Интеграл синуса
Согласно формулам интегрирования интеграл от синуса sin (x) равен косинусу, причем со знаком минус. Многие часто допускает ошибки потому что не может запомнить, что производная от синуса равна минус косинусу, а от косинуса — синусу со знаком плюс.
Те кто изучает первоначальную должны помнить что к правой стороне следует добавить постоянную
Ету постоянную определяют с дополнительной условия.
График синуса имеет вид
Синус нечетная, а косинус — четная функция, поэтому при интегрировании появляется знак минус. В начале всем кажется все простым и понятным. Но рано или поздно наступает время усложнять интеграл, то есть интегрировать синус двойного угла, тройного аргумента и т.д. И во многих возникают трудности с интегрированием. Для вывода формулы интеграла для sin (k*x) проведем все выкладки сначала. Для того чтобы свести интеграл к табличной формулы надо внести коэффициент под дифференциал, но это изменит сам интеграл. Поэтому одновременно делим на коэффициент
Зная эту формулу, интеграл от синуса двойного угла записываем одной строкой
Далее можем проинтегрировать синус тройного угла
и т.д.
int(sin(k*x)=-1/k*cos(k*x).
По такой же формуле выводят интеграл от синуса половины угла, который равен минус 2 косинус половины угла.
Интеграл от синуса одной третьей х равен
Распространенные примеры интегрирования синуса
Пример 1. Найти интеграл от sin(4*x).
Решение: По формуле интегрирования находим
Пример 2. Вычислить интеграл от sin(5*x).
Решение: Выполняем интегрирования
Пример 3. Проинтегрировать выражение sin(7*x).
Решение: Находим неопределенный интеграл
Пример 4. Найти интеграл функции y=sin(x/5).
Решение: Находим неопределенный интеграл
Как только Вы научитесь вычислять простые интегралы от синуса можете переходить к определенному интегралу
Пример 5. Найти первоначальную от sin(x) которая в нуле равна 2.
Решение: Вычисляем первоначальную
Из условия на первоначальную находим постоянную
-cos(0)+C=2;
C=2+cos(0)=3.
Возвращаемся к первоначальной и подставляем найденную постоянную
Это и есть ответ к задаче.
Пример 7. Проинтегрировать синус двойного угла y=sin(2*x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Записываем интеграл от синуса и подставляем пределы интегрирования
По физическому содержанию определенный интеграл равен площади фигуры ограниченной функцией sin (x) и осью абсцисс.
Но определенный интеграл и площадь, это не одно и то же. Интеграл может быть отрицательным, а площадь нет. Если функция большую площадь имеет под осью абсцисс, то ее определенный интеграл отрицательный.
Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от разницы уравнения верхней кривой и нижней.
В данном случае верхняя кривая это ось абсцисс или y = 0. Нижняя — это график синуса. Поэтому формула площади синус функции равна 1, или определенному интегралу по модулю.
Если функция антисимметрична относительно оси абсцисс то ее интеграл равен нулю, а площадь равна двойному интегралу графика над осью абсцисс. Например, интеграл синуса двойного угла от -45 до 45 градусов равен нулю
В то же время площадь заштрихованной фигуры равна единице.
На графике это будет выглядеть.
Из следующих материалов Вы узнаете, как найти интеграл от функции вида
какие формулы свертки и замены переменных при этом следует использовать. Также Вы овладеете методикой вычисления интегралов вида полином умноженый на синус функцию
где — полином от переменной. В таких случаях применяют интегрирования по частям, но об этом пойдет речь позже.
На этом знакомство с интегрированием синуса завершается. Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете на страницах категории «Интегрирование функций».
Интеграл синус икс делить на икс
Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ int_a^b f(x) dx = F(x) igg |_a^b = F(b)-F(a) $:
$$ int_0^pi sin x dx = -cos x igg |_0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$
Решение
Используем интегрирование по частям:
пусть и пусть dx.
Интеграл от синуса есть минус косинус:
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
(6)
Решение. По формуле (2) при
Применяя далее формулу (5), получим
Решение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя далее формулу (6), получим
Решение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен – sin x dx ) .
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 – нечётный. Тогда, учитывая, что
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей – нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса – это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень – отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени – только чётные. О них – следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей – отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2x dx . Следовательно,
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус – в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда .
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где .
Тогда .
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:
python — Интеграция проблемы sin x dx в реализацию программирования на Python
Я хочу реализовать эту интеграцию на Python:
Пока что я написал код ниже, но это не имеет смысла. Что я делаю неправильно?
import sympy as sm
x=sm.Symbol('x')
x=sm.integrate(math.sin(x)**2, 2*x)
-1
SUM 23 Янв 2021 в 21:01
4 ответа
Лучший ответ
Ссылаясь на другие ответы, вам не нужно использовать trigintegrate, но вам нужно указать пределы интеграции при вызове integrate, если это определенный интеграл:
In [31]: from sympy import integrate, sin, oo, Symbol In [32]: x = Symbol('x') In [33]: integrate(sin(x**2), (x, 0, oo)) Out[33]: √2⋅√π ───── 4 In [34]: _.2)не имеет простого неопределенного интеграла.Однако вы можете напрямую вычислить определенный интеграл, который вы показываете, просто используя границы в качестве аргумента (и используя
sympy.ooдля бесконечности):from sympy import sin, oo from sympy.abc import x integrate(sin(x**2), (x, 0, oo))Это возвращается правильно: .
(источник: из документации sympy)
2
Pac0 23 Янв 2021 в 19:13
Примеры решений интегралов от sin x cos x или e x по частям
Формула интегрирования по частям
При решении примеров этого раздела, используется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или e
xВот примеры таких интегралов:
, , .Для интегрирования подобных интегралов, многочлен обозначают через u, а оставшуюся часть – через v dx. Далее применяют формулу интегрирования по частям.
Ниже дается подробное решение этих примеров.
Примеры решения интегралов
Пример с экспонентой, е в степени х
Определить интеграл:
.Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).Интегрируем по частям.
здесь
.
Оставшийся интеграл также интегрируем по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.Ответ
.
Пример определения интеграла с синусом
Вычислить интеграл:
.Решение
Введем синус под знак дифференциала:
Интегрируем по частям.
здесь u = x2, v = cos(2x+3), du = (x2)′ dxОставшийся интеграл также интегрируем по частям. Для этого вводим косинус под знак дифференциала.
здесь u = x, v = sin(2x+3), du = dx
Окончательно имеем:Ответ
.
Пример произведения многочлена и косинуса
Вычислить интеграл:
.Решение
Введем косинус под знак дифференциала:
Интегрируем по частям.
здесь u = x2 + 3x + 5, v = sin 2x, du = (x2 + 3x + 5)′ dxВводим синус под знак дифференциала:
Тогда
Последний интеграл интегрируем по частям
здесь u = x, v = cos 2x, du = dxОкончательно имеем:
.Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
Интегрирование тригонометрических функций.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
1. Интегралы вида $\int\cos^m x\sin ^n x\,dx$ находят в зависимости от четности степеней $m$ и $n$ следующим образом:
а) если $m$ или $n$ нечетное, то используют замену переменной:
$t=\sin x,$ при нечетном $m$;
$t=\cos x,$ при нечетном $n,$
и формулу $\sin^2 x+\cos^2 x=1;$
б) если $m$ и $n$ четные, то используют формулы понижения степени: $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\quad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\quad \sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2};$$
в) Если $m+n=-2k,\,\,\, k\in N$ т.{-1/2}}{-1/2}+C=-\frac{2}{\sqrt{tg x}}+C=-2\sqrt{ctg x}+C.$$
Ответ: $-{2}{\sqrt{ctg x}}+C.$
{jumi[*4]}
6.214. $\int\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{3}.$
Решение.
$$\int\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{3}=\int\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)x+\cos\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)x\right)\,dx=$$ $$=\frac{1}{2}\int\left(\cos\frac{1}{6}x+\cos\frac{5}{6}x\right)\,dx=\frac{6}{2}\sin\frac{1}{6}x+\frac{6}{10}\sin\frac{5}{6}x+C=$$ $$=3\sin\frac{x}{6}+0,6\sin\frac{5x}{6}+C.$$
Ответ: $3\sin\frac{x}{6}+0,6\sin\frac{5x}{6}+C.$
6.215. $\int\sin \frac{x}{3}\cos\frac{2x}{3}\,dx.$
Решение.
$$\int\sin\frac{x}{3}\cos\frac{2x}{3}=\int\frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)x+\sin\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)x\right)\,dx=$$ $$=\frac{1}{2}\int\left(\sin\frac{-x}{3}+\sin x\right)\,dx=\frac{3}{2}\cos\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\cos x+C.3 x\,dx.$
Определенный интеграл
Задание для студентов на практическое №3по теме
«Основы интегрального исчисления.Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме
Вопросы теории ( исходный уровень)
Первообразная функции и неопределённый интеграл.
Интегрирование.
Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.
Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.
Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.
Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах. (самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1.ответить на вопросы по теме занятия
2.решить примеры
Примеры
Найти интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 20) | 21) |
22) | 23) | 24) |
25) | 26) | 27) |
Вычислить интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 21) | 22) |
23) | 24) | 25) |
26) | 27) | 28) |
29) | 30) | 31) |
32) | 33) | 34) |
35) | 36) | 37) |
38) |
Тема
Неопределенный интеграл
Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx.
Свойства неопределенного интеграла
∫f(x)dx=F(x)+C
∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx
∫ d(F(x))=F(x)+C
(∫f(x)dx)=f(x)
∫f(x)dx= ∫f(t)dt
d∫f(x)dx=f(x)dx
∫af(x)dx+a∫f(x)dx
Основные интегралы
∫dx=x+C
∫xndx=xn+1/ (n+1) +C (n≠-1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫axdx=ax/lna +C
∫exdx=ex+C
∫sin x dx=-cos x +C
∫cos xdx=sin x +C
∫dx/cos2x=tgx+C
∫dx/sin2x=-ctgx+C
∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx
∫dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx
Интегрирование по частям
∫ udv = uv—∫ vdu.
Пример
Найти у = ∫ ln хdх.
Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C
Пример метод непосредственного интегрирования
Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx
На основании свойства интеграла суммы запишим
у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C
Пример; метод замены переменной( метод подстановки)
∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t
Продифферинцируем праву и левую часть
-sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)
Запишим интеграл через новые переменные
∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы
lim∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n и Δx→0)
где ki — произвольная точка соответствующего отрезка.
Формула Ньютона — Лейбница
где F′ — первообразная функцию f(x), т е
F′(x)=f(x)
Некоторые свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x) и у = = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,
Дифференциальные уравнения
Общий вид дифференциального уравнения
F(x ,y,y′,y″,…yn) = О
Общee решение дифференциального уравнения
y=f(x, C1,C2, , Сn)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,y') = 0
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
y= f(x,C)
примеры
1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)
dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx
Общее решение
y=∫f(x)dx=F(x)+C
Дифференциальное уравнение типа
у' = f(y)
dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx
Общее решение
∫dy/f(y)=F(y)+C
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
f(x) dx + φ(y)dy = 0
Общее решение
∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными
(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0
Общее решение
∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F1(x)+F2(y)=C
Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).
Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную F(x) или дифференциал dF = F (x)dx.
Cуществует действие, обратное дифференцированию, интегрирование нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx.
Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Например, функция F(x) = x5 является первообразной функции f(x) = 5x4 для х , так как при любом х (х5) = 5х4 и dx5=5x4dx.
Для функции f(x) = 5x4 первообразной будет любая функция Ф(х) = х5 + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.
В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):
(F(x) + C) = F(x) = f(x).
Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают f(x)dx.
По определению, f(x)dx = F(x) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.
Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cos x, если при х = 0 F(0) = 0.
Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому cos xdx = sin x + C. Обозначим искомую первообразную F(x) = sin x + C. Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F(0) = 0, получим 0 = sin 0 + C, откуда C = 0. Искомая первообразная F(x) = sin x.
В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.
Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.
Решение. Так как угловой коэффициент r = tg = f(x) = x, то y= xdx = = x2/2 + C есть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.
x sin x dx: это прекрасный пример Интеграция по частям , где термин, который вы пытаетесь интегрировать, будет повторяться, и вы в конечном итоге будете ходить по кругу. Этот пример показывает, как решить такую проблему.Как обычно, вы выбираете простейший член для u, следовательно, u = e x , и, следовательно, du / dx = e x .
Вы выбираете sin x как dv / dx, и, следовательно, v = -cos x, который можно легко найти с помощью интегрирования или просто найти в стандартном листе формул.х соз х dx
Чтобы интегрировать e x cos x, выполните те же шаги, что и раньше, для интеграции по частям. Затем подставьте все значения для u, v и du / dx, чтобы получить выражение выше. Как вы можете видеть на RHS, у нас все еще остается загадка, которая состоит в том, чтобы интегрировать e x sin x. Как видите, член ∫ e x sin x dx повторяется, и в итоге вы идете по кругу.
В настоящее время мы игнорируем тот факт, что этот член продолжает повторяться, и мы просто подставляем результат для e x cos x в нашу исходную задачу, как показано ниже.
Просто возьмите исходную задачу и подставьте вместо e x cos x, который был рассчитан ранее. Замещенная часть выделена розовым цветом выше.
Как вы можете видеть, теперь у нас есть ∫ e x sin x dx на левой и правой сторонах. Поэтому просто перенесите термин RHS в LHS, чтобы получить два одинаковых типа, следовательно, 2. Таким образом, мы получаем следующее.
∫ e x sin x dx + ∫ e x sin x dx = 2∫ e x sin x dx
Затем мы делим все на 2, так что LHS снова составляет ∫ e x sin x dx, что было исходной проблемой, и, следовательно, RHS является ответом.Когда я впервые сделал это сам в конце 80-х, это произвело на меня сильное впечатление. 🙂 В то время у меня был лучший учитель, мистер Смит, и с тех пор я не нашел учителя математики его уровня.
| 1 | Найдите производную - d / dx | натуральное бревно х | |
| 2 | Оцените интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найдите производную - d / dx | e ^ x | |
| 4 | Оцените интеграл | интеграл e ^ (2x) относительно x | |
| 5 | Найдите производную - d / dx | 1 / х | |
| 6 | Найдите производную - d / dx | х ^ 2 | |
| 7 | Найдите производную - d / dx | 1 / (х ^ 2) | |
| 8 | Найдите производную - d / dx | грех (х) ^ 2 | |
| 9 | Найдите производную - d / dx | сек (x) | |
| 10 | Оцените интеграл | интеграл e ^ x относительно x | |
| 11 | Оцените интеграл | интеграл x ^ 2 относительно x | |
| 12 | Оцените интеграл | интеграл квадратного корня x относительно x | |
| 13 | Найдите производную - d / dx | соз (х) ^ 2 | |
| 14 | Оцените интеграл | интеграл 1 / x относительно x | |
| 15 | Оцените интеграл | интеграл sin (x) ^ 2 относительно x | |
| 16 | Найдите производную - d / dx | х ^ 3 | |
| 17 | Найдите производную - d / dx | сек (x) ^ 2 | |
| 18 | Оцените интеграл | интеграл cos (x) ^ 2 относительно x | |
| 19 | Оцените интеграл | интеграл от sec (x) ^ 2 относительно x | |
| 20 | Найдите производную - d / dx | е ^ (х ^ 2) | |
| 21 | Оцените интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1 + 7x относительно x | |
| 22 | Найдите производную - d / dx | грех (2x) | |
| 23 | Найдите производную - d / dx | загар (x) ^ 2 | |
| 24 | Оцените интеграл | интеграл от 1 / (x ^ 2) относительно x | |
| 25 | Найдите производную - d / dx | 2 ^ х | |
| 26 | График | натуральное бревно из | |
| 27 | Найдите производную - d / dx | cos (2x) | |
| 28 | Найдите производную - d / dx | хе ^ х | |
| 29 | Оцените интеграл | интеграл 2x относительно x | |
| 30 | Найдите производную - d / dx | (натуральный логарифм x) ^ 2 | |
| 31 | Найдите производную - d / dx | натуральный логарифм (x) ^ 2 | |
| 32 | Найдите производную - d / dx | 3x ^ 2 | |
| 33 | Оцените интеграл | интеграл xe ^ (2x) относительно x | |
| 34 | Найдите производную - d / dx | 2e ^ x | |
| 35 | Найдите производную - d / dx | натуральное бревно 2х | |
| 36 | Найдите производную - d / dx | -sin (х) | |
| 37 | Найдите производную - d / dx | 4x ^ 2-x + 5 | |
| 38 | Найдите производную - d / dx | y = 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4 | |
| 39 | Найдите производную - d / dx | 2x ^ 2 | |
| 40 | Оцените интеграл | интеграл e ^ (3x) относительно x | |
| 41 | Оцените интеграл | интеграл от cos (2x) относительно x | |
| 42 | Найдите производную - d / dx | 1 / (квадратный корень из x) | |
| 43 | Оцените интеграл | интеграл e ^ (x ^ 2) относительно x | |
| 44 | Оценить | e ^ бесконечность | |
| 45 | Найдите производную - d / dx | х / 2 | |
| 46 | Найдите производную - d / dx | -cos (x) | |
| 47 | Найдите производную - d / dx | грех (3x) | |
| 48 | Найдите производную - d / dx | 1 / (х ^ 3) | |
| 49 | Оцените интеграл | интеграл tan (x) ^ 2 относительно x | |
| 50 | Оцените интеграл | интеграл 1 относительно x | |
| 51 | Найдите производную - d / dx | х ^ х | |
| 52 | Найдите производную - d / dx | х натуральное бревно х | |
| 53 | Найдите производную - d / dx | х ^ 4 | |
| 54 | Оценить предел | Предел, когда x приближается к 3 из (3x-5) / (x-3) | |
| 55 | Оцените интеграл | интеграл от x ^ 2 натурального логарифма x относительно x | |
| 56 | Найдите производную - d / dx | f (x) = квадратный корень из x | |
| 57 | Найдите производную - d / dx | х ^ 2sin (х) | |
| 58 | Оцените интеграл | интеграл sin (2x) относительно x | |
| 59 | Найдите производную - d / dx | 3e ^ x | |
| 60 | Оцените интеграл | интеграл xe ^ x относительно x | |
| 61 | Найдите производную - d / dx | у = х ^ 2 | |
| 62 | Найдите производную - d / dx | квадратный корень из x ^ 2 + 1 | |
| 63 | Найдите производную - d / dx | грех (x ^ 2) | |
| 64 | Оцените интеграл | интеграл от e ^ (- 2x) относительно x | |
| 65 | Оцените интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня x относительно x | |
| 66 | Найдите производную - d / dx | e ^ 2 | |
| 67 | Найдите производную - d / dx | х ^ 2 + 1 | |
| 68 | Оцените интеграл | интеграл sin (x) относительно x | |
| 69 | Найдите производную - d / dx | arcsin (x) | |
| 70 | Оценить предел | предел, когда x приближается к 0 из (sin (x)) / x | |
| 71 | Оцените интеграл | интеграл e ^ (- x) относительно x | |
| 72 | Найдите производную - d / dx | х ^ 5 | |
| 73 | Найдите производную - d / dx | 2 / х | |
| 74 | Найдите производную - d / dx | натуральное бревно 3х | |
| 75 | Найдите производную - d / dx | х ^ (1/2) | |
| 76 | Найдите производную - d / d @ VAR | f (x) = квадратный корень из x | |
| 77 | Найдите производную - d / dx | соз (х ^ 2) | |
| 78 | Найдите производную - d / dx | 1 / (х ^ 5) | |
| 79 | Найдите производную - d / dx | кубический корень из x ^ 2 | |
| 80 | Оцените интеграл | интеграл cos (x) относительно x | |
| 81 | Оцените интеграл | интеграл e ^ (- x ^ 2) относительно x | |
| 82 | Найдите производную - d / d @ VAR | е (х) = х ^ 3 | |
| 83 | Оцените интеграл | интеграл от 0 до 10 из 4x ^ 2 + 7 относительно x | |
| 84 | Оцените интеграл | интеграл (натуральный логарифм x) ^ 2 относительно x | |
| 85 | Найдите производную - d / dx | журнал x | |
| 86 | Найдите производную - d / dx | арктан (х) | |
| 87 | Найдите производную - d / dx | натуральное бревно 5х | |
| 88 | Найдите производную - d / dx | 5e ^ x | |
| 89 | Найдите производную - d / dx | cos (3x) | |
| 90 | Оцените интеграл | интеграл x ^ 3 относительно x | |
| 91 | Оцените интеграл | интеграл x ^ 2e ^ x относительно x | |
| 92 | Найдите производную - d / dx | 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4 | |
| 93 | Найдите производную - d / dx | х / (е ^ х) | |
| 94 | Оценить предел | предел, когда x приближается к 3 от arctan (e ^ x) | |
| 95 | Оцените интеграл | интеграл от (e ^ x-e ^ (- x)) / (e ^ x + e ^ (- x)) относительно x | |
| 96 | Найдите производную - d / dx | 3 ^ х | |
| 97 | Оцените интеграл | интеграл xe ^ (x ^ 2) относительно x | |
| 98 | Найдите производную - d / dx | 2sin (х) | |
| 99 | Оценить | сек (0) ^ 2 | |
| 100 | Найдите производную - d / dx | натуральный логарифм x ^ 2 |
Интеграл греха (x): геометрическая интуиция - лучшее объяснение
Вы занимаетесь своим делом, когда какой-то панк спрашивает, что означает интеграл от $ \ sin (x) $.Ваши варианты:
- Притворись спящим (кроме того, что снова не в библиотеке)
- Стандартный ответ: «Как и для любой функции, интеграл от синуса - это площадь под ее кривой».
- Геометрическая интуиция: «Интеграл синуса - это горизонтальное расстояние по круговой траектории».
Вариант 1 заманчив, но давайте посмотрим на остальные.
Почему "Площадь под кривой" не удовлетворяет
Описание интеграла как «площади под кривой» похоже на описание книги в виде списка слов.Технически правильно, но сообщение отсутствует, и я подозреваю, что вы не выполнили назначенное чтение.
Если вы не попали в ловушку LegoLand, интегралы означают нечто помимо прямоугольников.
Расшифровка интеграла
Моя математическая головоломка заключалась в отсутствии интуиции для всех механик.
Когда мы видим:
$ \ int \ sin (x) dx $
Мы можем позвонить по нескольким вопросам:
Интеграл - это просто умножение.При умножении накапливаются числа, которые не меняются (3 + 3 + 3 + 3). Интегралы складывают числа, которые может изменить , на основе шаблона (1 + 2 + 3 + 4). Но если мы прищуриваем глаза и притворяемся идентичными, мы получаем умножение.
$ \ sin (x) $ только в процентах. Да, это тоже причудливая кривая с хорошими свойствами. Но в любой момент (например, 45 градусов) это один процент от -100% до + 100%. Просто обычные числа.
$ dx $ - крошечный, бесконечно малый участок пути, по которому мы идем.От 0 до $ x $ - это полный путь, поэтому $ dx $ (интуитивно) составляет нанометр.
Ок. С этими тремя интуициями наше грубое (грубое!) Преобразование в Plain English составит:
Интеграл sin (x) умножает предполагаемую длину пути (от 0 до x) на процент
Мы предполагаем, что будет проходить простой путь от 0 до x, но вместо этого мы получаем меньший процент. (Почему? Потому что $ \ sin (x) $ обычно меньше 100%). Таким образом, мы ожидаем что-то вроде 0.75x.
Фактически, если бы $ \ sin (x) $ действительно имело фиксированное значение 0,75, наш интеграл был бы:
$ \ int \ text {fixedsin} (x) = \ int 0,75 \ dx = 0,75 \ int dx = 0,75x $
Но настоящий $ \ sin (x) $, этот негодяй, меняется по мере нашего продвижения. Посмотрим, какую часть нашего пути мы действительно получим.
Визуализируйте изменение греха (x)
Теперь визуализируем $ \ sin (x) $ и его изменения:
Вот ключ декодера:
$ x $ - наш текущий угол в радианах.На единичной окружности (радиус = 1) угол - это расстояние по окружности.
$ dx $ - это крошечное изменение нашего угла, которое становится таким же изменением по окружности (перемещение на 0,01 единицы по нашему углу перемещается на 0,01 по окружности).
В нашем крошечном масштабе круг представляет собой многоугольник с множеством сторон, поэтому мы движемся по отрезку линии длиной $ dx $. Это ставит нас в новое положение.
Со мной? С помощью тригонометрии мы можем найти точное изменение высоты / ширины, когда мы перемещаемся по кругу на $ dx $.
Аналогичными треугольниками мы заменяем только наш исходный треугольник, повернутый и масштабированный.
- Исходный треугольник (гипотенуза = 1): высота = $ \ sin (x) $, ширина = $ \ cos (x) $
- Изменить треугольник (гипотенуза = dx): высота = $ \ sin (x) dx $, ширина = $ \ cos (x) dx $
Теперь помните, что синус и косинус - это функции, возвращающие проценты. (Число наподобие 0,75 не имеет ориентации. Оно появляется и составляет 75% своего размера в любом направлении, в котором они смотрят.)
Итак, учитывая то, как мы нарисовали наш Треугольник Изменений, $ \ sin (x) dx $ - это горизонтальное изменение. Наша интуиция на простом английском:
Интеграл от sin (x) складывает горизонтальное изменение вдоль нашего пути
Визуализируйте целостную интуицию
Хорошо. Давайте изобразим этого плохого парня, чтобы увидеть, что происходит. С нашим пониманием "$ \ sin (x) dx $ = крошечное горизонтальное изменение" мы имеем:
По мере того, как мы обводим круг, у нас появляется связка линейных сегментов $ dx $ (отмечена красным).\ pi = - \ cos (\ pi) - - \ cos (0) = - (- 1) - (- 1) = 1 + 1 = 2 $
Yowza. Видите, как неловко эти двойные отрицания? Почему визуальная интуиция была намного проще?
Наш путь по окружности (от $ x = 0 $ до $ x = \ pi $) идет справа налево. Но ось x идет в положительном направлении слева направо. При преобразовании расстояния по нашему пути в Standard Area ™ мы должны перевернуть наши оси:
Наше стремление привести вещи в официальный формат вытеснило интуитивное представление о том, что происходило.
Основная теорема исчисления
Мы больше не говорим о фундаментальной теореме исчисления. (Это то, что я сделал?)
Вместо того, чтобы складывать все крошечные сегменты, просто выполните: конечная точка - начальная точка.
Интуиция смотрела нам в глаза: $ \ cos (x) $ - это антипроизводная, отслеживающая горизонтальное положение, поэтому мы просто берем разницу между горизонтальными положениями! (С неудобным минусом поменять топоры.)
Это сила фундаментальной теоремы исчисления.3 $ без калькулятора. Если вы утверждаете, что понимаете экспонентов, это должно быть возможно, верно?
Итак, мы не всегда можем визуализировать вещи. Но для наиболее распространенных функций мы обязаны визуальной интуицией. Я, конечно, не могу разглядеть 2 единицы площади от 0 до $ \ pi $ под синусоидальной кривой.
Счастливая математика.
Приложение: Средняя эффективность
Интересно отметить, что «средняя» эффективность движения по вершине круга (от 0 до $ \ pi $) равна: $ \ frac {2} {\ pi} =.x $ - ребенок, который ест конфеты, вырастает и, следовательно, может есть больше конфет.
$ \ sin (x) $ - ребенок, который ест конфеты, заболевает, ждет аппетита и ест еще конфеты.
Приложение: Площадь не буквальная
«Площадь» в нашем интеграле - это не буквальная площадь, это процент от нашей длины. Мы визуализировали умножение как двумерный прямоугольник в нашем общем интеграле, но это может сбивать с толку. Если вы зарабатываете деньги и облагаетесь налогом, визуализируете ли вы 2-ю область (доход * (1 - налог))? Или просто беспомощно сокращающееся количество?
Площадь в первую очередь указывает на то, что произошло умножение.Не позволяйте команде «Интегралы - это буквальная область» побеждать в каждой битве!
Другие сообщения из этой серии
- Нежное введение в изучение исчисления
- Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
- Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
- Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
- Исчисление: построение интуиции для производных
- Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
- Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
- Интуитивное введение в ограничения
- Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
- Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
- Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
- Дружеский чат о том, 0.999 ... = 1
- Аналогия: камера исчисления
- Практика абстракции: графы исчисления
- Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
- Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
- Интеграл греха (x): геометрическая интуиция
Mathematica Tutor Part 10
Mathematica Tutor Part 10Mathematica Репетитор
Часть 10: Интеграция
- Сначала посчитаем
неопределенные интегралы.При необходимости отмените присвоение x :
x =.
Затем введите
Интегрировать [x * Sin [x], x]Убедитесь, что результат является первообразной x sin (x) :
Введите
D [%, x] - Теперь попробуйте найти
первообразная для sin (x 3 + x 5 ) . Mathematica не знает первообразного этого
функция, которая может быть определена в терминах известных ей функций.2], x]
S-функция Френеля известна в Mathematica , но наверное, не тебе. Однако вы можете проверить дифференцированием что выражение является первообразным. - Далее рассчитываем
определенные интегралы. Чтобы проинтегрировать x sin (x) по интервалу [0, pi / 2] , введите
Integrate [x * Sin [x], {x, 0, Pi / 2}] - Теперь попробуйте это
метод на интеграле sin (x 3 + x 5 ) в интервале [0, pi / 2] .5], {x, 0,
Pi / 2}]
Значение использования функции NIntegrate заключается в том, что Mathematica не пытается найти символическое решение перед тем, как приступить к численной оценке. - Используйте Mathematica , чтобы найти точное значение каждого из следующих интегралов.
(Тип Infinity с большой буквы I для бесконечности
символ.)
- Интеграл 1 / (1 + x 2 ) от 0 до 1 ,
- Интеграл 1 / (1 + x 2 ) из 0 по Бесконечность ,
- Интеграл 1 / (1 + x 4 ) из 0 по Бесконечность .
Примечание: В современном версии Mathematica , у вас есть доступ к нескольким палитрам. Эти палитры упрощают создание многих распространенных систем Mathematica команд. Палитра BasicInput особенно полезна для настройка интегралов. Использование этих палитр описано в Приложение.
Интеграция X Sinx - Новоком.верх
sin sinx интеграл
sinx интегрировать
интеграция грех интегрировать бывший глава
sinx dx интегрировать socratic try
sinx cosx sinxcosx интегрировать интегралы математика
sinx интегральная интеграция интегрировать детали dx dv lnx cosx geneseo baldwin spring2015 edu
предел интегрирования sinx pi бесконечное
интеграция dx sin e2x sinx интегральная формула 2x cosx минус квадрат объяснения равен верхнему показателю обучения половина 23-го снеха ответил
окт.sinx cosx integration 9k проголосовавших за
составные части греха
sinx cosx sin2x интеграция помогает надеяться спасибо
sin dx интегрировать
интеграл sin sinh cosh тождества подстановка тригонометрический по Вейерштрассу
sin cos интеграл неопределенный
sinx интегральные dx интегралы
sinx интегрировать решения интеграции sin dx относятся, следовательно, обычно пишется стандарт
интегральный dx sin xe chegg расшифрованный текст
sinx cosx интеграл
интеграция в квадрате cos sinx
Интеграция sin ex глава класса интегралы части
детали интеграции sinx
интеграл sin dx пример
интеграл sinx sin4x интеграл sin cos dx
sin интеграл cos неопределенный
интеграл оценить sinx cos dx cosx sin упражнения dt решено tan ответ указан транскрибированный текст задачи был 2x
интеграл sin dx int rm andre спасибо базовый
sin интегрировать функцию
интеграл sin 3x в кубе различное интегрирование sin3x функции ответы против того же решения общее
sinx cosx dx cos sin sin2x оценивает целые сартаки с заданным положением
интеграл sin cos разные sinxcosx ответы эквивалентные запутанные головоломки воскресные производные анти-xcos подходы решить интересный, казалось бы, дать конец умyourdecisions
cos sin интеграл
python - Числовой интеграл от sin (x) / x
В вашем коде есть по крайней мере некоторые проблемы:
- Ваше внутреннее пространство начинается с
0, таким образом, когда вы оцениваете функцию для интегрирования, в начале трапециевидного интеграла вы имеете:sin (0) / 0 = nan.Вы должны использовать числовой ноль вместо точного нуля (в приведенном ниже примере я использовал1e-12) - Когда вы получаете первые
nan,nan + 1.0 = nan: это означает, что в вашем коде, когда вы суммируете интеграл по интервалам, первыеnanпортят все ваши результаты. - только для python 2 : деление
2/256- это деление между 2 целыми числами, результат -0.Попробуйте вместо этого использовать2.0 / 256.0(спасибо @MaxU за указание на это).
Это ваш исправленный код (я запускаю его на python2, это то, что установлено на компьютере, который я сейчас использую):
из scipy import интегрировать
импортировать numpy как np
точное = интегрировать.quad (лямбда x: (np.sin (x)) / x, 0, 2 * np.pi) [0]
print ("Точное значение интеграла:", точное)
# Приближение sin (x) / x по правилу трапеции
x = np.linspace (1e-12, 2 * np.pi, 257) # <- 0 стал числовым 0
f = лямбда x: (np.4): ', 1,418151576,' + ', 0,0)
('настоящая ошибка:', 2.73102429559e-10)
Discalimer Предел sin (x) / x -> 1 для x -> 0 , но из-за плавающего округления для sin (1e-12) / 1e-13 = 1 !
Знакомство с первообразными | StudyPug
Антипроизводное tanx
Первообразная tanx, возможно, является самым известным тригонометрическим интегралом, с которым у всех возникают проблемы. Это потому, что вам нужно использовать замену u.
Что является первообразной tanx
Давайте посмотрим на функцию, которую мы хотим интегрировать.
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 1Вы можете спросить себя, как я могу использовать замену u? Во-первых, обратите внимание, что tanx может быть изменен на sinx over cosx. Другими словами,
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 2Теперь мы можем использовать замену u.
Пусть u = cosx. Тогда мы можем сказать, что du = -sinx. Обратите внимание, что умножение обеих сторон на отрицательное дает -du = sinx.Таким образом, замена даст нам следующее:
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 3Теперь мы можем вынести отрицательный знак из интеграла, что даст нам:
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 4Теперь возникает вопрос, как мне взять первообразную 1 / u? Это то же самое, что брать первообразную 1 / x. Интеграл от 1 / x - это натуральный логарифм от | x |. Другими словами,
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 5Никогда не забывайте добавлять константу c, потому что вы берете первообразную! Наконец, не забывайте, что изначально интеграл выражался через x.Итак, нам нужно изменить нашу первообразную в терминах x. Напомним, что u = cosx, поэтому обратная подстановка даст:
Уравнение 1: первообразное tanx pt. 6, который является неотъемлемой частью tanx.
Поскольку мы обсуждаем триггерные интегралы, почему бы нам не взглянуть на интегралы некоторых триггерных функций? Поскольку tanx представляет собой комбинацию sinx и cosx, почему бы просто не найти их первообразную по отдельности? Давайте продолжим и найдем первообразную sin и первообразную cosx.
Что является первообразной греха
Многие люди просто запоминают, что первообразная sinx - это просто –cosx. Но как именно это получить? Есть несколько способов проиллюстрировать это, но я покажу вам 2 метода.
Метод 1: возврат с использованием производных
Вместо явного нахождения первообразной нашей целью было бы найти функцию, производная которой равна sinx. Если производная функции равна sinx, то должно быть верно, что первообразная функции sinx вернет эту функцию.Хорошо, звучит идеально. Какую функцию мы должны попробовать? Пусть
Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 1Обратите внимание, что производная от этого будет:
Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 2Видите, мы действительно близки, но вместо sinx у нас –sinx. Как избавиться от негатива? Как насчет того, чтобы взять функцию, которая у нас есть, и добавить лишний отрицательный знак? Это может привести к тому, что у производной будет два отрицательных значения, и она станет положительной.Если мы это сделаем, пусть
Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 3Теперь производная от этого будет:
Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 4Это прекрасно! У нас есть производная sinx, поэтому наша функция является первообразной sinx. Следовательно, антипроизводная sinx равна
Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 5Опять же, не забудьте добавить константу c.
Итак, это отличный способ найти первообразные, но некоторые интегралы могут потребовать большого количества предположений.Как лучше найти первообразную греха? Это приводит нас к следующему методу:
Метод 2: Используйте теорему Муавра
Этот метод может сбить с толку, если вы не знаете, как использовать комплексные числа. Так что пропустите этот метод, если вы не знаете теорему Муавра. Обратите внимание, что согласно теореме Муавра мы имеем
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 1Сложение этих двух уравнений дает:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 2Упрощение правой части приводит к:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt.3Таким образом, разделив обе стороны на 2, получим:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 4Мы будем использовать это позже. Теперь вместо того, чтобы складывать оба уравнения, вычтем эти два уравнения.
Вычитание этих двух уравнений даст нам:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 5Упрощение правой части даст нам:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 6Выделение sinx делением на 2i приведет нас к:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt.7Что мы будем с этим делать? Что ж, вместо того, чтобы брать первообразную греха, мы возьмем первообразную того, что мы видим в правой части уравнения. Это потому, что они абсолютно равны. Следовательно, их первообразные должны давать точно такой же ответ. Следовательно, давайте оценим
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 8Во-первых, давайте упростим эту задачу, вычленив 1 / 2i из интеграла:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 9Теперь вычисление интеграла даст нам:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt.2 = -1, тогда Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 13Обратите внимание на то, что из нашего уравнения ранее:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 14Следовательно, замена на это приведет нас к окончательному ответу:
Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 15, первородное от греха. Это два метода поиска первородной греха. Теперь перейдем к поиску первообразной cosx.
Какая первообразная у cosx
Опять же, люди запоминают, что первообразная cosx - это sinx.Однако давайте покажем, что это правда, используя два упомянутых ранее метода.
Метод 1: Возврат с использованием производных.
Найдем функцию, производная которой равна cosx. Почему бы нам не сказать это:
Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 1Это отличное предложение, поскольку мы знаем, что производные sin и cos связаны. Теперь, взяв производную от этого, я получу:
Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 2Обратите внимание, что производная уже дает cosx.Это здорово, потому что нам не нужно вносить какие-либо изменения в функцию. Следовательно, мы знаем, что первообразная cosx равна:
Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 3Еще раз не забудьте добавить константу C.
Теперь, если вы не хотите гадать и тестировать, мы можем использовать метод 2.
Метод 2: Используйте теорему Муавра
Из ранее мы знаем, что:
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 1Опять же, вместо интегрирования cosx, мы вместо этого собираемся найти первообразную правой части уравнения (поскольку они в точности равны).Итак, оценим
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 2Вынося за скобки 1/2 интеграла, получаем:
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 3Вычисление интеграла приводит к:
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 4Распределение 1/2 на каждый член дает:
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 5Теперь мы можем переписать это уравнение на
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 6По совпадению, мы знали раньше, что:
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt.7Следовательно, замена этого даст нам
Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 8, который является первообразной cosx. Если вы хотите узнать больше о первообразных триггерных функций, то я предлагаю вам взглянуть на второй раздел этой статьи «Первообразные от триггерных функций»
Теперь, если вам интересно, можно ли взять первообразную обратных тригонометрических функций, тогда ответ - да. Поскольку мы нашли первообразную tanx, sinx и cosx, почему бы нам не найти первообразную их обратных? Давайте посмотрим на arctan.
Что такое первообразная арктана?
Чтобы найти первообразную арктана, мы должны знать, что такое производное арктана. Если вы не знаете, что это такое, рекомендуем вам ознакомиться с этой статьей ниже. Он дает пошаговое решение для поиска производной от arctan. 2), нам нужно использовать замену u.2 ранее, поэтому переключение u обратно на x даст нам:
Уравнение 6: первообразная arctan pt. 9Отсюда можно сделать вывод, что:
Уравнение 6: первообразная arctan pt. 10Теперь, если вы заинтересованы в поиске первообразной arcsin и arccosx, взгляните на эти ссылки здесь. Они показывают пошаговое решение для поиска этих первообразных.
http://www.ditutor.com/integration/integral_arccos.html
http://www.ditutor.com/integration/integral_arcsin.html
Обратите внимание, что метод очень прост по отношению к первообразной арктана. Все они требуют использования интеграции по частям.
Первообразная триггерной функции
В этом разделе мы сосредоточимся на поиске первообразных тригонометрических функций, которые являются обратными tanx, sinx и cosx, а также тригонометрических функций, для интеграции которых потребуются тождества половинных углов. Обратите внимание, что взаимные триггерные функции и обратные триггерные функции НЕ совпадают.Следовательно, обратные тригонометрические интегралы отличаются от обратных триггерных интегралов. Обратные триггерные интегралы - это те, что мы делали раньше! Следует также отметить, что многие первообразные в этом разделе требуют, чтобы вы также знали производные триггерных функций. Поэтому убедитесь, что вы хорошо их знаете, прежде чем отвечать на эти вопросы. Если вы не очень разбираетесь в них, рекомендуем посмотреть эту ссылку, чтобы попрактиковаться!
Что такое первообразная от secx?
Есть несколько способов сделать это, но лучше всего использовать ярлык.Для этого ярлыка нам нужно знать, какова производная от sec. Если вы не знаете, что это такое, вы можете обратиться по этой ссылке.
https://socratic.org/questions/what-is-derivatives-of-y-sec-x
Эта ссылка дает пошаговое решение для производной от sec.
Во-первых, давайте настроим наш интеграл для первообразной secx.
Уравнение 7: первообразная secx pt. 1Далее мы собираемся умножить подынтегральное выражение на secx + tanx / secx + tanx. 2?
Я снова покажу 2 метода.2. Теперь давайте посмотрим на другие взаимные функции.
Что такое первообразная cscx?
Вы можете попробовать использовать метод, предполагающий возврат с использованием производных, но это может оказаться для вас немного трудным. Вместо этого я собираюсь использовать аналогичный прием, который использовал ранее для интеграла от secx. Настроив интеграл cscx имеем:
Уравнение 10: первообразная cscx pt. 1Мы собираемся умножить подынтегральное выражение на cscx + cotx / cscx + cotx.2 пт. 8
, который является интегралом cscx. Теперь давайте посмотрим на нашу последнюю обратную функцию cotx.
Что такое первообразная от cotx?
Вы можете подумать, что для получения этого интеграла требуется тот же трюк, что и для получения первообразной от secx и cscx, но на самом деле это другое. Вместо этого при поиске первообразной cotx используется только замена u (очень похожая на первообразную tanx).
Итак, установив наш интеграл, мы имеем:
Уравнение 13: первообразная cotx pt.1Обратите внимание, что cot x = cos x / sin x, поэтому мы можем изменить наш интеграл на
. Уравнение 13: первообразная cotx pt. 2Теперь мы можем использовать замену u. Пусть u = sinx. Тогда du = cosx dx, и подставив их, мы получим
Уравнение 13: первообразная cotx pt. 3Мы видели это много раз, поэтому оценка дает нам
Уравнение 13: первообразная cotx pt. 4Напомним, что раньше у нас было u = sinx. Таким образом, преобразование u обратно в x приводит к окончательному ответу:
Уравнение 13: первообразная cotx pt.2х.Подводя итог, мы нашли интеграл от 6 триггерных функций, а также их интегралы, когда каждая из них возведена в квадрат. Существует бесконечное количество триггерных функций, которые мы можем интегрировать. Так что если вы ищете интеграл, которого не смогли найти в этой статье, то я предлагаю вам взглянуть на эту ссылку.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions
К сожалению, он не дает вам пошагового решения, но, по крайней мере, вы найдете решение для своего интеграла.Кроме того, есть предметы, которые мы не рассмотрели, например, гиперболические интегралы. Если вас это интересует, вы можете взглянуть на эту диаграмму первообразных в самом низу.
http://math3.org/math/integrals/tableof.htm
Интеграл lnx
Теперь, когда мы закончили интегрирование тригонометрических функций, давайте взглянем на натуральный логарифм. Прежде чем перейти к интегралу натурального логарифма, давайте поговорим о том, что такое ln и что интеграция поможет нам найти.x, затем отразите его на линии y = x, чтобы получить график ln. Следовательно, график lnx будет выглядеть так:
График 1: график lnxОбратите внимание, что единственное, что мы можем вычислить на этом графике без использования калькулятора, - это ln, равное 1. Мы видим, что ln1 на графике равно 0. Это потому, что мы знаем, что логарифм 1 с любым основанием равен 0.
Натуральное бревно очень интересно, потому что у него есть особые правила. Эти правила включают в себя правило произведения, правило частного и правило мощности.
Для правила произведения мы можем разделить функцию ln на добавление двух функций ln, если внутренняя часть логарифма является произведением двух или более вещей.у) = yln (x)
Эти свойства будут очень полезны при работе с очень сложными функциями ln. Теперь, когда мы очень хорошо знаем ln, давайте попробуем найти первообразную ln x.
Что такое первообразная lnx?
Сначала мы устанавливаем интеграл lnx:
Уравнение 19: первообразная lnx pt. 1Как интегрировать lnx? Что действительно трудно заметить, так это то, что вам нужно использовать интеграцию по частям. Напомним, что формула интегрирования по частям:
Уравнение 19: первообразная lnx pt.2Устанавливаем:
Уравнение 19: первообразная lnx pt. 3Получение u и интеграция dv даст нам:
Уравнение 19: первообразная lnx pt. 4Объединение всех четырех из них в формулу интегрирования по частям дает:
Уравнение 19: первообразная lnx pt. 5Обратите внимание, что вычисление интеграла от ln приводит к окончательному ответу:
Уравнение 19: первообразная lnx pt.