Основные значения тригонометрических функций. Часть 2
Продолжение (начало здесь)
Перевод радиан в градусы и градусы в радианы
На тригонометрическом круге помимо углов в градусах мы наблюдаем радианы.
Подробнее про радианы:+ показать
радиан – это
Так вот, например,
,
а
.
Так, мы научились переводить радианы в углы.
Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.
Допустим, нам надо перевести в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:
Так как, радиан, то заполним таблицу:
Откуда
Итак,
Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу
Давайте еще уточним следующее.
Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.
А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его в начале координат.
Почему?
1) Давайте договоримся раз и навсегда!
2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.
Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.
Пример 1. Найти значение .
Решение: + показать
Пример 2. Найти значение .
Решение: + показать
Заметим, + показать
Пример 3.
Найти значение .
Решение: + показать
Пример 4. Найти значение .
Решение: + показать
Пример 5. Найти значение .
Решение: + показать
Пример 6. Найти значение .
Решение: + показать
Тригонометрический круг – у вас в руках
Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками. А «цепочку-лесенку» значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.
Как находить значения тангенса и котангенса основных углов смотрите здесь
После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов различных углов»
Ссылочка на пустой шаблон круга.
Тренируйтесь!
Единичная окружность в тригонометрии
Единичная окружность — идеальный инструмент для тригонометрии. В этой статье узнаем больше про этот вид окружности и возможных с ней действиях.
Единичная окружность в тригонометрии
При изучении тригонометрии используют единичную окружность. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол принято считать против часовой стрелки между положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании.
Все углы, которые принадлежат одной четверти, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
Если угол находится в первой четверти, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во второй четверти синус положителен, косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.
В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс — положительны.
В четвертой четверти синус отрицателен, косинус положителен, тангенс и котангенс — отрицательны.
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Демо урок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Для чего можно использовать единичную окружность
определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла
найти значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента
вывести основные формулы тригонометрии
применить формулы приведения
найти области определения и области значений тригонометрических функций
определить периодичность тригонометрических функций
определить четность и нечетность тригонометрических функций
определить промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций
определить промежутки знакопостоянства тригонометрических функций
применить радианное измерение углов
найти значения обратных тригонометрических функций
решить простейшие тригонометрические уравнения
решить простейшие тригонометрические неравенства.
Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Как концептуально преподавать степени в кругу
На первый взгляд, преподавание степеней в кругу кажется простым, но оно может быть эффективным, если вы преподаете его концептуально. Этот эталон измерения прекрасно подходит для геометрии и улучшения пространственного восприятия. Предоставьте учащимся несколько возможностей изучить различные размеры углов и измерить углы, найденные внутри фигур.
Надлежащее преподавание этого стандарта научит ваших учащихся концептуально осваивать углы и определять измерения углов в 2D-формах.
День 1
В первый день мы проводим время, изучая концепцию степеней внутри круга, используя манипуляции от hand2mind. Эти манипуляторы обеспечивают превосходное визуальное представление поворотов внутри круга, углов в целом и слияния этих двух концепций вместе.
Предложите учащимся «поиграть» с манипуляторами. Предложите учащимся заполнить два листа ниже, чтобы структурировать свое исследование и помочь установить математические связи.
Эти БЕСПЛАТНЫЕ печатные формы доступны при регистрации ниже.
2-й день
Во 2-й день я прошу своих учеников самостоятельно ответить на приведенный ниже вопрос без какой-либо поддержки с моей стороны.
Большинство студентов укажут в качестве ответа 20 степеней. Затем произойдет следующее обсуждение:
Учитель: «Какой угол вы видите?»
Ученик: «Тупой угол».
Учитель: «Правильно. Просто взглянув на этот угол, вы думаете, что он измеряется в 20 градусов?»
Ученик: «Нет, он больше».
Учитель: «Правильно. На сколько градусов повернется угол, если он сделает полный оборот?»
Затем я позволяю учащимся еще раз просмотреть вопрос, только на этот раз им разрешено работать в группах. Я даю им большую вырезку часов.
Прогуляйтесь и послушайте, что говорят группы. Поддержите идею разделить часы на равные части. Поощряйте идею попытаться выяснить, сколько градусов находится между каждой отметкой на часах.
Через некоторое время я возвращаю класс к групповому обсуждению. Вот ключевые идеи, которые я хочу затронуть:
- В круге 360 градусов
- В каждой равной части круга, разделенного на двенадцатые, 30 градусов.
- Между каждой отметкой на часах 6 градусов.
Эти обсуждения так богаты математическими разговорами. Вы нацелены на концептуальное понимание степеней в круге. Теперь, когда эта основа создана, вы можете перейти к более сложным вопросам. Используйте время, которое не заканчивается с интервалом в 5, или время, которое не начинается в начале часа.
Расширить понимание
Зарегистрируйтесь ниже, чтобы получить БЕСПЛАТНЫЕ печатные формы и шаблоны для использования в классе для преподавания этого стандарта.
НЕ ПРОПУСТИТЕ!
ПОДПИСАТЬСЯ СЕЙЧАС НА НАШУ РАССЫЛКУ, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ БЕСПЛАТНЫЕ РАСПЕЧАТКИ ДЛЯ ЭТОГО УРОКА!
НАЧНИТЕ КОНЦЕПТУАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ СЕЙЧАС!
Мы не будем рассылать вам спам.
Отписаться в любое время.
Работает на ConvertKit
Углы в круге-Dummies
BY: Мэри Джейн Стерлинг и
Обновлено: 07-09-2021
Из книги: Тригонометрия для Dummies
TRAMONOMETRY FOR DUMMIES
400444444444444444444444444444444444444444444444444444 Купить на Amazon Существует несколько способов рисования угла в круге, и каждый из них имеет особый способ вычисления размера этого угла. Четыре различных типа углов: центральный, вписанный, внутренний и внешний. Здесь вы видите примеры этих различных типов углов.Центральный угол
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а стороны угла лежат на двух радиусах окружности. Мера центрального угла такая же, как мера дуги, которую две стороны вырезают из круга.Угол вписанный
Вписанный угол имеет вершину на окружности, а стороны угла лежат на двух хордах окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, которую две стороны вырезают из окружности.Внутренний уголок
Внутренний угол имеет вершину на пересечении двух прямых, пересекающихся внутри окружности. Стороны угла лежат на пересекающихся прямых. Мерой внутреннего угла является среднее значение двух дуг, которые вырезаются из окружности этими пересекающимися линиями.Внешний уголок
Внешний уголПример: Найдите угол ВНЕШНИЙ , учитывая, что внешний угол отсекает дуги в 20 градусов и 108 градусов.
Найдите разницу между измерениями двух пересекаемых дуг и разделите на 2:
Угол EXT равен 44 градусам.
Разделение секторов
Сектор круга — это участок круга между двумя радиусами (множественное число от радиуса). Вы можете рассматривать эту часть как кусок пирога, вырезанный из круглой тарелки.
Вы можете найти площадь сектора круга, если знаете угол между двумя радиусами. Круг имеет в общей сложности 360 градусов вокруг центра, поэтому, если этот центральный угол, определяющий сектор, имеет угловую меру 60 градусов, то сектор занимает 60/360 или 1/6 градусов на всем протяжении. около. В этом случае сектор имеет 1/6 площади всего круга.
Пример: Найдите площадь сектора круга, если угол между двумя радиусами, образующими сектор, равен 80 градусам, а диаметр круга равен 9.дюймы.
Найдите площадь круга.
Площадь всего круга
или около 63,6 квадратных дюймов.
Найдите часть круга, которую представляет сектор.
Сектор занимает всего 80 градусов окружности. Разделите 80 на 360, чтобы получить
.Вычислите площадь сектора.
Умножьте дробь из шага 2 на общую площадь, чтобы получить площадь сектора:
Весь круг имеет площадь почти 64 квадратных дюйма, а сектор имеет площадь чуть более 14 квадратных дюймов.
