Производная функции формулы: Формулы производных функции

В сложных функциях невозможно пользоваться только формулами для нахождения производной.

Если функция
— усложнена коэффициентом, 
— представлена в виде суммы, произведения или частного 
— или является сложной функцией, 
то для выбора правильной производной необходимо воспользоваться правилами дифференцирования. Они играют роль супергероев от мира производных. Рассмотрим их внимательнее. 2}\)

5. Производная сложной функции. 

Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция. 

Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции. 

(f(g(x))’ = g'(x) * f'(g(x))

Найдем производную уже рассмотренной функции \(f(x) = cos(\sqrt{x})\). 

\(f'(x) = (cos(\sqrt{x}))’ = (\sqrt{x})’ * (cos(\sqrt{x}))’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} * (-sin(\sqrt{x})) = -\frac{sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)

В задании нам может быть дана только функция без ее графика. Что делать в таком случае, если нам нужно найти, например, отрезки возрастания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции? Не во всех случаях получится построить график, да и это займет достаточно большое количество времени, которое и без того ограничено на экзамене. 

В этом случае мы можем проанализировать поведение функции с помощью производной. 

Исследуем функцию f(x) = (x — 4)²(x + 11) + 4. 

Cначала возьмем производную от этой функции: 

f'(x) = ((x — 4)²(x + 11))‘ + 4′ = ((x — 4)²(x + 11))’ = ((x — 4)²)'(x + 11) + (x — 4)²(x + 11)’
f'(x) = 2(x — 4)(x + 11) + (x — 4)² * 1 = (x — 4)(2(x + 11) + (x — 4)) = (x — 4)(3x + 18)

Любое исследование функции с помощью производной начинается именно с дифференцирования функции. 

Теперь рассмотрим алгоритм нахождения точек минимума и максимума:

1 шаг. Нужно найти производную функции. 2 шаг. Найденную производную необходимо приравнять к 0 и решить полученное уравнение.  3 шаг. Расставить корни полученного уравнения на числовой прямой.  4 шаг. Определяем знаки производной на промежутках. Для этого необходимо подставить любое значение с выбранного промежутка в производную функции.  5 шаг. Определить, какие точки будут точками минимума (в них знак меняется с минуса на плюс), а какие — точками максимума (знак меняется с плюса на минус).

Найдем точки минимума и максимума в нашей функции. Поскольку производную мы уже взяли, можно сразу перейти ко второму шагу: 

(x — 4)(3x + 18) = 0
x = 4, x = -6.

Полученные значения х расставляем на числовой прямой: 

Теперь определим знаки на промежутках слева направо.

1. Возьмем точку -10 и подставим ее в производную функции: 
(-10 — 4)(3 * (-10) + 18) = (-14) * (-12) = 168. Производная на этом промежутке будет положительной. 

2. Возьмем точку 0 и подставим ее в производную функции: 
(0 — 4)(3 * 0 + 18) = (-4) * 18 = -72. Производная на этом промежутке будет отрицательной. 

3. Возьмем точку 5 и подставим ее в производную функции: 
(5 — 4)(3 * 5 + 18) = 33. Производная на этом промежутке будет положительной. 

Расставим полученные знаки на прямой: 

Остался последний пятый шаг. В точке -6 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке 4 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. 

Но это не все выводы, которые уже можно сделать о функции. Вспомним, что функция возрастает, когда производная положительна, а убывает, когда производная отрицательна. Поскольку мы уже определили знаки производной, то смело можем сделать вывод, что на промежутках до -6 и после 4 функция будет возрастать, а на промежутке от -6 до 4 — убывать. 

Однако могут встретиться задания, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции на определенном интервале. 

Для выполнения таких заданий существует следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Для примера найдем наибольшее значение функции f(x) = (x — 4)²(x + 11) + 4 на отрезке [-10; 0].  

Первые два шага мы уже выполнили, когда рассматривали алгоритм нахождения точек минимума и максимума. Из них отрезку [-10; 0] принадлежит х = -6 — точка максимума. 

Теперь определим значение функции в трех точках: 

f(-10) = (-10 — 4)²(-10 + 11) + 4 = 196 + 4 = 200
f(-6) = (-6 — 4)²(-6 + 11) + 4 = 500 + 4 = 504
f(0) = (0 — 4)²(0 + 11) + 4 = 176 + 4 = 180

Наибольшее из полученных значений — это 504. Это и будет ответ. 

Подведем итог.
Как можно исследовать функцию с помощью производной?
С помощью производной можно с точностью сказать, на каких участках функция будет возрастать и убывать, сколько точек максимума и минимума у нее есть, какое наибольшее или наименьшее значение принимает функция на заданном участке. 

• Для нахождения производной необходимо пользоваться специальными формулами для производной. С их помощью можно найти производную любой из основных функций.
• Если функция усложнена коэффициентом, является сложной или представлена в виде суммы, произведения или частного, то необходимо пользоваться правилами дифференцирования. Они помогут правильно найти производную.
• Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция. 
• С помощью производной можно исследовать функцию, а именно найти точки минимума и максимума, определить, на каких участках функция возрастает и убывает, найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. 

Задание 1.
Чему будет равна производная f(x) = 3?

1. 3;
2. 1;
3. 0;
4. Производную этой функции невозможно найти.

Задание 2. 
Чему будет равна производная f(x) = 5x²?

1. 10x;
2. 10x²;
3. 5x²;
4. 2x. {2}(x)}\)

Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 2 4. — 2 5. — 1

Производная функции заданной неявно — формулы и примеры с решением

Содержание:

1. Нахождение производной функции
2. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нам понадобиться понятие частной производной

Неявное задание функции — это задание ее выражением вида . (12.1) Если соответствующее уравнение можно решить относительно или , то мы вернемся к обычному заданию функции. Однако иногда такое решение приводит к сложным формулам, а иногда его и вовсе нельзя найти. Так, например, уравнение окружности в форме (12.2) проще, чем следующее из него выражение . (12.3) Если в (12.1) левая часть — произвольный многочлен, содержащий и в степени выше четвертой, то в общем случае это уравнение нельзя разрешить соответственно относительно или . Также не разрешается, например, простое с виду уравнение . (12.4)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Однако и в тех случаях, когда нет решения в виде формулы, прямо дающей способ вычисления для данного , все равно есть определенная функция , при каждом можно, решая уравнение численно, найти соответствующее , можно построить кривую в плоскости . Возможно, что кривая будет существовать не при всех (в случае окружности, например, лишь при между и , где — радиус окружности), при данном может быть больше одного значения (в случае окружности, например, два значения, в соответствии со знаком у корня квадратного). Однако эти осложнения не отменяют основного факта: определяет как функцию .

Как найти производную ? Можно ли это сделать, не решив уравнение, т. е. не выразив явно?

Это было сделано еще Ньютоном. Пусть удовлетворяют уравнению: . (12.1) Возьмем соседние значения , также удовлетворяющие уравнению: . (12.5) Запишем, пользуясь (12.1): (12.6)

Разность представляет собой приращение функции , рассматриваемой как функция одной переменной при неизменном . Это приращение, как мы знаем, в пределе *) может быть выражено так:

.

Мы отмечаем здесь, что при вычислении производной по функции двух переменных и мы считаем постоянным. Вычисленную таким образом производную называют частной производной, и в ее обозначении вместо прямой буквы пишут круглую : Аналогично для первой разности в (12.6) можно написать: .

Условие (12.5) дает , или

Переходя к пределу при , получим слева производную, а справа при этом можно будет отбросить . Окончательно

. (12.7)

Обратите внимание на знак минус в (12.7) и на то, что в данном случае нельзя просто «сократить» в числителе и знаменателе. Покажем применение (12.7) на примере уравнения (12.2). Имеем ; (12.8) Легко убедиться, что этот результат совпадает с тем, что получится, если вычислить производную (12. 3). Найдем производную в случае (12.4):

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, в выражение производной неявной функции входят обе величины, и . Чтобы найти ее численно, нужно при заданном найти численно . Но если бы мы не имели формулы (12.7), то для нахождения производной нам пришлось бы находить численно два значения и при двух соседних и и находить отношение . При этом чем ближе и , тем точнее пришлось бы вычислять и , а это часто затруднительно.

Заметим, наконец, что если приводит к неоднозначной кривой, т. е. при одном значении есть два или больше значений (несколько ветвей кривой), то выражение (12.7) при данном при подстановке разных дает значения производной в соответствующих точках.

Читателю предлагается проверить это на примере уравнения окружности (12.2), для которого производная дана формулой (12.8).

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции, заданной неявно, нам пришлось ввести новое понятие — понятие частной производной. Это понятие имеет большое значение и необходимо для функций нескольких переменных, которые мы в этой книге не изучаем. По существу, мы уже неявно пользовались понятием частной производной даже в таких элементарных вопросах, как производная произведения нескольких функций или, например, производная степени (см. с. 85, 101), когда мы говорили, что складывается из члена, получающегося при взятии производной по , стоящему в , и по , стоящему в выражении . С помощью частных производных мы запишем это правило так: если , то .

Покажем применение (7) на примере уравнения (2). Имеем ; тогда , (4.12.8) .

Легко убедиться, что этот результат совпадает с тем, что получится, если вычислить производную функции (3). Найдем производную в случае (4):

Таким образом, в выражение производной неявной функции входят обе величины и . Чтобы найти ее численно, нужно найти значение , отвечающее заданному . Но если бы мы не имели формулы (7), то для нахождения производной нам пришлось бы находить численно два значения и , отвечающие двум соседним значениям и , а затем искать отношение и предел этого отношения.

При этом чем ближе к тем точнее пришлось бы вычислять и а это часто вовсе не так просто. Использование же формулы (7) обычно не представляет труда.

Если приводит к неоднозначной функции , т. е. если одному значению отвечают два или больше значений (несколько ветвей кривой), то выражение (7) при подстановке в него данного и разных дает значения производной в соответствующих точках линии . Читателю предлагается проверить это на примере уравнения окружности (2), для которого производная выражается формулой (8).

Для нахождения производной функции, заданной неявно, нам понадобиться понятие частной производной

Оно имеет большое значение, так как необходимо для изучения функций нескольких переменных (которых, впрочем, мы в этой книге почти не касаемся). Неявно мы уже пользовались понятием частной производной: так, определенный интеграл есть функция двух переменных; выше мы находили частные производные по одному из пределов, считая второй предел интегрирования закрепленным (постоянным). Даже в таких элементарных вопросах, как производная произведения нескольких функций или, например, производная степени , по существу, у нас «работали» частные производные. В самом деле, когда мы говорили, что складывается из членов, получающихся при взятии производной по переменной , входящей в , и производной по , входящей в выражение , то мы имели в виду частные производные. Соответствующее общее правило можно записать так: если ,

то

.

Таблица производных простых функций

Описание курса Элементарная математика Умножение и его свойства. Множення та його властивості Деление и его свойства. Ділення і його властивості Умножение и деление в столбик Дроби, задачи на нахождение частей от целого Найти наименьшее общее кратное (НОК) Привести дробь к наименьшему общему знаменателю Нахождение целого по его части Скорость поедания яблока Сложение и вычитание простых дробей Сложение и вычитание дробей. Додавання і віднімання дробів Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями Проценты Нахождение процентов от суммы Задачи на нахождение процентов Задачи про втекающую в бассейн воду Задачи на тему «Найти число», «Найти два числа» Задачи на нахождение двух чисел Задачи на нахождение двух чисел (часть 2) Найти трехзначное число Задачи о прохождении пути Задача про велосипедистов Задача про туриста Нахождение общей величины пройденного пути Задачи про лодку и течение реки Задачи с решением элементарных уравнений Задача про бросание гранаты Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа Операции с корнями на основе ствойств степени Квадратный корень. Квадратний корінь Свойства квадратного корня. Властивості квадратного кореня Таблица степеней натуральных чисел Показательная функция. Показова функція Функции Область определения функции Эллипс Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Уравнения Простейшие уравнения Квадратные уравнения Неравенства (Нерівності) Решаем неравенства Векторы Трехмерное пространство Равенство векторов. Рiвнiсть векторiв Логарифм Дифференциальное исчисление Что такое производная. Практический смысл производной Правила дифференцирования Таблица производных простых функций Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций Таблица производных тригонометрических функций Производная числа Производная дроби Производная корня Нахождение экстремума функции Комбинаторика Найти количество возможных комбинаций Теория вероятности Вероятность появления карт Вероятность наступления события Вероятность одновременного прихода пароходов Тесты (1) Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций  Таблица производных тригонометрических функций. Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач.  На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая. 1. Производная от числа равна нулю с´ = 0 Пример: 5´ = 0  Пояснение: Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.   2. Производная переменной равна единице x´ = 1  Пояснение: При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента. 3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с Пример: (3x)´ = 3 (2x)´ = 2 Пояснение: В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с. Откуда следует, что (cx + b)’ = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k). 4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю |x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение: Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение. 5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу ( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0 Пример: (x2 )’ = 2x (x3)’  = 3x2 Для запоминания формулы: Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить. 6. Производная дроби 1/х (1/х)’ = — 1 / x2 Пример: Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень (1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных (x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2 7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе ( 1 / xc )’ = — c / xc+1 Пример: ( 1 / x2 )’ = — 2 / x3 8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)   ( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2 Пример: ( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5 ( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х) 9. Производная переменной под корнем произвольной степени ( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 ) . Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций   Таблица производных тригонометрических функций. 2080.1947    Правила дифференцирования | Описание курса | Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций      Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация!

2.4 Производная функция

Мы видели, как создать или вывести новую функцию $f'(x)$ из функция $f(x)$, резюмированная в абзаце, содержащем уравнение 2. 1.1. Теперь, когда у нас есть концепция пределов, мы можем сделать это более точным.

Определение 2.4.1 Производная функции $f$, обозначаемой $f’$, есть $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}.$$ $\квадрат$

Мы знаем, что $f’$ несет важную информацию об исходном функция $f$. В одном примере мы видели, что $f'(x)$ говорит нам, насколько крутой график $f(x)$ есть; в другом мы видели, что $f'(x)$ сообщает нам скорость объекта, если $f(x)$ сообщает нам положение объекта в время $х$. Как мы уже говорили ранее, эта же математическая идея полезна всякий раз, когда $f(x)$ представляет некоторую изменяющуюся величину, и мы хотим знать что-то о том, как оно меняется, или, грубо говоря, о «скорости», с которой оно изменения. Большинство функций, встречающихся на практике, строятся из небольшой набор «примитивных» функций несколькими простыми способами, для например, добавляя или перемножая функции вместе, чтобы получить новые, более сложные функции. Чтобы эффективно использовать информацию, предоставленную $f'(x)$ нам нужно уметь вычислять его для множества таких функции. 92} — 24\над\Дельта х}. $$ Знаменатель здесь измеряет расстояние в направлении $x$, иногда называемый «бегом», а числитель измеряет расстояние в направление $y$, иногда называемое «подъем» и «подъем над run» — это наклон линии. Напомним, что иногда такой числитель сокращенно $\Delta y$, заменив краткость более подробным выражение. Таким образом, в общем случае производная определяется выражением $$ y’=\lim_{\Delta x\to0} {\Delta y\over \Delta x}. $$ Чтобы напомнить форму предела, мы иногда говорим вместо этого, что $$ {dy\over dx}=\lim_{\Delta x\to0} {\Delta y\over \Delta x}. $$ Другими словами, $dy/dx$ — это другое обозначение производной, и это напоминает нам, что это связано с фактическим уклоном между двумя точки. Это обозначение называется 92)$. $\квадрат$

Пример 2.4.3 Найдите производную $y=f(x)=1/x$.

Расчет: $$ \выравнивание{ y’ = \lim_{\Delta x\to0}{\Delta y\over\Delta x}&= \lim_{\Delta x\to0}{{1\over x+\Delta x} — {1\over x}\over \Delta х}\кр &=\lim_{\Delta x\to0}{{x\over x(x+\Delta x)} — {x+\Delta x\over x(x+\Delta x)}\over \Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0}{{x-(x+\Delta x)\over x(x+\Delta x)}\over \Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {x-x-\Delta x\over x(x+\Delta x)\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {-\Delta x\over x(x+\Delta x)\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {-1\over x(x+\Delta x)}={-1\over x^2}\cr } $$

$\квадрат$

Примечание. Если вы знаете некоторые «производные формулы» из более ранний курс, на данный момент вы должны делать вид, что вы делаете не знать их. В примерах, подобных приведенным выше и приведенным ниже упражнениям, от вас требуется знать, как найти производную формулу, исходя из основных принципов. Позже мы разработаем некоторые формулы, чтобы нам не всегда нужно было делать такие вычисления, но нам по-прежнему нужно знать, как делать более сложные вычисления.

Иногда встречается точка в области определения функции $y=f(x)$, где нет производной , потому что нет касательной. В целях чтобы понятие касательной в точке имело смысл, кривая должна быть «гладкой» в этой точке. Это означает, что если вы представляете себе частицу движущейся с некоторой постоянной скоростью вдоль кривой, то частица не испытать резкое изменение направления. Есть два типа ситуации, о которых вы должны знать — углы и выступы — где есть внезапная смена направления и, следовательно, отсутствие производной.

Пример 2.4.4 Обсудите производную функции абсолютного значения $y=f(x)=|x|$.

Если $x$ положительна, то это функция $y=x$, производная которой равна константа 1. (Напомним, что когда $y=f(x)=mx+b$, производная есть наклон $m$.) Если $x$ отрицательно, то мы имеем дело с функцией $y=-x$, производная которой есть константа $-1$. Если $x=0$, то функция имеет угол, т. е. касательной нет. Касательная линия должны указывать в направлении кривой, но есть 93$. (отвечать)

Пример 2.4.6 Показан график функции $f(x)$. Нарисуйте график $f'(x)$ оценивая производную в ряде точек интервала: оценивайте производную через равные промежутки времени с одного конца интервале от другого, а также в «особых» точках, например, когда производная равна нулю. Убедитесь, что вы указали все места, где производной не существует.

Пример 2.4.7 Показан график функции $f(x)$. Нарисуйте график $f'(x)$ оценивая производную в ряде точек интервала: оценивайте производную через равные промежутки времени с одного конца интервале от другого, а также в «особых» точках, например, когда производная равна нулю. Убедитесь, что вы указали все места, где производной не существует. 92+ax-3$ имеет горизонтальную касательную в точке $x=4$. (отвечать)

Производная формула — Что такое Производная формула? Примеры

Производная помогает нам узнать изменение отношения между двумя переменными. Рассмотрим независимую переменную «х» и зависимую переменную «у». Изменение значения зависимой переменной по отношению к изменению значения выражения независимой переменной можно найти с помощью формулы производной. Математически формула производной полезна для определения наклона линии, наклона кривой и определения изменения одного измерения по отношению к другому измерению. В этом разделе мы узнаем больше о формуле производной и решим несколько примеров. 9{n — 1}\)

Правила формулы производных

Существуют некоторые основные формулы производных, т.е. набор формул производных, которые используются на разных уровнях и аспектах. На изображении ниже есть правила.

Вывод формулы производной

Пусть f(x) — функция, область определения которой содержит открытый интервал относительно некоторой точки \(x_0\). Тогда функция f(x) называется дифференцируемой в точке \((x)_{0}\), а производная f(x) в точке \((x)_{0}\) представляется по формуле как:

f'(x)= lim _Δx→0 Δy/Δx

⇒ f'(x)= lim _Δx→0 [f(\((x)_{0}\)+Δx)− f(\((x)_{0}\))]/∆x

Производная функции y = f(x) может быть обозначена как f′(x) или y′(x).

Кроме того, нотация Лейбница популярна для записи производной функции y = f(x) как df(x)/dx, т.е. dy/dx

Список формул производных

Ниже перечислены еще несколько важных используемых формул производных в различных областях математики, таких как исчисление, тригонометрия и т. д. Для дифференцирования тригонометрических функций используются различные формулы производных, перечисленные здесь. Все производные формулы выводятся из дифференцирования первого начала.

Производные формулы элементарных функций

• \(\dfrac{d}{dx}\).x ⁿ = n. х ^н-1
• \(\dfrac{d}{dx}.k\) = 0, где k — константа
• \(\dfrac{d}{dx}\).e ^x = e ^x
• \(\dfrac{d}{dx}\).a ^x = a ^x . log\(_e\) .a , где a > 0, a ≠ 1
• \(\dfrac{d}{dx}\).logx = 1/x, x > 0
• \(\dfrac{d}{dx}\). лог\(_а\) е = 1/х лог\(_а\) е
• \(\dfrac{d}{dx}\).√x =1/(2 √x)

Формулы производных тригонометрических функций

• \(\dfrac{d}{dx}\).sin x= cos x
• \(\dfrac{d}{dx}\).cosx= -sin x
• \(\dfrac{d}{dx}\).tan x = sec ² x , x ≠ (2n+1) π/2 , n ∈ I
• \(\dfrac{d}{dx}\). cot x = — cosec ² x, x ≠ nπ, n ∈ I
• \(\dfrac{d}{dx}\). sec x = sec x tan x, x ≠ (2n+1) π/2 , n ∈ I
• \(\dfrac{d}{dx}\).cosec x = — cosec x cot x, x ≠ nπ, n ∈ I

Производные формулы гиперболических функций

• \(\dfrac{d}{dx}\). {n — 1} \) 9{n — 1} \)

  Каковы основные правила формулы производной?

  Основные правила производных формул:

  • Постоянное правило
  • Постоянное множественное правило
  • Силовое правило
  • Правило суммы
  • Правило различия
  • Правило продукта (формула дифференциации УФ)
  • Цепное правило
  • Частное правило

  Какая производная от f(x) = 25 ?

  Поскольку функция f(x) постоянна, согласно формуле производной ее производная будет равна нулю, т.е. f’(x) = 0

  Как использовать формулу производной?

  Формулы производных получаются с использованием определения f'(x) = \(\lim _{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Это вытекает из дифференциации первого принципа. Например, если f(x) = sin x, то f(x+ ∆x) = sin(x+ ∆x)

  f(x+ ∆x) -f(x) = sin(x+ ∆x) — sin x = 2 sin ∆x/2 .cos(x+ x/2)

  Теперь \(\dfrac{f(x+ ∆x) -f(x)}{∆x}\) = \(\dfrac{sin\dfrac{∆x}{2}}{\dfrac{∆x}{ 2}}\) cos(x+x/2)

  ⇒\(\lim _{∆x\стрелка вправо 0}\dfrac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}\) = cos x

  Таким образом, производная от sin x = cos x.

  Формулы для первой производной функции

  y является функцией y = y(x)
  C = константа, производная (y’) константы равна 0

  у = С => у’ = 0
  

  Пример: у = 5, у’ = 0

  Если y функция типа y = x ^н формула производной:

  y = x ⁿ => y’ = nx ^n-1

  Пример: y = x ³ y’ = 3x ^3-1 = 3x ²
  y = x ^-3 y’ = -3x ^-4

  Из верхней формулы мы можем сказать для производной y’ функции y = x = x ¹ , что:

  если y = x, то y’=1

  y = f ₁ (x) + f ₂ (x) + f ₃ (x) …=>
  y’ = f’ ₁ (х) + ф’ ₂ (х) + ф’ ₃ (х) …

  Эта формула представляет собой производную функции, являющейся суммой функций.
  Пример: если у нас есть две функции f(x) = x ² + x + 1 и g(x) = x ⁵ + 7 и y = f(x) + g(x), тогда y’ = f'(x) + g'(x) =>
  y’ = (x ² + x + 1)’ + (x ⁵ + 7)’ = 2x ¹ + 1 + 0 + 5x ⁴ + 0 = 5x ⁴ + 2x + 1
  

  Если функция кратна двум функциям, производная определяется как:

  y = f(x). g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

  Если f(x) = C(C — константа) и y = f(x)g(x)
  y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + С.д'(х) = С.д'(х)

  y = Cf(x) => y’ = Cf'(x)

  В разделе задачи есть примеры следующих формул.

  у =

  ф(х) г(х)

  у’ =

  f'(x)g(x) — f(x)g'(x) g 2 (x)

  у = ln х => у’ = ¹ / _х

  у = е ^х => у’ = е ^х

  у = грех х => у’ = потому что х

  у = потому что х => у’ = -sin х

  y = tan x => y’ = ¹ / _{cos ² x}

  y = кроватка x => y’ = — ¹ / _{sin ² x}

  у = арксинус х

  =>

  у’ =

  1 √1 — x⋅x

  y = arccos x

  =>

  у’ =

  -1 √1 — x⋅x

  у = арктангенс х

  =>

  у’ =

  1 1 + x 2

  y = дуга x

  =>

  у’ =

  -1 1 + x 2

  Когда функция является функцией функции: u = u(x)

  y = f(u) => y’ = f'(u). u’

  Пример: пусть y = sin(x ² )
  Здесь u = x ² , f(u) = sin(u), производные f'(u) = cos(u), u’ = 2x
  y’ = (sin(u) )’⋅u’ = cos(x ² )⋅2x = 2⋅x⋅cos(x ² )

  Задачи на производные

  1) f(x) = 10x + 4y. Чему равна первая производная f'(x) = ?
  Решение: Мы можем использовать формулу для производной функции, которая является суммой функции
  f(x) = f ₁ (x) + f ₂ (x), f ₁ (x) = 10x, f ₂ (х) = 4у для функции f ₂ (x) = 4y, y является константой, поскольку аргумент f ₂ (x) равен x поэтому f’ ₂ (x) = (4y)’ = 0. Следовательно, производная функция f(x): f'(x) = 10 + 0 = 10.

  ---

  2) Вычислите производную f(x) =

  x 10 4,15 + cosx

  Решение: У нас есть две функции h(x) = x ¹⁰ и g(x) = 4,15 + cos x
  функция f(x) равна h(x), деленной на g(x). h'(x) = 10x ⁹ g'(x) = 0 — sin x = -sin x

  f'(x) =

  h'(x).g(x) — h(x).g'(x) (g(x)) 2

  f'(x) =

  10x 9 (4,15 + cos x) — x 10 (-sin x) (4,15 + cosx) 2

  =

  x 10 sin x + 10(60 + cos x)x 9 (60 + cosx) 2 8 3) f(x) = ln(sinx). чему равна производная функции f(x)? Решение: Чтобы решить задачу, мы должны использовать последнюю формулу. Как мы видим, f(x) является функцией функции функции f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x f'(x) = г'(х) = 1 sin x соз х = cos x sin x Калькулятор производных Подробнее о производных на математическом форуме Регистрация на форуме Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана для оптимального управления Функция с производной по направлению без частной производной Производные Почему Гипотеза Римана (RH) верна? Довольно пугающий предел на первый взгляд, но не так уж! Функция нулевой производной Математическая геометрия Пожалуйста, решите Калькулятор интегралов и производных Какие типы диофантовых уравнений неразрешимы? Я новичок в вычислениях. У меня есть 2 сомнения. Исчисление I. Формулы дифференцирования Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания Уведомление для мобильных устройств Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Раздел 3-3: Формулы дифференцирования В первом разделе этой главы мы увидели определение производной и вычислили пару производных, используя это определение. Как мы видели в этих примерах, вычисление пределов требовало большого объема работы, а функции, с которыми мы работали, были не очень сложными. Для более сложных функций использование определения производной было бы почти невыполнимой задачей. К счастью для нас, нам не придется слишком часто использовать это определение. Нам придется использовать его время от времени, однако у нас есть большой набор формул и свойств, которые мы можем использовать, чтобы значительно упростить нашу жизнь и позволят нам избежать использования определения, когда это возможно. Мы познакомимся с большинством этих формул в следующих нескольких разделах. Мы начнем в этом разделе с некоторых основных свойств и формул. Мы приведем свойства и формулы в этом разделе как в «простом», так и в «дробном» обозначении. 9\prime} = f’\left( x \right) \pm g’\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx} }\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \frac{{df}}{{dx}} \pm \frac{{dg}}{ {дх}}\) Другими словами, чтобы дифференцировать сумму или разность, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать отдельные термины, а затем сложить их вместе с соответствующими знаками. Обратите внимание, что это свойство не ограничивается двумя функциями. 9\prime} = cf’\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {cf\left( x \ right)} \right) = c\frac{{df}}{{dx}}\), \(c\) — любое число Другими словами, мы можем «вынести» мультипликативную константу из производной, если нам нужно. Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных производных формул» главы «Дополнительно». Обратите внимание, что мы не включили здесь формулы для производных произведений или частных двух функций. Производная произведения или частное двух функций не есть произведение или частное производных отдельных частей. Мы рассмотрим их в следующем разделе. Далее давайте кратко рассмотрим пару основных «вычислительных» формул, которые позволят нам фактически вычислить некоторые производные. Формулы Если \(f\left( x \right) = c\), то \(\displaystyle f’\left( x \right) = 0\hspace{0. 25in} \mbox{OR} \hspace {0,25 дюйма}\frac{d}{{dx}}\left( c \right) = 0\) Производная константы равна нулю. Доказательство этой формулы см. в разделе «Доказательство различных производных формул» в главе «Дополнительно». 9{n — 1}}\), \(n\) — любое число. Эту формулу иногда называют степенным правилом . Все, что мы здесь делаем, это ставим исходный показатель степени вперед, умножаем и затем вычитаем единицу из исходного показателя степени. Обратите также внимание, что для использования этой формулы \(n\) должно быть числом, оно не может быть переменной. Также обратите внимание, что основание, \(x\), должно быть переменной, а не числом. В некоторых последующих разделах будет заманчиво злоупотреблять степенным правилом, когда мы запускаем некоторые функции, где показатель степени не является числом и/или основание не является переменной. Доказательство этой формулы см. в разделе «Доказательство различных производных формул» в главе «Дополнительно». На самом деле в этом разделе есть три разных доказательства. Первые два ограничивают формулу тем, что \(n\) является целым числом, потому что на данный момент это все, что мы можем сделать на данный момент. Третье доказательство относится к общему правилу, но предполагает, что вы прочитали большую часть этой главы. Это единственные свойства и формулы, которые мы приведем в этом разделе. Давайте вычислим некоторые производные, используя эти свойства. 9{12}} + 5x — 46\) Показать решение В этом случае у нас есть сумма и разность четырех слагаемых, поэтому мы продифференцируем каждое из слагаемых, используя первое свойство сверху, а затем соединим их вместе с соответствующим знаком. Кроме того, для каждого члена с мультипликативной константой помните, что все, что нам нужно сделать, это «факторизовать» константу (используя второе свойство), а затем вычислить производную. \[\begin{align*}f’\left( x \right) & = 15\left({100} \right){x^{9{ — \frac{2}{5}}}\end{align*}\] В последних двух терминах мы объединили показатели степени. { — \,\,\frac{1}{2}}} + 9{\ кв. 2 — 1}} \] Ответ немного запутан, и мы не будем уменьшать показатели степени до десятичных дробей. Тем не менее, эта проблема не так уж сложна, она просто выглядит так на первый взгляд. Существует общее правило, касающееся деривативов этого класса, и вам необходимо выработать привычку его использовать. Когда вы видите радикалы, вы всегда должны сначала преобразовать радикал в дробную экспоненту, а затем максимально упростить экспоненту. Соблюдение этого правила избавит вас от многих проблем в будущем. 92}} \right)\) Показать решение В этой функции мы не можем просто дифференцировать первое слагаемое, дифференцировать второе слагаемое, а затем снова умножать их. Это просто не сработает. Мы подробно обсудим это в следующем разделе, поэтому, если вы не уверены, что верите в это, подождите немного, и мы скоро рассмотрим это, а также покажем вам пример того, почему это не сработает. Тем не менее, эту производную можно сделать. 3}}} + 4\) увеличивается, уменьшается или не изменяется в \(х = — 2\)? 94}}}\] Обратите внимание, что мы переписали последний член производной обратно в виде дроби. Это не то, что мы делали до сих пор, и это делается здесь только для того, чтобы помочь с оценкой на следующем этапе. Часто проще проводить оценку с положительными показателями. Итак, вычислив производную, получим \[f’\left( { — 2} \right) = 6\left( 4 \right) — \frac{{900}}{{16}} = — \frac{{129}}{4} = — 32.25\] Итак, при \(x = — 2\) производная отрицательна, поэтому функция убывает при \(x = — 2\). Пример 4 Найдите уравнение касательной к \(f\left( x \right) = 4x — 8\sqrt x \) в точке \(x = 16\). Показать решение Мы знаем, что уравнение касательной задается как, \[y = f\left( a \right) + f’\left( a \right)\left( {x — a} \right)\] 9{\ гидроразрыва {1} {2}}}}} \] Опять же, обратите внимание, что мы убрали отрицательную экспоненту в производной исключительно ради оценки. Все, что нам нужно сделать, это вычислить функцию и производную в рассматриваемой точке \(x = 16\). \[f\влево( {16} \вправо) = 64 — 8\влево( 4 \вправо) = 32\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}f’\влево( 16 \вправо) = 4 — \ дробь{4}{4} = 3\] Тогда касательная будет равна 92} + 60т — 10\] Определите, когда объект движется вправо и когда объект движется влево. Показать решение Единственный способ узнать наверняка, в каком направлении движется объект, — это иметь скорость на руках. Напомним, что если скорость положительна, объект движется вправо, а если скорость отрицательна, то объект движется влево. Нам нужна производная, чтобы получить скорость объекта. Производная и, следовательно, скорость равна 92} — 7t + 10} \вправо) = 6\влево( {t — 2} \вправо)\влево( {t — 5} \вправо)\] Причина факторинга дериватива станет очевидной в ближайшее время. Теперь нам нужно определить, где производная положительная, а где отрицательная. Есть несколько способов сделать это. Мы предпочитаем следующий метод. Поскольку многочлены непрерывны, мы знаем из теоремы о промежуточном значении, что если многочлен когда-либо меняет знак, то он должен сначала пройти через нуль. Итак, если бы мы знали, где производная равна нулю, мы знали бы только точки, в которых производная равна 9.0029 может изменить знак. Из факторизованной формы производной видно, что производная будет равна нулю при \(t = 2\) и \(t = 5\). Нанесем эти точки на числовую прямую. Теперь мы можем видеть, что эти две точки делят числовую прямую на три отдельных участка. В каждой из этих областей мы знаем , что производная будет того же знака. Напомним, что производная может менять знак только в двух точках, которые используются для деления числовой строки на области. Следовательно, все, что нам нужно сделать, это проверить производную в контрольной точке в каждой области, и производная в этой области будет иметь тот же знак, что и контрольная точка. Вот числовая строка с показанными тестовыми точками и результатами. Здесь указаны интервалы, в которых производная положительна и отрицательна. \[\begin{array}{rl}{{\mbox{положительный: }}}&{ — \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\,5 < t < \infty}\\{{\mbox{отрицательный:}}}&{2 Мы включили сюда отрицательные \(t\), потому что могли бы, даже если они не имеют особого смысла для этой задачи. Зная это, мы также можем ответить на вопрос. Объект движется вправо и влево со следующими интервалами. \[\begin{array}{rl}{{\mbox{движение вправо: }}}&{ — \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\, 5 < t < \infty}\\{{\mbox{перемещение влево: }}}&{2 < t < 5}\end{массив}\] Убедитесь, что вы можете выполнять работу, которую мы только что сделали в этом примере. В течение следующих двух глав вас будут много раз просить определить, где функции положительны и/или отрицательны. Если вам нужен обзор или вы хотите попрактиковаться в подобных задачах, вам следует обратиться к разделу «Решение неравенств» в обзоре алгебры/триггеров. AC Производная функции в точке Мотивирующие вопросы Как определяется средняя скорость изменения функции на заданном интервале и что измеряет эта величина? Как определяется мгновенная скорость изменения функции в конкретной точке? Как мгновенная скорость изменения связана со средней скоростью изменения? Что такое производная функции в данной точке? Что измеряет эта производная величина? Как мы интерпретируем значение производной графически? Как формально используются ограничения при вычислении производных? Мгновенная скорость изменения функции — это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости и измеряет скорость изменения конкретной функции в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, то эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта. В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к бактериальной культуре в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых при увеличении скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавляемых к платежу по ипотеке. на каждый процентный пункт увеличения процентной ставки. Мгновенная скорость изменения также может быть геометрически интерпретирована на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей исчисления. Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \(s\text{,}\) его средняя скорость на интервале времени от \(t = a\) до \(t = a+h\) определяется частным \begin{уравнение*} AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \end{уравнение*} Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \(y = f(x)\text{.}\) Определение 1.3.1. Для функции \(f\text{,}\) средняя скорость изменения \(f\) на интервале \([a,a+h]\) определяется значением \begin{уравнение*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{. } \end{equation*} Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \(f\) на \([a,b]\text{,}\), мы вычисляем \begin{уравнение*} AV_{[a,b]} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.} \end{уравнение*} Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \(f\) на интервале связана с его графиком. Предварительный просмотр 1.3.1. Предположим, что \(f\) является функцией, представленной на графике ниже, и что \(a\) и \(a+h\) являются входными значениями, отмеченными на оси \(x\). Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы. Рисунок 1.3.2. График \(y = f(x)\) для предварительного просмотра 1.3.1. Найдите и обозначьте точки \((a,f(a))\) и \((a+h, f(a+h))\) на графике. Построить прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок от \((a,f(a))\) до \((a+h,f(a+h))\text{.}\) Какие длины соответствующих катетов этого треугольника? Каков наклон линии, соединяющей точки \((a,f(a))\) и \((a+h, f(a+h))\text{?}\) Напишите осмысленное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей прямой. Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке Точно так же, как мы определили мгновенную скорость через среднюю скорость, мы теперь определим мгновенную скорость изменения функции в точке через среднюю скорость изменения функции \(f\) на соответствующих интервалах. Эта мгновенная скорость изменения \(f\) при \(a\) называется « производная от \(f\) в точке \(a\text{,}\)” и обозначается через \(f'(a)\text{.}\) Определение 1.3.3. Пусть \(f\) функция и \(x = a\) значение в области определения функции. Определим производную \(f\) по \(x\), вычисленную при \(x = a\) , обозначаемую \(f'(a)\text{,}\) по формуле \begin{уравнение*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \end{уравнение*} при наличии этого ограничения. Вслух мы читаем символ \(f'(a)\) либо как «\(f\)-простое число в \(a\)», либо как «производная \(f\), оцененная в \(x = a\text{.}\)» Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи. Сначала рассмотрим производную при заданном значении как наклон определенной линии. Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы допускаем сокращение интервала \([a,a+h]\) как \(h \to 0\text{.}\) Мы можем думать об одной конечной точке интервала как «скольжение» к другому. В частности, при условии, что \(f\) имеет производную в точке \((a,f(a))\text{,}\), точка \((a+h,f(a+h))\) будет подход \((a,f(a))\) как \(h \to 0\text{.}\) Поскольку процесс определения предела является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. . Одним из вариантов является Java-апплет, в котором пользователь может управлять точкой, которая движется. Полезную коллекцию примеров можно найти в работе Дэвида Остина 9.0134  1  Государственного университета Гранд-Вэлли, и этот особенно важный пример  2  . Апплеты, созданные в Geogebra  3  , см. в библиотеке Марка Рено  5  через Шиппенсбургский университет, причем этот пример  6  особенно подходит для нашей работы в этом разделе. На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проведенными через точки \((a, f(a))\) и \((a+h,f(a+h))\text{,}\ ), созданные различными значениями \(h\text{.}\) Эти строки (показаны на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущих к кривой \(y = f(x)\text{.}\) Секущая к кривой — это просто линия, проходящая через две точки на кривой. Для каждой такой линии наклон секущей равен \(m = \frac{f(a+h) — f(a)}{h}\text{,}\), где значение \(h\) зависит от расположения точки, которую мы выбираем. На диаграмме видно, как по мере \(h \to 0\text{,}\) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \((a,f(a))\text{. }\) Если существует предел наклона секущих, мы говорим, что полученное значение является наклоном касательная к кривой. Эта касательная (показана на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\) имеет наклон \(m = f ‘(а)\текст{.}\) Рисунок 1. 3.5. Последовательность секущих, приближающихся к касательной к \(f\) в точке \((a,f(a))\text{.}\) Если касательная в точке \(x = a\) существует, то граф \(f\) выглядит как прямая линия, если смотреть вблизи в точке \((a,f(a))\text{.}\). На рис. 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рис. 1.3.5 в один один слева и увеличьте поле с центром в \((a,f(a))\) справа. Обратите внимание, как линия касательной расположена относительно кривой \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\) и как она похожа на кривую рядом с \(x = a\text{. }\) 92}{ч}\текст{.} \end{equation*} Затем мы удаляем общий множитель \(h\) как в числителе, так и в знаменателе и находим, что \begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} (-3-h)\text{.} \end{equation*} Наконец, мы можем принять предел как \(h \to 0\text{,}\) и таким образом заключить, что \(f'(2) = -3\text{.} \) Заметим, что \(f'(2)\) — это мгновенная скорость изменения \(f\) в точке \((2,-2)\text{.}\). Это также наклон касательная к графику \(y = x — x^2\) в точке \((2,-2)\text{. }\) Рисунок 1.3.92\) в точке \((2,-2)\text{.}\) Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными. Мероприятие 1.3.2. Рассмотрим функцию \(f\), формула которой имеет вид \(\displaystyle f(x) = 3 — 2x\text{.}\) Какой знакомый тип функции \(f\text{?}\) Что вы можете сказать о наклоне \(f\) при каждом значении \(x\text{?}\) Вычислить среднюю скорость изменения \(f\) на интервалах \([1,4]\text{,}\) \([3,7]\text{,}\) и \([5 ,5+h]\text{;}\) максимально упростить каждый результат. Что вы заметили в этих количествах? Используйте предельное определение производной для вычисления точной мгновенной скорости изменения \(f\) по отношению к \(x\) при значении \(a = 1\text{.}\) То есть, вычислите \(f'(1)\), используя определение предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен? Каковы значения \(f'(2)\text{,}\) \(f'(\pi)\text{,}\) и \(f'(-\) без дополнительных вычислений? sqrt{2})\text{?}\) Почему? Мероприятие 1. 3.3. 92 + 16t + 32\text{.}\) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов. Нарисуйте точный помеченный график \(s\) на осях, указанных на рисунке 1.3.10. Вы должны быть в состоянии сделать это без использования вычислительной техники. Рисунок 1.3.10. Оси для построения графика \(y = s(t)\) в упражнении 1.3.3. Вычислите среднюю скорость изменения \(s\) на временном интервале \([1,2]\text{.}\) Включите в свой ответ единицы и напишите одно предложение, объясняющее значение найденного вами значения . Используйте определение предела для вычисления мгновенной скорости изменения \(s\) по отношению ко времени, \(t\text{,}\) в момент времени \(a = 1\text{.}\) Показать свою работу, используя надлежащие обозначения, включите в свой ответ единицы и напишите одно предложение, объясняющее значение найденного вами значения. На графике (а) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет среднюю скорость изменения \(s\) на \([1,2]\text{,}\), другая, наклон которой представляет собой мгновенная скорость изменения \(s\) в момент \(a=1\text{. }\) Четко обозначьте каждую строку. 9{t/5}\text{.}\) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы. Нарисуйте точный график \(P\) от \(t = 0\) до \(t = 5\) на осях, указанных на рисунке 1.3.11. Аккуратно нанесите шкалу на оси. Рисунок 1.3.11. Оси для построения графика \(y = P(t)\) в упражнении 1.3.4. Вычислите среднюю скорость изменения \(P\) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы измерения в свой ответ и напишите одно предложение, объясняющее значение (на повседневном языке) найденного вами значения. Используйте определение предела, чтобы записать выражение для мгновенной скорости изменения \(P\) по времени, \(t\text{,}\) в момент времени \(a = 2\text{.} \) Объясните, почему этот предел трудно оценить точно. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \(P\) в момент \(a = 2\), используя несколько малых значений \(h\). Как только вы определили точную оценку \(P'(2)\text{,}\), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения. На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет среднюю скорость изменения \(P\) на \([2,4]\text{,}\), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения изменение \(P\) в момент \(a=2\text{.}\) Тщательно составленным предложением опишите поведение \(P'(a)\) по мере увеличения значения \(a\). Что это говорит о поведении данной функции \(P\text{?}\) Подраздел 1.3.2 Резюме Средняя скорость изменения функции \(f\) на интервале \([a,b]\) равна \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{ .}\) Единицами средней скорости изменения являются единицы \(f(x)\) на единицу \(x\text{,}\), а числовое значение средней скорости изменения представляет собой наклон секущая линия между точками \((a,f(a))\) и \((b,f(b))\) на графике \(y = f(x)\text{.}\) Если мы рассматриваем интервал как \([a,a+h]\) вместо \([a,b]\text{,}\), значение остается тем же, но теперь вычисляется средняя скорость изменения на \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{. }\) Мгновенная скорость изменения относительно \(x\) функции \(f\) при значении \(x = a\) обозначается \(f'(a)\) (читай «производная от \(f\) оценивается в \(a\)» или «\(f\)-простое в \(a\)») и определяется по формуле \begin{equation*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \end{equation*} , если ограничение существует. В частности, обратите внимание, что мгновенная скорость изменения при \(x = a\) является пределом средней скорости изменения при \([a,a+h]\) при \(h \to 0\text{.}\ ) При условии, что производная \(f'(a)\) существует, ее значение говорит нам о мгновенной скорости изменения \(f\) по отношению к \(x\) в точке \(x = a\text{,} \), что геометрически представляет собой наклон касательной к кривой \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text{.}\) Мы даже говорим, что \( f'(a)\) — «наклон кривой» в точке \((a,f(a))\text{.}\) Ограничения позволяют нам перейти от скорости изменения за интервал к скорости изменения в отдельной точке. Упражнения 1.3.3 Упражнения 1. Графическая оценка значений производных. Рассмотрим функцию \(y = f(x)\), показанную ниже. Задайте \(x)-координату точки, где: A. производная функции отрицательна: \(x =\) B. значение функции отрицательно: \(x =\) C. производная функции наименьшая (самая отрицательная): \(x =\) D. производная функции равна нулю: \(x =\) E. производная функции примерно такая же, как производная при \(x = 2,25\) (убедитесь, что вы укажите точку, отличную от \(x = 2.25\text{!}\)): \(x =\) 2. Касательная к кривой. На рисунке ниже показана функция \(g(x)\) и ее касательная в точке \(B = (6.8,2)\text{.}\) Если точка \(A\) на касательной есть \((6.74,2.05)\text{,}\) заполните пробелы ниже, чтобы завершить утверждения о функции \(g\) в точке \(B\text{.}\) \(г(\) \() =\) \(г'(\) \() =\) 3. Интерпретация значений и наклонов на графике. Рассмотрим график функции \(f(x)\), показанный ниже. Используя этот график, для каждой из следующих пар чисел определите, какое из них больше. Убедитесь, что вы можете объяснить свой ответ. А. \(f(6)\) < = > \(ф(8)\) Б. \(f(6) — f(4)\) < = > \(f(4) — f(2)\) С. \(\frac{f(4) — f(2)}{4 — 2}\) < = > \(\frac{f(6) — f(2)}{6 — 2}\) Д. \(f'(2)\) < 9x\text{.}\) Убедитесь, что ваш ответ точен с точностью до 0,1 от фактического значения. \(f'(3) \приблизительно\) Убедитесь, что вы можете объяснить свои рассуждения. 6. Рассмотрим график \(y = f(x)\), представленный на рисунке 1.3.12. На графике \(y = f(x)\text{,}\) нарисуйте и обозначьте следующие величины: секущую к \(y = f(x)\) на интервале \([-3,-1]\) и секущую к \(y = f(x)\) на интервале \ ([0,2]\текст{.}\) касательная к \(y = f(x)\) в точке \(x = -3\) и касательная к \(y = f(x)\) в точке \(x = 0\text{. }\) Каково приблизительное значение средней скорости изменения \(f\) на \([-3,-1]\text{?}\) на \([0,2]\text{?}\ ) Как эти ценности связаны с вашей работой в (а)? Каково приблизительное значение мгновенной скорости изменения \(f\) при \(x = -3\text{?}\) при \(x = 0\text{?}\) Каковы эти значения связанные с вашей работой в (а)? Рисунок 1.3.12. График \(y = f(x)\text{.}\) 7. Для каждого из следующих запросов нарисуйте график функции с указанными свойствами на предоставленных осях на рис. 1.3.13. Рисунок 1.3.13. Оси для построения \(y = f(x)\) в (a) и \(y = g(x)\) в (b). \(y = f(x)\) такое, что средняя скорость изменения \(f\) на \([-3,0]\) равна \(-2\), а средняя скорость изменения \(f\) на \([1, 3]\) равно 0,5, а 9t\), где \(t\) — количество лет с начала 1993 г. Согласно модели, каково было общее изменение численности населения Китая с 1 января 1993 г. по 1 января 2000 г.? Какова будет средняя скорость изменения населения за этот период времени? Эта средняя скорость изменения больше или меньше мгновенной скорости изменения численности населения на 1 января 2000 г.? Объясните и обоснуйте, обязательно включив во все свои ответы правильные единицы измерения. Согласно модели, какова средняя скорость изменения численности населения Китая за десятилетний период, начиная с 1 января 2012 г.? Напишите выражение, включающее пределы, которые, если их вычислить, дадут точную мгновенную скорость изменения населения на сегодняшнюю дату. Затем оцените значение этого предела (обсудите, как вы это сделали) и объясните значение (включая единицы измерения) найденного вами значения. Найдите уравнение касательной к функции \(y = P(t)\) в точке, где значение \(t\) соответствует сегодняшней дате. 9. Цель этой задачи состоит в том, чтобы вычислить значение производной в точке для нескольких различных функций, причем для каждой из них мы делаем это тремя различными способами, а затем сравнить результаты, чтобы убедиться, что все они дают одно и то же значение. Для каждой из следующих функций используйте предельное определение производной, чтобы вычислить значение \(f'(a)\), используя три разных подхода: сначала постарайтесь использовать алгебраический подход (чтобы точно вычислить предел), затем проверьте свой результат, используя численные данные (с малыми значениями \(h\)), и, наконец, постройте график \(y = f(x)\) рядом с \((a,f(a))\) вместе с соответствующую касательную для визуальной оценки значения \(f'(a)\). Сравните свои результаты со всеми тремя подходами; если вы не можете выполнить алгебраический подход, продолжайте работать с числами и графиками. 92 — 3x\текст{,}\) \(а = 2\) \(f(x) = \frac{1}{x}\text{,}\) \(a = 1\) \(f(x) = \sqrt{x}\text{,}\) \(a = 1\) \(f(x) = 2 — |x-1|\text{,}\) \(a = 1\) \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) \(a = \frac{\pi}{2}\) gvsu.edu/s/5r gvsu.edu/s/5s Вы даже можете создать свои собственные примеры; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатного скачивания  4  , прост в освоении и использовании. geogebra.org gvsu.edu/s/5p gvsu.edu/s/5q Производная 1 его входное значение. При y = f(x) производная f(x), обозначаемая f'(x) (или df(x)/dx), определяется следующим пределом: Определение производной выводится по формуле наклона прямой. Напомним, что наклон линии — это скорость изменения линии, которая вычисляется как отношение изменения у к изменению х. Геометрически производная представляет собой наклон линии, касательной к кривой в интересующей точке. Иногда его называют мгновенной скоростью изменения. Обычно мы вычисляем наклон линии, используя две точки на линии. Для кривой это невозможно, поскольку наклон кривой меняется от точки к точке. Рассмотрим рисунок ниже. На рисунке показана кривая (синяя) с двумя точками: (x, f(x)) и (x + h, f(x + h)). Серая секущая линия представляет собой наклон между этими двумя точками и вычисляется как: Обратите внимание, что это начинает выглядеть как определение производной. Однако эта формула дает нам наклон между двумя точками, который является средним значением наклона кривой. Производная в точке x представлена ​​красной линией на рисунке. Чтобы вычислить наклон этой линии, нам нужно изменить формулу наклона, чтобы ее можно было использовать для одной точки. Мы делаем это, вычисляя предел формулы наклона по мере того, как изменение x (Δx), обозначаемое h, приближается к 0. Делая это, мы находим наклон между двумя точками, разделенными настолько малой разницей, что она обеспечивает приближение для наклон в одной точке, что приводит нас к приведенному выше определению производной. Примеры Используйте предельное определение производной для дифференцирования (нахождения производной) следующих функций. 1. f(x) = x 2 : Таким образом, производная x 2 равна 2x. Чтобы найти производную в данной точке, мы просто подставляем значение x. Например, если мы хотим узнать производную при x = 1, мы должны подставить 1 в производную, чтобы найти, что: f'(x) = f'(1) = 2(1) = 2 2. f(x) = sin(x): Для решения этой задачи воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами и пределами: (1)   (2)   (3) Точки, в которых применяются вышеуказанные тождества и ограничения, будут обозначаться с использованием соответствующих идентификаторов: (1), (2) и (3).   (1)   (2)   (3)   Таким образом, производная от sin(x) равна cos(x), или: Таблица правил производных Обратите внимание на приведенные выше примеры, что вычисление производных с использованием определения предела может быть довольно громоздким. К счастью, правила вычисления производных для различных типов функций четко определены, поэтому простое знание этих правил (или возможность сослаться на них) позволяет нам различать большинство функций. Функция: f(x) Производная: f'(x)   (силовое правило) для некоторой константы a > 0 и a ≠ 1 для некоторой константы а > 0 для любой константы c и функции f для любых функций f и g правило продукта правило частных обозначает композицию, а не умножение Цепная линейка Неопределенные производные Не всегда возможно найти производную функции. В некоторых случаях производная функции может не существовать в определенных точках ее области определения или даже во всей ее области определения. Как правило, производная функции не существует, если наклон ее графика не определен четко. Ниже приведены некоторые из этих случаев. Разрывные функции Чтобы функция имела производную в данной точке, она должна быть непрерывной в этой точке. Функция, которая имеет разрыв в точке, не имеет наклона в этой точке и, следовательно, не имеет производной. Вкратце, функция f(x) непрерывна в точке a, если выполняются следующие условия: f(a) определена. . . На рисунке ниже показан один тип разрыва, называемый разрывом скачка, в точке x = 3. Поскольку в этой точке функция разрывна, она не имеет производной в точке x = 3. Вершины/углы не имеют производных в этих точках. Это связано с тем, что наклон слева и справа от этих точек неодинаков. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт