Предикаты и области истинности | Математика, которая мне нравится
Кроме высказываний, рассматриваются также высказывания с переменными, т.е. буквами, вместо которых можно подставлять определенные значения (например, числа). Если вместо всех переменных подставить их значения, то высказывание с переменными превратится в обычное высказывание.
Например, рассмотрим высказывание с переменной .
— истинное высказывание,
— ложное высказывание.
Те наборы значений переменных, при которых получается истинное высказывание, образуют область истинности высказывания с переменными.
Определение. Предикат — это высказывание с переменными.
Пример. Область истинности предиката — ;
предиката — ;
предиката — на рис. 1:
Рис. 1
Область истинности предиката , где
— свободные переменные, — связанная переменная, изображена на следующие рис.
2:
Рис. 2
Область истинности предиката изображена на рис. 3 (оси координат не включаем):
Рис. 3
Область истинности предиката изображена на рис. 4:
Рис. 4
Если в предикаты и входят одни и те же переменные, то область истинности предиката есть пересечение, а область истинности предиката — объединение областей истинности данных предикатов.
Задачи.
1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:
1) ;
2) при выполняется равенство ;
3) ;
4) Существует такое число , что ;
5) ;
6) однозначное число кратно 3;
7) ;
8 ) .
2. Пусть даны предикаты: : — четное число и : кратно , определенные на множестве натуральных чисел. Найти области истинности предикатов
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3. Даны предикаты
определенные на множестве вещественных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
4. Пусть предикат . Показать, что высказывания
имеют разные логические значения.
Пусть даны два предиката и . Предикат является следствием предиката (), если область истинности содержится в области истинности . Предикаты и равносильны, если их области истинности совпадают.
Задачи.
1. Будут ли следующие предикаты равносильны или один из них является следствием другого?
1)
2) и ;
3) и .
2. Изобразите на плоскости области истинности предикатов:
1) ;
2) ;
3) .
3. На множестве заданы предикаты
: не делится на ;
: — четное число;
: — число простое;
: кратно .
Найдите множества истинности предикатов
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
4. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:
1) ;
2) ;
3) .
5. Будет ли истинно высказывание
если : число делится на , : число делится на , : число делится на ?
6. Найти отрицание формул:
1) ;
2) ;
3) .
7. Пусть предикат : . Какие из следующих предложений истинны, а какие ложны:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8 ) .