Производная от синуса в квадрате икс: Производная sin^2 x

Найти производную функции sin sin x. Производная синуса: (sin x)′

Производная Несмотря на то, что в предыдущих параграфах были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения. Пусть дана функция y=f(x). Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное х есть время, а у- расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравне- у ние y-f(x) в этом случае называется законом движения. Чтобы получить задачу о касательной, будем счи- в Рис. 47. тать, что х-абсцисса и у — ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением у = /(х). Будем производить над функцией у = /(х) некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной. 1. Дадим х определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение У» fix). (1) В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени х мы нашли расстояние у движущейся точки от начала координат (рис, 47).

В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки Р, лежащей на кривой, определенной уравнением у=/(х) (рис. 48). 2. Дадим х приращение h и вычислим соответствующее приращенное значение уу которое отличается от первоначального на величину А у (приращение функции) (см. гл. V, § 4): у + Ьy=f(x+h). В задаче о скорости тем самым мы определяли положение Р, движущейся точки в момент времени x + h* В задаче о касательной получена новая точка М. Здесь АВ= PQ= h, OB = x + h, BM = f(x + h). 3. Найдем приращение функции Ду; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1): + h)-f»=/(*) + Ф»(*), (IV) т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных. V. Производная произведения двух функций. Предположим, что нам известны производные функций f{x) и представим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3): Рассмотрим уравнения (*) и (#*) независимо друг от друга. Первое из них дает и как функцию х; ее производная равна ср» (л:). Второе определяет у как функцию независимого переменного и; ее производная равна /» (и). 1. Представим функцию у в виде цепочки: и-хг + 1, у~еа. Так как (х8 + 1)»= Зх2, (то » = = —

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции

f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют

производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:

\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса — sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin x)′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x .

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .

Ответ

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

2(x) с доказательством и графиками

Функция квадрата синуса – это функция sine x , возведенная в степень двойки. Производная функции квадрата синуса равна синусу 2x, sin(2x) . Мы можем найти эту производную, используя цепное правило и производные фундаментальных тригонометрических функций.

В этой статье мы рассмотрим, как вычислить производную квадрата синуса сложной функции. Мы пройдемся по принципам, формуле, графику сравнения недооцененных и производных синус х в квадрате , доказательство, методы вывода и несколько примеров.

ВЫЧИСЛЕНИЕ

Актуально для …

Обучение получению функции квадрата синуса.

См. доказательство

Содержание

ВЫЧИСЛЕНИЕ

Актуально для …

Обучение вычислению функции квадрата синуса.

См. доказательство

Доказательство производной квадрата синуса с использованием цепного правила 92)}$

Отбросив путаницу, первое — это «целая тригонометрическая функция», возведенная в степень двойки, а вторая — тригонометрическая функция «переменной, возведенной в степень двойки».

Поскольку это составная функция, формула цепного правила используется для нахождения формулы производной функции квадрата синуса, при условии, что вы уже освоили формулу цепного правила и производную функции синуса.

Предположим, нас попросили получить производную от 92$

$latex f'(u) = 2u$

Вывод внутренней функции g(x) с использованием формулы производной тригонометрической функции sine через x , мы имеем

$latex g (x) = \sin{(x)}$

$latex g'(x) = \cos{(x)}$

Алгебраически умножая производную внешней функции $latex f'(u)$ на производную внутренней функции $latex g'(x)$ имеем

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{ dx} = (2u) \cdot (\cos{(x)})$ 9{2}{(x)} = \sin{(2x)}$

---

Как получить функцию квадрата синуса?

Как отмечалось ранее, квадрат синуса является сложной функцией степени и синуса тригонометрической функции. Вместо того, чтобы постоянно использовать метод цепного правила, мы можем просто использовать установленную формулу производной для функции квадрата синуса.

МЕТОД 1: Когда квадрат синуса любого угла

x должен быть получен через тот же угол x .{2}{(x)}$ является функцией другого угла или переменной, такой как f(t) или f(y) , она будет использовать неявное дифференцирование, которое выходит за рамки этой статьи.

Шаг 2: Затем непосредственно применить проверенную формулу производной функции квадрата синуса

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2x)}$

быть проще, то это будет окончательный ответ.

МЕТОД 2: Когда задано значение квадрата синуса любой функции 9{2}{(v)} \right) = \sin{(2v)}$

Шаг 4: Получите производную внутренней функции $latex h(x) = v$. Используйте соответствующее производное правило, применимое к $latex v$.

Шаг 5: Примените основную формулу цепного правила, алгебраически умножив производную внешней функции $latex g(v)$ на производную внутренней функции $latex h(x)$

$latex \ frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$ 9{2}{(x)}$ имеет домен

$latex (-\infty,\infty)$ или всех действительных чисел

и существует в диапазоне

$latex [0,1]$

, тогда как производная $latex f'(x) = \sin{(2x)}$ имеет домен

$latex (-\infty,\infty)$ или всех действительных чисел

и существует в диапазон

$latex [-1,1]$

---

Примеры

Вот несколько примеров получения функции квадрата синуса с использованием первого или второго метода. 9{2}{(\beta)}$

Решение: Анализ данной функции квадрата синуса показывает, что это всего лишь квадрат синуса одного угла $latex \beta$. Следовательно, мы можем использовать первый метод для вывода этой задачи.

Шаг 1: Проанализируйте, является ли квадрат синуса $latex \beta$ функцией $latex \beta$. В этой задаче есть. Следовательно, перейдите к шагу 2.

Шаг 2: Непосредственно примените формулу производной функции квадрата синуса и выведите ее через $латекс\бета$. Поскольку дальнейшее упрощение не требуется, 9{2}{(v)}$, где $latex v$ представляет собой любую функцию, кроме x . В этой задаче

$latex v = 3x-2$

Мы заменим это позже, когда доработаем производную задачи.

Шаг 2: Рассмотрим $latex \sin{(v)}$ как внешнюю функцию $latex g(v)$ и $latex v$ как внутреннюю функцию $latex h(x)$ составного функция $латекс G(x)$. Для этой задачи имеем

$latex g(v) = \sin{(v)}$

и

9{2}{(v)} \right) = \sin{(2v)}$

Шаг 4: Получите производную внутренней функции $latex h(x)$ или $latex v$. Поскольку наш $latex v$ в этой задаче является полиномиальной функцией, мы будем использовать степенное правило и сумму/разность производных для получения $latex v$.

$латекс \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(3x-2 \right)$

$латекс \frac{d}{dx}( h(x)) = 3$

Шаг 5: Примените базовую формулу цепного правила, алгебраически умножив производную внешней функции $latex g(v)$ на производную внутренней функции $latex h(x) $

$латекс \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac {dy}{dx} = \sin{(2v)} \cdot 3$

Шаг 6: Замените $latex v$ на $latex g'(v)$

$latex \frac{dy} {dx} = \sin{(2v)} \cdot 3$

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2(3x-2))} \cdot 3$

Шаг 7 : Упростите и примените любой функциональный закон, когда это применимо, чтобы завершить ответ.

$латекс \frac{dy}{dx} = 3\sin{(2(3x-2))}$ 92(x) с доказательством и графиками

Видео-урок: Дифференцирование тригонометрических функций

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся дифференцировать тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса. Мы начнем с рассмотрения того, как мы можем найти производную функций синуса и косинуса, используя дифференцирование из первых принципов, прежде чем использовать правило частных для нахождения производной функции тангенса. Затем мы рассмотрим несколько примеров применения этих производных и модели, которые они формируют.

К этому моменту вы должны чувствовать себя комфортно в дифференцировании полиномиальных функций и применении процесса дифференцирования из первых принципов. Помните, это говорит о том, что производная функции 𝑓 определяется как 𝑓 простое число 𝑥 равно пределу, когда ℎ приближается к нулю числа 𝑓 числа 𝑥 плюс ℎ минус 𝑓 числа 𝑥 по всему ℎ в точках, где существует предел. Итак, мы собираемся использовать это определение, чтобы найти производную греха от 𝑥. Но нам также необходимо знать некоторые стандартные ограничения. Их можно вывести, но для целей этого видео мы их просто напомним.

Мы также должны отметить, что для того, чтобы эти пределы были верны, мы требуем, чтобы все углы были даны в радиантной мере. Мы собираемся использовать, что предел, когда ℎ приближается к нулю греха ℎ над ℎ, равен единице, а предел, когда ℎ приближается к нулю, cos ℎ минус один над ℎ, равен нулю. И теперь, когда мы вспомнили информацию, необходимую для этого процесса, давайте посмотрим, как это выглядит.

Дифференцировать 𝑓 от 𝑥 равно sin 𝑥 из первых принципов.

Нам дано, что 𝑓 от 𝑥 равно sin от 𝑥. И мы знаем, что для отличия от первых принципов мы применяем формулу предела, когда ℎ приближается к нулю из 𝑓 из 𝑥 плюс ℎ минус 𝑓 из 𝑥 по всему ℎ. Итак, поскольку 𝑓 из 𝑥 является грехом 𝑥, нам нужно определить 𝑓 из 𝑥 плюс ℎ. И это грех 𝑥 плюс ℎ. Итак, чтобы отличить грех 𝑥 от первых принципов, мы применяем предел, когда ℎ приближается к нулю греха 𝑥 плюс ℎ минус грех 𝑥 по всему ℎ. Обратите внимание, что мы еще не можем ничего оценить. И поэтому нам нужно найти способ упростить выражение грех 𝑥 плюс ℎ минус грех 𝑥 над ℎ. Итак, мы вспоминаем формулу суммы греха.

Это говорит о том, что грех 𝐴 плюс 𝐵 равен греху 𝐴 потому что 𝐵 плюс потому что 𝐴 грех 𝐵. Итак, мы видим, что грех 𝑥 плюс ℎ такой же, как грех 𝑥 cos ℎ плюс cos 𝑥 грех ℎ. Итак, мы можем переписать предел, представляющий нашу производную от 𝑓 от 𝑥, как показано. Это все еще не особенно полезно, но что мы можем сделать, так это факторизовать грех 𝑥. Мы идентифицируем наши два выражения, которые содержат грех 𝑥. И мы видим, что грех 𝑥 потому что ℎ минус грех 𝑥 теперь может быть записан как грех 𝑥, умноженный на потому что ℎ минус один.

Давайте немного разделим это. Разделим дробь и вспомним, что предел суммы двух функций равен сумме их соответствующих пределов. И затем мы замечаем, что sin 𝑥 и cos 𝑥 на самом деле не зависят от ℎ. Таким образом, мы можем взять как sin 𝑥, так и cos 𝑥 за пределы нашего предела. Далее мы помним, что для радиантных мер предел при приближении ℎ к нулю греха ℎ над ℎ равен единице. И предел, когда ℎ приближается к нулю, потому что ℎ минус один сверх ℎ, равен нулю. Итак, мы видим, что можем заменить один из наших пределов на ноль, а один из наших пределов на единицу. грех 𝑥, умноженный на ноль, равен нулю. Таким образом, весь этот термин исчезает. cos of 𝑥, умноженный на единицу, просто равен cos of 𝑥.

Таким образом, дифференцированием из первых принципов мы продемонстрировали, что 𝑓 простое число 𝑥 равно косинусу 𝑥. Производная от sin 𝑥 равна cos 𝑥. Теперь это результат, который следует выучить наизусть. Но также важно, чтобы вы могли следовать процессу дифференциации греха 𝑥 по первым принципам.

Теперь давайте повторим процесс для cos 𝑥.

Учитывая, что 𝑦 равно cos 𝑥, найдите d𝑦 по d𝑥 из первых принципов.

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать определение производной. Для некоторой функции 𝑓 от 𝑥 производная, которую можно назвать 𝑓 простым числом от 𝑥, но которая также может быть определена как d𝑦 через d𝑥, равна пределу, когда ℎ приближается к нулю от 𝑓 от 𝑥 плюс ℎ минус 𝑓 от 𝑥 по ℎ, где предел существуют. А ℎ равно 𝛿𝑥. Теперь мы собираемся позволить 𝑓 из 𝑥 быть равным cos из 𝑥. Таким образом, 𝑓 из 𝑥 плюс ℎ является результатом 𝑥 плюс ℎ. Таким образом, первая линия работы в нашем процессе дифференциации — это предел, когда ℎ приближается к нулю от cos от 𝑥 плюс ℎ минус cos от 𝑥 по всему ℎ. Затем мы вспоминаем тригонометрическое тождество, которое говорит, что cos 𝐴 плюс 𝐵 равно cos 𝐴, умноженному на cos 𝐵 минус грех 𝐴, умноженному на sin 𝐵. Итак, потому что 𝑥 плюс ℎ есть потому что 𝑥 потому что ℎ минус грех 𝑥 грех ℎ. Итак, мы можем переписать наш предел, как показано.

Наш следующий шаг — разложить cos на 𝑥. Мы замечаем, что у нас есть cos 𝑥 здесь и отрицательный cos 𝑥 здесь. Таким образом, числитель этого выражения становится потому, что 𝑥 умножить на cos ℎ минус один минус грех 𝑥 умножить на sin ℎ. Мы собираемся разделить это на две части и применить правила работы с лимитами. То есть предел суммы или разности двух функций равен сумме или разности соответствующих пределов. Мы также знаем, что мы можем записать, например, cos of 𝑥 умножить на cos ℎ минус единица на ℎ как cos на 𝑥 умножить на дробь cos ℎ минус единица на ℎ. Итак, наши пределы выглядят примерно так, но мы знаем, что cos 𝑥 и sin 𝑥 не зависят от ℎ.

Итак, мы берем тех, кто выходит за пределы. Таким образом, d𝑦 на d𝑥 равно 𝑥, умноженному на предел, когда ℎ приближается к нулю, потому что ℎ минус единица на ℎ минус грех на 𝑥, умноженному на предел, когда ℎ приближается к нулю греха ℎ на ℎ. А затем мы применяем следующие пределы, иногда называемые приближением малого угла, снова отмечая, что это работает только для измерения в радианах. Предел, когда ℎ приближается к нулю cos ℎ минус один сверх ℎ, равен нулю. Таким образом, первый член становится равным нулю. Тогда отрицательный грех 𝑥, умноженный на предел, когда ℎ приближается к нулю греха ℎ более одного, является отрицательным грехом 𝑥, умноженным на единицу, которая является просто отрицательным грехом 𝑥. Итак, мы видим, что для 𝑦 равно cos 𝑥, d𝑦 по d𝑥, которая является первой производной 𝑦 по 𝑥, является отрицательным sin 𝑥

Таким образом, для действительного числа 𝑥, заданного в радианах, первая производная от sin 𝑥 по 𝑥 равна cos 𝑥, а первая производная от cos 𝑥 по 𝑥 равна отрицательному sin 𝑥. Теперь они фактически образуют шаблон, так что производная от sin 𝑥 равна cos 𝑥. Дифференциация снова дает нам отрицательный грех 𝑥. Затем, когда мы дифференцируем это, мы получаем отрицательный cos 𝑥. И тогда еще одна производная возвращает нас к греху 𝑥. Учитывая, что интегрирование является обратным дифференцированию, мы также можем обратить этот шаблон при интегрировании.

Теперь формулы для производных синуса и косинуса можно обобщить на производные от sin 𝑎𝑥 и cos 𝑎𝑥. Производная от sin 𝑎𝑥 равна 𝑎 cos 𝑎𝑥, а производная от cos 𝑎𝑥 отрицательная 𝑎 sin 𝑎𝑥. Мы можем даже рассмотреть общие формулы, и они справедливы для целых значений 𝑘. Аналогичный набор формул применяется для производной cos от 𝑥.

А как насчет производной функции тангенса? Что ж, мы собираемся применить тождество, которое связывает тангенс 𝜃 с грехом 𝜃 и соз 𝜃. И мы собираемся использовать частное правило. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Оценить скорость изменения 𝑓 из 𝑥 равно тангенсу пяти 𝑥 при 𝑥 равно 𝜋.

Помните, когда мы думаем о скорости изменения функции, нас действительно интересует ее производная. Итак, мы на самом деле собираемся дифференцировать тангенс пяти 𝑥, а затем оценить эту производную, когда 𝑥 равно 𝜋. Мы начнем с перезаписи тангенса 𝑥 и будем использовать тождество тангенса 𝑥 равно sin 𝑥 по сравнению с cos 𝑥. Таким образом, наш 𝑓 из 𝑥, который является тангенсом пяти 𝑥, может быть записан как грех пяти 𝑥 по сравнению с cos пяти 𝑥. А затем, чтобы найти производную этой рациональной функции, мы собираемся вспомнить правило отношения. Это говорит о том, что производная по 𝑥 частного двух дифференцируемых функций 𝑢 по 𝑣 определяется как 𝑣, умноженное на d𝑢 на d𝑥 минус 𝑢, умноженное на d𝑣 на d𝑥 по всему 𝑣 в квадрате.

Итак, чтобы использовать это, пусть 𝑢 будет равно sin пяти 𝑥, это числитель, а 𝑣 будет равно cos пяти 𝑥; это знаменатель. Нам, конечно, потребуется найти производную каждой из этих функций по 𝑥. И, конечно же, мы знаем, что производная sin 𝑎𝑥 есть 𝑎 cos 𝑎𝑥. Таким образом, производная от sin пяти 𝑥 должна быть пятью cos от пяти 𝑥. Затем, когда мы дифференцируем cos 𝑎𝑥 по 𝑥, мы получаем отрицательный 𝑎 sin 𝑎𝑥. Таким образом, производная от 𝑣 по отношению к 𝑥 равна пяти минусам от пяти 𝑥. Таким образом, мы подставляем все это в нашу формулу для частного правила. У нас есть 𝑣 раз d𝑢 на d𝑥 минус 𝑢 раз d𝑣 на d𝑥 по всему 𝑣 в квадрате.

Но затем мы видим, что мы можем переписать числитель как пять cos в квадрате пять 𝑥 плюс пять sin в квадрате пять 𝑥. А затем мы выносим пятерку из числителя. И это действительно полезно, потому что у нас есть тригонометрическое тождество, которое мы можем использовать. Мы знаем, что квадрат косинуса 𝑥 плюс квадрат греха 𝑥 равен единице. Таким образом, косинус в квадрате пять 𝑥 плюс грех в квадрате пять 𝑥 также должен быть равен единице. Таким образом, это становится пятью в квадрате пяти 𝑥. Но мы используем еще одно тождество, чтобы переписать это. Один сверх cos 𝑥 равен sec 𝑥, поэтому один больше cos в квадрате 𝑥 также должен быть равен sec в квадрате 𝑥. Итак, пять на кос в квадрате пять 𝑥 можно записать как пять секунд в квадрате пять 𝑥. Итак, это производная от загара пяти 𝑥.

Помните, мы хотели оценить это как 𝑥 равно 𝜋. Таким образом, 𝑓 простое число 𝜋 равно пяти секундам в квадрате 𝜋. Но сек в квадрате пять 𝜋 это один. Таким образом, мы просто получаем пять. Таким образом, скорость изменения 𝑓 из 𝑥 равна тангенсу пяти 𝑥 при 𝑥 равна 𝜋 равна пяти.

Фактически, теперь мы можем обобщить результат дифференцирования загара пяти 𝑥. Производная тангенса 𝑥 по 𝑥 равна секундам в квадрате 𝑥. А производная тангенса 𝑎𝑥 для вещественных констант 𝑎 по отношению к 𝑥 равна 𝑎 сек в квадрате 𝑎𝑥. Теперь, конечно, когда мы продифференцировали sin 𝑥 и cos 𝑥, мы действительно сказали, что эти результаты верны для измерения в радианах. Итак, поскольку мы используем эти результаты для дифференцирования тангенса пяти 𝑥, мы знаем, что это применимо только для меры в радианах. Теперь, как и в случае с производными синуса и косинуса, важно знать этот результат наизусть, но также быть готовым вывести его при необходимости.

Сейчас мы рассмотрим пример применения этих производных.

Если 𝑦 равно 𝑥 в пятой степени, умноженной на грех пяти 𝑥, определите d𝑦 по d𝑥.

Здесь у нас есть функция, которая сама является произведением двух дифференцируемых функций. И поэтому мы собираемся использовать правило продукта, чтобы дифференцировать его. Это говорит о том, что если 𝑢 и 𝑣 являются дифференцируемыми функциями, производная их произведения равна 𝑢 умножить на d𝑣 на d𝑥 плюс 𝑣 умножить на d𝑢 на d𝑥. Итак, мы начнем с определения 𝑢 и 𝑣. Теперь умножение коммутативно, что означает, что на самом деле не имеет значения, каким образом мы их определяем. Пусть 𝑢 будет равно 𝑥 в пятой степени, а 𝑣 будет равно греху пяти 𝑥. Тогда d𝑢 на d𝑥, производная от 𝑥 в пятой степени по отношению к 𝑥 равна пяти 𝑥 в четвертой степени.

А поскольку мы знаем, как дифференцировать sin от 𝑎𝑥, мы получаем 𝑎 cos 𝑎𝑥. Производная от sin пяти 𝑥 равна пяти cos от пяти 𝑥. И поэтому подставляем это в формулу. И мы получаем 𝑢, умноженное на d𝑣 на d𝑥, равное 𝑥 в пятой степени, умноженное на пять, потому что пять 𝑥 плюс 𝑣, умноженное на d𝑢 на d𝑥. А это грех пять 𝑥 умножить на пять 𝑥 в четвертой степени. Итак, мы видим, что d𝑦 на d𝑥 равно пяти 𝑥 в пятой степени, потому что пять 𝑥 плюс пять 𝑥 в четвертой степени sin пять 𝑥.

Мы рассмотрим последний пример, который включает в себя небольшие манипуляции.

Если 𝑦 равно двум грехам семи 𝑥 плюс два коса семи 𝑥 в квадрате, найдите d𝑦 по d𝑥.

Ответить на этот вопрос можно несколькими способами. Мы могли бы, например, заметить, что 𝑦 — составная функция, и использовать цепное правило. Мы также могли бы записать это как произведение двух функций и использовать правило произведения. В качестве альтернативы мы можем упростить его, если воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами. Давайте начнем с того, что вынесем два из скобок, помня, конечно, что в процессе нам нужно возвести их в квадрат. Далее, давайте распределим наши скобки. грех семь 𝑥 плюс кос семь 𝑥 в квадрате равно грех семь 𝑥 плюс кос семь 𝑥 умножить на грех семь 𝑥 плюс кос семь 𝑥. И это равно греху в квадрате семь 𝑥 плюс два грех семь 𝑥 потому что семь 𝑥 плюс потому что в квадрате семь 𝑥. Конечно, два в квадрате также равны четырем.

Затем мы используем тригонометрическое тождество: грех в квадрате 𝑥 плюс косинус в квадрате 𝑥 равно единице. И мы применяем его к сумме квадрата греха семь 𝑥 и квадрата косинуса семь 𝑥. Это тоже одно. Итак, мы перепишем выражение в скобках, чтобы получить один плюс два с грехом из семи 𝑥 cos из семи 𝑥. Вы замечаете здесь другую личность? На самом деле мы можем использовать инверсию тождества двойного угла. грех двух 𝑎 есть два греха 𝑎 потому что 𝑎. Итак, пусть 𝑎 будет равно семи 𝑥. И это говорит нам о том, что два греха из семи 𝑥, потому что семь 𝑥 равны греху, умноженному на два на семь 𝑥, что является грехом 14𝑥.

Теперь мы можем довольно легко это отличить. Мы будем использовать тот факт, что производная по 𝑥 от sin 𝑎𝑥 равна 𝑎 cos 𝑎𝑥. И мы собираемся использовать тот факт, что мы можем брать константы вне производной, и сосредоточиться на дифференцировании функции самого 𝑥. Таким образом, d𝑦 на d𝑥 будет в четыре раза больше производной от одного плюс грех 14𝑥.