Производная exp: Производная экспоненциальной функции (e^x)’

Производная экспоненты : Анализ-I

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

karlicos	Производная экспоненты 28. 01.2011, 02:01
14/10/10 16 Санкт-Петербург	На матанализе был такой факт — что экспонента(а точнее, функция видa С*exp(x)) — единственная функция, производная которой равна самой себе. А это как-нибудь доказано(просто интересно)?

paha	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 02:14
Заслуженный участник 03/02/10 1928	karlicos в сообщении #405659 писал(а): А это как-нибудь доказано(просто интересно)? Единственность доказывается так: пусть — такая функция, что

ewert	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 09:06
Заслуженный участник 11/05/08 32106	Это правда, но если мы хотим осознанного доказательства, то лучше его отложить всё-таки до курса дифференциальных уравнений.

Ubuntu_linux	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 11:07
23/05/10 41 Киев	karlicos в сообщении #405659 писал(а): На матанализе был такой факт — что экспонента(а точнее, функция видa С*exp(x)) — единственная функция, производная которой равна самой себе. А это как-нибудь доказано(просто интересно)? Все очень элегантно доказ. Теперь надо доказать, что лимит 1. Делаем замену: Тогда лимит будет выглядеть следующим образом: или или а И того получаем истинный результат:

arseniiv	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 11:58
Заслуженный участник 27/04/09 28128	Ubuntu_linux в сообщении #405735 писал(а): И того получаем истинный результат: Вы не доказали единственности: karlicos в сообщении #405659 писал(а): единственная функция, производная которой равна самой себе Так-то конечно очень просто.

paha	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 12:09
Заслуженный участник 03/02/10 1928

Ubuntu_linux	Re: Производная экспоненты 28.01.2011, 12:12
23/05/10 41 Киев	Если взять любое число a>0 в степени х ( ), то лимит (см. више) будет приблежатся к http://www.youtube.com/watch?v=dpb4rRgl23E То есть производная не буде равная функции !

paha	Re: Производная экспоненты 28.01.2011, 12:15
Заслуженный участник 03/02/10 1928	Ubuntu_linux в сообщении #405756 писал(а): То есть производная не буде равная функции ! и что? Кто сказал, что искомая функция, равная своей производной имеет вид ?

Ubuntu_linux	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 12:22
23/05/10 41 Киев	paha в сообщении #405758 писал(а): Ubuntu_linux в сообщении #405756 писал(а): То есть производная не буде равная функции ! и что? Кто сказал, что искомая функция, равная своей производной имеет вид ? А какие типы производных вы знаете? Ну то самое* что , и для такого типа, производная равна функции в случае

Коровьев	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 12:25
Заслуженный участник 18/12/07 762	Единственность легко доказывается дифференцированием для функций, выраженных в виде ряда Для условия все должны быть равны. Тогда

gris	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 12:31
Заслуженный участник 13/08/08 14032	А нельзя так показать? Допустим, функция аналитическая в окрестности некоторой точки. Тогда Получим, что Итак, Я не нарочно!

Gortaur	Re: Производная экспоненты 28. 01.2011, 14:53
26/12/08 1813 Лейден	gris То есть всякое аналитичное решение ДУ будет экспонентой. И среди просто гладких Вы другие варианты не отмели… — Пт янв 28, 2011 15:59:41 — Во-первых, ноль очевидно решает задачу. Во-вторых, пусть в какой-то точке имеем , тогда и в окрестности точки это выполнено. Вспомним, что где последнее равенство выполняется в нашем случае. То есть — функция с постоянной производной по крайней мере в окрестности точки (думаю, здесь единственность решения доказывать не надо?) Для отрицательных функций делается точно так же.

Ales	Re: Производная экспоненты 28.01.2011, 19:51
20/12/09 1527	paha в сообщении #405662 писал(а): karlicos в сообщении #405659 писал(а): А это как-нибудь доказано(просто интересно)? Единственность доказывается так: пусть — такая функция, что Добавлю, что замечательный и красивый метод paha применим в общем случае. В курсе ОДУ В.И. Арнольда это прием называется: Теорема о выпрямлении векторного поля. Если есть аналитическое решение ОДУ, то оно единственно. Аналитическое решение позволяет сделать аналитическую замену переменных, после которой уравнение приобретает тривиальный вид .

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 13 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Как решать задания на производную в ЕГЭ? 11 задание профиль

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

• Учите производную
• Пользуйтесь алгоритмами
• Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

-x

Хотя функция e ^-x не содержит круглых скобок, мы все же можем рассматривать ее как составную функцию (функцию функции).

Если мы добавим скобки вокруг показателя степени, мы получим e ^(-x) .