Производная n порядка: Понятие и вычисление производной n-го порядка — урок. Алгебра, 11 класс.

Оглавление

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Репетитор по математике — Производные — Теория

Производные более высокого порядка на самом деле довольно простая идея. Когда мы берем производная функции, получаем производную первого порядка , Производная порядка 1 или просто первая производная . Чтобы получить вторую производную, дифференцируем еще раз (если возможно), так что f  ′′ = [  f  ′]′. Точно так же, взяв производную три раза, мы получаем третью производную и т. д. В общем случае мы должны использовать индукцию, чтобы определить n ^th производное. Где мы начинаем? Удобно начать с производной 0

Определение.
Рассмотрим функцию f , определенную в окрестности точки и . Определим производную 0 ^th , или производную порядка 0, как f   ⁽⁰⁾ ( a ) =  f ( a ).
Для n натурального числа мы определяем n ^th производная или производная порядка n в по индукции как

f   ^{( n )} ( a ) = [  f   ^{( n −1)} ]′( a ) если он существует.

Если n ^th производная в a существует, мы говорим, что f равно n -кратно дифференцируемому в a .

Пусть f будет функцией на открытом множестве G . Если это n ^th производная существует во всех точках G , мы говорим, что f есть n -кратно дифференцируемое на G .

Пример: Мы найдем все производные от f  =  x ³  − 5 x ²  + 13,
f   ⁽⁰⁾  =  ф = x ³  — 5 x ²  + 13.
ф   ⁽¹⁾  = 

Альтернативное обозначение:
При написании производных люди обычно не пишут апострофы «правильно», с точечкой и загнутым хвостиком, скорее они просто делают черточки. Тире также можно интерпретировать как заглавную букву I. Это вдохновило другое обозначение, которое используется для производных более высокого порядка, а именно с Римские цифры. Производные до третьего записываются нормально, но тогда мы можем написать

Высшая производная и другие обозначения:
Нотация Лейбница:

Точечная запись (мы используем функцию x с переменной t ):

Обозначение нижнего индекса:

Полный дифференциал — это понятие, которое возникает из-за желания аппроксимировать заданную функцию f линейной функцией, близкой к заданной точке

Определение.
Рассмотрим функцию f , определенную в окрестности точки и . Под полным дифференциалом f при a мы подразумеваем линейную преобразование L ( h ), которое удовлетворяет

Обозначение: Суммарный дифференциал f на a обозначается d f ( a ), поэтому, когда мы заменяем h , мы записываем это как д

Определение означает следующее. Предположим, что у нас есть полный дифференциал в . Если x очень близко к a , то ф ( х ) должно быть почти f ( a ) + L ( x  −  a ). У нас есть следующая теорема.

Теорема.
Рассмотрим функцию f , определенную в окрестности точки и . Существует полный дифференциал f на a , если и только если f дифференцируемы в a . Тогда также

d f ( a )[ h ] =  f  ′( a ) h .

Так что действительно, в одном измерении полный дифференциал — это просто идея производная, записанная по-другому. Это становится еще более очевидным, когда мы записать полный дифференциал альтернативным способом (что на самом деле довольно общий), используя дифференциал d

d f ( a )[d x ] =  f  ′( a )d x .

Столь же распространенный ярлык, который дает общий дифференциал во всех точках. а (то есть в наборе) есть

d f  =  f  ′d x .

У нас было точно такое же уравнение в разделе, посвященном Обозначения Лейбница. Почему мы тогда заморачиваться с полным дифференциалом? Когда мы начинаем рассматривать функции больше переменных, то есть функций, живущих в более размерных пространствах, то нет очевидного способа обобщить понятие производной так, чтобы оно несет в себе все свойства, которые мы любим, в одном измерении. Однако понятие полный дифференциал легко обобщается и оказывается довольно полезно, его можно использовать даже в более абстрактных пространствах.

На самом деле у нас уже есть общее определение выше, так как мы можем использовать заявление в том виде, в каком мы его имеем, всего с одним изменением в базовой настройке. Вместо действительные числа в качестве пространства, в котором живет f , возьмем разумную абстракцию пространство S , что, прежде всего, означает, что в этом пространстве мы имеем некоторое линейное операции и понятие окрестностей точек. Используя эти окрестностей, мы можем определить понятие предела точно так же, как мы сделали с реальными числа. Определение полного дифференциала, где мы теперь берем и и h из пробела S , теперь имеет смысл. Конечно, все это далеко за пределами уровня Репетитора по математике.

Производная и операции
Назад к теории — производная

-я производная | Superprof

Что такое производные высшего порядка?

Знаете ли вы, что мы можем найти несколько производных одной и той же функции? Производные за пределами первой производной известны как производные высшего порядка. В этой статье мы объясним, как найти высшие производные функции с некоторыми примерами. Во-первых, давайте посмотрим, каковы производные функции более высокого порядка и как мы можем их вычислить.

Если дифференцируется производная функции, первая производная , f'(x) , получается новая функция, называемая второй производной , f»(x) .

Если дифференцируется третья производная , f»'(x) , получается четвертая производная , f’ ^v (x) . Этот процесс может продолжаться, и эти результирующие функции называются производные высшего порядка.

Давайте теперь объясним таким образом производные высших порядков. Предположим, есть функция. Если эта функция имеет конечную производную на определенном интервале, то производная функции, обозначаемой через, также является функцией на этом интервале. Мы можем найти вторую производную дифференцируемой функции. Ниже приведены различные обозначения вторых производных:

Теперь, если вторая производная функции дифференцируема далее, то мы можем найти третью производную функции. Обозначение третьей производной функции приведено ниже:

Различные обозначения. означают, что вторая и третья производные могут быть обозначены любым из приведенных выше обозначений. Теперь давайте перейдем к некоторым примерам, в которых мы найдем производные функций более высокого порядка.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Пример 1

Вычислите 1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю производные следующей функции:

Шаг 1 — Первая производная

Вычислим первую производную вышеуказанная функция в первую очередь. Чтобы вычислить производную вышеуказанной функции, мы будем использовать несколько производных правил, которые включают сумму и разность, силу и постоянное правило.

Шаг 2. Вторая производная

Теперь мы вычислим вторую производную функции. Для этого мы просто продифференцируем первую производную функции, используя различные правила производных, такие как:

Шаг — 3 Третья производная

Мы вычислим третью производную, продифференцировав вторую производную функции следующим образом:

Шаг 4. Четвертая производная

Теперь найдем производную функции, полученной после вычисления третьей производной следующим образом:

Поскольку производная константы равна 0, то и четвертая производная будет равна 0. Теперь функцию нельзя дифференцировать дальше.

Пример 2

Вычислите 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю и 5-ю производные следующей функции:

Шаг 1 — Первая производная

Сначала вычислим первую производную приведенной выше функции. Чтобы вычислить производную вышеуказанной функции, мы будем использовать несколько производных правил, которые включают сумму и разность, силу и постоянное правило.

Шаг 2. Вторая производная

Теперь мы вычислим вторую производную функции. Для этого мы просто продифференцируем первую производную функции, используя различные правила производных, такие как:

Шаг — 3 Третья производная

Мы вычислим третью производную, продифференцировав вторую производную функции следующим образом:

Шаг 4 — Четвертая производная

Теперь найдем производную функции, полученной после вычисления третьей производной  , например:

Шаг 5. Пятая производная

Теперь найдем пятую производную функции, например:

Потому что производная константы равна 0, поэтому пятая производная константы 120 будет равна 0. Очевидно, что 0 дальше дифференцировать нельзя, поэтому на этом дифференцирование остановим.

Пример 3

Вычислить 1-ю, 2-ю и 3-ю производные следующей функции:

Первую производную

Вышеприведенную функцию можно записать в виде . Применим правило производного корня к . Согласно правилу производного корня, . Следовательно, первая производная функции будет:

Вторая производная

Теперь найдем вторую производную указанной выше функции, которая получается после дифференцирования исходной функции.

Третья производная

На этом шаге нам нужно вычислить третью производную функции, полученной на последнем шаге. Пример 4

Шаг 1. Первая производная

Чтобы найти первую производную функции, мы применим здесь правило цепочки производных. Самый простой способ применить его — использовать правило степени производной, а затем умножить на производную внутреннего члена. Обратите внимание, что производная от .

Шаг 2. Вторая производная

Теперь мы вычислим вторую производную функции. Мы можем записать эту функцию как:

Теперь мы можем легко применить правило произведения производных, чтобы найти вторую производную функции. Правило производного произведения гласит, что .

Производная is и производная is . Подставим эти производные в формулу произведения производных:

После упрощения получим следующую вторую производную функции:

Пример 5

Найдите 1-ю, 2-ю и 3-ю производные функции .

Шаг 1. Первая производная

Здесь мы воспользуемся правилом цепочки производных, чтобы найти первую производную функции. В приведенной выше функции и . Следовательно, .

Шаг 2. Вторая производная

Снова используйте цепное правило, чтобы найти следующую производную. Будем считать, что и .

Шаг 3 — Третья производная

Используйте цепное правило, чтобы найти производную следующего более высокого порядка.