Производная in: Производная натурального логарифма — ln x

2

Матан часть 2.Производные и тд.

1)Производная: определение, геометрический и физический смысл. Условие существования производной. Связь между существованием и непрерывностью функции в точке .

Пусть y = f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Придадим x₀ приращение x такое, что x₀ + xD(f) . Функция при этом получит приращение f(x₀) = f(x₀ + x)  – f(x₀) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента x, при x  0 (если этот предел существует и конечен), т.е.

Обозначают:

Производной функции

y = f(x) в точке x₀ справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают:

– производная y = f(x) в точке x₀ справа,

– производная y = f(x) в точке x₀ слева.

Условие существования произвоной

Необходимое и достаточное условие существования производной:

Функция y = f(x) имеет производную в точке x₀  в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

Связь между существованием F’(X)и непрерывностью функции F(x) в точке X₀

Необходимое условие существования производной функции в точке:

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x₀ , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

Доказательство:

При ,

Следовательно — непрерывна в точке . Чтд.

ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕМКИЙ СМЫСЛ

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная f (x) – скорость изменения величины y относительно величины x .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть ℓ – некоторая кривая, M₀ – точка на кривой ℓ.

Любая прямая, пересекающая ℓ не менее чем в двух точках, называется секущей.

Касательной к кривой ℓ в точке M₀называется предельное положение секущей M₀M₁, если точка M₁стремится к M₀, двигаясь по кривой.

Рассмотрим кривую y = f(x).

Пусть в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) она имеет невертикальную касатель- ную M₀N.

Таким образом, получили: f (x₀) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M₀(x

₀ ; f(x₀)).

(геометрический смысл производной функции в точке).

Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) можно записать в виде

Замечания.

1) Прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M₀, называется нормалью к кривой в точке M₀.

Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k₁  k₂ = –1 , то уравнение нормали к y = f(x) в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) будет иметь вид

, если f

  (x₀)  0.

Если же f  (x₀) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) будет иметь вид y = f(x₀),

а нормаль x = x₀.

2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) вертикальную касательную M₀N ,  – угол наклона секущей M₀M₁ к Ox.

Таким образом, если кривая y = f(x) имеет в точке M₀(x₀ ; f(x₀)) вертикальную касательную

, то функция y = f(x) не имеет в точке x₀производной.

Так как в соседних с M₀ точках кривая y = f(x) имеет касательные и их угол наклона к оси Ox стремится к 90^ при x  0, то x₀является для функции f(x) точкой разрыва II рода, причем

Производное в математике — объяснение с примерами

Ariel Skelley/DigitalVision/Getty Images

Когда речь идет о творческом письме, то, что что-то называется «производным», подразумевает, что не было вложено много мыслей, и автор скопировал идеи из других работ.

В математике производные уравнения — это не уравнения, которые предполагают недостаток воображения, а скорее помогают найти средний наклон между двумя точками. Производные математические задачи могут варьироваться от «эй, это не так сложно» до «когда математика стала состоять только из букв и символов?»

В этой статье мы обсудим, как вычислять производные, и сделаем концепцию максимально понятной. Хотя изучение математики может быть похоже на изучение нового языка, как только вы поймете, что означают новые символы и как они работают, вы сможете получить более сложные уравнения.

Если вам интересно, как нахождение производной функции когда-либо пригодится, скажем, вы хотите получить одну из следующих профессий:

• Инженерное дело
• Строительство
• Архитектура
• Изобразительное искусство
• Сейсмология
• Медицина
• Компьютерное программирование

Понимание уравнений исчисления производных, особенно без использования калькулятора, будет невероятно полезным.

Что означает производная?

Вскоре мы рассмотрим некоторые математические примеры определения производных, но пока давайте дадим вам рабочее определение.

Производная показывает скорость изменения функций по отношению к переменным.

В исчислении и дифференциальных уравнениях производные необходимы для нахождения решений. Давайте рассмотрим производное математическое уравнение, чтобы лучше понять концепцию и предложить некоторые определения для различных используемых символов.

Самый простой способ взглянуть на производное уравнение — связать его с наклоном на графике.

Мы видим, что x проходит по низу горизонтально, а y проходит по левой стороне вертикально.

Через график проходит линия, и мы собираемся найти число, представляющее общее изменение или средний наклон между двумя точками на линии. Мы можем написать уравнение так:

Наклон = Изменение Y

Изменение X

Если бы наклон линии был таким, что изменение x между двумя точками равнялось 3, а изменение y равнялось 6, мы получили бы уравнение, которое выглядит так:

Наклон = 6

3

Разделите, чтобы получить:

Наклон = 2

Теперь мы знаем средний наклон линии! Легко, верно? Ну, подождите, потому что что мы будем делать, если нам нужно найти средний наклон между двумя точками на изогнутая линия ?

С кривыми формула расчета производных становится немного сложнее. Кроме того, мы собираемся добавить наш первый производный математический символ.

Наклон = Изменение Y = Δy

Изменение X = Δx

Символ треугольника Δ называется «Дельта». Мы можем думать об этом как о «изменении».

Формула будет делением изменения y на изменение x. Теперь мы перейдем к другому символу, который нам нужно знать.

Взгляните на это уравнение:

Δy = f(x+Δx)

Δx        Δx

См. f? Буква f в производных математических уравнениях означает «функцию» или степень изменения наклона. F связывает ввод с выводом, чтобы мы могли понять взаимосвязь между уравнением и ответом. Если бы у нас была функция:

f(x) = 2x

, мы бы знали, что любое число, подставляемое вместо x, будет умножено на 2.

f(3) = 2(3)

Умножим, и мы получить:

f(3) = 6

Помните, что при решении уравнения производной цель состоит в том, чтобы заставить Δx двигаться к нулю.

Вам может показаться, что вы видите кучу кода, но поверьте нам, вы к нему привыкнете.

Во-первых, мы возьмем нашу функцию и применим ее к нашему уравнению. Поскольку f(x)=2x, мы знаем, что хотим использовать это в своих интересах при решении этой задачи. Мы начнем по одной части за раз.

Если f(x)=2x

Тогда f(x+∆x)=2(x+∆x), потому что по существу «f» означает, что мы умножаем все, что в скобках после f, на 2.

Используя распределительное свойство алгебры, мы знаем, что можем упростить, чтобы получить 2x+2(Δx), которое мы изменим на 2Δx+2x:

Δy = 2Δx+2x

Δx       0

Поскольку мы работаем над тем, чтобы Δx было как можно ближе к нулю, что произойдет, если мы подставим 0 вместо Δx? Что ж, в этот момент мы делим на 0, а 2 умножить на 0 равно нулю, так что у нас остается это:

2x

0

Этот шаг приводит нас к нулю! Итак, мы знаем, что какую бы цифру мы ни ввели для Δx, мы будем знать среднюю скорость изменения нашего наклона.

Разве в алгебре нет формулы наклона? Какая разница?   sefa ozel / E+ / Getty Images

Да, формула наклона в алгебре такова:

m=y2-y1

     x2-x1

В алгебре m равно наклону. Но алгебра больше связана с решением уравнений, тогда как исчисление производных связано с нахождением скорости изменения.

Метод определения скорости изменения наклона, который мы использовали ранее, не является единственным методом, и вам необходимо знать о других обозначениях. Давайте посмотрим на другое уравнение и график и разберемся, что они означают. Взгляните на этот график: 

Эти точки являются нашими значениями y, которые мы собираемся решить. Чтобы найти нашу скорость изменения, мы хотим посмотреть на это так: 

lim      f(h+x)-f(x) 

h→0      x+h-x 

Поскольку мы можем избавиться от нижних x ( x минус x равно 0), мы можем переписать это так: 

lim      f(h+x)-f(x) 

h→0          h 

Некоторые определения в помощь! Когда мы пишем «lim» и «h→0», мы пишем предел, когда h приближается к нулю. Мы хотим найти предел нашего наклона, и мы собираемся ввести его в нашу формулу.

Поскольку кривые линии изменяются по своей длине, нам нужно найти среднюю скорость изменения, которую лучше всего выразить в виде формулы. Вы можете увидеть всю эту формулу, когда вас учат вычислять производные как f’(x). Таким образом, это будет выглядеть так: 

f'(x) = lim      f(h+x)-f(x) 

          h→0          h 

Можно сказать, что f’(x) есть f простое число x. Это выражение является производной. Давайте решим пример и найдем производную функции. Скажем так: 

f(x)=x²

Теперь мы можем подставить x² в нашу формулу:

(x+h)²-x²

      h 

Что благодаря свойству распределения становится:  

x²+2h²+2h² -x²

H

Мы можем устранить два X²S:

2HX+H²

H

Мы можем затем использовать свойство распределения, чтобы упростить чтение:

H (2x+H)

H

Поскольку мы можем разделить h, мы получим: 

2x+h

Нас всегда интересует нахождение предела по мере приближения к нулю, поэтому давайте обозначим ноль вместо h:

2x+0

Осталось:

2x

Что означает:

f'(x)=2x

Теперь предположим, что мы хотим найти конкретный наклон к определенному набору точек. Допустим, мы хотим найти наклон линии по координате x 3 и координате y 6. подобрал, уклон 6. Решено!

Родители, возможно, вы учитесь этому вместе со своими детьми, так что будьте терпеливы к себе не меньше, чем к ним!

Теперь предположим, что мы хотим найти решение для нашей касательной. Касательная только касается кривой, в отличие от секущей, которая касается кривой в двух точках.

Мы можем найти среднюю скорость изменения в любой точке склона, представив, что через нее проходит линия. Давайте наберём несколько чисел из нашего примера уравнения производной. Мы собираемся использовать формулу точечного наклона:

y-y1=m(x-x1)

Мы будем использовать наши предыдущие координаты, чтобы решить это:

y-6=6(x-3)

Мы получаем:

y-6=6x- 18 

Получается: 

y=6x+12 

Помните, что мы не пытаемся перейти к числу, а пытаемся найти работающую формулу.

Зачем мне знать Как рассчитать производные ?  

Справедливый вопрос. Каково практическое применение способности решать производные математические уравнения? Возможно, вы будете удивлены!

Рассчитать траекторию снаряда  

Мы знаем влияние гравитации. Падающий объект имеет скорость ускорения 9,08 метра в секунду за секунду. Мы можем записать формулу гравитации как 9,8 м/с².

Если мы запишем нашу функцию как x(t), где t — время, мы сможем рассчитать, где приземлится запущенный объект или где он будет находиться в воздухе в любой заданной точке. Полная формула будет выглядеть так: x′′(t)=−9,8 м/с², чтобы показать, как объект падает, используя производную математику.

Рассчитать распространение тепла  

Поскольку мы знаем, что источник постоянной температуры излучает тепло через твердые тела с известной скоростью, мы можем узнать точную температуру на любом заданном расстоянии от источника тепла. Этот расчет важен при определении прочности материалов в определенных ситуациях, например при проектировании теплозащитных экранов.

Расчет экономической информации  

В экономических расчетах важны математические вычисления и производные математические знания. Производная математика может помочь рассчитать стоимость товаров с течением времени по конкретным ценам и спрогнозировать результаты. Каким бы бизнесом вы ни занялись, чем раньше вы научитесь вычислять такие важные цифры с помощью производной математики, тем лучше.

Изучать производные сложно, но полезно   Federico Caputo / EyeEm / EyeEm / Getty Images

Мы рассмотрели некоторые математические примеры определения производных, но вы все еще можете подумать: «Я никогда не буду использовать это; это не для меня!» Помните, что изучение новых навыков, подобных этому, тренирует ваш мозг и помогает развивать навыки критического мышления. Это не просто изучение изолированной способности.

Вы научитесь вычислять производные, и ваш мозг будет экстраполировать эту информацию и решать проблемы в других областях. Так и будет! Независимо от того, в какой профессии вы работаете, изучение математики необходимо.

Музыкантам нужна производная математика, чтобы понимать музыку со сложным ритмом. Писателям может понадобиться изучить производную математику, если они создают истории с персонажами, которые понимают математику.

Инженеры, строители, даже ремесленники и компании, создающие огнестрельное оружие — и люди, использующие это огнестрельное оружие — должны понимать, как использовать производную математику для понимания баллистики.

В конце концов, вам, возможно, придется найти хорошего репетитора, который сможет лучше понять производную математику. Чем больше вы над этим работаете, тем больше странных символов будет появляться! Но эти понятия не невозможно понять. Как только вы изучите одну функцию или понятие производной математики, вы получите новую, чтобы добавить в свой репертуар.

В математике всегда есть новые задачи, поэтому, если вы относитесь к тому типу людей, которые хотят потренировать свое серое вещество, это фантастическая область для этого. Старое клише состоит в том, что ваш мозг — это мышца. Хотя это не совсем верно, действительно нуждается в упражнениях.

Почему бы не потренироваться с математикой? Все, что вам нужно, это лист бумаги или компьютерный документ и калькулятор. У вас есть трюк для понимания производной математики? Мы хотели бы услышать об этом! Поместите это в разделе комментариев ниже!

Нежное введение в производные функций

Автор: Мерин Саид, , 30 июня 2021 г.

Понятие производной является строительным блоком многих разделов исчисления. Это важно для понимания интегралов, градиентов, гессиана и многого другого.

В этом руководстве вы познакомитесь с определением производной, ее обозначением и тем, как вычислить производную на основе этого определения. Вы также узнаете, почему производная функции сама по себе является функцией.

После прохождения этого урока вы будете знать:

• Определение производной функции
• Как вычислить производную функции на основе определения
• Почему некоторые функции не имеют производной в точке

Начнем.

Нежное введение в производные функций Фото: Мерин Саид, некоторые права защищены

Обзор учебника

Это руководство разделено на три части; они:

1. Определение и обозначения, используемые для производных функций
2. Как вычислить производную функции, используя определение
3. Почему некоторые функции не имеют производной в точке

Что такое производная функции

Проще говоря, производная функции f(x) представляет скорость ее изменения и обозначается либо f'(x), либо df/dx. Давайте сначала посмотрим на его определение и наглядную иллюстрацию производной.

Иллюстрация определения производной функции

На рисунке Δx представляет собой изменение значения x. Мы делаем интервал между x и (x+Δx) все меньше и меньше, пока он не станет бесконечно малым. Следовательно, у нас есть предел (∆𝑥→0). Числитель f(x+∆x)-f(x) представляет соответствующее изменение значения функции f на интервале ∆x. Это делает производную функции f в точке x скоростью изменения f в этой точке.

Важно отметить, что Δx, изменение x может быть отрицательным или положительным. Следовательно:

0<|Δx|< 𝜖,

, где 𝜖 — бесконечно малое значение.

Об обозначении

Производная функции может быть обозначена как f'(x), так и df/dx. Математический гигант Ньютон использовал f'(x) для обозначения производной функции. Лейбниц, еще один математический герой, использовал df/dx. Таким образом, df/dx — это отдельный термин, не путать с дробью. Он читается как производная функции f по x, а также указывает на то, что x является независимой переменной.

Соединение со скоростью

Одним из наиболее часто цитируемых примеров производных является производная скорости. Скорость — это скорость изменения расстояния по отношению к время. Следовательно, если f(t) представляет собой расстояние, пройденное в момент времени t, то f'(t) представляет собой скорость в момент времени t. В следующих разделах показаны различные примеры вычисления производной.

Примеры дифференциации

Метод нахождения производной функции называется дифференцированием. В этом разделе мы увидим, как определение производной можно использовать для нахождения производной различных функций. Позже, когда вы освоитесь с определением, вы сможете использовать определенные правила для различения функций. 92

Поскольку g'(x) = 2x, следовательно, g'(0) = 0, g'(1) = 2, g'(2) = 4 и g'(-1) = -2, g'(-2 ) = -4

Из рисунка видно, что значение g(x) очень велико при больших отрицательных значениях x. Когда x < 0, увеличение x уменьшает g (x) и, следовательно, g' (x) < 0 для x <0. График выравнивается при x=0, когда производная или скорость изменения g(x) становится равной нулю. Когда x>0, g(x) увеличивается квадратично с увеличением x, и, следовательно, производная также положительна.

Пример 3: h(x) = 1/x 92) также не определяется при x=0. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке, то она не имеет в этой точке производной.

Ниже приведены несколько сценариев, в которых функция не дифференцируема:

1. Если функция не определена в точке
2. Функция не имеет предела в этой точке
3. Если функция не непрерывна в точке
4. Функция имеет внезапный скачок в точке

Ниже приведены несколько примеров:

Примеры точек, в которых нет производной

Расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

• Скорость и мгновенные скорости изменения
• Правила для деривативов
• Интеграция

Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать. Опубликуйте свои выводы в комментариях ниже.

Дополнительное чтение

В этом разделе содержится больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

Учебники

• Пределы и непрерывность
• Оценка пределов

Ресурсы

• Дополнительные ресурсы по математическому анализу для машинного обучения

Книги

• Исчисление Томаса, 14-е издание, 2017 г. (на основе оригинальных работ Джорджа Б. Томаса в редакции Джоэла Хасса, Кристофера Хейла, Мориса Вейра)
• Исчисление, 3-е издание, 2017 г. (Гилберт Стрэнг)
• Исчисление, 8-е издание, 2015 г. (Джеймс Стюарт)

Резюме

В этом уроке вы познакомились с производными функций и основами дифференцирования функций.

В частности, вы узнали:

• Определение и обозначение производной функции
• Как дифференцировать функцию с помощью определения
• Когда функция не дифференцируема

Есть вопросы? Задавайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Получите доступ к исчислению для машинного обучения!

Почувствуйте себя умнее с помощью концепций исчисления

…чтобы лучше понять символы и термины исчисления

Узнайте, как это сделать, в моей новой электронной книге:
Исчисление для машинного обучения

Он содержит учебных пособия для самостоятельного изучения с полными рабочий код на:
дифференциация , градиент , подход множителя Лагранжа , матрица Якоби , и многое другое.