Дисперсия дискретной случайной величины | Онлайн калькулятор
Онлайн калькулятор для вычисления дисперсии дискретного распределения случайных величин.
Дисперсия — мера отклонения данной случайной величины от математического ожидания в теории вероятности.
Как найти дисперсии, формула (на примере следующих величин):
xi= 1 ; 2 ; 5 ; 6 (случайные величины)
pi = 0.1 ; 0.3 ; 0.1 ; 0.5 (вероятность)
M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 1×0.1 + 2×0.
3 + 5×0.1 + 6×0.5 = 0.1 + 0.6 + 0.5 + 3 = 4.2 (математическое ожидание дискретного распределения)
D[X] = M[X2] — (M[X])2 = 21.8 — (4.2)2 = 21.8 — 17.64 = 4.16 (дисперсия)
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Количество величин 23456789101112131415161718192021222324252627282930 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разделитель групп разрядов Округлить донет01234567891011121314 Число прописью нетпри наведениивсегда | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Калькулятор для нахождения выборочной дисперсии.
Select rating12345
Рейтинг: 2.3 (Голосов 27)
Сообщить об ошибке
Смотрите также
| 1 | Найти объем | сфера (5) | |
| 2 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 3 | Найти площадь поверхности | сфера (5) | |
| 4 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 5 | Найти площадь | окружность (2) | |
| 6 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 7 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 8 | Найти объем | сфера (4) | |
| 9 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 10 | Вычислить | (5/4(424333-10220^2))^(1/2) | |
| 11 | Разложить на простые множители | 741 | |
| 12 | Найти объем | сфера (3) | |
| 13 | Вычислить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | |
| 14 | Найти площадь | окружность (10) | |
| 15 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 16 | Найти площадь поверхности | сфера (6) | |
| 17 | Разложить на простые множители | 1162 | |
| 18 | Найти площадь | окружность (1) | |
| 19 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 20 | Найти объем | сфера (2) | |
| 21 | Найти объем | сфера (6) | |
| 22 | Найти площадь поверхности | сфера (4) | |
| 23 | Найти объем | сфера (7) | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из -121 | |
| 25 | Разложить на простые множители | 513 | |
| 26 | Вычислить | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | |
| 27 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2) | |
| 28 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 29 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 30 | Найти площадь поверхности | сфера (2) | |
| 31 | Вычислить | 2 1/2÷22000000 | |
| 32 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 33 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10) | |
| 34 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 35 | Перевести в процентное соотношение | 1. 2-4*-1+2 | |
| 45 | Разложить на простые множители | 228 | |
| 46 | Вычислить | 0+0 | |
| 47 | Найти площадь | окружность (9) | |
| 48 | Найти длину окружности | окружность (8) | |
| 49 | Найти длину окружности | окружность (7) | |
| 50 | Найти объем | сфера (10) | |
| 51 | Найти площадь поверхности | сфера (10) | |
| 52 | Найти площадь поверхности | сфера (7) | |
| 53 | Определить, простое число или составное | 5 | |
| 54 | Перевести в процентное соотношение | 3/9 | |
| 55 | Найти возможные множители | 8 | |
| 56 | Вычислить | (-2)^3*(-2)^9 | |
| 57 | Вычислить | 35÷0. 2 | |
| 60 | Преобразовать в упрощенную дробь | 2 1/4 | |
| 61 | Найти площадь поверхности | сфера (12) | |
| 62 | Найти объем | сфера (1) | |
| 63 | Найти длину окружности | окружность (2) | |
| 64 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12) | |
| 65 | Сложение | 2+2= | |
| 66 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3) | |
| 67 | Вычислить | корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7 | |
| 68 | Вычислить | 7/40+17/50 | |
| 69 | Разложить на простые множители | 1617 | |
| 70 | Вычислить | 27-( квадратный корень из 89)/32 | |
| 71 | Вычислить | 9÷4 | |
| 72 | Вычислить | 2+ квадратный корень из 21 | |
| 73 | Вычислить | -2^2-9^2 | |
| 74 | Вычислить | 1-(1-15/16) | |
| 75 | Преобразовать в упрощенную дробь | 8 | |
| 76 | Оценка | 656-521 | |
| 77 | Вычислить | 3 1/2 | |
| 78 | Вычислить | -5^-2 | |
| 79 | Вычислить | 4-(6)/-5 | |
| 80 | Вычислить | 3-3*6+2 | |
| 81 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 82 | Найти площадь поверхности | сфера (8) | |
| 83 | Найти площадь | окружность (14) | |
| 84 | Преобразовать в десятичную форму | 11/5 | |
| 85 | Вычислить | 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6 | |
| 86 | Вычислить | (11/-7)^4 | |
| 87 | Вычислить | (4/3)^-2 | |
| 88 | Вычислить | 1/2*3*9 | |
| 89 | Вычислить | 12/4-17/-4 | |
| 90 | Вычислить | 2/11+17/19 | |
| 91 | Вычислить | 3/5+3/10 | |
| 92 | Вычислить | 4/5*3/8 | |
| 93 | Вычислить | 6/(2(2+1)) | |
| 94 | Упростить | квадратный корень из 144 | |
| 95 | Преобразовать в упрощенную дробь | 725% | |
| 96 | Преобразовать в упрощенную дробь | 6 1/4 | |
| 97 | Вычислить | 7/10-2/5 | |
| 98 | Вычислить | 6÷3 | |
| 99 | Вычислить | 5+4 | |
| 100 | Вычислить | квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 |
Калькулятор дисперсии
Базовый калькулятор
Поделись этим калькулятором и страницей
Использование калькулятора
Дисперсия — это мера отклонения точек данных от среднего значения.
Низкая дисперсия указывает на то, что точки данных в целом схожи и не сильно отличаются от среднего значения. Высокая дисперсия указывает на то, что значения данных имеют большую изменчивость и более широко разбросаны по сравнению со средним значением.
Калькулятор дисперсии определяет дисперсию, стандартное отклонение, размер выборки n , среднее значение и сумму квадратов. Вы также можете увидеть работу, выполненную для расчета.
Введите набор данных со значениями, разделенными пробелами, запятыми или разрывами строк. Вы можете копировать и вставлять данные из документа или электронной таблицы.
Этот калькулятор стандартного отклонения использует ваш набор данных и показывает работу, необходимую для расчетов.
Как рассчитать дисперсию
- 92} \)
Подписаться на CalculatorSoup:
4.2 Среднее или ожидаемое значение и стандартное отклонение
Введение
Ожидаемое значение дискретной случайной величины X , обозначаемое как E(X) , часто называют долгосрочным средним значением или средним значением (обозначаемым как μ ).
Это означает, что в течение длительного времени, проводя эксперимент снова и снова, вы должны ожидать этого среднего значения. Например, пусть X = количество выпавших орлов при подбрасывании трех одинаковых монет. Если вы повторите этот эксперимент (подбросив три одинаковые монеты) большое количество раз, ожидаемое значение X — это количество орлов, которое вы ожидаете получить в среднем за каждые три подбрасывания.
ПРИМЕЧАНИЕ
Чтобы найти ожидаемое значение E(X) или среднее значение μ дискретной случайной величины X , просто умножьте каждое значение случайной величины на его вероятность и сложите произведения. Формула задается как E(X)=µ=∑xP(x).E(X)=µ=∑xP(x).
Здесь x представляет значения случайной величины X , P ( x ) представляет соответствующую вероятность, а символ ∑∑ представляет сумму всех произведений x P 2 ( 2 ).
Здесь мы используем символ μ для среднего значения, потому что это параметр. Он представляет собой среднее значение населения.
Пример 4.3
Мужская футбольная команда играет в футбол ноль, один или два дня в неделю. Вероятность того, что они сыграют нулевой день, равна 0,2, вероятность того, что они сыграют один день, равна 0,5, а вероятность того, что они сыграют два дня, равна 0,3. Найдите долгосрочное среднее или ожидаемое значение, μ , количество дней в неделю, когда мужская футбольная команда играет в футбол.
Чтобы решить эту задачу, сначала пусть случайная величина X = количество дней, в течение которых мужская футбольная команда играет в футбол в неделю. X принимает значения 0, 1, 2. Создайте таблицу PDF, добавив столбец x*P(x)
, произведение значения x с соответствующей вероятностью P(x) .
В этом столбце вы будете умножать каждое значение x на его вероятность.| х | Р ( х ) | х * Р ( х ) |
|---|---|---|
| 0 | .2 | (0)(.2) = 0 |
| 1 | .5 | (1)(.5) = .5 |
| 2 | .3 | (2)(.3) = .6 |
Таблица 4.5 Таблица ожидаемых значений
Добавьте последний столбец x*P(x)x*P(x), чтобы получить ожидаемое значение/среднее значение случайной величины X .
E(X)=µ=∑xP(x)=0+.5+.6=1.1E(X)=µ=ExP(x)=0+.5+.6=1.1
Ожидаемое значение /среднее 1,1. Мужская футбольная команда в среднем будет играть в футбол 1,1 дня в неделю. Число 1,1 — это долгосрочное среднее или ожидаемое значение, если мужская футбольная команда играет в футбол неделю за неделей за неделей.
Как вы узнали из главы 3, если вы подбросите правильную монету, вероятность того, что выпадет орёл, равна 0,5. Эта вероятность является теоретической вероятностью, и мы ожидаем, что это произойдет. Эта вероятность не описывает краткосрочные результаты эксперимента. Если вы подбросите монету два раза, вероятность не говорит вам, что эти подбрасывания приведут к одному орлу и одной решке. Даже если вы подбросите монету 10 или 100 раз, вероятность не говорит вам, что выпадет половина решки и половина решки. Вероятность дает информацию о том, чего можно ожидать в долгосрочной перспективе. Чтобы продемонстрировать это, Карл Пирсон однажды подбросил правильную монету 24 000 раз! Он записал результаты каждого броска, получив орла 12 012 раз.
Закон больших чисел гласит, что по мере увеличения числа испытаний в вероятностном эксперименте разница между теоретической вероятностью события и относительной частотой приближается к нулю (теоретическая вероятность и относительная частота становятся все ближе и ближе друг к другу ). Относительная частота также называется экспериментальной вероятностью, термин, который означает, что происходит на самом деле.
В следующем примере мы покажем, как найти ожидаемое значение и стандартное отклонение дискретного распределения вероятностей с использованием относительной частоты.
Как и данные, распределения вероятностей имеют дисперсию и стандартное отклонение. Дисперсия распределения вероятностей обозначается как σ2σ2, а стандартное отклонение распределения вероятностей обозначается как σ .
Оба являются параметрами, поскольку они обобщают информацию о совокупности. Чтобы найти дисперсию σ2σ2 дискретного распределения вероятностей, найдите каждое отклонение от его ожидаемого значения, возведите его в квадрат, умножьте на его вероятность и сложите произведения. Чтобы найти стандартное отклонение σ распределения вероятностей, просто возьмите квадратный корень из дисперсии σ2σ2. Формулы приведены ниже.
ПРИМЕЧАНИЕ
Формула дисперсии σ2σ2 дискретной случайной величины X имеет вид
σ2=∑(x−μ)2P(x).σ2=∑(x−μ)2P(x).
Здесь x представляет значения случайной величины X , μ является средним значением X , P ( x ) представляет соответствующую вероятность, а символ ∑ представляет собой сумму всех произведений (x−μ)2P(x).
(x−μ)2P(x).
Чтобы найти стандартное отклонение
σ=σ2=∑(x−μ)2P(x)σ=σ2=∑(x−μ)2P(x)
Пример 4.4
Исследователь провел исследование, чтобы выяснить, как плач новорожденного ребенка после полуночи влияет на сон матери ребенка. Исследователь случайным образом выбрал 50 молодых матерей и спросил, сколько раз в неделю они просыпаются от плача своего новорожденного ребенка после полуночи. Две матери проснулись ноль раз, 11 матерей проснулись один раз, 23 матери проснулись два раза, девять матерей проснулись три раза, четыре матери проснулись четыре раза и одна мать проснулась пять раз. Найдите математическое ожидание того, сколько раз в неделю плач новорожденного ребенка будит его мать после полуночи. Также вычислите стандартное отклонение переменной.
Чтобы решить задачу, сначала пусть случайная величина равна X = количество раз, когда мать просыпается от плача новорожденного после полуночи в неделю.
X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Создайте таблицу PDF, как показано ниже. Столбец P ( x ) дает экспериментальную вероятность каждого значения x . Мы будем использовать относительную частоту, чтобы получить вероятность. Например, вероятность того, что мать проснется ноль раз, равна 250250, так как две матери из 50 пробуждаются ноль раз. Третий столбец таблицы представляет собой произведение значения и его вероятности, x P ( x ).
The second data row contains, 1, P opening parenthesis x = 1 closing parenthesis equals eleven fiftieths, and opening parenthesis 1 closing parenthesis opening parenthesis eleven fiftieths closing parenthesis equals eleven fiftieths. The third data row contains, 2, P opening parenthesis x = 2 closing parenthesis equals twenty-three fiftieths, and opening parenthesis 2 closing parenthesis opening parenthesis twenty-three fiftieths closing parenthesis equals forty-six fiftieths. The fourth data row contains, 3, P opening parenthesis x = 3 closing parenthesis equals nine fiftieths, and opening parenthesis 3 closing parenthesis opening parenthesis nine fiftieths closing parenthesis equals twenty-seven fiftieths. The fifth data row contains, 4, P opening parenthesis x = 4 closing parenthesis equals four fiftieths, and opening parenthesis 4 closing parenthesis opening parenthesis four fiftieths closing parenthesis equals sixteen fiftieths. The sixth data row contains, 5, P opening parenthesis x = 5 closing parenthesis equals one fiftieth, and opening parenthesis 05closing parenthesis opening parenthesis one fiftieth closing parenthesis equals five fiftieths.
«>Таблица 4.6
Затем мы сложим все продукты в третьем столбце, чтобы получить среднее/ожидаемое значение X
E(X)=μ=∑xP(x)=0+1150+4650+2750+1650+550=10550=2,1E(X)=μ=∑xP(x)=0+1150+4650+2750 +1650+550=10550=2,1
Таким образом, мы ожидаем, что новорожденный будет будить мать после полуночи в среднем 2,1 раза в неделю.
Чтобы рассчитать стандартное отклонение σ , мы добавляем четвертый столбец ( x-μ ) 2 и пятый столбец ( x-μ ) 2 ∙ P ( x ), чтобы получить следующую таблицу:
01•2350=.0046.01•2350=.0046σ2=0,1764+0,2662+0,0046+0,1458+0,2888+0,1682=1,05σ2=0,1764+0,2662+0,0046+0,1458+0,2888+0,1682=1,05
Чтобы получить стандартное отклонение σ , мы просто возьмем квадратный корень из дисперсии σ 2 .
σ=σ2=1,05≈1,0247σ=σ2=1,05≈1,0247
Пример 4.5
Предположим, вы играете в азартную игру, в которой выбираются пять чисел от 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Компьютер случайным образом выбирает пять чисел от нуля до девяти с замена. Вы платите 2 доллара за игру и можете получить 100 000 долларов, если угадаете все пять чисел по порядку (вы получите свои 2 доллара обратно плюс 100 000 долларов). В долгосрочной перспективе, каковы ваши ожидаемая прибыль от игры?
Чтобы решить эту задачу, создайте таблицу PDF для суммы денег, которую вы можете получить.
Пусть X = сумма денег, которую вы заработали. Если ваши пять номеров совпадут по порядку, вы выиграете игру и получите обратно свои 2 доллара плюс 100 000 долларов. Это означает, что ваша прибыль составляет 100 000 долларов. Если ваши пять номеров не совпадают по порядку, вы проиграете игру и потеряете свои 2 доллара. Это означает, что ваша прибыль составляет –$2. Следовательно, X принимает значения 100 000 долларов и -2 доллара. Это второй столбец x в таблице PDF ниже.
Чтобы выиграть, вы должны правильно угадать все пять чисел по порядку.
Вероятность выбора правильного первого числа равна 110110, так как имеется 10 чисел (от нуля до девяти) и только одно из них правильное. Вероятность выбора правильного второго числа также равна 110110, потому что выбор производится с заменой и вам остается выбрать 10 номеров (от нуля до девяти). По той же причине вероятность выбора правильного третьего числа, правильного четвертого числа и правильного пятого числа также равна 110110. Выбор одного номера не влияет на выбор другого номера. Это означает, что пять выборов являются независимыми. Вероятность выбора всех пяти правильных чисел по порядку равна произведению вероятностей правильного выбора каждого числа.
P(правильный выбор всех пяти чисел)•P(правильный выбор 1-го числа)• P(правильный выбор 2-го числа)• P(правильный выбор 5-го числа)=(110)•(110)•(110)•(110) •(110)=.00001P(правильный выбор всех пяти чисел)•P(правильный выбор 1-го числа)• P(правильный выбор 2-го числа)• P(правильный выбор 5-го числа)=(110)•(110)•(110) •(110)•(110)=0,00001
Следовательно, вероятность выигрыша равна 0,00001, а вероятность проигрыша равна 1 − 0,00001 = 0,99999.
Вот так мы получаем третий столбец P ( x ) в таблице PDF ниже.
Чтобы получить четвертый столбец x P ( x ) в таблице, мы просто умножаем значение x на соответствующую вероятность P ( x ).
Таблица PDF выглядит следующим образом:
| х | Р ( х ) | х * Р ( х ) | |
|---|---|---|---|
| Потеря | –2 | .99999 | (–2)(0,99999) = –1,99998 |
| Прибыль | 100 000 | . 00001 | (100 000)(.00001) = 1 |
Таблица 4.9
Затем мы сложим все продукты в последнем столбце, чтобы получить среднее/ожидаемое значение X
E(X)=µ=∑xP(x)=−1,99998+1=-0,9998. E(X)=μ=∑xP(x)=−1,99998+1=−0,9998.
Поскольку –0,99998 равно –1, в среднем вы ожидаете, что будете терять примерно 1 доллар за каждую игру, в которую вы играете. Однако каждый раз, когда вы играете, вы либо теряете 2 доллара, либо получаете 100 000 долларов. 1 доллар — это средний или ожидаемый проигрыш за игру после того, как вы играете в эту игру снова и снова.
Пример 4.6
Предположим, вы играете в игру со смещенной монетой. Вы играете в каждую игру, подбрасывая монету один раз. P (головки) = 2323 и P (решка) = 1313. Если выпадает решка, вы платите 6 долларов. Если вы подбросите решку, вы выиграете 10 долларов. Если вы будете играть в эту игру много раз, выйдете ли вы вперед?
а.
Задайте случайную величину X .
Раствор 4.6
а. X = сумма прибыли
б. Заполните следующую таблицу ожидаемых значений:
| х | ____ | ____ | |
|---|---|---|---|
| ВЫИГРЫШ | 10 | 1313 | ____ |
| ПОТЕРЯ | ____ | ____ | –123–123 |
Таблица 4.10
Решение 4.6
b.
| х | Р ( х ) | хР ( х ) | |
|---|---|---|---|
| ВЫИГРЫШ | 10 | 1313 | 103103 |
| ПОТЕРЯ | –6 | 2323 | –123–123 |
Таблица 4.
11
c. Каково ожидаемое значение, μ ? Ты выходишь вперед?
Раствор 4.6
c. Добавьте последний столбец таблицы. Ожидаемое значение E(X)=μ=103+(−123)=−23≈−0,67(X)=μ=103+(−123)=−23≈−0,67. Вы теряете в среднем около 67 центов каждый раз, когда играете в игру, так что вы не выходите вперед.
Обычно для вероятностных распределений мы используем калькулятор или компьютер для расчета μ и σ , чтобы уменьшить ошибки округления. Для некоторых распределений вероятностей существуют сокращенные формулы для вычисления μ и σ .
Пример 4.7
Дважды подбросьте правильный шестигранный кубик. Пусть X = количество граней, которые показывают четное число. Составьте таблицу, подобную таблице 4.12, и рассчитайте среднее значение μ и стандартное отклонение 9.
0082 σ из X .
Решение 4.7
Подбрасывание одного правильного шестигранного кубика дважды занимает такое же пространство выборки, как и подбрасывание двух правильных шестигранных игральных костей. Выборочное пространство имеет 36 результатов.
The final row contains the following ordered pairs: 6 and 1, 6 and 2, 6 and 3, 6 and 4, 6 and 5, and 6 and 6.»>Таблица 4.13
Используйте свободное место для заполнения следующей таблицы:
The header row contains the following column titles: x, p opening parenthesis x closing parenthesis, x p opening parenthesis x closing parenthesis, and opening parenthesis x minus mu closing parenthesis superscript 2 times p opening parenthesis x closing parenthesis. The first data row contains 0, nine thirty-sixths, 0, and opening parenthesis 0 minus 1 closing parenthesis superscript 2 times nine thirty-sixths equals nine thirty-sixths. The second data row contains 1, eighteen thirty-sixths, eighteen thirty-sixths, and opening parenthesis 1 minus 1 closing parenthesis superscript 2 times eighteen thirty-sixths equals 0. The final row contains 2, nine thirty-sixths, eighteen thirty sixths, and opening parenthesis 1 minus 1 closing parenthesis superscript 2 times nine thirty-sixths equals nine thirty-sixths.»>