Онлайн криволинейный интеграл: Кратные и криволинейные интегралы

Кратные и криволинейные интегралы

№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:
, где D – прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1.
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:
, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой y=½x² и прямой y=x.
Изобразим область интегрирования G.

Так как прямая y=x и парабола y=½x² пересекаются в точках O(0;0) и A(2;2), то область G определяется системой неравенств:

Теперь вычислим искомый интеграл I:

Интеграл был найден методом интегрирования по частям.

№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:
1) , где L — дуга параболы y2=2x, заключенная между точками (2;2) и (8;4). Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем
, .
Следовательно, данный интеграл равен


.

2) , где L — окружность x2+y2=a·x (a>0).
Введем полярные координаты x=r·cos(φ), y=r·sin(φ). Тогда, так как x2+y2=a·x, уравнение окружности примет вид r2=a·r·cos(φ), т.е. r=a·cos(φ), а дифференциал дуги

При этом φ∈[-π/2; π/2]. Следовательно, .

№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями: y

2=2x и y=x.
Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:

Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:
→ x2=2x → x1=0, y1=0 и x2=2, y2=2.
Проекция области G на ось Oy есть отрезок [0;2]. Таким образом,

Пусть областью D плоскости xOy является материальная пластинка, масса которой распределяется с поверхностной плотностью p=f(x,y). Тогда масса M этой пластинки вычисляется по формуле
(1)
Координаты точки C(xc,yc), являющейся центром тяжести этой пластинки, определяются по формулам
, . (2)
Если поверхностная плотность p постоянна (пластинка однородна), то из формулы (2) следует:
, , (3)
где S – площадь области D.

Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой y=x2-2x-1 и прямой y=x-1 (рис. ).
Решение

Вычислим площадь S данной фигуры с помощью двойного интеграла: .
Парабола и прямая пересекаются в точках A(0,-1) и B(3,2). Область D определяется неравенствами 0≤x≤3, x2-2x-1≤y≤x-1.
Тогда

Вычислим статистические моменты Mx и My пластинки относительно осей Ox и Oy:
Следовательно, , и точка
— центр тяжести данной фигуры.

Криволинейный интеграл I рода. Примеры

Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.

Формулы криволинейного интегралу первого рода

Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром

Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается

Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид

Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi1<phi<phi2. Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле

На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.

Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L — отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу

За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z’=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле

Подставляем и находим криволинейный интеграл

Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.

 

Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.

Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x2+y2+z2.
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x’t=a*sin(t), y’t=a*sin(t), z’t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:

Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл

Интеграл не сложен в плане расчетов.

 

Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L — дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t — винтовой линии.

Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x’t=-sin(t), y’t=cos(t), z’t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:

Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл

 

Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L — дуга кривой x=t, , z=t3, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.

Подставляем их в формулу дифференциала дуги:

Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах

Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.

 

Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x2+y2+z2,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.

Производные за параметром имеют вид
x’t=-a*sin(t), y’t=a*sin(t), z’t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:

Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение

При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.

 

Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x4/3+y4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x2/3+y2/3=a2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos3(t), y=a*sin3(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид

Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x’t=-3a*cos2(t)*sin(t), y’t=3a*cos(t)*sin2(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды:

Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной

Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.

 

Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2-y2).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.


Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:

Тогда из уравнения дуги

выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом

Найдем дифференциал дуги по формуле:

Запишем подынтегральную функцию:

Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти

Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.

 

Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — четверть круга x2+y2+z2=R2, y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x2+y2+z2=R2 и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку

В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X2+z2=R2, где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью

Вычисляем производные

затем находим дифференциал дуги:


Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление

Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.

Исчисление III — Линейные интегралы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В этом разделе мы начнем рассмотрение исчисления с векторными полями (которые мы определим в первом разделе). В частности, мы рассмотрим новый тип интеграла, линейный интеграл и некоторые интерпретации линейного интеграла. Мы также рассмотрим одну из наиболее важных теорем, касающихся линейных интегралов, — теорему Грина.

Вот список тем, затронутых в этой главе.

Векторные поля. В этом разделе мы вводим понятие векторного поля и приводим несколько примеров их графического отображения. Мы также возвращаемся к градиенту, который мы впервые увидели несколько глав назад.

Линейные интегралы – Часть I – В этом разделе мы начнем с краткого обзора кривых параметризации. Это навык, который потребуется для очень многих линейных интегралов, которые мы оцениваем, и поэтому его необходимо понимать. Затем мы формально определим первый вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейный интеграл по отношению к длине дуги.0003

Линейные интегралы – Часть II – В этом разделе мы продолжим рассмотрение линейных интегралов и определим второй вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейные интегралы по \(x\), \(y\), и/или \(z\). Мы также вводим альтернативную форму обозначения линейного интеграла такого типа, которая иногда будет полезна.

Линейные интегралы векторных полей. В этом разделе мы определим третий тип линейных интегралов, которые мы будем рассматривать: линейные интегралы векторных полей. Мы также увидим, что этот особый вид линейных интегралов связан с частными случаями линейных интегралов по x, y и z.

Основная теорема для линейных интегралов. В этом разделе мы приведем основную теорему исчисления для линейных интегралов векторных полей. Это покажет, что определенные виды линейных интегралов можно вычислить очень быстро. Мы также дадим немало определений и фактов, которые будут полезны.

Консервативные векторные поля. В этом разделе мы более подробно рассмотрим консервативные векторные поля, чем в предыдущих разделах. Мы также обсудим, как найти потенциальные функции для консервативных векторных полей.

Теорема Грина. В этом разделе мы обсудим теорему Грина, а также интересное приложение теоремы Грина, которое мы можем использовать для нахождения площади двумерной области.

Как вычислять линейные интегралы — Криста Кинг Математика

Это формулы, которые мы будем использовать для нахождения линейного интеграла

Интегралы с одной переменной

В исчислении с одной переменной мы научились вычислять интеграл по интервалу ???[a,b]??? чтобы вычислить площадь под кривой на этом интервале. Мы могли бы аппроксимировать площадь под кривой, используя сумму Римана, или вычислить площадь точно, используя интеграл. 9*)\Дельта х???

где ???А??? площадь под функцией ???f(x)??? а над осью ???x??? — ???n??? это количество прямоугольников, которые мы используем для аппроксимации площади, и ???\Delta x??? ширина наших аппроксимирующих прямоугольников.

Мы узнали, что наша аппроксимация становилась все более и более точной по мере того, как мы использовали все большее и большее количество аппроксимирующих прямоугольников, и поэтому мы знали, что для нахождения точной  площади нам нужно использовать бесконечное  число прямоугольников. Чтобы перевести это в наше уравнение аппроксимации площади выше, мы взяли предел суммы как ???n\to\infty??? чтобы получить 9бф(х)\ дх???

где ???А??? площадь под функцией ???f(x)??? и над осью ???x???.

Линейные интегралы

Напротив, когда мы находим линейный интеграл, мы берем интеграл по кривой ???C???, а не по интервалу ???[a,b]???. Где мы привыкли делить интервал на ???n??? прямоугольников, каждый шириной ???\Delta x???, теперь разделим интервал на ???n??? поддуги, каждая шириной ???\Delta s???.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *