§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)
П р а в и л о вычисления производной сложной функции. Для нахождения производной сложной функции y = f( (x)) следует производную данной функции по промежуточному аргументу yu = f (u)
умножить на производную ux = (x) промежуточного
аргумента по независимому аргументу.
З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = (v), v = (x), то
yx = fx (u(v(x))) = yu uv vx (x).
П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3×2 + 1)2. Решение: По правилу дифференцирования сложной
функции имеем: y = ((3×2 + 1)2) = 2 (3×2 + 1) (3×2 + 1) = = 2 (3×2 + 1) 3 (x2) = 2 (3×2 + 1) 3 2 x = 12x (3×2 + 1).
Ответ: y = ((3×2 + 1)2) = 12x (3×2 + 1).
§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)
Т е о р е м а 7. Если функция y = f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет отличную от нуля производную f (x) в каждой точке x (a; b), то обратная ей функция x = (y) также имеет производную (y) в соответствующей точке, равную: (y) = , или xy = .
Доказательство: Рассмотрим обратную функцию x =(y). Дадим аргументу y приращение y 0. Ему соответствует приращение x обратной функции, причем x 0 в силу строгой монотонности «прямой» функции y = f(x). Поэтому = (*).
Если y 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение x 0. И так как = f (x) 0, то из
(*) имеем:
(y) = = = , или xy = , ч.т.д.
§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)
П р а в и л о вычисления производной обратной функции. Производная обратной функции равна
обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают также как
yx = ,или = .
П р и м е р 5. Найти производную данной функции y = f(x) и функции, обратной к данной: y = = (x 1)1/3.
Решение: Функция f(x) является строго монотонно возрастающей. Для вычисления обратной функции достаточно выразить x из уравнения y = f(x): x = (y) = y3 + 1. Тогда xy = 3y2. Следовательно, yx = = = .
Ответ: xy = 3y2 и yx = (x 1) 2/3.
§6. Производные основных элементарных функций
Степенная функция y = xn, n N. Вычисление производной: Заметим, что
согласно биному Ньютона
(x + x)n = xn + nxn 1 x + xn 2( x)2 + … +
+ xn k ( x)k + … + ( x)n.
Тогда y = (xn) = = nxn 1.
З а м е ч а н и е. Результат может быть обобщен на случай произвольных показателей степени k R. Вообще:
y = (xk) = kxk 1, k R. Вычисление производной: По определению
y = (xk) = = xk 1 =
= {t = x/x} = xk 1 = kxk 1.
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
| Показательная функция y = ax, a > 0, a 1. |
Вычисление производной:
1. Вычислим вначале производную функции y = ex:
y = (ex) = = ex = ex.
Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела:
=1.
2.Вычислим производную показательной функции y = ax при произвольном основании a >
0, a 1, как сложной функции, заметив, что ax =
ex lna:
y = (ax) = (ex lna) = ex lna (x lna) = ax lna.
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
Логарифмическая функция y = logax, a > 0,
a 1.
Вычисление производной:
1. Вычислим вначале производную функции y = lnx:
y = (lnx) = = = = .
Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела:
= 1.
2. Вычислим теперь производную логарифмической функции y = logax при
произвольном основании a > 0, a 1, как сложной функции, заметив, что logax = :
y = (logax) = () = (lnx) = .
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
Тригонометрические функции: y = sin x, y
= cos x, y = tg x, y = ctg x.
Вычисление производной:
1. Найдем производную функции y = sin x по
определению:
y = (sin x) = = =
= = 1 cos x = cos x.
Здесь мы воспользовались 1-ым замечательным пределом:
=1.
2.Вычислим производную функции y = cos x, как
сложной функции, заметив, что y = cos x = : y = (cos x) = () = () = sin x.
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
3. Найдем производную функции y = tg x как
производную частногo: y = (tg x) = () = =
= = .
Здесь мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством:
sin2 x + cos2 x = 1.
4. Аналогично вычислим производную функции y = ctg x:
y = (сtg x) = () = =
= = .
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Вычисление производной:
1. Найдем производную функции y = arсsin x (x
[-½ ; ½ ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = sin y (y
[ 1; 1]):
y = yx = (arcsin x) = = = = .
2. Найдем производную функции y = arсcos x (x
[0; ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = cos y (y
[ 1; 1]):
y = yx = (arccos x) = = = = .
§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)
3.
Найдем производную функции y = arсtg x (x
[-½ ; ½ ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = tg y (y [ ;
]):
y = yx = (arctg x) = = cos2 y = = . 4. Совершенно аналогично вычисляется
производная функции y = arcctg x (x [0; ]): y = (arcctg x) = .
П р и м е р 6. Найти производные данных функций: а) y = esinx; б) y = arcsin; в) y = (1 +
x2) 1/3.
а) y = (esinx) = esinx cos x;
б) y = (arcsin) = () = = x 2/3 = ;
в) y = ((1 + x2) 1/3) = (1 + x2) 4/3 2x = .
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х9x: Доказательство по первому принципу, Правило продукта от Nibedita Присоединяйтесь к нашему каналу TelegramПроизводная от xe x равна (x+1)e x . Обратите внимание, что xe x является произведением двух функций x и e x . В этом посте мы найдем производную xe x по первому принципу и правилу произведения производных.Содержание Производное от xex ФормулаФормула для производной xe x определяется как d(xe x )/dx = e x + xe x . Здесь дифференцирование ведется по переменной x. В следующих разделах мы найдем производную произведения xe x , используя следующие методы:
Производное от xex по правилу продукта Правило произведения используется для нахождения производной произведения функций. Поскольку xe x является произведением x и e x , можно использовать правило произведения для вычисления производной xe x . (uv)$’$ = u v$’$ + v u$’$. Здесь штрих обозначает производную по x. Поместите u=x и v=e x . Тогда по приведенному выше правилу произведения производная xe 9x(x)’$ = xe x + e x ⋅ 1 = xe x + e x = (x+1)e x 90 производная от 609 xe x по правилу дифференцирования произведения равно (x+1)e x . Производная xex по первому принципуПусть f(x) =xe x . Тогда по первому принципу производных, то есть по предельному определению, производная от xe x равна 9{x+0}$ = xe x ⋅ 1 + e x , поскольку предел (e x -1)/x равен 1, когда x → 0, = xe x +e x Итак, производная от xe x по первому принципу равна e x +xe x . |
По правилу произведения производная от uv определяется формулой: