Производная частного формула: Производная частного функций (u/v)’

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.—М.: Просвещение, 1990.— 416 с. В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по алгебре и началам анализа. К каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ВЫЧИТАНИЕ § 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 5. ДЕЛЕНИЕ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ Контрольные вопросы ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 4. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ § 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР Контрольные вопросы ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XII § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросы ГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ГЛАВА XX § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА § 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление

20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) — две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)’=u’±ν’.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)’=u’ν+v’u.

т. е. (u•ν)’=u’•ν+u•ν‘.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)’=с•u’, где с = const;  б)  (u•ν•w)’=u’v•w+u•v’•w+u•v•w’.  

Теорема 20.4. Производная частного двух функций     если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

Следствие 20.1.

  

Следствие 20.2.

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u’_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у’_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у’_х в точке х, которая находится по формуле у’_х=у’_u-u’_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у’_u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢ _х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ _u(u’_х•∆х+ß*∆х)+а(u’_х•∆х+ß•∆х),

т. е.

∆у=у’u•u’_х•∆х+у’_u•ß•∆х+u’_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у’_х=у’_u*u’_х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у’_х=у’_u•u’_ν•ν’_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log₂³tg x⁴.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у’_х=y’_u•u’_z•z’_q•q’_x) получаем:

<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у’_х для функции  

Решение: Обратная функция х=у³+1 имеет производную х’_y =3у².

Следовательно,

Внебиржевой производный

К

Брайан Бирс

Полная биография

Брайан Бирс — цифровой редактор, писатель, продюсер, номинированный на премию «Эмми», и эксперт по контенту с более чем 15-летним опытом написания статей о корпоративных финансах и бухгалтерском учете, фундаментальном анализе и инвестициях.

Узнайте о нашем редакционная политика

Обновлено 02 октября 2021 г.

Что такое внебиржевой (OTC) производный инструмент?

Внебиржевой (OTC) дериватив — это финансовый контракт, который не торгуется на бирже активов и который может быть адаптирован к потребностям каждой стороны.

Производный инструмент — это ценная бумага, цена которой зависит от одного или нескольких базовых активов или получена от них. Его стоимость определяется колебаниями базового актива. Наиболее распространенные базовые активы включают акции, облигации, сырьевые товары, валюты, процентные ставки и рыночные индексы. В зависимости от того, где торгуются деривативы, их можно классифицировать как внебиржевые или биржевые (листинговые).

Ключевые выводы

• Внебиржевой дериватив — это финансовый контракт, заключенный между двумя контрагентами, но с минимальным посредничеством или регулированием.
• Внебиржевые деривативы не имеют стандартных условий и не котируются на бирже активов.
• Например, форвардный и фьючерсный контракты могут представлять один и тот же базовый актив, но первый является внебиржевым, а второй торгуется на бирже.

Как работают внебиржевые деривативы

Внебиржевые деривативы — это частные финансовые контракты, заключенные между двумя или более контрагентами. Напротив, листинговые деривативы торгуются на биржах и представляют собой более структурированные и стандартизированные контракты, в которых базовые активы, количество базовых активов и расчеты определяются биржей и подлежат более строгому регулированию.

Внебиржевые деривативы вместо этого представляют собой частные контракты, которые заключаются между контрагентами без прохождения через биржу или других формальных посредников, хотя брокер может помочь организовать сделку. Следовательно, внебиржевые деривативы могут быть согласованы и настроены в соответствии с точным риском и доходностью, необходимыми каждой стороне. Хотя этот тип дериватива предлагает гибкость, он представляет собой кредитный риск, поскольку отсутствует клиринговая корпорация.

Примеры внебиржевых деривативов включают, среди прочего, форварды, свопы и экзотические опционы.

Пример: форварды и фьючерсы

Форвардные и фьючерсные контракты во многом похожи: оба предполагают соглашение о покупке и продаже активов в будущем, и оба имеют цены, полученные от некоторого базового актива.

Тем не менее, форвардный контракт — это договоренность, заключаемая без посредников между двумя контрагентами, которые ведут переговоры и приходят к точным условиям контракта, таким как дата его истечения, сколько единиц базового актива представлено в контракте и что именно. базовый актив, который должен быть поставлен, среди прочих факторов. Форварды рассчитываются только один раз в конце контракта. Фьючерсы, с другой стороны, представляют собой стандартизированные контракты с фиксированными сроками погашения и едиными базовыми активами. Они торгуются на биржах и рассчитываются ежедневно.

Пример: Обмен

В качестве другого примера, свопцион — это внебиржевой дериватив, который не торгуется на биржах. Свопцион (или опцион своп) предоставляет держателю ценной бумаги право заключать базовый своп. Однако держатель свопциона не обязан заключать базовый своп.

Существует два типа свопционов: плательщик и получатель.

• Свопцион плательщика дает владельцу право заключить определенный своп, при котором владелец платит фиксированную часть и получает плавающую часть.
• Обмен получателя дает владельцу право заключить своп, при котором он получает фиксированную часть и оплачивает плавающую часть.

Покупатели и продавцы этого внебиржевого дериватива договариваются о цене обмена, продолжительности периода обмена, фиксированной процентной ставке и частоте применения плавающей процентной ставки.

Биржевой дериватив

: определение, примеры и сравнение. OTC

Что такое биржевой производный инструмент?

Биржевой дериватив — это финансовый контракт, котирующийся и торгуемый на регулируемой бирже. Проще говоря, это деривативы, которые торгуются в регулируемой среде.

Биржевые деривативы становятся все более популярными из-за преимуществ, которые они имеют по сравнению с внебиржевыми (OTC) деривативами. Эти преимущества включают стандартизацию, ликвидность и устранение риска дефолта.

Фьючерсы и опционы — два самых популярных биржевых дериватива. Биржевые деривативы можно использовать для хеджирования рисков и спекуляций на широком спектре финансовых активов, включая товары, акции, валюты и даже процентные ставки.

Ключевые выводы

• Биржевой дериватив — это ценная бумага со стандартным финансовым контрактом, которая торгуется на регулируемой бирже.
• Биржевые деривативы рассчитываются через клиринговую палату и гарантируются.
• Клиринговые центры включают Клиринговую корпорацию опционов (OCC) и Комиссию по торговле товарными фьючерсами (CFTC).
• Клиринговые операции через регулируемые клиринговые палаты снижают инвестиционный риск.
Производные инструменты, торгуемые на бирже
• , котируются на биржах, таких как CBOE Global Markets и Нью-Йоркская товарная биржа (NYMEX), и контролируются Комиссией по ценным бумагам и биржам (SEC).

Понимание биржевых производных инструментов

Биржевые деривативы включают опционы, фьючерсы и другие финансовые контракты, котирующиеся и торгуемые на регулируемых биржах, таких как Чикагская товарная биржа (CME), Международная фондовая биржа (ISE), Межконтинентальная биржа (ICE) или биржа LIFFE в Лондон, чтобы назвать несколько.

В отличие от своих внебиржевых собратьев, торгуемые на бирже деривативы могут хорошо подходить для некоторых розничных инвесторов. На внебиржевом рынке легко запутаться в сложности инструмента и точной природе того, чем торгуют.

В этом отношении биржевые деривативы имеют два больших преимущества:

Стандартизация

Биржа имеет стандартизированные условия и спецификации для каждого производного контракта. Это облегчает инвесторам определение важной информации о том, чем они торгуют, например, стоимость контракта, сумму ценной бумаги или предмета, представленного контрактом (например, лотов), а также количество контрактов, которые можно купить или продать. продал.

Размер индивидуальных контрактов может быть менее пугающим для мелкого инвестора. Например, инвестор с ограниченным капиталом может рассмотреть мини-опционы (10 акций) на дорогие акции вместо стандартных опционов (100 акций).

Устранение риска невыполнения обязательств

Сама биржа выступает в качестве контрагента для каждой биржевой сделки с деривативами. Он фактически становится продавцом для каждого покупателя и покупателем для каждого продавца. Это исключает риск неисполнения обязательств контрагентом по производной сделке.

Еще одной определяющей характеристикой биржевых деривативов является их текущая рыночная стоимость. Маркировка по рынку означает, что прибыли и убытки по каждому производному контракту рассчитываются ежедневно.

Таким образом, в любой торговый день, если клиент понесет убытки, которые уменьшат начальную сумму маржи до определенного уровня, он должен будет своевременно предоставить необходимый капитал. Если они этого не сделают, их производная позиция может быть закрыта фирмой.

Финансовые фьючерсы — это производные инструменты, основанные на казначейских обязательствах, индексах, валютах и ​​многом другом. Они часто используются финансовыми учреждениями для хеджирования длинных позиций по базовой ценной бумаге.

Пользователи биржевых производных инструментов

Все виды мелких розничных инвесторов и крупных институциональных инвесторов используют торгуемые на бирже деривативы для хеджирования стоимости портфелей и для спекуляций на колебаниях цен.

Банки могут хеджировать стоимость своего портфеля казначейских облигаций, занимая противоположную позицию по казначейским фьючерсам. Импортно-экспортная организация может использовать валютные фьючерсы, чтобы зафиксировать курсы валют для предстоящих транзакций.

Розничные инвесторы могут открыть позицию по опционам на акции, чтобы хеджировать стоимость своих портфелей акций. Или они просто могут захотеть получить премиальный доход, полученный от продажи опционного контракта.

Большинство инвесторов успокаивает стандартизация и нормативный надзор, предлагаемые централизованными биржами.

Однако прозрачность торгуемых на бирже деривативов может быть препятствием для крупных учреждений, которые могут не хотеть, чтобы их торговые намерения были известны общественности или их конкурентам.

Фактически, институциональные инвесторы могут предпочесть работать напрямую с эмитентами и инвестиционными банками для создания индивидуальных инвестиций, которые дают им точный профиль риска и вознаграждения, который они ищут.