Производная от корня квадратного: Производная корня

Производная корня

См. также: 

Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке. 

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени — это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби.

 
Пояснение:
( √x )’ = ( х1/2 )’   

Квадратный корень — это точно то же самое действие, что и возведение в степень 1/2, значит для нахождения производной корня можно применить формулу из правила нахождения производной от переменной в произвольной степени:

( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)  

Производная кубического корня  (производная корня третьей степени)

Производная кубического корня находится точно по такому же принципу, что и квадратного.

Представим себе кубический корень как степень 1/3 и найдем производную по общим правилам дифференцирования. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так.

Степень -2/3 получается в следствие вычитания единицы из 1/3

Производная переменной под корнем произвольной степени 

Данная формула пригодна для нахождения производной корня любой степени:

n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 ) 

В более удобном для глаза виде она представлена на картинке выше.

Здесь:

n — степень корня, для которой находится производная

x — переменная, для которой находится производная

Решение квадратных уравнений через производные / Хабр

Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем

забивать гвозди микроскопом.

Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!

Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:

На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.

Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.

Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.

В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

В таком случае составим уравнение для поиска :

[подставили в производную первого порядка ]

Корнем такого уравнения относительно будет:

А значением исходной функции при таком аргументе будет:

Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».

Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:

, также как и

Тогда, подставив все известные величины, получим:

Поделим все на :

Теперь становится очевидно, что:

Соединим все «детали пазла» воедино:

Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).

Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.

С вами был Петр, спасибо за внимание!

Mathway | Популярные задачи

1
Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x
2 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
4 Trovare la Derivata — d/dx e^x
5 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
6 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
7 Trovare la Derivata — d/dx x^2
8 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
9 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
10 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
11 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
12 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
13 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
14 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
19 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Trovare la Derivata — d/dx x^3
23 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
24 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислим интеграл интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
29 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
31 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
32 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
33 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
41 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
42 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
43 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
44 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
49 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
50 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
54 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
56 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Trovare la Derivata — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
67 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
73 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^x
76 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Trovare la Derivata — d/dx x^4
79 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
82 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
84 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
85 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
86 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
87 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
89 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Trovare la Derivata — d/dx e^2
93 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
94 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
97 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x
2 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
4 Trovare la Derivata — d/dx e^x
5 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
6 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
7 Trovare la Derivata — d/dx x^2
8 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
9 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
10 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
11 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
12 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
13 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
14 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
19 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Trovare la Derivata — d/dx x^3
23 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
24 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислим интеграл интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
29 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
31 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
32 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
33 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
41 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
42 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
43 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
44 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
49 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
50 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
54 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
56 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Trovare la Derivata — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
67 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
73 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^x
76 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Trovare la Derivata — d/dx x^4
79 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
82 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
84 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
85 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
86 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
87 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
89 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Trovare la Derivata — d/dx e^2
93 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
94 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
97 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x

Производная квадратного корня

Нахождение производной квадратных корней функции может быть выполнено с использованием производной по определению или методом первого принципа.

Рассмотрим функцию вида $$ y = \ sqrt x $$.

Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
\ [\ begin {gather} y + \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — y \\ \ end {собрано} \ ]

Подставляя значение функции $$ y = \ sqrt x $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
\ [\ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — \ sqrt x \]

Использование метода рационализации
\ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — \ sqrt x \ times \ frac {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{{{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x}} \ right )} ^ 2} — {{\ left ({\ sqrt x} \ right)} ^ 2}}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{x + \ Delta x — x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{\ Delta x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ end {собрано} \]

Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
\ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{\ Delta x}} { {\ Delta x \ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {1 } {{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ end {gather} \]

Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы имеем
\ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {1} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{\ sqrt {x + 0} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt x}} \\ \ end {gather} \]

ПРИМЕЧАНИЕ : Если мы возьмем любую функцию из функции извлечения квадратного корня, тогда
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt { f \ left (x \ right)}}} \ frac {d} {{dx}} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{2 \ sqrt {f \ left (x \ right)} }} f ‘\ left (x \ right) \]

Пример : Найдите производную $$ y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} $$

У нас есть заданная функция как
\ [y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

Дифференцируя по переменной $$ x $$, получаем
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

Теперь, используя формулу производной квадратного корня, получаем
\ [\ begin {gather} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2 } + 5}}} \ frac {d} {{dx}} \ left ({2 {x ^ 2} + 5} \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac { {4x}} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{2x}} {{\ sqrt {2 { х ^ 2} + 5}}} \\ \ конец {собрано} \]

,Калькулятор квадратного корня

. Найдите квадратный корень за один простой шаг

Как упростить квадратные корни?

Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, которое стоит после символа квадратного корня, и найти его множители. Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и так далее), то вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее.Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полных квадратов . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров:

  • Можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27. Здесь 9! Это означает, что вы можете упростить √27.
  • Можете ли вы упростить √15? Факторы 15: 1, 3, 5, 15. В этих числах нет полных квадратов, поэтому этот квадратный корень нельзя упростить.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y ,

    Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать идеальный квадрат среди своих факторов. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например, 45 = 9 * 5 (9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .

    Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, не обязательно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень эквивалентен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах:

    • Как упростить квадратный корень из 27? √27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3 ;
    • Как упростить квадратный корень из 8? √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2 ;
    • Как упростить квадратный корень из 144? √144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12 .

    В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами .

    Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти по крайней мере один фактор, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192:

    ∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3

    На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам!

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *