Формулы для первой производной функции
y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0
y = C => y’ = 0
пример: y = 5, y’ = 0
Если y есть функцией типа y = xn, формула для производной есть:
y = xn => y’ = nxn-1
пример: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4
Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x1 that:
если y = x тогда y’=1
y = f1(x) + f2(x) + f3(x) …=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) …
Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x2 + x + 1 и
g(x) = x5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) =>
y’ = (x2 + x + 1)’ + (x
Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:
y = f(x).
g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)
Формулы вычисления производной
| y = |
| y’ = |
|
y = ln x => y’ = 1/x
y = ex => y’ = ex
y = sin x => y’ = cos x
y = cos x => y’ = -sin x
y = tg x => y’ = 1/cos2x
y = ctg x => y’ = —1/ sin2x
| y = arcsin x | => | y’ = |
|
| y = arccos x | => | y’ = |
|
x| y = arctg x | => | y’ = |
|
| y = arcctg x | => | y’ = |
|
если функция есть функцией функции: u = u(x)
y = f(u) => y’ = f'(u).u’
Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x2)
в этом случае u = x2, f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
Задачи с производными
1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций
f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y
для функции f2(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f2(x) есть x.
Поэтому f’2(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.
| 2) Вычислите производную f(x) = |
|
ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 — sin x = -sin x
| f'(x) = |
|
| f'(x) = |
| = |
|
3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу.
Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций:
f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x
| f'(x) = | g'(x) | = |
| cos x | = |
|
Подробнее о производных на страницах математического форума
Форум о производных
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х90$ Задавать вопрос спросил Изменено 4 года, 4 месяца назад Просмотрено 6к раз $\begingroup$ По какой-то причине я не смог найти прямого ответа на этот вопрос. |
