязаны отрасли в одной и той же экономике. В частности, он показывает, как продукция одной отрасли часто используется в качестве ресурсов для другой отрасли и что продукция отрасли может использоваться в качестве ресурсов для той же самой отрасли. Для простоты мы предположим, что в экономике может быть только 2-долларовая промышленность.
Например, рассмотрим экономику, производящую уголь $\left(X\right)$ и сталь $\left(Y\right)$. Уголь необходим для производства стали, а сталь используется для изготовления инструментов, необходимых для производства угля: отрасли взаимосвязаны .
Предположим, что для производства одной единицы (1$ кг) угля требуется 0,18$ кг угля и 0,03$ кг стали, а для производства одной единицы (1$ кг) стали требуется 0,21$ кг угля и 0,04$ кг из стали. Мы можем выразить эту информацию в виде таблицы: 9* $ — это нетто-количеств (в кг) произведенной стали и угля.
Теперь предположим, что для удовлетворения потребительских потребностей этой экономики необходимо произвести 36,06$ кг стали и 26,53$ кг угля. Это чистый выпуск стали и угля соответственно, поэтому мы можем переписать (и обозначить) приведенные выше уравнения следующим образом: \begin{align} 26,53&=0,82x-0,03y & \textbf{(1)} \\ 36,06&= 0,96y-0,21x& \textbf{(2)} \\ \end{align} Теперь у нас есть система одновременных линейных уравнений, которую мы можем решить, используя любой из вышеперечисленных методов. Как обычно, первым делом нужно переписать уравнения в виде $y=mx+c$. Это дает: \begin{align} y&=\dfrac{82x}{3}-\dfrac{26.53}{0.03} & \textbf{(3)}\\ y&=\dfrac{7x}{32}+\frac {36.06}{0.96} & \textbf{(4)}\\ \end{align}
Поскольку линии имеют разный наклон, эта система уравнений имеет единственное решение. Здесь мы будем использовать метод замены. Подстановка уравнения $\textbf{(4)}$ в уравнение $\textbf{(1)}$ дает: \begin{align} 26,53&=0,82x-0,03\left(\dfrac{7x}{32}+\frac {36.06}{0.96}\right)\\ \Rightarrow x&=34 \end{align} Теперь мы можем подставить это значение $x$ can в уравнение $\textbf{(3)}$ или $\textbf{( 4)}$, чтобы найти значение $y$. Подстановка $x=34$ в уравнение $\textbf{(3)}$ дает: \begin{align} y&=\dfrac{82\times 34}{3}-\dfrac{26.53}{0.03}\\ &= 45 \конец{выравнивание}
Общее количество угля и стали, которое необходимо произвести для удовлетворения потребительских потребностей этой экономики, составляет 34$кг угля и 45$кг стали.
Макроэкономическое равновесие
Здесь мы рассмотрим, как можно использовать методы решения систем одновременных уравнений для определения равновесного уровня дохода для всей экономики. Для этого мы должны сначала рассмотреть ключевые отношения в нашей модели экономики.
Если мы сделаем упрощающее предположение, что домохозяйства получают свой доход исключительно за счет того, сколько продукции они производят, то совокупный доход домохозяйства $Y$ должен равняться выпуску $Q$. Мы можем записать это как тождество \[Y\equiv Q\] Если мы также предположим, что вся продукция покупается кем-то, мы имеем, что продукция $Q$ равна спросу или совокупным расходам $E$, поэтому: \[Q\ экв E\] Объединение приведенных выше уравнений дает: \[Y\equiv E\;\;\;\textbf{(1)}\] Теперь, поскольку совокупные расходы состоят из расходов на потребление домохозяйств $C$ и инвестиционных расходов фирмами $I$ имеем другое тождество: \[E\equiv C+I\;\;\;\textbf{(2)}\]
Функция потребления говорит о том, что запланированное потребление домохозяйства $\hat{C}$ является функцией дохода домохозяйства. Если предположить, что эта связь является линейной, то мы можем написать: \[\hat{C}=aY+b\;\;\;\textbf{(3)}\], где $a$ и $b$ оба положительные константы и $a\lt 1$.
Примечание : $a$ — это наклон функции потребления, также называемый предельной склонностью к потреблению (MPC). Значение $a$ говорит нам о той доле совокупного прироста дохода, которая будет потрачена на потребление товаров и услуг. $b$ — термин перехвата.
В равновесии планируемое потребление домохозяйства должно быть равно фактическому потреблению домохозяйства: \[C=\hat{C}\;\;\;\textbf{(4)}\]
Теперь, если предположить, что инвестиционные расходы равны равным некоторому фиксированному значению $\hat{I}$, можно написать: \[I=\hat{I}\;\;\;\textbf{(5)}\] и, таким образом, уравнение $\textbf{(2 )}$ можно записать как: \[E\equiv C+\hat{I}\;\;\;\textbf{(2)}\]
Уравнения $\textbf{(1)}$ в $\textbf {(5)}$ составляют нашу макроэкономическую модель. Однако мы можем упростить эту модель, объединив уравнения для уменьшения их количества. Объединение уравнения $\textbf{(1)}$ с уравнением $\textbf{(2)}$ дает: \[Y\equiv C+\hat{I}\;\;\;\textbf{(1.1})\] Затем мы можем объединить уравнения $\textbf{(3)}$ и $\textbf{(4)}$, чтобы получить: \[C=aY+b\;\;\;\textbf{(1.2})\] Мы теперь есть $2$ уравнений (уравнение $\textbf{(1.1)}$ и уравнение $\textbf{(1.2)}$) и $2$ неизвестных ($C$ и $Y$), поэтому мы можем использовать вышеуказанные методы для решения эту систему уравнений. Здесь мы будем использовать метод замены. Подстановка уравнения $\textbf{(1.1})$ в уравнение $\textbf{(1.2})$ дает: \begin{align} Y&=(aY+b)+\hat{I}\\ \Rightarrow (1&-a )Y=b+\hat{I}\\ \Rightarrow Y&=\dfrac{b+\hat{I}}{1-a} \end{align} Это говорит нам о том, что равновесный уровень дохода равен сумме член перехвата $b$ и инвестиции, разделенные на $1$ минус ПДК.
Рабочий пример
При следующей макроэкономической модели: \begin{align} Y&\equiv E\\ E&\equiv C+I\\ \hat{C}&=0.25Y+50\\ I&=250\\ C& =\hat{C} \end{align}
a) Найдите равновесные уровни дохода и потребления и проиллюстрируйте их схематически.
б) Если инвестиции возрастут до 550 долларов, найдите новые равновесные уровни дохода и потребления.
Решение
а) Что касается общей модели, то мы можем упростить эту модель экономики, объединив уравнения для уменьшения их количества. Объединение второго уравнения с первым дает: \[Y\equiv C+250\;\;\;\textbf{(1)}\], где $I$ заменено на $250$. Объединение третьего уравнения с пятым дает: \[C=0,25Y+50\;\;\;\textbf{(2)}\] Теперь у нас есть $2$ уравнений и $2$ неизвестных, поэтому мы можем решить систему уравнений . Подстановка уравнения $\textbf{(2)}$ в уравнение $\textbf{(1)}$ дает: \begin{align} Y&=(0,25Y+50)+250\\ &=0,25Y+300\\ \ Rightarrow 0.75Y&=300\\ \Rightarrow Y&=400 \end{align} и подстановка этого значения $Y$ в уравнение $\textbf{(2)}$ дает: \begin{align} C&=0.25\times 400+ 50\\ &=150 \end{align} поэтому равновесный уровень дохода равен $Y=400$, а равновесный уровень потребления равен $C=150$.
b) Если инвестиции вырастут до $400$, уравнение $\textbf{(1)}$ из части a) станет следующим: \[Y\equiv C+550\;\;\;\textbf{(1.1 )}\] и уравнение $\textbf{(2)}$ остается неизменным, так как не содержит члена $I$: \[C=0.25Y+50\;\;\;\textbf{(2.1)}\ ] Теперь мы будем использовать метод подстановки для решения этих уравнений. Подстановка уравнения $\textbf{(2)}$ в уравнение $\textbf{(1)}$ дает: \begin{align} Y&=(0,25Y+50)+550\\ &=0,25Y+600\\ \ Rightarrow 0,75Y&=600\\ \Rightarrow Y&=450 \end{align} и подстановка этого значения $Y$ в уравнение $\textbf{(2.