Производная определенного интеграла: Производная интеграла с переменным верхним пределом.

Производная интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть f(x) неопределенна на [a,b]. Возмем на нем произвольную т. x и рассмотрим определенный интеграл:

он сужествует для всех x и является ф-ей своего верхнего предела.

Теорема:

Пусть f(x) – непрерывна на [a,b], тогда ф-я (1) имеет производную в любой т. x, причем F’(x) = f(x).

Другими словами:

Производная от определенного интеграла по его верхнему пределу, равна значению подинтегральной ф-и в верхнем пределе.

Док-во:

Дадим аргументу x прирожение, что (x + ), тогда ф-я F получить прирощение

Применяем т. о Среднем значинии ф-ии:

Переходим к lim при

F’(x) =

12. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть ф-я f(x)-непрерывна на [a,b], а ф-я F(x) первообразная. Тогда:

Док-во:

Рассмотрим ф-ю Ф(х) = . Эта ф-я является первообразной для f(x) на [a,b].

А любые две первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Ф(х) = F(x) + C, т.е.

13. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке где Тогда справедлива формула

Доказывается по Ньютону-Лейбницу.

14. Интегрирование четных и нечетных функций.

15. Определенный интеграл. Интегрирование по частям.

Пусть ф-я f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем его на n-частей и составим интегральные суммы.

Число I называется пределом интегральных сумм:

ф-ии f(x) на отрезке [a,b], если для любого ε > 0 существует δ>0, что для любого разбиения отрезка [a,b] на части с длинами < δ, неравенство:

выполняются при любом выборе точек .

Если при любом разбиении отрезка [a,b] на части и при любом выборе точек на их интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел, то этот предел называется определенным интегралом и обозначается:

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:

16. Нахождение площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

Пусть f(x) – непр. на [a,b] и a > b

1-й случай: 2-й случай:

3-й случай: 4-й случай:

5-й случай:

Пусть кривая ab задана параметрическими уравнениями:

где и непрер. Причем имеет непрерывную производную

α <= t <= β.

Тогда:

17. Нахождение площадей плоских фигур в полярных координатах.

18. Вычисление объемов тел вращения.

19. Длина кривой в прямоугольных координатах. Длина кривой заданной в параметрической форме.

20. Длина кривой в полярных координатах. Дифференциал длины дуги кривой.

21. Несобственные интегралы первого рода. Теоремы сравнения.

Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функции f(x). Поэтому интеграл от неограниченной функции в обычном смысле не существует. Однако, можно распространить определение определенного интеграла на неограниченные функции при помощи введения некоторых понятий.

Случай неограниченной области:

Пусть функция f(x) определена для всех x >= a и интегрируема на каждом конечном отрезке от a до b. Рассмотрим ф-ю аргумента b.

Если при b→+ ф-я I(b) имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – сходящимся.

Если при b→+ ф-я I(b) не имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – несходящимся.

Теоремы сравнения:

Тогда :1)

2)

• Пусть ф-и f(x) и непрерывны и неотриц. для всех x>=a, пусть Тогда если существует конечный предел , то сходятся или расходятся одновременно.

• Если существует такое число , что для всех достаточно больших x: , где М>0 и не зависит от х, то

Если для Больших х: , от .

Производная от определенного интеграла равна

Skip to content

Содержание:

• 1 Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
• 2 Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
• 3 Теорема Ньютона — Лейбница
• 4 Примеры решения задач

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Например.

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Теорема Ньютона — Лейбница

Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oty , ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать Ot , а не Ox (рис.

1).

Пусть y = f (t) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, принимающая только положительные значения.

Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции y = f (t) сверху, отрезком [a, b] снизу, а справа и слева отрезками прямых t = a и t = b (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции f (t) в пределах от a до b и обозначают

(1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от a до b от функции f (t) по dt »

Определение 3. В формуле (1) функцию f (t) называют подынтегральной функцией, переменную t называют переменной интегрирования, отрезок [a, b] называют отрезком интегрирования, число b называют верхним пределом интегрирования, а число a – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить S (x) площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых t = a и t = x (рис. 3),

то будет справедлива формула

(2)

Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через Δx обозначено приращение аргумента x (рис. 4)

Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через ΔS обозначено приращение функции

S (x), соответствующее приращению аргумента Δx (рис. 5)

Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой m, и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой M.

Из неравенства (5) следует, что

В силу непрерывности функции y = f (t) выполнено равенство

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Функция S (x) является первообразной подынтегральной функции f (x) .

Теорема Ньютона — Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница. Если F (x) – любая первообразная функции f (x), то справедливо равенство

(7)

S (x) = F (x) + c

(8)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение x = a , получаем равенство

(10)

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой t = a, равна 0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования t , так и с любой другой переменной интегрирования, например, x :

Замечание 4. Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций f (x), но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Ответ.

Задача 2. График функции y = f (x) изображен на рисунке 7.

(13)

Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), ограниченной снизу осью абсцисс Ox и ограниченной с боков отрезками прямых x = 2 и x = 9. Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна 9, а площадь трапеции равна 20. Таким образом, интеграл (13) равен 29.

(14)

Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

Ответ.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b . Пусть функция f ( x ) интегрируема на отрезке [ a , b ]. Если , то функция f ( x ) также интегрируема на любом отрезке [ a , x ]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [ a , b ], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф( x ) :

. (8)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t , так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

. (9)

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [ a , b ] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф( x ), а так как всякая другая первообразная функции f ( x ) может отличаться от данной Ф( x ) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .

Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], то

, (10)

где F ( x ) — некоторая первообразная функции f ( x ).

Формула (10) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Формулу Ньютона — Лейбница можно переписать как

,

где .

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f ( x ) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона — Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

П р и м е р 2. Вычислить интеграл .

Решение. .

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, получим

. (11)

Если f ( x ) — непрерывная, φ( x ), ψ( x ) — дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

,

. (12)

П р и м е р 3. Найти производную по x от интеграла .

Решение. Здесь ; ; ; ; . φ΄( x ) = 2 x . Пользуясь формулой (12), получим

Рубрики

• Без рубрики
• Дримкаст аксессуары
• Дримкаст игры
• Дримкаст прохождения
• Дримкаст эмуляторы
• История
• Компьютеры
• Помощь
• Приставки

Adblock
detector

Производная интеграла — Photomath

Explore Derivatives

Итак, вы освоили производные (NBD) — но теперь вам нужно найти производную интеграла? Что вообще такое интеграл?

Мы можем ответить на все это и даже больше!

Начнем здесь: Интеграл — это набор всех первообразных функции. Таким образом, производная от интеграла есть производная от первообразной функции.

Это вас немного потрясло? Честно, то же самое. Давайте посмотрим, что все это на самом деле означает!

Что значит найти производную интеграла?

Интеграл является первообразной, а дифференцирование (или нахождение производной) является обратной процедурой интегрирования (или нахождения интеграла).

Как мы уже упоминали, найти производную интеграла означает найти производную первообразной, которая определяется второй основной теоремой исчисления.

Вторая фундаментальная теорема исчисления утверждает, что если $$f$$ непрерывна на $$[a,b]$$ и $$a\leq x\leq b$$, то производная интеграла от $$f $$ можно рассчитать следующим образом: 9{x}f(t)dt=f(x)$$

Не забудьте держать под рукой наши правила дифференцирования — они нам еще понадобятся!

Постоянное кратное свойство производных	$$\frac{d}{dx}\left(c\times f(x)\right)=c\times\frac{d}{dx}\left(f(x) \right)$$
Правило сумм для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)+\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило разности для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) — g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)-\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило произведения для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x)\times g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)\times g( x)+f(x)\times\frac{d}{dx}\left( g(x) \right) $$ 9{-1}\влево(х\вправо)\вправо)}$$

Почему производная интеграла так полезна?

Вы уже научились решать линейные, квадратные и другие уравнения. Но до того, как вы научились их решать, вы изучили необходимые базовые вычисления, такие как сложение, вычитание, умножение и т. д.

Нахождение производной интеграла похоже на базовую арифметику для решения дифференциальных уравнений, которую вы изучите очень скоро. Итак, овладев этими навыками сейчас, вы настроите себя на успех в будущем! 93}$$

Это было не так уж и плохо, правда? Когда вы начнете работать над другими проблемами, запомните эти шаги, и вы будете золотыми:

Резюме исследования

1. Перепишите интеграл в виде суммы так, чтобы только один предел интегрирования в обоих интегралах зависел от независимой переменной.
2. Используйте цепное правило, чтобы найти производную.
3. Примените вторую фундаментальную теорему исчисления.
4. Если замена была использована, замените обратно.
5. Найдите производную выражения.

Сделай сам!

Готовы продолжать оттачивать свои навыки? Попробуйте применить эти шаги к этим практическим задачам!

Возьмем производную функции:

1. 2$$
2. $$\ln(2-\sin{x})+\ln{(2+\sin{x})}$$

Если у вас проблемы с решением, ничего страшного! Несколько раз спотыкаться полезно для обучения. Если вы не можете найти выход из проблемы, отсканируйте ее с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас на другую сторону!

Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00

Есть домашнее задание по математике?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.

Производная интеграла: интуиция и примеры

Давайте поговорим о том, что такое производная интеграла. Этим вопросом задаются многие читатели. Кажется, все мы знаем, что существует связь между производной и интегралом, но никак не можем ее запомнить. На этой странице я хочу изучить эту тему и объяснить все подробно, чтобы вы могли уйти без каких-либо сомнений.

Производная неопределенного интеграла

В исчислении существует различие между неопределенным и определенным интегралом. Определение неопределенного интеграла данной функции: функция, производная которой является данной функцией. Об этом мы подробно говорили на странице о неопределённых интегралах.

Это определение на самом деле говорит нам, что такое производная интеграла. На самом деле имеем, что

То есть производная интеграла равна функции которую вы интегрируете . Нам нужно осознать тот факт, что приведенное выше уравнение верно из-за определения неопределенного интеграла. Нам не нужно ничего доказывать. Просто по определению.

Вот почему вы всегда можете проверить свой ответ на задачу интегрирования, взяв полученную производную и показав, что она соответствует функции, которую вы интегрировали.

Возможно, вы захотите сохранить изображение приведенного выше уравнения в постоянной памяти на жестком диске: производная неопределенного интеграла равна функции, которую вы интегрируете.

Теперь поговорим о случае определенных интегралов.

Производная определенного интеграла

Говоря о производной и определенном интеграле, мы должны говорить об основной теореме исчисления. Определение определенного интеграла гораздо более интуитивно понятно, чем определение неопределенного интеграла.

Определенный интеграл функции на данном интервале определяется как площадь под графиком функции внутри данного интервала. Мы подробно говорили об этом на страницах, посвященных определенному интегралу и основам исчисления.

На этих страницах мы пришли к выводу, что если у вас есть примитив F функции f, то

Эта формула дает эффективный метод вычисления определенных интегралов. На странице фундаментальной теоремы исчисления мы сосредоточились на том, чтобы показать интуицию, стоящую за этой формулой, и доказать ее.

Однако по пути мы узнали кое-что интересное. Например, мы определили очень интересную функцию

Эта функция дает площадь под графиком на интервале [a,x]. Особенность в том, что он зависит от переменной x. Чтобы доказать основную теорему исчисления, мы фактически вычислили производную от F. И оказалось, что производная этой функции равна

Разве это не интересно? Используя обозначения Лейбница, мы можем увидеть эту формулу с другой точки зрения. Мы берем производную от определенного интеграла

Это уравнение говорит нам, как получить производную от определенного интеграла. Обратите внимание, что эта формула работает для любого a и любого x.

Эта формула имеет очень интересную интуитивную интерпретацию. Как мы уже говорили, функция F, заданная интегралом в уравнении, дает площадь под графиком от a до x. Формула говорит нам, как эта площадь меняется при изменении x. Производная дает нам скорость изменения функции, помните?

Другими словами, уравнение говорит о том, что скорость изменения площади под графиком от a до x равна высоте фигуры в экстремуме, соответствующем x.

На странице фундаментальной теоремы исчисления, где я использовал букву A для обозначения F, я использовал следующую картинку для объяснения этой концепции.

Здесь мы рассматриваем красную область выше как функцию точки x на оси x. Как показано на рисунке, скорость изменения площади A'(x) равна высоте в точке x, которая определяется как f(x).