Главная → Видеоуроки → Алгебра. 10 класс. Производная. Описание видеоурока: Вычисление производной синуса с доказательством. Вывод формулы. Валерий Волков 4 19.01.2018 Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями! Новости образования | ЕГЭ по математике Профильный уровень Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18 Задание 19 Задание 20 Задание 21 ГИА по математике Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Задача 16 Задача 17 Задача 18 Задача 19 Задача 20 Задача 21 Задача 22 Задача 23 Задача 24 Задача 25 Задача 26 Демонстрационные варианты ОГЭ по математике Математика. Натуральные числа Обыкновенные дроби Десятичные дроби Проценты Математика. 6 класс. Делимость чисел Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Умножение и деление обыкновенных дробей Отношения и пропорции Положительные и отрицательные числа Измерение величин Математика. 7 класс. Преобразование выражений Многочлены Формулы сокращенного умножения Математика. 8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения Квадратные неравенства Уравнения с параметром Задачи с параметром Математика. 9 класс. Функции и их свойства Прогрессии Векторы Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Математика. Числовые функции Тригонометрические функции Тригонометрические уравнения Преобразование тригонометрических выражений Производная Степенные функции Показательная функция Логарифмические функции Первообразная и интеграл Уравнения и неравенства Комбинаторика Создаёте видеоуроки? Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала. Актуально Физкультминутки для школьников и дошкольников Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ |
5 класс.
10 — 11 класс.
исчисление — Докажите, что производная синуса равна косинусу
$\begingroup$
Сегодня вечером на неофициальном экзамене мой профессор попросил меня продемонстрировать, что для $f(x)=\sin(x),\, f'(x)=\cos(x)$, используя определение производной, $ f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Что ж, подключаем, получаем $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}$$$$=\ lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$
И тут мне удалось поставить его в тупик. Чтобы доказать, что это равно $\cos(x)$, нам нужно продемонстрировать, что $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$ и что $\lim_ {ч\rightarrow0}\frac{\sin(h)}{h}=1$. Вы не можете просто подставить $h=0$, потому что это приведет к неопределенной форме. Правило Лопиталя действительно дает вам необходимые пределы, но для этого требуется та самая производная, которую мы пытаемся доказать.
Есть ли способ, используя определение производной, действительно доказать, что производная синуса есть косинус, без доказательства по построению или доказательства от противного?
- исчисление
- пределы
- производные
- тригонометрия
- пределы без капитала
$\endgroup$
12
$\begingroup$ Без правильного определения ничего не докажешь.
2=1$ для каждого $t\in\mathbb{R}$. Это однозначно определяет рассматриваемые функции и не использует ничего, кроме аналитической геометрии, без априорного определения ее производных или даже априорной непрерывности. 92}{ч[1+\cos(h)]}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\frac{\sin(h)}{1+\cos(h )} = \ lim_ {h \ to0} \ frac {\ sin (h)} {h} \ lim_ {h \ to0} \ frac {\ sin (h)} {1+ \ cos (h)} = \ lim_ {h\to0}\frac{\sin(h)}{1+\cos(h)}=0.$$
Таким образом, нужно просто доказать $$\lim_{h\to0}\frac{ \sin(h)}{h}=1.$$ Вот стандартное доказательство. Для $h\in(0,\pi)$, $$\sin(h)\leq{h}\leq\frac{\sin(h)}{\cos(h)},$$, а для $h \in(-\pi,0)$, $$\frac{\sin(h)}{\cos(h)}\leq{h}\leq\sin(h).$$ Для обоих случаев следует что $$1\leq\frac{h}{\sin(h)}\leq\frac{1}{\cos(h)}$$, откуда следует $$\cos(h)\leq\frac{\sin( h)}{h}\leq1.$$ Поскольку $$\lim_{h\to0}\cos(h)=1$$ и $$\lim_{h\to0}1=1,$$, из Теорема сжатия, что $$\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1.$$
$\endgroup$
1
Производная косинуса | eMathZone
Мы докажем формулу производной функции косинуса, используя определение или метод первого принципа.