2.7. Производная показательно-степенной функции
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu
Пример. Найти производную функции .
По полученной выше формуле получаем:
Производные этих функций:
Окончательно:
2.8. Производная обратных функций
Пусть требуется найти производную функции у = f(x
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
т.к. g(y) 0
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
Известно, что
По приведенной выше формуле получаем:
Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
2.9. Дифференциал функции
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: ,
где 0, при х0.
Следовательно: .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x — главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx
Можно также записать:
2.10. Геометрический смысл дифференциала
y
f(x)
K
dy
M y
L
x x + x x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом,
дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в
рассматриваемой точке.
2.11. Свойства дифференциала
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv
d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
d(Cu) = Cdu
2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.
Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х- независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то х dx.
Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции .
Сначала преобразуем данную функцию:
Пример. Найти производную функции .
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Производная констант в переменных степенях
ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННЫХ В ПЕРЕМЕННЫХ СТЕПЕНЯХ
В этом разделе две формы константы к переменной
власть будет представлена.
Две экспоненциальные функции будут
и
, где х
— переменная, a — любая константа, а e равно
2,71828….
Вспоминая наше изучение логарифмов в математике, Том 2-А, так как В и е являются обратными функциями, то
и
Если
, затем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Поскольку y = In x дифференцируемо, то и его обратный, у = . К получить производную от y = , мы продифференцируем обе части уравнения (5.10) по x, что дает
Умножая обе части уравнения (5.12) на дает
Дифференциация по цепному правилу и уравнение (5.11) дают
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Если
, затем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применение логарифмических правил,
Дифференцирование обеих частей уравнения (5.14) дает
ПРИМЕЧАНИЕ. In a является константой.
РЕШЕНИЕ:
Дифференциация по цепному правилу и уравнение (5.13) дают
РЕШЕНИЕ:
ПРАКТИКА ЗАДАЧИ: Найдите d из следующего:
ОТВЕТА:
ОБЗОР
Ниже приведены основные темы, затронутые в этом глава: 1. Производная константы:
Теорема 1.
Производная константы равна нулю.
2. Производная переменной в степени:
Теорема 2. Производная функции дан кем-то , если n равно любое действительное число.
3. Производная суммы двух или более функций:
Теорема 3. Производная суммы двух или более дифференцируемых функций от x равна сумме их производных.
Если даны две функции от x, такие что u = g(x) и v = h(x), а также y = u + v = g(x) + h(x), то
4. Производная произведения двух или более функций:
Теорема 4. Производная произведения двух дифференцируемых функций от x равно первой функции, умноженной на производную от вторая функция плюс вторая функция, умноженная на производную от первая функция.
Эту теорему можно распространить на три или более функций.
5.
Производная частного двух функций:
Теорема 5. В точке, где знаменатель не равна нулю, производная от отношения двух дифференцируемых функции x равен знаменателю, умноженному на производную числитель минус числитель, умноженный на производную от знаменателя, все разделить на квадрат знаменателя.
6. Производная функции в степени:
Теорема 6. Производная любой дифференцируемая функция от x, возведенная в степень n, где n — любое действительное число, равен n умноженному на полиномиальную функцию от x в (n — ]) степени, умноженной на производная от самого многочлена.
Если у = , где ты любая дифференцируемая функция от x, то
7. Производная функции в радикальной форме: To
дифференцировать функцию, содержащую радикал, заменить радикал на дробную часть
экспонента; затем найдите производную, применяя соответствующие теоремы.
8. Производная функции по цепному правилу:
, где переменная y = f(u) — дифференцируемая функция u и u = g(x) является дифференцируемой функцией x.
9. Производная обратной функции:
Теорема 7. Производная обратной функция равна обратной производной прямой функции.
10. Производная неявной функции: в уравнениях содержащий x и y, если уравнение y не решено, то y называется неявным функция х. Производная каждого члена, содержащего y, будет с последующим
11. Производная тригонометрических функций:
12. Производная натуральных логарифмических функций:
Теорема 8. Натуральный логарифм y = In x имеет производная
Если u — положительная дифференцируемая функция от x, то
13.