3. Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(х) и v = v(x) — дифференцируемые функции. По свойству дифференциалаd(uv) =vdu+udv;
udv=d(uv) –vdu
Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим
udv=uv-vdu
Выведенная формула называется формулой интегрирования по частямдля неопределенного интеграла. При ее применении в подынтегральном выражении в левой части выделяют два сомножителя -uи dv. При переходе к правой части первый сомножительuдифференцируется (при нахожденииdu= u’dx), а второй интегрируется (v =dv + С). Формулу применяют, если дифференцирование существенно упрощает один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложняет другой).
Пример 1.Например,
найдемxe-2xdx.
Так как х’ = 1, а функцияe-2xпри интегрировании практически не
изменится (по теореме о линейной
подстановке появится лишь постоянный
множитель -1/2), то данный интеграл можно
найти интегрированием по частям, полагаяu= х, dv =e
Найдем v и du:
du = dx
v=dv=e-2xdx= (- ½)e-2x+C
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
xe-2xdx= х ((- ½)e-2x+C) -((- ½)e-2x+C)dx
Для нахождения интеграла в правой части применим метод разложения:
xe-2xdx= (- ½)e-2xх +Cx- (1/4)e-2x-Cx+C1= (- ½)e-2xх — (1/4)e-2x+C1
Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении v (по заданному dv), не входит в запись окончательного ответа. Можно показать, что и в общем случае постоянная С, возникающая при нахождении v, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя v, будем пренебрегать С для упрощения записи решения.
Пример 2.Найдем.
Пример 3.
Найдем
Здесь представлят сложность присутствие логарифма в записи подынтегральной функции. Ее устраняют интегрированием по частям, полагая u = ln х. Тогда dv = x dx (отметим, что при интегрировании функции х получается функция того же типа, т.е. степенная).
Получим
Пример 4.Найдем.
Рассмотрим пример, в котором формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.
Пример 5.Найдем
Полученный в результате преобразований интеграл не является табличным, но по сравнению с исходным интегралом степень переменной х в подынтегральном выражении уменышилась на единицу (при этом второй сомножитель cos х того же типа, что и в исходном интеграле). Повторим применение формулы интегрирования по частям (при этом мы избавимся от х и получим табличный интеграл). Положим теперь
Можно указать следующие основные типы интегралов (но не все), для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:
Для нахождения
интегралов из первой группы формулу
интегрирования по частям применяют nраз.
При первом применении полагаютu=xn,
аостальные сомножители
подынтегрального выражения задают dv.
Процедуру повторяют, пока степень
еременной х не станет равной нулю, а сам
интеграл — табличным (см. примеры 1, 2 и
5).
Для нахождения интегралов второй группы полагают xkdx = dv. Оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задаютu. При этом если в подынтегральном выражении присутствуетn-тая степень логарифма, формулу интегрирования по частям придется применитьnраз. После каждого применения эта степень уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным.
Метод интегрирования по частям часто комбинируют с другими методами и приемами интегрирования.
Пример 6.Найдем
Выполним сначала замену переменной t= 2x + 3.
Пример 7.Найдем.
Пусть u=cos3x,dv=e2xdx. Тогдаdu= -3sin3xdx,v= ½e2x.
Искомый интеграл
обозначим J(«йот»).
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям еще раз, обозначив u=sin3x, аdvтакой же (dv=e2xdx). Тогдаdu= 3cod3xdxи по-прежнемуv= ½e2x.
Выразим из полученного уравнения J:
Рассмотренными выше методами далеко не исчерпываются все разработанные методы интегрирования функций. Тем не менее, на их основании можно наметить общий подход к интегрированию функций различных видов.
Интегрирование по частям, формулы и примеры решений
- Объяснение
- Примеры решения интегралов данным методом
Рассмотрим функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$, которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
$d(u v)=u d v+v d u$
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$
Полученное равенство перепишем в виде:
$\int u d v=u v-\int v d u$
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
2)$\int P_{n}(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_{n}(x) \arccos x d x$ ; $\int P_{n}(x) \ln x d x$
Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в качестве $u$ оставшиеся сомножители.
Пример
Задание.
Найти интеграл $\int \ln x d x$Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$$\int \ln x d x\left\|\begin{array}{l} u=\ln x \quad d v=d x \\ d u=\frac{d x}{x} \quad v=x \end{array} \quad\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=$$
$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \arcsin x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции
$u$ и
$v$, затем выполним интегрирование по частям.
{2 x+1} \sin x}{5}+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Читать дальше: простейшие дроби.
Интеграция формулы ультрафиолета — Что такое интеграция формулы ультрафиолета? Примеры
Интегрирование формулы uv является удобным средством нахождения интегрирования произведения двух функций u и v. Кроме того, две функции, используемые в этом интегрировании формулы uv, могут быть алгебраическими выражениями, тригонометрическими отношениями или логарифмическими функциями. Разложим дифференциал произведения функций и выразим данный интеграл через известный интеграл. Таким образом, интегрирование формулы uv также известно как интегрирование по частям или правило интегрирования произведения. Давайте изучим интеграцию формулы uv и ее приложений.
Что такое интегрирование формулы УФ?
Интегрирование формулы uv – это специальное правило интегрирования по частям. Здесь мы интегрируем произведение двух функций. Если u(x) и v(x) являются двумя функциями и имеют форму ∫u dv, то формула интегрирования uv задается как:
- ∫ uv dx = u ∫ v dx — ∫ (u’ ∫ в дх) дх
- ∫ u дв = uv — ∫ v дю
где,
- u = функция u(x)
- дв = переменная дв
- v = функция v(x)
- du = переменная du
Интегрирование формулы UV
Чтобы найти интеграл от произведения двух функций, выполните следующие простые быстрые шаги:
- Определите функцию u(x) и v(x).
Выберите u(x), используя правило LIATE: в зависимости от того, что придет первым в этом порядке: логарифмическая, обратная, алгебраическая, тригонометрическая или экспоненциальная функция. - Найдите производную от u: du/dx
- Интегрировать v: ∫v dx
- Введите значения в формулу ∫u.v dx = u. ∫v.dx- ∫( ∫v.dx.u’). дх
- Упрости и реши.
Выберите u(x), используя правило LIATE: в зависимости от того, что придет первым в этом порядке: логарифмическая, обратная, алгебраическая, тригонометрическая или экспоненциальная функция.Вывод интегрирования формулы UV
Мы выведем интегрирование формулы uv, используя правило дифференцирования произведения. Рассмотрим две функции u и v, такие что y = uv. Применив правило дифференцирования произведения, мы получим
d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx) 9Мы имеем dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx — ∫ v (du/dx) dx
⇒ ∫u dv = uv — ∫v du
Отсюда выводится формула интегрирования uv.
Давайте попробуем несколько примеров, чтобы лучше понять, как применять интегрирование формулы uv.
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила.
Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами
Закажите бесплатный пробный урок
Решенные примеры с использованием интегрирования формулы UV
Пример 1: Найдите интеграл x.Sinx.
Решение:
Здесь u = x и dv = sin x dx
du = dx и v = ∫sinx dx= — cos x dx
Используя формулу uv ∫u.dv = uv- du получаем
∫x sinx dx = x. (-cos x) — ∫(-cos x dx)
= -x cos x — (-sin x) + C
= -x cos x + sin x + C
Ответ: ∫x.sinx.dx = sin x — x cos x + C
Пример 2: Найдите интеграл x 2 .logx
Решение:
Здесь U = Logx и DV = X 2 DX
DU = 1/X DX и V = X 3 /3 + C
Интегрируя формулу uv ∫u.dv = uv- ∫v du, получаем
∫x 2 log x dx= log x. (х 3 /3) — ∫(x 3 /3)(1/x)dx
= log x.
(x 3 /3) -(1/3) ∫(x 3 )(1/x)dx
= log x. (x 3 /3) -(1/3) ∫x 2 dx
= (x 3 /3)log x — (1/3) (x 3 /3)+C
=(x 3 /3) log x- (x 3 /9)+ C
Ответ: ∫x 2 logx = (x 3 /3) log x- (x3) 3 /9)+ C
Пример 3: Найти интеграл от xe х дх.
Решение:
Здесь u = x и dv = e x dx.
du = dx и v = e x
Используя интегрирование формулы uv ∫u.dv = uv- ∫v du, получаем
∫xe x dx = x e x — 0 ∫ e x dx
= xe x — e x + C
Ответ: Таким образом, интеграл от xe x dx = xe x + C — e 0003 Формула интегрирования uv: ∫u. Определите интеграл формы ∫u.vdx. Выберите u(x), используя правило LIATE, и продифференцируйте его. Выберите v(x) и интегрируйте dv. Затем подставьте все полученные значения в формулу ∫u.v = u. ∫v.dx- ∫( ∫v.dx.u’). dx и вычислить интеграл. Когда интеграл имеет вид ∫u.vdx, нам нужно применить формулу интегрирования uv. Используйте правило LIATE и определите функцию u(x). Другая функция v(x) имеет форму dv. Интегрируем dv, чтобы получить v. Интегрирование по частям — это метод, используемый в качестве формулы интегрирования uv для интегрирования определенного или неопределенного интеграла, являющегося произведением двух функций. Разложим дифференциал произведения функций и выразим исходный интеграл через известный интеграл как ∫u. Evaluate the following : Problem 1 : Solution : u = x, du = dx dv = e x dx and v = e x ∫udv = uv-∫vdu = xe x -∫e x dx = xe x -e x +C ∫ xe x dx = e х (х-1)+С Задача 2 : Решение: u = x, du = dx dv = sinx dx и v = -cosx ∫udv = uv-∫vdu = x (-cosx) -∫ (-коскс) dx = -xcosx + ∫cosxdx ∫ x sin x dx = -xcosx + sinx + c Проблема 3: Решение: U = Logx, DU = (1/x) DX Часто задаваемые вопросы по формуле интеграции УФ
Что такое формула интеграции УФ?
v = u. ∫v.dx- ∫( ∫v.dx.u’). дх. Формула интегрирования uv помогает нам вычислить интегралы от произведения двух функций. Как использовать формулу интегрирования УФ?
Что означает DV в формуле интеграции ультрафиолета?
Что подразумевается под интеграцией по частям?
v = u. ∫v.dx- ∫( ∫v.dx.u’). дх Practice Problems on Integration by Parts
dv = dx и v = x 2 /2
∫udv = uv-∫vdu
= log x(x 2 /2) — ∫(x 2 /2)⋅(1/x)dx
= log x(x 2 /2) — (1/2)∫xdx
= log x(x 2 /2) — (1 /2)(x 2 /2) + C
∫ x log x dx = (x 2 /2)log x — (x 2 /4) + C
Задача 4 :
Решение:
u = x, du = dx
dv = sec 2 x and v = tan x
∫udv = uv(∫vdu
) — x 0xd 90
∫ xsec 2 x dx= x tanx — ln(secx) + C
Задача 5:
Решение:
U = X, DU = (x 2 /2) DX
DV = TAN -1 x DX и V = 1 /(1+x x.
2 )
∫udv = uv-∫vdu
Задача 6:
Решение:
U = logx, DU = 1/x
DV = DX и V = X
∫UD. = uv-∫vdu
= logx(x) — ∫xdx
∫ log x dx = xlogx — (x 2 /2) + C
Задача 7:
Решение:
U = SIN -1 x, DU = 1/√ (1-x 2 ) DX
DV = DX и V = X
∫ DX
DV = DX и V = X
∫ ∫ ∫
DV = DX и V = X
∫) DX
DV = DX и V = X
) DX
DV = DX и V = x ). udv = uv-∫vdu
= xsin -1 x-∫x (1/√(1-x 2 )) dx
= xsin -1 x-∫ (x/√(1- x 2 )) dx
Здесь мы можем использовать метод подстановки, чтобы найти интегрирование.
Задача 8 :
Решение :
sin 2 x = (1-cos2x)/2
∫x sin 2 x dx = ∫x (1-cos2x)/2 dx
= (1/2)[∫x(1- cos2x) dx]
= (1/2)[∫x dx — ∫x cos2x dx]
= (1/2)[(x 2 /2) — ∫x cos2x dx] —(1 )
Интеграция x cos2x:
u = x и du = dx
dv = cos 2x и v = sin2x/2
∫udv = uv-∫vdu
= x (sin2x/2) -∫ (sin2x/2) dx
= (x/2)sin2x-(1/2)∫sin2x dx
∫x cos2x dx = (x/2)sin2x+(1/4)cos 2x
Применяя интегрированный ответ в (1), получаем
= (1/2)(x 2 /2) — 1 /2[(x/2)sin2x+(1/4)cos 2x] + C
= (x 2 /4) — (x/4)sin2x-(1/8)cos 2x + C
Задача 9:
∫x sin 3x cos 2x dx
Решение:
∫x sin 3x cos 2x dx = ∫x (2/2)sin 3x cos 2x 3 dx
0 x 2sin 3x cos 2x dx
= (1/2)∫x (sin 5x+sinx)dx
9x 2 DXlet T = x 2
DT = 2x DX
x DX = DT/2
= ∫TE T (DT/2)
= (1/2 ) ∫ te t dt
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
= (1/2) ∫ te t dt
= (1/2) [t t dt]
= (1/2)e t (t-1) + C
Помимо материалов, указанных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.