Производная сложной функции как решать: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

Содержание

Производная сложной функции - примеры решений

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;   ;   ;   ;   .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 2

Найти производную

.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение

.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Найдите производную функции
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

      Пример 1. Найти производную функции

y = cos 2x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   = 2,   = 0,   получим

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

(cos 2x)' = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

      Перепишем верный ответ еще раз:

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Приведем также верные ответы в похожих примерах:

      Пример 2. Найти производную функции

y = sin3x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда   (x) = sin x ,   а   = 3,   получим

Ответ:

      Пример 3. Найти производную функции

y = (3x – 7)5 .

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   = 3,   = – 7,   а   = 5,   получим

y' = 15(3x – 7)4 .

Ответ:

      Пример 4 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

,

то исходную функцию можно переписать в виде

      Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда

,

а   = 8,   получим

Ответ:

      Пример 5 . Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   = 3,   = 0,   получим

Ответ:

.

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   = 5,   = 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   = 3,   = 2,   = 0,   получим

Ответ:

      Пример 7 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e

 f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   = 7,   = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Производная сложной функции.

Инструкционная карта № 19

Тақырыбы/ Тема: «Производная сложной функции».

Мақсаты/ Цель:

1.Обеспечить усвоение учащимися умения применять формулы дифференцирования сложной функции и вычисления этой производной при решении упражнений и заданий.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

Теоретический материал:

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим на правило дифференцирования сложной функции: 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   будем называть внешней функцией, а функцию  – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Эти неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1. Найти производную функции: 

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция  – это сложная функция, причем многочлен  является внутренней функцией (вложением), а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде  понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого будем использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения  при  (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен  и будет внутренней функцией :
 
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из предыдущего урока  мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции  (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция  не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что 

Результат применения формулы  в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Готово.

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2. Найти производную функции:  у'=(cos2x)'=-sin2x(2x)’=-2sin2x.

Пример 3. Найти производную функции:  Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения  при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен  – и есть внутренняя функция:


И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция  у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4. Найти производную функции:  у'= -(х2-1)'= - = - .

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5 а) Найти производную функции: 

б) Найти производную функции: 

Пример 6. Найти производную функции: 

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово.

Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7. Найти производную функции:

y’=(1+ = - .

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8. Найти производную функции:

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. 
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово.

Пример 9. Найти производную функции: 

y’= - (arcos x)’ = - =.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10. Найти производную функции: 

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение  с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу  сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение  , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11. Найти производную функции: 

y’=2ln(2x-1)(ln(2x-1)’=2ln(2x-1)(2x-1)’ =2ln(2x-1)2=

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12. Найти производную функции: 

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13 Найти производную функции: 

y’=( =

= + ctgx.

Практическая часть:

1 вариант

Найти производную сложной функции:

2 вариант

Найти производную сложной функции:

3 вариант

Найти производную сложной функции:

4 вариант

Найти производную сложной функции:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y=(x2-5x+8)6.

y= .

у = lg(5x2+1) .

y= .

3(e) .

y=ln .

y=tg(2x2+1) .

y=ln .

y=ln2(x2-1).

y=cos.

y=sin3mx .

y=arccos .

y=e, найти: y’().

y=sin, найти: y’().

y=3, найти: у’(1) .

у = (7-6х)12, найти: у'(1).

Контрольные вопросы:

  1. Дайте определение сложной функции.

  2. Как находится производная сложной функции? Пояснить ответ на примере.

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь  изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись  . Здесь у нас две функции –   и  , причем функция  , образно говоря, вложена в функцию  . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   я буду называть внешней функцией, а функцию   – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции 

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение  , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция   – это сложная функция, причем многочлен   является внутренней функцией (вложением), а   – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде   понятно, что под синус вложен многочлен  . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения   при   (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие:  , поэтому многочлен   и будет внутренней функцией  :   Во вторую очередь нужно будет найти  , поэтому синус – будет внешней функцией: После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции  .

Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции   (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что  . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция   не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что 

Результат применения формулы   в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пример 3

Найти производную функции 

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения   при  . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:  , значит, многочлен   – и есть внутренняя функция: И, только потом выполняется возведение в степень  , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле  , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:  . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции  , внутренняя функция   у нас не меняется: Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции 

б) Найти производную функции 

Пример 6

Найти производную функции 

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени  . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции  :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного  , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции 

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного  , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.  Используем наше правило  :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила  , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции 

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение   с помощью подопытного значения  . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти  , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат  :

И, наконец, семерку возводим в степень  : То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу   сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение   , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции 

Сначала используем правило дифференцирования суммы  , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу  :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило  :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции  ,  . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно. А пока запишем подробно, согласно правилу  , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила   применяем правило  .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2: 

Пример 4:  Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7: 

Пример 9: 

Пример 11: 

Пример 13: 

Производная сложной функции - алгебра, уроки

Урок № 19 Дата:

ТЕМА: Производная сложной функции

Цели урока:

образовательная:

  • формирование понятия сложной функции;

  • формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

  • отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении задач.

развивающая:

  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

  • развивать наглядно-действенное творческое воображение;

  • развивать познавательный интерес.

  • способствовать формированию умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

воспитательная:

  • воспитывать ответственное отношение к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

Обучающийся должен знать:

  • правила и формулы дифференцирования;

  • понятие сложной функции;

  • правило нахождения производной сложной функции.

Обучающийся должен уметь:

  • вычислять производные сложных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования;

  • применять полученные знания к решению задач.

Тип урока: урок рефлексия.

Обеспечение урока:

  • презентация; таблица производных; таблица Правила дифференцирования;

  • карточки – задания для индивидуальной работы; карточки – задания для проверочной работы.

Оборудование:

ХОД УРОКА:

1. Организационный момент (1 мин).

Вступление

Готовность класса к работе.

Общий настрой.

2. Мотивационный этап (2-3 мин).

(Покажем сами себе, что мы готовы с уверенностью постигать знания, которые нам могут пригодиться!)

- Ответьте мне, какое домашнее задание вы выполнили на этот урок? (на прошлом уроке было задано изучить материал по теме «Производная сложной функции» и как результат составить конспект).

- Какими источниками вы пользовались при изучении данной темы? (видеофильм, учебник, дополнительная литература).

- Какой дополнительной литературой вы воспользовались? (литература из библиотеки).

Таким образом темой урока является …? («Производная сложной функции»)

Открываем тетради и записываем: число, классная работа, и тему урока. (Слайд 1)

Исходя из темы, давайте обозначим цели и задачи урока (формирование понятия сложной функции; формирование умения находить по правилу производную сложной функции; отработать алгоритм применения правила нахождения производной сложной функции при решении задач).

3. Актуализация знаний и осуществление первичного действия (7-8 мин)

Переходим непосредственно к достижению целей урока.

Сформулируем понятие сложной функции (функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f и g, где f – внешняя функция и g - внутренняя) (Слайд 2)

Рассмотрим Задание 1: Найти производную функции у = (х2 +sin x)3 (запись на доске)

Данная функция является элементарной или сложной? (сложной)

Почему? (т.к. аргументом служит не независимая переменная х, а функция х2+sinx этой переменной).

Как прочитать эту функцию? (функция суммы тригонометрической и степенной функций в кубе).

Для нахождения производной данной функции необходимо знание основных формул производной элементарных функций и знание правил дифференцирования. Вспомним их, проведя диктант: (Слайд 3)

1) С=0; 2) (xn) = nxn-1; ; 4) ax = ax ln a; 5)

6) 7)

8)

Результат диктанта проверяется (Слайд 4)

Выберем из таблицы производных и правил дифференцирования те, которые нужны для решения данного задания и запишем их в виде схемы на доске.

4. Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения (4 мин)

Решим пример 1 и найдем производную функции y = ((х2 +sin x)3)

Какие же формулы нужны для решения задания? ((xn) = nxn-1;

)

Работа у доски:

(х2 +sin x)3 = U;

y = (U3) = 3 U2 U`=3(х2 +sin x)2(+cos x)

Можно заметить, что без знания формул и правил невозможно взять производную сложной функции, но для правильного расчета нужно видеть в дифференцировании основную функцию.

5. Построение плана по разрешению возникших затруднений и его реализация (8 - 9 мин)

Выявив затруднения, давайте построим алгоритм нахождения производной сложной функции: (Слайд 5)

Алгоритм:

1. Определить внешнюю и внутреннюю функции;

2. Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере

Задание 2: Найти производную функции:

1. Определяем внешнюю и внутреннюю функции:

При упрощении получаем: (5-4х) = U,

т.е. ;

2. Находим производную по ходу чтения функции:

у = =

Задание 3: Найти производную функции:

1. Определяем внешнюю и внутреннюю функции:

у = 4U – показательная функция

2. Находим производную по ходу чтения функции:

у= =

6. Обобщение выявленных затруднений (4 мин)

Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

Поэтому обобщая наши знания, решение следующего задания посвятим связи с физическими явлениями (у доски по желанию)

Задание 4:

При электромагнитных колебаниях, возникающих в колебательном контуре, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = q0 cos ωt, где q0-амплитуда колебаний заряда на конденсаторе. Найти мгновенное значение силы переменного тока I.

Решение:

= - . Если добавить начальную фазу, то по формулам приведения получим - .

7. Осуществление самостоятельной работы (6 мин)

Ученики выполняют тестирование по индивидуальным карточкам в тетради. Одного ответа не достаточно, должно быть и решение. (Слайд 6)

Карточки «Самостоятельная работа к уроку № 19»

Критерии оценки: “3 ответа” - 3 балла; “2 ответа” - 2 балла; “1 ответ” - 1 балл

Ключи ответов (Слайд 7)

задания

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

ответ

ответ

ответ

ответ

1

Б

Б

В

А

2

Б

В

В

Б

3

А

Б

В

В

После проверки (Слайд 8)

8. Реализация плана по разрешению возникших затруднений (6 - 7 мин)

Ответы на вопросы учеников по затруднениям, возникшим в ходе самостоятельной работы, обсуждение типичных ошибок.

Примеры - задания для ответа на возникшие вопросы***:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

9. Домашнее задание (2 мин) (Слайд 9)

Решить индивидуальное задание по карточкам-заданиям.

Выставление оценок по итогам работы.

10. Рефлексия (2 мин)

«Хочу спросить»

Учащийся задает вопрос, начиная со слов «Хочу спросить…». На полученный ответ сообщает свое эмоциональное отношение: «Я удовлетворен….» или «Я не удовлетворен, потому что …».

По ответам учеников подвести итоги, выяснив при этом, достигнуты ли были цели урока.

Урок 11. правила дифференцирования - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • разбор основных правил дифференцирования функций;
  • примеры вычисления производной линейной функции;
  • правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))'=cf ' (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) '=f '(g(x))·g' (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

Решение:

f(x)=8x3+3x2-x

f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x3) '=8(x3) '=8·3x2=24x2

(3x2) '=3(x2) '=3·x=6x

(-x) '=-(x) = -1

f' (x)=(8x3) '+(3x2) '-x'=24x2+6x-1.

Ответ: f' (x)=24x2+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f' (x)=(3х-4) ' (4-5х) + (3х-4)(4-5х) '=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f' (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)2

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F' (x)=((2x-1)²) '·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F' (x)=8x-4.

{\, ​​# 1}} \ newcommand {\ u} {\ Big (\! \ sin x \ cos \ l \ e {3z} \ r + \ cos x \ sin \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ cosh y} \ newcommand {\ v} {\ Big (\! \ cos x \ cosh \ l \ e {3z} \ r- \ sin x \ sinh \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ sinh y} $ ПОДСКАЗКА : Представьте свою комплексную функцию $ f $ как действительную и мнимую составляющие.


Напомним, что комплексные производные по $ z = x + \ i y $ и $ \ z = x - \ i y $ определяются как: $$ \ frac {\ partial} {\ partial z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} - \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно), \ quad \ frac {\ partial} {\ partial \ z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно).

$

Действительно,
$$ \ begin {case} г = х + \ я у, \\ \ z = х - \ я у \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} х = \ гидроразрыва {1} {2} \ l z + \ z \ r, \\ у = \ гидроразрыва {1} {2i} \ l z - \ z \ r \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2}, & \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2}, \\ \ frac {\ partial {y}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2i}, & \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = - \ frac {1} {2i}. \\ \ end {case} $$ Следовательно $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} + \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

$

Любую сложную функцию $ \ f: \ Bbb Z \ to \ Bbb Z $ можно записать как $$ е \ влево (г \ вправо) = е \ влево (х, у \ вправо) = и \ влево (х, у \ вправо) + \ я v \ влево (х, у \ вправо), $$ где $ u = \ Re \ left (f \ right) $ и $ v = \ Im \ left (f \ right) $ - действительные функции, которые являются действительной и мнимой составляющими $ f $ соответственно.{3z} \ right) \, $ действительная и мнимая компоненты $ u $ и $ v $ могут быть вычислены следующим образом: $$ \ begin {выровнено} \ sin z & = \ sin \ l \ xy \ r = \ sin \ l x \ r \ cos \ l \ y \ r + \ cos \ l x \ r \ sin \ l \ y \ r = \\ & = \ sin x \ cosh y + \ i \ cos x \ sinh y, \\ \ e {z} & = \ e {\ xy} = \ e x \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big), \\ z + \ e {3z} & = \ xy + \ e {3x} \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big) = х \ е {3х} \ соз у + \ я \ л у + \ е {3х} \ грех у \ г. \ end {выровнен} $$ Обозначая $ \ \ R: = x \ e {3x} \ cos y $ и $ \ I: = y + \ e {3x} \ sin y, \, $, мы пишем $$ \ begin {выровнено} f \ l z \ r & = f \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ sin \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ underbrace {\ sin \ R \ cosh \ I} _ {: = u} + \ i \ underbrace {\ cos \ R \ sinh \ I} _ {: = v} \ end {выровнен} $$ Следовательно $$ f \ l z \ r = f \ l \ xy \ r = u \ l x, y \ r + \ i v \ l x, y \ r, \ \ \ text {где} \ \ \ \ begin {case} u \ l x, y \ r = \ sin \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ cosh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \\ v \ l x, y \ r = \ cos \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ sinh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \ end {case} $$ Напоследок пишем $$ \ bbox [5pt, граница: 2pt, сплошной # FF0000] {\ е \ л х, у \ г = \ sin \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ ch \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r + \ i \ cos \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ sinh \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r \ }

$

Надеюсь, вы сможете выбрать его отсюда и вычислить производную $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

$

10.1 Производные комплексных функций

10.1 Производные комплексных функций
Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

Вы знакомы с производными функций от к , и с Мотивация определения производной как наклона касательной к кривой. Для сложных функций геометрическая мотивация отсутствует, но определение формально то же, что и определение производных действительных функций.

По определению предела можно сказать, что дифференцируемо в если , и является предельной точкой и существует функция такой которая непрерывна при, и такой, что

(10.2)

и в этом случае равно.

Иногда полезно перефразировать условие (10.2) следующим образом: является дифференцируемый в если , является предельной точкой , и есть функция такая, что непрерывна в точке, и

(10.3)

В таком случае, . 10,4 Замечание. Непосредственно из (10.3) следует, что если дифференцируема в точке, тогда непрерывна при.

Доказательство. Поскольку в точке дифференцируемы, существуют функции , такой, что, непрерывны при, а




Это следует из того

и непрерывна при.

Мы можем позволить и мы видим дифференцируемо при и

Доказательство: доказательство предоставляется вам.

Доказательство: согласно нашим предположениям, существуют функции


такая, что непрерывна в точке, непрерывна в точке и

Если , потом , поэтому мы можем заменить в (10.15) с помощью, чтобы получить

Используя (10.14) для переписывания, получаем

Следовательно, мы имеем

и непрерывна при. Следовательно, дифференцируемо в и

Доказательство: если , мы видели выше, что это дифференцируемый и . Позвольте быть комплексной функцией, и позволять .Предположим, дифференцируем в, и. Затем . По цепному правилу дифференцируем в, и




Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

Дифференцирующие комплексные экспоненты

Теперь напишем e zt = u ( t ) + iv ( t ), где u и v равны реальные функции.
Тогда имеем:

u '+ iv ' = ze zt = ( a + ib ) ( u + iv ) = au - bv i + av + bu ).


Получаем пару реальных уравнений:

u '' - au '= au ' - bv '- a ( au - bv )


= au '- b ( av + bu ) - a ( au - bv ) = au '- ( a 2 + b 2 ) ( u ),


u '' - 2 au '+ ( a 2 + b 2 ) u = 0.


Аналогично у нас есть:

v '' - 2 av '+ ( a 2 + b 2 ) v = av ' + bu '- 2 av ' + ( a 2 + b 2 ) v


= b ( au - bv ) - a ( av + bu ) + ( a 2 + b 2 ) v = 0.


Таким образом, как действительная, так и мнимая части e zt являются решениями вещественное дифференциальное уравнение второй степени:

y '' - 2 ay '+ ( a 2 + b 2 ) y = 0.


В формате z это:

Мы можем напрямую проверить, что y = Ae zt подчиняется этому уравнению, для A любая комплексная константа.
Если y = Ae zt , тогда y '= Aze zt и y '' = Az 2 e zt , получаем:



Этому же уравнению подчиняется комплексное сопряжение Ae zt и затем складывая решение и его комплексное сопряжение, получаем действительное решение уравнения:

И наоборот, мы можем показать, что это общее решение при условии z не реально.
Предположим, что y удовлетворяет: .
Положить y '- zy = w .
Тогда:

Так и , для некоторых постоянный В .
Так .
Положить y = e zt x , для некоторой функции x .
Тогда .
Так .
Теперь два случая: Наконец, чтобы y были реальными, нам нужно .
Мы показали, что общее действительное решение уравнения y '- 2 ay ' + ( a 2 + b 2 ) y = 0 является , куда z = a + ib .

Использование правила цепочки для различения сложных функций - видео и стенограмма урока

Понимание правила цепочки

Чтобы вычислить эту и другие более сложные производные, вам необходимо знать правило цепочки . Цепное правило используется для связывания частей уравнений вместе или для дифференцирования сложных уравнений, таких как вложенные уравнения . Итак, если у вас есть f (x) , а эта функция действительно g (h (x)) , у вас есть функция внутри другой функции.2.

Правило цепочки на самом деле довольно простое: используйте его всякий раз, когда вы видите круглые скобки. Иногда вы будете использовать его, когда скобок нет, но они подразумеваются. Но практическое правило состоит в том, что когда вы видите круглые скобки, вы собираетесь использовать правило цепочки. Чтобы применить это, возьмите производные извне внутрь. Итак, если у вас есть f (x) = g (h (x)) , то вы собираетесь дифференцировать внешнюю функцию. Затем вы умножите его на производную внутренней функции.2 - тогда у нас действительно две функции. Наша первая функция - это квадратные скобки, а наша вторая функция - это то, что внутри, 2 x - 4.

Во-первых, я на секунду проигнорирую внутреннюю часть и назову ее просто «круглые скобки в квадрате». Я возьму производную от скобок в квадрате, которая будет в 2 раза больше, чем указано в скобках. Затем мне нужно умножить это на производную от того, что указано в скобках. Итак, если я вставлю то, что указано в скобках, 2 x -4, у меня будет 2 (2 x -4) * d / dx (2 x -4).2) равно (2 ( x + 2) * d / dx ( x + 2)). Производная от x + 2 равна 1, и затем я могу упростить, когда отработаю все скобки. Это также относится к таким примерам, как f (x) = cos (3 x ). f` (x) равно производной внешней, -sin (3 x ), умноженной на производную внутренней (производная 3 x равна всего 3).

Используя стратегию работы извне внутри
f` (x) x f (x) e x f` (x) e x

Резюме урока

Уловка с правилом цепочки - пробраться внутрь.Обычно используется, когда у вас есть круглые скобки. Итак, если вы хотите найти f` (x) , когда f (x) = g (h (x)) , вы сначала собираетесь найти производную внешнего вида - производную g , g` (h (x)) - и вы собираетесь умножить его на внутреннюю производную, h` (x) .

Производная со сложным шагом - Graduate Descent

Оцените производные, просто передав комплексное число в вашу функцию!

$$ f '(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Напомним, приближение центрированной разности - довольно точный метод для аппроксимирующих производных функции одной переменной \ (f \), что требует только двух оценки функций. 3} {3!} f '' '(x) + \ cdots

$


Возьмите мнимую часть обеих частей и решите относительно \ (f '(x) \).2} {3!} F '' '(x) + \ cdots

$


Как обычно, с помощью маленького \ (\ varepsilon \) выбросим старшие условия. И мы приходим к следующему приближению:

$$ f '(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Если вместо этого мы возьмем действительную часть и решим для \ (f (x) \), мы получим приближение к значению функции в \ (x \):

$$ f (x) \ приблизительно \ text {Re} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Другими словами, вычисление одной (сложной) функции вычисляет как значение функции и производная.

Код :

  def complex_step (f, eps = 1e-10):
    "" "
    Функция высшего порядка принимает одномерную функцию, которая вычисляет значение и
    возвращает функцию, которая возвращает приближение пары значение-производная.
    "" "
    def f1 (x):
        y = f (complex (x, eps)) # преобразовать ввод в комплексное число
        return (y.real, y.imag / eps) # возвращаем значение функции и градиент
    вернуть f1
  

Простой тест:

  f = лямбда x: exp (x) + cos (x) +10 # функция
g = лямбда x: exp (x) -sin (x) # градиент
х = 1.0
печать (f (x), g (x))
печать complex_step (f) (x)
  

Прочие комментарии

  • Использование комплексно-пошагового метода для оценки градиентов многомерного функции требует независимых приближений для каждого измерения Вход.

  • Хотя комплексно-ступенчатое приближение требует только одной функции оценка, вряд ли это быстрее, чем выполнение двух оценок функций потому что операции над комплексными числами обычно намного медленнее, чем над числами с плавающей запятой или удваивается.

Код : Проверьте суть для этого сообщения.

Исчисление I - Неявное дифференцирование

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-10: Неявная дифференциация

К этому моменту мы сделали довольно много производных, но все они были производными функций вида \ (y = f \ left (x \ right) \).К сожалению, не все функции, которые мы собираемся рассмотреть, попадут в эту форму.

Давайте взглянем на пример такой функции.

Пример 1 Найдите \ (y '\) для \ (xy = 1 \). Показать решение

На самом деле есть два метода решения этой проблемы.

Решение 1:

Это простой способ решить проблему. Просто решите для \ (y \), чтобы получить функцию в форме, с которой мы привыкли иметь дело, а затем дифференцируйте.2}}} \]

Итак, это сделать достаточно просто. Однако есть некоторые функции, для которых это невозможно. Вот где в игру вступает второй метод решения.

Решение 2:

В этом случае мы собираемся оставить функцию в той форме, которую нам дали, и работать с ней в этой форме. Однако давайте вспомним из первой части этого решения, что если бы мы могли решить для \ (y \), то мы получили бы \ (y \) как функцию от \ (x \).Другими словами, если бы мы могли решить для \ (y \) (как мы могли бы в этом случае, но не всегда сможем это сделать), мы получим \ (y = y \ left (x \ right) \). Давайте перепишем уравнение, чтобы это отметить.

\ [xy = x \, y \ left (x \ right) = 1 \]

Будьте осторожны и заметьте, что когда мы пишем \ (y \ left (x \ right) \), мы не имеем в виду \ (y \) раз \ (x \). Здесь мы отмечаем, что \ (y \) является некоторой (возможно, неизвестной) функцией от \ (x \). Об этом важно помнить при выполнении этой техники решения проблем.

Следующим шагом в этом решении является дифференцирование обеих сторон относительно \ (x \) следующим образом:

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({x \, y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (1 \ right) \ ]

Правая сторона легкая. Это просто производная от константы. Левая сторона также проста, но мы должны признать, что на самом деле у нас есть продукт, \ (x \) и \ (y \ left (x \ right) \). Итак, чтобы произвести производную от левой части, нам нужно выполнить правило продукта.Это дает

\ [\ left (1 \ right) y \ left (x \ right) + x \ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

Теперь напомним, что у нас есть следующий способ записи производной.

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{dy}} {{dx}} = y '\]

Используя это, мы получаем следующее:

\ [у + ху '= 0 \]

Обратите внимание, что мы уронили \ (\ left (x \ right) \) на \ (y \), поскольку он был там только для того, чтобы напомнить нам, что \ (y \) был функцией \ (x \), и теперь что мы взяли производную, она больше не нужна.Мы просто хотели, чтобы в уравнении распознавалось правило продукта, когда мы берем производную.

Итак, давайте теперь вспомним, что нам было нужно. Мы искали производную \ (y '\) и заметили, что теперь в уравнении есть \ (y' \). Итак, чтобы получить производную, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение для \ (y '\).

\ [y '= - \ frac {y} {x} \]

Вот оно. Это наш ответ, используя второй метод решения.{2}}} \]

, что мы и получили от первого решения. Независимо от используемой техники решения, мы должны получить одну и ту же производную.

Процесс, который мы использовали во втором решении предыдущего примера, называется неявным дифференцированием и является предметом данного раздела. В предыдущем примере мы смогли просто решить для \ (y \) и избежать неявного дифференцирования. Однако в остальных примерах этого раздела мы либо не сможем решить для \ (y \), либо, как мы увидим в одном из примеров ниже, ответ не будет в той форме, в которой мы могу разобраться.

Во втором решении выше мы заменили \ (y \) на \ (y \ left (x \ right) \), а затем сделали производную. Напомним, мы сделали это, чтобы напомнить нам, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \). Мы будем делать это довольно часто в этих задачах, хотя на самом деле мы редко пишем \ (y \ left (x \ right) \). Итак, прежде чем мы фактически займемся проблемами неявного дифференцирования, давайте сделаем быстрый набор «простых» производных, которые, мы надеемся, помогут нам в создании производных функций, которые также содержат \ (y \ left (x \ right) \).{у \ влево (х \ вправо)}} \) Показать все решения Скрыть все решения

Они написаны немного иначе, чем мы привыкли здесь видеть. Это потому, что мы хотим сопоставить эти проблемы с тем, что мы будем делать в этом разделе. Кроме того, каждая из этих частей имеет несколько функций, которые нужно различать, начиная с конкретной функции, за которой следует общая функция. Это опять же, чтобы помочь нам с некоторыми конкретными частями процесса неявной дифференциации, который мы будем делать.2} - 7} \ right) \]

и это всего лишь цепное правило. Мы дифференцировали внешнюю функцию (показатель степени 5), а затем умножили это на производную внутренней функции (материал внутри скобок).

Для второй функции мы сделаем в основном то же самое. Нам нужно будет использовать цепное правило. Внешняя функция по-прежнему имеет показатель степени 5, а внутренняя функция на этот раз просто \ (f \ left (x \ right) \). У нас здесь нет конкретной функции, но это не значит, что мы не можем по крайней мере записать цепное правило для этой функции.4} е '\ влево (х \ вправо) \]

На самом деле мы не знаем, что такое \ (f \ left (x \ right) \), поэтому, когда мы делаем производную внутренней функции, все, что мы можем сделать, это записать обозначение для производной, , т.е. \ (f ' \ влево (х \ вправо) \).

В последней функции мы просто заменили \ (f \) во второй функции на \ (y \), поскольку большая часть нашей работы в этом разделе будет включать \ (y \) вместо \ (f \). с. В остальном эта функция идентична второй.4} у '\ влево (х \ вправо) \]
b \ (\ sin \ left ({3 - 6x} \ right) \), \ (\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \) Показать решение

Первая функция, которую нужно дифференцировать здесь, - это снова проблема с правилом быстрой цепочки, так что вот ее производная,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({3 - 6x} \ right)} \ right] = - 6 \ cos \ left ({3 - 6x} \ right) \ ]

Для второй функции на этот раз мы не стали использовать \ (f \ left (x \ right) \) и просто перешли прямо к \ (y \ left (x \ right) \) для общей версии.Это пока всего лишь общая версия того, что мы сделали для первой функции. Внешняя функция по-прежнему является синусом, а внутренняя задается как \ (y \ left (x \ right) \), и хотя у нас нет формулы для \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы на самом деле не может взять его производную, у нас есть обозначение для ее производной. Вот производная для этой функции,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right)} \ right] = y '\ left (x \ right) \ cos \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \]
c \ ({{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} - 9x}} \), \ ({{\ bf {e}} ^ {y \ left (x \ right)}} \) Показать решение

В этой части мы просто дадим ответы по каждому из них и опустим объяснение, которое у нас было в первых двух частях.{у \ влево (х \ вправо)}} \]

Итак, в этом наборе примеров мы просто решали некоторые задачи с цепными правилами, в которых внутренняя функция была \ (y \ left (x \ right) \) вместо конкретной функции. Такая производная постоянно проявляется при неявном дифференцировании, поэтому нам нужно убедиться, что мы можем их выполнять. Также обратите внимание, что мы сделали это только для трех типов функций, но есть гораздо больше видов функций, которые мы могли бы использовать здесь.

Итак, пришло время решить нашу первую задачу, где требуется неявное дифференцирование, в отличие от первого примера, где мы могли бы фактически избежать неявного дифференцирования, решая для \ (y \).2}} \]

Перед тем, как приступить к этой задаче, мы заявили, что здесь нам нужно выполнить неявное дифференцирование, потому что мы не можем просто решить для \ (y \), и тем не менее это то, что мы только что сделали. Итак, почему мы не можем использовать здесь «нормальную» дифференциацию? Проблема в «\ (\ pm \)». Имея это в «решении» для \ (y \), мы видим, что \ (y \) на самом деле две разные функции. Что мы должны использовать? Стоит ли использовать оба? Нам нужна только одна функция для производной, и в лучшем случае у нас есть две функции.1} y '\ left (x \ right) = 0 \]

На этом этапе мы можем отбросить часть \ (\ left (x \ right) \), поскольку это было только в задаче, чтобы помочь с процессом дифференцирования. Последний шаг - просто решить полученное уравнение для \ (y '\).

\ [\ begin {align *} 2x + 2yy '& = 0 \\ y' & = - \ frac {x} {y} \ end {align *} \]

В отличие от первого примера, мы не можем просто вставить \ (y \), так как мы не знаем, какую из двух функций использовать.2} = 9 \]

в точке \ (\ left ({2, \, \, \ sqrt 5} \ right) \).

Показать решение

Во-первых, обратите внимание, что в отличие от всех других задач касательной, которые мы решали в предыдущих разделах, нам нужно задавать значения как \ (x \), так и \ (y \) точки. Также обратите внимание, что эта точка действительно лежит на графике окружности (вы можете проверить, подставив точки в уравнение), поэтому в этой точке можно говорить о касательной.

Напомним, что для записи касательной все, что нам нужно, - это наклон касательной, и это не что иное, как производная, вычисленная в данной точке.У нас есть производная от предыдущего примера, поэтому все, что нам нужно сделать, это подключить данную точку.

\ [m = {\ left. {y '} \ right | _ {x = 2, \, y = \ sqrt 5}} = - \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \]

Тогда касательная прямая.

\ [y = \ sqrt 5 - \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \ left ({x - 2} \ right) \]

А теперь давайте поработаем еще несколько примеров. В остальных примерах мы больше не будем писать \ (y \ left (x \ right) \) вместо \ (y \).Это просто то, что мы делали, чтобы напомнить себе, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \), чтобы помочь с производными. Увидев \ (y \ left (x \ right) \), мы напомнили, что нам нужно применить цепное правило для этой части проблемы. С этого момента мы оставим \ (y \) записанными как \ (y \), и в нашей голове нам нужно будет помнить, что они на самом деле \ (y \ left (x \ right) \ ) и что нам нужно выполнить цепное правило.

Есть простой способ запомнить, как применять цепное правило в этих задачах.Цепное правило действительно говорит нам дифференцировать функцию, как обычно, за исключением того, что нам нужно добавить производную внутренней функции. При неявном дифференцировании это означает, что каждый раз, когда мы дифференцируем терм с \ (y \) в нем, внутренняя функция - это \ (y \), и нам нужно будет добавить \ (y '\) к члену, поскольку это будет - производная внутренней функции.

Давайте посмотрим на пару примеров.

Пример 5 Найдите \ (y '\) для каждого из следующих значений.3} + 1 \) Показать решение

Сначала дифференцируйте обе стороны относительно \ (x \) и помните, что каждый \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), мы просто больше не собираемся писать его таким образом. Это означает, что первый член слева будет правилом продукта.

Мы разграничили эти виды функций, включающих \ (y \) ’, в степень с помощью цепного правила в Примере 2 выше. Также вспомните обсуждение этой проблемы до начала. При решении такой задачи цепного правила все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \ (y \) как нормальные, а затем добавить \ (y '\), который является не чем иным, как производной от «внутренней функции ».2} г '\]

Теперь все, что нам нужно сделать, это найти производную \ (y '\). Это просто базовая решающая алгебра, которую вы можете делать. Основная проблема в том, что это может быть более беспорядочно, чем то, к чему вы привыкли. Все, что нам нужно сделать, это получить все члены с \ (y '\) в них с одной стороны и все термины без \ (y' \) с другой. Затем вычлените \ (y '\) из всех членов, содержащих его, и разделите обе части на «коэффициент» \ (y' \). Вот решение для этого,

\ [\ begin {align *} 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = 24 {y ^ 2} y '- 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y' \\ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = \ left ({24 {y ^ 2} - 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \ right) y '\\ y' & = \ frac {{ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3}} {{24 {y ^ 2} - 5 {x ^ 3} {y ^ 4}}} \ end {align *} \]

Алгебра в этих задачах может быть довольно запутанной, так что будьте осторожны.3}} \ right) \) Показать решение

Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. У нас есть пара правил цепочки, с которыми нам придется иметь дело здесь, которые немного отличаются от тех, с которыми мы имели дело до этой проблемы.

И в экспоненте, и в логарифме у нас есть «стандартное» правило цепочки, заключающееся в том, что внутри экспоненты и логарифма есть нечто иное, чем просто \ (x \) или \ (y \). Итак, это означает, что здесь мы будем использовать правило цепочки, как обычно, а затем, когда мы будем выполнять производную внутренней функции для каждого члена, нам придется иметь дело с дифференцированием \ (y \) 's.{- 1}}}} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что для того, чтобы производная хотя бы выглядела немного лучше, мы преобразовали все дроби в отрицательные показатели.

Хорошо, мы видели одно применение неявного дифференцирования в приведенном выше примере касательной. Однако есть еще одно приложение, которое мы увидим в каждой проблеме в следующем разделе.

В некоторых случаях у нас будет две (или более) функции, каждая из которых является функциями третьей переменной.Итак, у нас могут быть \ (x \ left (t \ right) \) и \ (y \ left (t \ right) \), например, и в этих случаях мы будем дифференцировать по \ (t \) . Это просто неявное дифференцирование, как мы делали в предыдущих примерах, но есть разница.

В предыдущих примерах у нас есть функции, включающие \ (x \) ’s и \ (y \)’ s, и считающие \ (y \) как \ (y \ left (x \ right) \). В этих задачах мы дифференцировали по \ (x \), и поэтому, когда мы столкнулись с \ (x \) в функции, которую мы дифференцировали как нормальную, и когда столкнулись с \ (y \), мы дифференцировались как нормальные, за исключением добавил \ (y '\) к этому термину, потому что мы действительно применяли цепное правило.

В новом примере, который мы хотим рассмотреть, мы предполагаем, что \ (x = x \ left (t \ right) \) и что \ (y = y \ left (t \ right) \) и дифференцируем по \ (т \). Это означает, что каждый раз, когда мы сталкиваемся с \ (x \) или \ (y \), мы будем выполнять цепное правило. Это, в свою очередь, означает, что когда мы дифференцируем \ (x \), нам нужно будет добавить \ (x '\), и всякий раз, когда мы дифференцируем \ (y \), мы будем добавлять \ (y' \).

Эти новые типы проблем на самом деле аналогичны задачам, которые мы обсуждали в этом разделе.{1 - x}} + 5y '\ sin \ left ({5y} \ right) = 2yy' \]

В этой проблеме действительно не так уж и много. Поскольку в задаче есть две производные, мы не будем пытаться решить одну из них. Когда мы решаем такую ​​задачу в следующем разделе, проблема будет подразумевать, какую из них нам нужно решить.

На данный момент, похоже, нет реальной причины для решения такого рода задач, но, как мы увидим в следующем разделе, каждая задача, которую мы будем там решать, будет включать в себя такого рода неявную дифференциацию.

2.6: Уравнения Коши-Римана - Математика LibreTexts

Уравнения Коши-Римана являются нашим первым следствием того факта, что предел, определяющий \ (f (z) \), должен быть одинаковым независимо от того, в каком направлении вы приближаетесь к \ (z \ ) из. Уравнения Коши-Римана станут одним из самых важных инструментов в нашем наборе инструментов.

2.7.1 Частные производные как лимиты

Прежде чем перейти к уравнениям Коши-Римана, напомним о частных производных.Если \ (u (x, y) \) является функцией двух переменных, то частные производные от \ (u \) определяются как

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} (x, y) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta, y) - u (x, y) } {\ Delta x}, \]

, т. Е. Производная от \ (u \) с постоянной \ (y \).

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) = \ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Delta y) - u (x, y )} {\ Delta y}, \]

, т. Е. Производная от \ (u \), сохраняющая постоянную \ (x \).

2.7.2 Уравнения Коши-Римана

Уравнения Коши-Римана используют частные производные от \ (u \) и \ (v \), чтобы позволить нам делать две вещи: во-первых, проверять, имеет ли \ (f \) комплексную производную, и, во-вторых, вычислять, что производная. Начнем с формулировки уравнений в виде теоремы.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \): уравнения Коши-Римана

Если \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \) аналитический (комплексно дифференцируемый), то

\ [f '(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \]

В частности,

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} \ text {и} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = - \ dfrac { \ partial v} {\ partial x}.\]

Эту последнюю систему дифференциальных уравнений в частных производных обычно понимают под уравнениями Коши-Римана.

Вот краткая форма уравнений Коши-Римана:

\ [u_x = v_y \]

\ [u_y = -v_x \]

Доказательство

Предположим, что \ (f (z) \) дифференцируема в некоторой области \ (A \) и

\ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y). \]

Мы вычислим \ (f '(z) \), приближаясь к \ (z \) сначала в горизонтальном направлении, а затем в вертикальном направлении.Мы будем использовать формулу

\ [f '(z) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} {\ Delta z}, \]

, где \ (\ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y \).

Горизонтальное направление: \ (\ Delta y = 0, \ Delta z = \ Delta x \)

\ [\ begin {array} {rcl} {f '(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {f (x + \ Delta x + iy) - f (x + iy)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {(u (x + \ Delta, y) + iv (x + \ Delta x, y)) - (u (x, y ) + iv (x, y))} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta x, y) - u ( x, y)} {\ Delta x} + i \ dfrac {v (x + \ Delta x, y) - v (x, y)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ dfrac { \ partial u} {\ partial x} (x, y) + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} (x, y)} \ end {array} \]

Вертикальное направление: \ (\ Delta x = 0 \), \ (\ Delta z = i \ Delta y \) (Мы сделаем это немного быстрее.)

\ [\ begin {array} {rcl} {f '(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {(u (x, y + \ Delta y) + iv (x, y + \ Delta y)) - (u (x, y) + iv (x, y))} {i \ Delta y}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Дельта y) - u (x, y)} {i \ Delta y} + i \ dfrac {v (x, y + \ Delta y) - v (x, y)} {i \ Delta y}} \\ { } & = & {\ dfrac {1} {i} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) + \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y)} \ \ {} & = & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y)} \ end {array} \ ]

Мы нашли два разных представления \ (f '(z) \) в терминах частичных \ (u \) и \ (v \).Если сложить их вместе, мы получим уравнения Коши-Римана:

\ [f '(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \ \ \ Rightarrow \ \ \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y}, \ text {и} - \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial x}. \]

Оказывается, обратное верно и будет нам очень полезно.

Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим функцию \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \), определенную в области \ (A \).Если \ (u \) и \ (v \) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана и имеют непрерывные частичные, то \ (f (z) \) дифференцируема на \ (A \).

Доказательство

Доказательство этого - сложное упражнение в анализе. Это несколько выходит за рамки этого класса, поэтому мы его пропустим. Если вам интересно, приложив немного усилий, вы сможете понять это.

2.7.3 Использование уравнений Коши-Римана

Уравнения Коши-Римана предоставляют нам прямой способ проверки дифференцируемости функции и вычисления ее производной.z. \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте уравнения Коши-Римана, чтобы показать, что \ (f (z) = \ overline {z} \) не дифференцируемо.

Решение

\ (f (x + iy) = x - iy \), поэтому \ (u (x, y) = x, v (x, y) = -y \). Принятие частных производных

\ (u_x = 1 \), \ (u_y = 0 \), \ (v_x = 0 \), \ (v_y = -1 \)

Поскольку \ (u_x \ ne v_y \), уравнения Коши-Римана не выполняются и, следовательно, \ (f \) не дифференцируемо.

Теорема \ (\ PageIndex {3} \)

Если \ (f (z) \) дифференцируемо на диске и \ (f '(z) = 0 \) на диске, то \ (f (z) \) постоянно.

Доказательство

Поскольку \ (f \) дифференцируема и \ (f '(z) \ Equiv 0 \), уравнения Коши-Римана показывают, что

\ [u_x (x, y) = u_y (x, y) = v_x (x, y) = v_y (x, y) = 0 \ nonumber \]

Мы знаем из многомерного исчисления, что функция от \ ((x, y) \) с обеими частями, равными тождественному нулю, является константой.Таким образом, \ (u \) и \ (v \) постоянны, а значит, и \ (f \).

2.7.4 \ (f '(z) \) как матрица \ (2 \ times 2 \)

Напомним, что мы могли бы представить комплексное число \ (a + ib \) как матрицу \ (2 \ times 2 \)

\ [a + ib \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}. \]

Теперь, если мы запишем \ (f (z \) через \ ((x, y) \), мы получим

\ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) \ \ leftrightarrow \ f (x, y) = (u (x, y), v (x , у)).\]

У нас

\ [f '(z) = u_x + iv_x, \]

, поэтому мы можем представить \ (f '(z) \) как

\ [\ begin {bmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \ end {bmatrix}. \]

Используя уравнения Коши-Римана, мы можем заменить \ (- v_x \) на \ (u_y \) и \ (u_x \) на \ (v_y \), что дает нам представление

\ [f '(z) \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \ end {bmatrix}, \]

т.е. \ (f '(z) \) - это просто якобиан \ (f (x, y) \).

Мне легче запомнить якобиан, чем уравнения Коши-Римана. Поскольку \ (f '(z) \) - комплексное число, я могу использовать матричное представление в уравнении 1, чтобы запомнить уравнения Коши-Римана!

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *