Производная котангенса х: Производная котангенса (ctgx)’

Формулы сложной функции. Сложные производные

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x — (2 — 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 — 17 x 3 + x — 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f (g (x)) . Имеем, что функция g (x) считается аргументом f (g (x)) .

Определение 2

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g (x) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f (g (x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g (x) = x 2 + 2 x — 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f (g (x)) = (x 2 + 2 x — 3) 4 .

Очевидно, что g (x) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 — 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f (f 1 (f 2 (x))) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 — функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 — 5 — дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f (g (x))) » = f » (g (x)) · g » (x)

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида y = (2 x + 1) 2 .

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f » (g (x)) = ((g (x)) 2) » = 2 · (g (x)) 2 — 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1) ; g » (x) = (2 x + 1) » = (2 x) » + 1 » = 2 · x » + 0 = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) » = f » (g (x)) · g » (x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y » = (4 x 2 + 4 x + 1) » = (4 x 2) » + (4 x) » + 1 » = 4 · (x 2) » + 4 · (x) » + 0 = = 4 · 2 · x 2 — 1 + 4 · 1 · x 1 — 1 = 8 x + 4

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g (x) .

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y » = (sin 2 x) » = 2 · sin 2 — 1 x · (sin x) » = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g (x) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y » = (sin x 2) » = cos (x 2) · (x 2) » = cos (x 2) · 2 · x 2 — 1 = 2 · x · cos (x 2)

Формула для производной y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) запишется как y » = f » (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · f 1 » (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 » (f 3 (. . . (f n (x)))) · . . . · f n » (x)

Пример 3

Найти производную функции y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y » = f » (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 » (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 » (f 3 (f 4 (x))) · f 3 » (f 4 (x)) · f 4 » (x)

Получаем, что следует найти

1. f » (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f » (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 » (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 » (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 — 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 » (f 3 (f 4 (x))) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 » (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 » (f 4 (x)) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 » (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
5. При нахождении производной f 4 (x) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 » (x) = (2 x) » = 2 · x » = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y » = f » (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 » (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 » (f 3 (f 4 (x))) · f 3 » (f 4 (x)) · f 4 » (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f » (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) » = (g 2 (x)) » + (3 g (x)) » + 1 » = = 2 · g 2 — 1 (x) + 3 · g » (x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 — 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g » (x) = (t g x) » = 1 cos 2 x ⇒ y » = (f (g (x))) » = f » (g (x)) · g » (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g (x) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y » = (t g x 2 + 3 t g x + 1) » = (t g x 2) » + (3 t g x) » + 1 » = = (t g x 2) » + 3 · (t g x) » + 0 = (t g x 2) » + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции (t g x 2) » :

f » (g (x)) = (t g (g (x))) » = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g » (x) = (x 2) » = 2 · x 2 — 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) » = f » (g (x)) · g » (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Получаем, что y » = (t g x 2 + 3 t g x + 1) » = (t g x 2) » + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Данная функция может быть представлена в виде y = f (g (x)) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g (x) считается суммой двух функций вида h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, что y = f (h (x) + k (x)) .

Рассмотрим функцию h (x) . Это отношение l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) является суммой двух функций n (x) = x 2 + 7 и p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , где p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 — функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 — линейной функцией.

Получили, что m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) является суммой двух функций q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 , где q (x) = q 1 (q 2 (x)) — сложная функция, q 1 — функция с экспонентой, q 2 (x) = x 2 — степенная функция.

Отсюда видно, что h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переходе к выражению вида k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, что функция представлена в виде сложной s (x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) с целой рациональной t (x) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 (x) = ln x — логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если g (x ) и f (u ) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g (x ), то сложная функция также дифференцируема в точке

x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные — машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Пример 2. Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках — это «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u , а выражение в скобках — «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x .

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок

Пример 3. Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение. В очередной раз определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это «яблоко», оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени — номер 3 в таблице производных) — это «фарш», он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок «Производная логарифмической функции».

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования . Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Пример 4. Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое — корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень — сложная функция, а то, что возводится в степень — промежуточный аргумент по независимой переменной x .

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y :

Пример 5. Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень — сложная функция, а сам синус — промежуточный аргумент по независимой переменной x . Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки :

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y :

Здесь возведение косинуса в степень — сложная функция f , а сам косинус — промежуточный аргумент по независимой переменной x . Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат — требуемая производная:

Таблица производных некоторых сложных функций

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u x
2. Производная корня от выражения
3. Производная показательной функции
4. Частный случай показательной функции
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
7. Производная синуса
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная арккотангенса

Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.

Содержание

См. также: Доказательство формулы производной сложной функции

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
; ; ; ; .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных , приводятся производные функций от переменной x . Однако x — это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
.

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Пример 2

Найти производную
.

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

.
Здесь .

Пример 3

Найдите производную
.

Выносим постоянную -1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных . Также мы применяем правила дифференцирования суммы , произведения и дроби . Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную
.

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Пример 5

Найдите производную функции
.

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

См. также:

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную? , на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Производная от sin x. Производная синуса: (sin x)′

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса — sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin x)′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x .

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .

Ответ

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Производная Несмотря на то, что в предыдущих параграфах были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения. Пусть дана функция y=f(x). Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное х есть время, а у- расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравне- у ние y-f(x) в этом случае называется законом движения. Чтобы получить задачу о касательной, будем счи- в Рис. 47. тать, что х-абсцисса и у — ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением у = /(х). Будем производить над функцией у = /(х) некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной. 1. Дадим х определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение У» fix). (1) В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени х мы нашли расстояние у движущейся точки от начала координат (рис, 47). В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки Р, лежащей на кривой, определенной уравнением у=/(х) (рис. 48). 2. Дадим х приращение h и вычислим соответствующее приращенное значение уу которое отличается от первоначального на величину А у (приращение функции) (см. гл. V, § 4): у + Ьy=f(x+h). В задаче о скорости тем самым мы определяли положение Р, движущейся точки в момент времени x + h* В задаче о касательной получена новая точка М. Здесь АВ= PQ= h, OB = x + h, BM = f(x + h). 3. Найдем приращение функции Ду; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1): + h)-f»=/(*) + Ф»(*), (IV) т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных. V. Производная произведения двух функций. Предположим, что нам известны производные функций f{x) и представим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3): Рассмотрим уравнения (*) и (#*) независимо друг от друга. Первое из них дает и как функцию х; ее производная равна ср» (л:). Второе определяет у как функцию независимого переменного и; ее производная равна /» (и). 1. Представим функцию у в виде цепочки: и-хг + 1, у~еа. Так как (х8 + 1)»= Зх2, (то » = = —

Производная х умножить lnx. Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) (ln x)′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a :
(2) (log a x)′ = .

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма . Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом . Он обозначается так:
.
Тогда ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a :
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции :
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции . Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x :
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx .

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx .
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции .
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
— это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Ответ

; ; .

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции — натурального логарифма от модуля x :
(12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x :

.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) . 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Производная cot x — формула, доказательство, примеры

Производная cot x в -1 раз больше квадрата csc x. Перед этим напомним некоторые факты о кроватке x. Cot x (котангенс x) в прямоугольном треугольнике представляет собой отношение прилежащей стороны x к противоположной стороне x, поэтому его можно записать как (cos x)/(sin x). Мы используем это при дифференцировании кроватки х.

Изучим производную формулы cot x вместе с ее доказательством (разными методами) и несколькими решенными примерами.

1.	Что такое производная от Cot x?
2.	Производная от Cot x Доказательство по первому принципу
3.	Производная от Cot x Доказательство по цепному правилу
4.	Производная от Cot x Доказательство по частному правилу
5.	Часто задаваемые вопросы о производной детской кроватки x

Что такое производная от Cot x?

Производная cot x по x представлена ​​как d/dx (cot x) (или) (cot x)’ и ее значение равно -csc ² x. Cot x — дифференцируемая функция в своей области определения. Чтобы доказать, что дифференцирование ctg x равно -csc ² x, воспользуемся тригонометрическими формулами и правилами дифференцирования. Мы собираемся доказать эту формулу следующими способами:

• Доказательство по первому принципу
• Доказательство по цепному правилу
• Доказательство по правилу частных

Производная cot x Формула

Формула дифференцирования cot x is,

• d/dx (cot x) = -csc ² x (или)
• (раскладушка x)’ = -csc ² x

Докажем это каждым из перечисленных способов.

Производная от Cot x Доказательство по первому принципу

Чтобы найти производную от кроватки x по первому принципу, предположим, что f(x) = кроватка x. По первому принципу (или определению производной) производная от f (x) задается следующим пределом.

f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) — f(x)] / h … (1)

Так как f(x) = cot x, то f(x + h ) = детская кроватка (х + ч).

Подставляя их в (1),

f'(x) = limₕ→₀ [cot(x + h) — cot x] / h

= limₕ→₀ [ [cos (x + h) / sin ( x + h)] — [cos x / sin x] ] / h

= limₕ→₀ [[sin x cos(x + h) — cos x sin(x + h)] / [sin x · sin(x + h)] ]/ h

По формулам суммы и разности, sin A cos B — cos A sin B = sin (A — B).

f'(x) = limₕ→₀ [sin (x — (x + h))] / [h sin x · sin(x + h)]

= limₕ→₀ [sin (-h)] / [ h sin x · sin(x + h)]

Имеем sin (-h) = — sin h.

f'(x) = — limₕ→₀ (sin h)/h · limₕ→₀ 1 / [sin x · sin(x + h)]

По предельным формулам limₕ→₀ (sin h)/h = 1.

f'(x) = -1 [ 1 / (sin x · sin(x + 0))] = -1/sin ² x

Мы знаем, что обратное значение sin равно csc. Итак,

f'(x) = -csc ² x.

Отсюда доказано.

Производная от Cot x Доказательство по цепному правилу

Мы можем доказать производную формулы cot x по цепному правилу. Для этого напомним, что cot и tan являются обратными друг другу. Таким образом, мы можем написать y = кроватка x как y = 1 / (tan x) = (tan x) ^-1 . Поскольку здесь у нас есть сила, мы можем применить здесь правило силы. По силовому правилу и цепному правилу

y’ = (-1) (tan x) ^-2 · d/dx (tan x)

Производная tan x равна d/dx (tan x) = sec ² x. Кроме того, одно из свойств экспонент гласит: а ^-m = 1/a ^m .

y’ = -1/tan ² x · (sec ² x)

y’ = — cot ² x · sec ² x

Теперь, x cot x = (cos)/ (sin x) и sec x = 1/(cos x). Итак,

y’ = -(cos ² x)/(sin ² x) · (1/cos ² x)

= -1/sin ² x

Мы знаем, что обратное значение sin равно csc. т. е. 1/sin x = csc x. Итак,

y’ = -csc ² x

Отсюда доказано.

Производная от Cot x Доказательство по частному правилу

Мы найдем производную от cot x, используя правило частных. Это доказательство является самым простым среди всех других способов доказательства производной от ctg x. Поскольку правило отношения имеет дело с производными дробей, мы будем писать cot x как дробь. Мы знаем, что кроватка x = (cos x)/(sin x). Итак, мы предполагаем, что y = (cos x)/(sin x). Тогда по частному правилу

y’ = [sin x · d/dx (cos x) — cos x · d/dx (sin x)] / (sin ² x)

= [sin x · (- sin x) — cos х (cos x)] / (sin ² x)

= [-sin ² x — cos ² x] / (sin ² x)

= -[sin ^{6 x + 2 cos 2 x] / (sin 2 x)}

Согласно одному из тождеств Пифагора, cos ² x + sin ² x = 1. Итак,

y’ = -1 / (45sin 90 х) = -csc ² х

Значит доказано.

Распространенные заблуждения, связанные с производной от кроватки x:

Вот некоторые распространенные заблуждения, связанные с дифференциацией кроватки х. Давайте уточним.

• Хотя cot x = (cos x)/(sin x), d/dx (cot x) НЕ равно d/dx(cos x) / d/dx (sin x).
  Мы должны использовать правило отношения, чтобы найти производную от cot x (записав ее как (cos x)/(sin x)).
• d/dx (детская кроватка x) НЕ является коричневым x. Кот и загар являются взаимозаменяемыми.
• Производная кроватки x и производная обратной кроватки x НЕ совпадают.
  d/dx(кроватка x) = -csc ² x
  d/dx(кроватка ^-1 х) = -1/(1 + х ² )

Темы, относящиеся к дифференциации кроватки x:

Вот некоторые темы, которые могут оказаться полезными при изучении производной кроватки x.

• Расчетные формулы
• Предельные формулы
• Производные формулы
• Расчетный калькулятор
• Калькулятор производных

Часто задаваемые вопросы о производной детской кроватки x

Какая производная от Cot x относительно x?

Производная cot x по x равна -1, умноженной на квадрат csc x. т. е. d/dx(cot x) = -csc ² x. Его также можно записать как (cot x)’ = -csc ² x.

Как доказать производную формулы Cot x?

Пусть у = детская кроватка х. У нас есть кроватка x = sin x/cos x. По правилу частных y’ = [ sin x · d/dx (cos x) — cos x · d/dx (sin x)] / (sin 92?

Мы знаем, что d/dx(cot x) = -csc ² x. Таким образом, d/dx(cot x ² ) = -csc ² x ² d/dx(x ² ) = -2x csc ² x ² (по цепному правилу).

Какова дифференциация Cot x с точки зрения Sin x?

Мы знаем, что производная от cot x равна -csc ² x. Кроме того, csc x = 1/(sin x). Итак, d/dx (cot x) = -1/sin ² x.

Что такое производная от Cot x

^-1 ?

Используя производную от cot x и цепное правило, d/dx(cot x ^-1 ) = -csc ² x ^-1 d/dx(x ^-1 ) = -csc ² x ^-1 (-1 x ^-2 ) 0 = (4c5 9046 )0 = (4c546 )0 = 2 x ^-1 )/(x ² ).

Равна ли производная от Cot x производной от Cot, обратной x?

Нет, производные кроватки x и кроватки ^-1 x различны. Производная cot x равна -csc ² x, тогда как производная cot⁻¹x равна -1/(1 + x ² ).

В чем разница между производной Cot x и первообразной Cot x?

Производная cot x равна -csc ² x. Первообразная кроватки x есть не что иное, как интеграл от кроватки x и ∫ кроватки x dx = ln |sin x| + C.

Какая производная от Cot x

² ?

Мы знаем, что d/dx(cot x) = -csc ² x. Таким образом, d/dx(cot x ³ ) = -csc ² x ³ d/dx(x ³ ) = -3x ² csc ² x ^{2 по цепному правилу.}

исчисление — производная от cot(x)

Задавать вопрос 92(x)$, с оговоркой, что $x \neq \frac {\pi} {2}$ (а также $\frac {3\pi} {2}$ и их ко-терминалы).

Теперь $\frac {\pi} {2}$ находится в области определения $\cot(x)$, но я не думаю, что доказательство в первом абзаце справедливо для $\frac {\pi} { 2}$

Если я пойду по первому принципу, т. е. $$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac {cot(x+h)-cot(h)} {h}$$, то я получаю доказательство, которое работает для всех углов в области $\cot (x)$ включая $\frac {\pi} {2}$

Аналогично, если я применю правило отношения к $\displaystyle \frac {d} {dx} \cot(x) = \frac {d} { dx} \frac {\cos(x)} {\sin(x)}$, у меня не возникает проблем с $\frac {\pi} {2}$

Итак, мне просто любопытно, применимо ли доказательство, изложенное в первом абзаце, для $\frac {\pi} {2}$. Я не настолько убежден, но везде, где я видел этот подход в Интернете, я не видел, чтобы кто-нибудь сделал заметку или предупредил, что этот подход может иметь некоторые проблемы.

Спасибо.

• исчисление
• производные

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Если вы используете определение $\cot$, которое не определено для $\frac \pi 2$, например $\cot x=\frac 1 {\tan x}$, то сделанное вами доказательство не докажет производная при $x=\frac \pi 2$. 2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x} $$ а также $$ \lim_{x\to0}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0}f'(x)=0, $$ можно сказать, что $f$ также дифференцируема в $0$ и $f'(0)=0$ (что также можно проверить по определению). 92$ в приведенном выше примере, чтобы получить экземпляр this.

$\endgroup$

$\begingroup$

Это проблема ограничений. Независимо от того, как устроена функция. Не имеет значения и то, что эта функция может быть определена несколькими способами. Если вы можете доказать, что функция $f(z)$ в заданной точке $z_0$ комплексной плоскости является устранимой особенностью, то можно сохранить производную этой функции в этой точке и, следовательно, определить. Проверьте эту ссылку. 9{я\фи}) = \ell_{z_0}(\фи) $$ Этот предел можно интуитивно интерпретировать как предел , ориентированный на . Если ориентированный предел приобретает фиксированное значение при любом значении угла $\phi$, то функция должна быть непрерывной в точке $z_0$ и, следовательно, это устранимая особенность: $$ \forall \phi\in\mathbb{R},\quad \ell_{z_0}(\phi) = L \quad\Rightarrow\quad z_0 \mbox{ является устранимой особенностью } f(z) \quad\следовательно\ четырехугольник f (z_0) = L $$

В вашем случае лимит: $$ \lim\limits_{r\to 0} \cot\left(\dfrac{\pi}{2} — re^{i\phi}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{\pi}{ 2} \mbox{ является устранимой особенностью } \cot(z) \quad\следовательно,\quad \cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 $$ 92 + 2x + 4$. Однако обратите внимание, что производные для обеих этих функций равны , они не одинаково непрерывны. Это связано с ограничениями их родительских функций. Однако если рассматривать производную как независимую функцию, а не производную другой функции, то эти ограничения исчезают.

По той же причине, если бы вы «вычислили» производную от $\dfrac{1}{\tan x}$ при $x = \dfrac{\pi}{2}$, она была бы такой же, как производная от $ \cot x$ в $x = \frac{\pi}{2}$ Это связано с тем, что функции $\dfrac{1}{\tan x}$ и $\cot x$ по существу одинаковы, за исключением их разрывов . Итак, вы заметили, что $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{1}{\tan x}\big) = \lim_{ x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{d}{dx} \big(\cot x\big) $ единственное отличие состоит в том, что $\dfrac{d}{dx} \big(\cot x\big)$ непрерывна в $\frac{\pi}{2}$, а $\dfrac{d}{dx}\ big(\dfrac{1}{\tan x}\big)$ не является.

Точно так же было бы очень полезно помнить следующее: $$\cot (a) \neq \dfrac{1}{\tan(a)}$$ Однако $$\cot a = \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{1}{\tan x}$$

Аналогично для $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ (я взял этот ограниченный диапазон только В качестве примера) $$\dfrac{d}{dx} cotx = \begin{case} \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{tanx} & \text{if $x\neq \frac {\pi}{2}$}\\ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{tanx} & \text{if $x= \frac{\pi}{2}$} \end{случаи} $$

Однако, если вы взяли производную как функцию саму по себе без ее связи с ее родительской функцией $\dfrac{1}{tanx}$, то утверждение будет верным независимо от этого.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Производная котангенса, cot(x) – формула, доказательство и графики

Доказательство производной функции котангенса

Тригонометрическая функция котангенс угла определяется как отношение прилежащей стороны к противолежащей стороне угол в прямоугольном треугольнике. Иллюстрируя это цифрой, мы имеем

, где C равно 90°. Для примера прямоугольного треугольника, получив котангенс угла A , можно вычислить как

$latex \cot{(A)} = \frac{b}{a}$

, где A — угол, b — его прилежащая сторона, а a — его противоположная сторона.

Прежде чем изучать доказательство производной функции котангенса, вам рекомендуется изучить теорему Пифагора, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao, а также первый принцип пределов в качестве предпосылок.

Напомним, что любую функцию можно вывести, приравняв ее к пределу

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f( х+ч)-f(х)}{ч}}$$

Предположим, нас попросили получить производную от

$latex f(x) = \cot{(x)}$

у нас есть

$$\frac{d}{dx} f(x) = \ lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cot{(x+h)} – \cot{(x)} }{h}}$$

Анализируя наше уравнение, мы можем заметить, что оба первых а вторыми членами в числителе предела являются котангенсы суммы двух углов х и х и котангенс угла х . С этим наблюдением мы можем попытаться применить тождества определяющих соотношений для котангенса, косинуса и синуса 9.0445 . Применяя это, мы имеем

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{\frac{\cos{(x+h)}}{ \sin{(x+h)}} – \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Алгебраическая перестановка с применением некоторых правил дробей , имеем

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}\sin{( х)} – \sin{(x+h)}\cos{(x)}}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$ \ frac {d} {dx} f (x) = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ frac { \ sin {(x)} \ cos {(x + h)} — \ cos {(x) }\sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Глядя на переставленный числитель, мы можем попытаться применить тождества суммы и разности для синуса и косинуса , также называемые тождествами Птолемея .

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{\sin{(x-(x+h))}}}{h\sin{ (x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin {(x-x-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{ час \ к 0} {\ frac { \ sin {(-h)} }{h \ sin {(x + h)} \ sin {(x)}}} $ $

На основании тригонометрических тождеств синуса отрицательного угла он равен отрицательному синусу того же угла, но в положительной форме. Применяя это к нашему числителю, мы имеем

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(h)}}}{h \sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Переставляя, применяя предел произведения двух функций, мы имеем

$$\frac{d}{dx} f (x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{(h)}}}{h} \cdot \frac{-1}{\sin{(x+h)} \sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)}}}{h} \cdot \left( -\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}}\right) \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{(h)}}}{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\ frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

В соответствии с пределами тригонометрических функций предел тригонометрической функции $latex \sin{( \theta)}$ в $latex \theta$ по мере приближения $latex \theta$ к нулю равно единице. То же самое можно применить к $latex \sin{(h)}$ над $latex h$. При подаче заявки у нас

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{ 1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \ до 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Наконец, мы успешно сделали возможным вычисление предел того, что осталось в уравнении. Оценивая путем подстановки приближающегося значения $latex h$, мы имеем

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1 }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+(0))}\sin {(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{) \sin{(x)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{1}{\sin{(x )}\sin{(x)}}$$

Мы знаем, что по определяющим тождествам отношения обратная величина тригонометрической функции синуса является косекансом. Применяя, имеем

$$\frac{d}{dx} f(x) = – \left( \frac{1}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin{ (х)}} \справа)$$ 9{2}{(x)}$

Шаг 1: Проанализируйте, является ли котангенс угла функцией этого же угла. Например, если правая часть уравнения равна $latex \cot{(x)}$, проверьте, является ли она функцией того же угла x или f(x) . После этого перейдите к шагу 2, пока не выполните шаги вывода.

Примечание: Если $latex \cot{(x)}$ является функцией другого угла или переменной, такой как 9{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Шаг 1: Выразите функцию в виде $latex F(x) = \cot{ (u)}$, где $latex u$ представляет собой любую функцию, кроме x .

Шаг 2: Рассмотрим $latex \cot{(u)}$ как внешнюю функцию $latex f(u)$ и $latex u$ как внутреннюю функцию $latex g(x)$ составная функция $latex F(x)$. Отсюда имеем

$latex f(u) = \cot{(u)}$ 9{2}{(u)}$

Шаг 4: Получите производную внутренней функции $latex g(x) = u$. Используйте соответствующее производное правило, применимое к $latex u$.

Шаг 5: Примените основную формулу цепного правила, алгебраически умножив производную внешней функции $latex f(u)$ на производную внутренней функции $latex g(x)$

$latex \ frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$ 9{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Шаг 6: Замените $latex u$ на $latex f'(u)$

Шаг 7: Упростите и примените любой закон функции, когда это применимо, чтобы получить окончательный ответ.

---

График котангенса

x VS. Производная котангенса x

Учитывая функцию

$latex f(x) = \cot{(x)}$

, график изображен как 9{2}{(x)}$

, что графически проиллюстрировано как

. Проиллюстрировав оба графика в одном, мы имеем

. Анализируя различия этих функций на этих графиках, вы можете заметить, что исходная функция $latex f(x ) = \cot{(x)}$ имеет область определения

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi ,2\pi)$$

в конечных интервалах

$latex (-2\pi,2\pi)$

и существует в диапазоне

$latex (-\infty,\infty )$ или 9{2}{(x)}$ имеет домен

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi, 2\pi)$$

в конечных интервалах

$latex (-2\pi,2\pi)$

и существует в диапазоне

$latex (-\infty,-1] $ или $latex y \leq -1$

---

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры использования первого или второго метода для получения функции котангенса

ПРИМЕР 1

Вывод: $latex f(\beta ) = \cot{(\beta)}$

Решение: Мы видим, что это всего лишь котангенс одного угла $latex \beta$.

No related posts.