Произвольный четырехугольник выпуклый: Выпуклый четырехугольник

\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end{multline*}\]

Теорема Вариньона

Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

 

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.


 

Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\).

 

Рассмотрим \(\triangle ADC\): \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\).

 

Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\).

 

Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\).2\)

 

Замечание

Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:


 

Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.

 

Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.

Содержание

Четырёхугольники, виды и свойства / math5school.ru

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

∠A < ∠B+∠C+∠D,   ∠B < ∠A+∠C+∠D,

∠C < ∠A+∠B+∠D,   ∠D < ∠A+∠B+∠D.

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d,   b < a+c+d,

c < a+b+d,   d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а  R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны;  MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны;  MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

SABCD = 2SMNPQ .

Отрезки  MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP,   NG=GQ,   RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP2+ NQ2+ RS = ¼(AB2+BC2+CD2+AD2+AC2+BD2).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

SABCD = MP·NQ·sinβ.

 

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости. 

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

a+c = b+d.

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

a+c ≥ 4r,   b+d ≥ 4r.

Площадь описанного четырёхугольника:

= pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK=AN,   BK=BL,   CL=CM,   DM=DN.

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

 

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

AB||CD,   BC||AD.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

AB=CD,   BC=AD;

∠A=∠C,   ∠B=∠D.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

AO=OC;   BO=OD.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ABC=∠CDA;   ∠ABD=∠CDB.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

SΔABO=SΔBCO=SΔCDO=SΔADO.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e2+f= a2+b2+a2

+b= 2(a2+b2). 

Признаки параллелограмма:

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если  у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

h= b·sin γ;   h= a·sin γ.

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:

S = ahbhb;

  • через две его стороны и угол между ними:

S = ab·sin γ.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

AB=BC=CD=AD.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

AC⊥BD;

∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB;   ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

  • через высоту ромба:

  • через диагонали ромба и сторону:

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Площадь ромба можно определить:

  • через диагонали:

  • через сторону и угол ромба:

  • через сторону и высоту:

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

 

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

AC=BD;

AO=BO=CO=DO.

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через его стороны:

ab;

  • через диагонали и угол между ними:

= ½d²·sin γ.

 

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

BD = 2R.

 

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Площадь квадрата:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

AD||BC.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

AK=KB;   CL=LD.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

KL||AD;   KL||BC;

KL = ½(AD+BC).

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAED∼ΔBEC,   k=AD/BC.

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAОD∼ΔCОВ,   k=AD/BC.

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

SΔABO = SΔCDO.

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

O∈KL;   E∈KL.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

RS||AD;   RS||BC;

RS = ½(AD–BC).

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

AD+BC=AB+CD.

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

∠AOB=∠COD=90°.

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

AB=CD. 

У равнобокой трапеции:

  • диагонали равны:

AC=BD;

  • углы при основании равны:

∠A=∠D,   ∠B=∠C;

  • сумма противолежащих углов равна 180?:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

 

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

  • через диагонали и угол между ними:

 

                         

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

  • через его диагонали:

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:

ab·sin α .

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.   

 

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

 

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d²;
  • для площади четырёхугольника верно: = ½ef;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.

 

 

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

a²+c² = b²+d² = 4.

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

ac bd.

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов


Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.

Виды

Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.

На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.

Виды выпуклых четырехугольников:

  • прямоугольник;
  • параллелограмм;
  • трапеция;
  • ромб;
  • квадрат.

Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.

Свойства

Главные признаки:

  • сумма углов — 360 градусов;
  • диагонали могут пересекаться в одной точке.

Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.

Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).

Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.

Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.

Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.

Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:

Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:

В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.

Вписанные и описанные

Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.

Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.

Расчет площади

Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.


Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

Полезное видео

Подведем итоги

Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

Четырехугольник


Определение четырехугольника

Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник - это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Свойства четырехугольников

Четырехугольник может быть:
  • Самопересекающимся
  • Невыпуклым
  • Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен красным цветом)

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников


Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

Подробнее о каждом из особых видов четырехугольника можно узнать, перейдя по ссылкам выше.
Как видно из рисунка, особые виды четырехугольников наследуют свойства своих "предков". Например, прямоугольник  (на рисунке показан темно-синим цветом) является особым случаем параллелограмма (на рисунке показан голубым цветом). Таким образом, у него сохраняются все его свойства и добавляются свои, особенные. Поэтому при решении задач про прямоугольники можно применять все свойства и теоремы параллелограмма.
Квадрат  (на рисунке показан оранжевым цветом) - частный случай прямоугольника. То есть квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника, а также и свои, особенные. Но, самое интересное, квадрат также является частным случаем ромба (на рисунке показан красным цветом), то есть, кроме указанных (параллелограмм, прямоугольник), он обладает еще и всеми свойствами ромба.

Также, интересными особыми случаями четырехугольника являются трапеция и дельтоид.


Четырехугольник и окружность


Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника


Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a -b| ≤ c + d

|a -c| ≤ b + d

|a -d| ≤ b + c

|b -c| ≤ a + d

|b -d| ≤ a + b

|c -d| ≤ a + b

Важно.  Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

a ≤ b + c + d

b ≤ a + c + d

c ≤ a + b + d

d ≤ a + b + c

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.


Соотношение сторон и диагоналей может быть выражено формулой


Неравенство Птолемея


Произведение длин диагоналей четырехугольника меньше или равно сумме произведений противоположных сторон четырехугольника.

Теорема Гаусса

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения диагоналей и точку пересечения этих двух пар противоположных сторон.

Соотношение Бретшнайдера


Произведение квадратов диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равно сумме произведений квадратов его противоположных сторон минус удвоенное произведение всех его сторон, которое умножено на косинус суммы двух противоположных углов.


Формула Эйлера


Квадрат двойного расстояния между серединами диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равен сумме квадратов его сторон минус сумма квадратов его диагоналей

Средние линии четырехугольника


У каждого четырехугольника есть три средние линии.

Средними линиями несамопересекающегося четырехугольника называются отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон (первая и вторая) и отрезок, соединяющий середины его диагоналей.
На рисунке средние линии четырехугольника отмечены пунктирными линиями.

Центроид четырехугольника

Центроидом четырехугольника называется точка пересечения всех его средних линий.

Обобщенная теорема Ньютона

Средние линии несамопересекающегося четырехугольника, образуемые серединами противолежащих сторон (первая и вторая средняя линия) и отрезком, соединяющим середины диагоналей (третья средняя линия) пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника и его центроид также называется прямой Ньютона.
(см. рисунок выше)

Теорема Вариньона


Четырёхугольники, которые образуются отрезками, соединяющими середины противолежащих сторон (GIHJ), а также середины диагоналей четырехугольника и середины противолежащих сторон (EHFG, JEIF) являются параллелограммами.

Эти параллелограммы называются параллелограммами Вариньона.

Четырехугольник, образованный серединами противолежащих сторон (на рисунке обозначен пунктирной линией GIHJ) называется большим параллелограммом Вариньона.

  • Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь большого параллелограмма Вариньона  равна половине площади исходного четырёхугольника
  • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними
  • Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей
Содержание главы:
 Вписанная в треугольник окружность | Описание курса | Существование четырехугольника 

   

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

Доказательство 2

Пусть оказалось так, что у четырехугольника \( \displaystyle ABCD\) сумма каких – то двух противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).\circ\quad \Rightarrow \) должно выполняться \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \), но \( \displaystyle \angle \beta \) – внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta \).

То есть опять никак не может быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

То есть точка \( \displaystyle D\) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Что означает произвольный четырехугольник. Произвольный четырехугольник

Cтраница 2

Доказать, что в произвольном четырехугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пересечения средних линий и делится в этой точке пополам.  

Для определения центра тяжести площади произвольного четырехугольника поступают следующим образом. Разбивают данный четырехугольник ABCD (фиг. ABD и DBC диагональю DB и отыскивают их центры тяжести по известным правилам. Значит, общий центр тяжести должен лежать одновременно на линиях О О и OWOIV; следовательно, он лежит в точке их пересечения О.  

Это не рассматривается автором как ограничение аналитических определений смысла, поскольку они были разработаны в других контекстах, помимо математики или дидактики математики. Они понимаются скорее как приближение к понятию смысла, которое предполагается здесь. На самом деле будет следовать идея косвенной связи между символом и объектом и его взаимосвязь через концепции.

Мы скорее согласны с оперативным или прагматичным характером в определениях смысла, особенно с идеями Витгенштейна в его синих и коричневых Ноутбуках и в Философских исследованиях. Что мы представляем в качестве аргумента для этого? Мы отвечаем на вопрос: студентам и преподавателям хорошо известно, что математическое знание может быть организовано путем представления его структурного представления, представляя определения для математических объектов и предложений, которые имеют к ним отношение; опять же, при необходимости, вводятся новые определения и новые предложения; но если математический объект задан его определением, является ли значение, данное определением?

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника ABCD являются вершинами параллелограмма.  

Известно, что если в произвольном четырехугольнике соединить последовательно середины сторон отрезками прямых, то получится параллелограмм, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.  

Принятая здесь позиция заключается в том, что это значение не зависит только от определения. Если определение математического объекта связывает «его значение», тогда необходимо только читать или слышать его, чтобы «получить» его значение. Неважно, не было ли это раньше, не важно манипулировать объектом, указанным в определении, и не использовать его. Утверждение Сэмпа, с нашей точки зрения, контрастирует с идеей смысла, опосредованной или даваемой использованием. С другой стороны, объекты, которые назывались «ассоциированными», также имеют смысл в классе.

Воспользуйтесь тем, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

Специализация проявляется также в понижении размерности: ведь произвольный четырехугольник, вообще говоря, имеет размерность 3, в то время как параллелограмм самое большее двумерен.  

Точки А и С - середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки В и D - середины двух других его сторон.  

В них сильно влияют учитель и учебники. Студент приобретает представление о том, что значит «очистить», например, термины, используемые учителем для описания этого процесса, использование его учителем и, в основном, его использование учеником. Эти идеи - это те, которые позволяют охарактеризовать смысл следующим образом.

Как мы видели, эта идея смысла не полностью противоречит аналитическим определениям, поскольку объяснение объекта может вызывать или выражать понятие данного объекта. Это заслуживает другого комментария: можно утверждать, что использование объекта подразумевается в понятии объекта, но это не так, особенно с математическими объектами. Объясняя, например, идею ограничения функции не означает, что ее можно успешно использовать этим человеком для вычисления предела определенных функций или определить, существует ли их предел при определенных условиях.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.  

Если вы раньше эту задачу (о последовательном соединении середин сторон произвольного четырехугольника) не решали, то легко сейчас доказать, что полученная фигура есть параллелограмм. Для этого проведем (мысленно) диагональ А А, она разбивает четырехугольник на два треугольника. Точно так же В С есть средняя линия & AiA2A4, и поэтому В С параллельна той же диагонали и равна ее половине. Следовательно, противоположные стороны 62 3 и Bi С рассматриваемого четырехугольника параллельны и равны. Поэтому четырехугольник В В % ВъС есть параллелограмм.  

Мы не находим противоречий между этой идеей смысла и настоящего в работе Алсона. Элементы теории значимости в дидактике математики: «любое слово вызывает его смысл». Когда слово захватывается, смысл его обычно не строится в процессе, в котором индивид осознает точку восприятия своих разных шагов. Не зная, как ему удается связать слово с соответствующим смыслом.

Как подойти к проблеме смысла из дидактики математики? Годино и Батанеро учитывают то, что они называют субъективным измерением смысла, и различают институциональный и личный смысл математических объектов. Правильный смысл объекта определяет его как пересечение двух систем практики; дополнение этого пересечения в системе практик человека считается составленным «ошибочными» практиками с точки зрения учреждения. Алсон, как видно, действительно использует термин «правильный смысл», хотя он его не описывает.

Доказать, что площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям произвольного четырехугольника, равна удвоенной площади этого четырехугольника.  

Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырехугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; ромба 5) двадрата 6) траиеции.  

Затем мы видим определенную связь между этим понятием и теми, которые придуманы Годино и Батанеро. Соответствующее значение будет соответствовать тому, которое соответствует как построенной учеником, так и принятой конвенцией в классе, например, или сообществом учителей математики, среди прочих.

Ортон говорит, что «целью обучения является передача смысла ученикам». Мы также находим связь между «смыслом», к которому относится Ортон, и понятиями «правильного значения» и «знания или понимания объекта» Алсона, а также Годино и Батанеро соответственно.

Так как параллелограмм - это четырехугольник со специальными свойствами, то он обладает всеми свойствами произвольного четырехугольника.  

Площадь выпуклого четырехугольника определяется по формуле , где и - диагонали четырехугольника, - угол между диагоналями.

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон были равны друг другу.

В этом разделе мы подчеркиваем производственные ситуации, которые Алсон типично иллюстрирует некоторые из их последствий для действий ученика и построения значений. Давайте посмотрим на некоторые примеры; все они связаны с геометрическими темами 7-го класса.

Для каждой ситуации мы описываем некоторые аспекты контекста, в котором они встречаются, и связанная с ними стрелка знания. Эта характеристика ситуаций производства в классе позволяет, например, видеть типы ситуаций, с которыми сталкиваются студенты на определенном образовательном уровне. Тип ситуаций, с которыми сталкиваются студенты, имеет особый акцент на построении значений в классе для математических объектов и связанных с математической деятельностью.

Для того чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны .

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. У параллелограмма равны противолежащие стороны и углы. Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.

То есть объекты, такие как «аргумент», «доказательство», «подставить» и т.д. Как сказано ранее, построены по производственным ситуациям. Этот раздел посвящен представлению и анализу некоторых результатов о значении, приписываемом группой учащихся базового образования 7-го класса, геометрическим объектам: точка, линия, сегмент, круг, треугольник и четырехугольник. Метод, который руководил исследованием, - это тематическое исследование, относящееся к группе. Описание и анализ составляют основу для иллюстрации теоретических предположений, которые обсуждались в предыдущих разделах.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии параллелограмма.

Около параллелограмма можно описать окружность в том и только в том случае, если он является прямоугольником.

В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.

Пусть , - длины смежных сторон параллелограмма, - величина угла между этими сторонами, - высота, опущенная на сторону , и - дины диагоналей. Справедливы следующие соотношения.

Мы видим важность исследования в отчете о разнообразии значений, которые создают студенты, в теоретическом разграничении между математическими объектами и объектами, связанными с математической деятельностью в классе, а также в характеристике значения в образовании математика. Некоторые характеристики курса, учащиеся и математический контент, а также сбор данных описаны в следующем разделе.

Собранные данные также представлены, и этот раздел заканчивается анализом результатов. Всего было 73 студента; 38 девочек и 35 мальчиков. Только восемь учеников повторили учебный год. Программа 7-го класса предусматривает изучение геометрических идей, таких как сегмент, спрямление, угол, мера углов; элементы окружности; соотношение между длинами окружности и диаметром; плоские фигуры и их элементы и свойства; геометрические тела, а также изучение представлений о площади и объеме. Во время сбора данных эти ученики не начали тему геометрии.

,

,

Прямоугольник

Если один из углов параллелограмма – прямой, то и все остальные углы – прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны. Площадь прямоугольника определяется по формуле .

Фактически, первые цели курса относятся к операциям и свойствам с натуральными числами, целыми числами и рациональными. На первом и втором этапах базового образования студенты начинают изучать геометрические идеи. Во-первых, студентов попросили сообщить в письменной форме идею, которую они имели о уже упомянутых геометрических объектах. Для этого письменного отчета было поручено: «Напишите то, что вы думаете, это точка, линия, сегмент, круг, треугольник и четырехугольник; и строит представления этих геометрических объектов».

Сразу после этого отчета началось обсуждение понятий, указанных в каждом из разделов, с целью продвижения эволюции, упомянутой выше. Предоставленные ответы были связаны друг с другом; Кроме того, было запрошено участие тех студентов, которые молчали. Второй этап сбора данных состоял в видеозаписи многоугольных конструкций с правилом и компасом, сделанными некоторыми учениками каждого раздела. На этом втором этапе была цель изучить использование и объяснение, которые сделали или дали ученикам некоторые геометрические объекты.

Ромб

Если в параллелограмме все стороны равны, но называется ромбом. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Площадь ромба равняется .

Квадрат

Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами. Квадрат является частным случаем прямоугольника (это прямоугольник с равными сторонами) и ромба (это ромб с прямыми углами). Поэтому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Площадь квадрата равняется .

Запись видео была выполнена на трех сеансах, на которых изучалось построение полигонов с линейкой и компасом, в частности, построение треугольников и четырехугольников. Эти записи были источником для обогащения и обзора наблюдений автора в классе. Конструкции с правилом и компасом изучались в течение трех сеансов, и в них учащимся приходилось участвовать в создании треугольников и четырехглавых страниц на доске или в их блокнотах, выражая свои сомнения или комментарии. Вопросы, которые они задавали, были «независимо от того, как это выглядит», «это был искривленный профессор, не имеет значения?».

Трапеция

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие непараллельны.

Средней линией трапеции называется отрезок прямой, соединяющей середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основанию. Длина средней линии равна полусумме длин ее оснований .

Другие избегали этого, рисуя первый из сегментов, чтобы он совпал с воображаемой горизонталью. В письменном отчете студентов показано разнообразие значений, которые они имеют в геометрических объектах: точка, линия, сегмент, окружность, круг, треугольник и четырехугольник. Факт, который может оставаться скрытым для учителя, если ученические концепции не изучаются, как это отметили Корну и Серрано. Чтобы охарактеризовать смысл объекта посредством его использования, сделанное и объяснение дает возможность объяснить некоторые из ответов.

Например, в отношении этого пункта несколько ответов согласились с тем, что оно должно быть размещено в конце абзаца; посредством интервью с этими учениками можно было убедиться, что в испанском курсе и литературе они просто рассматривали «знаки препинания», идею, которую они перенесли в геометрию. Использование точечной идеи в контексте класса кастильцев и литературы повлияло на смысл точки в контексте геометрии.

Около трапеции можно описать окружность в том и только в том случае, если она равнобокая, т.е. если ее боковые стороны равны.

Высота равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований, т.е. .

Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две равновеликие трапеции равен .

Кроме того, размеры использования и объяснения, содержащиеся в определении, данном значения в математическом образовании, могут приводить к несогласованности в значении определенного объекта. Здесь, как мы отметили, несколько студентов из трех курсов выразили сомнения относительно того, сохранился ли сконструированный треугольник в этом положении. Перед этим автор снова спросил их, что они понимают по треугольнику, все они определили его как трехстороннюю геометрическую фигуру, и к таким вопросам, как ¿, является позиция, являющаяся свойством треугольников?, Ученики поняли, что независимо от положения, в котором они находятся они будут рисовать треугольники.

Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две подобные трапеции равен .

Отрезок, параллельный основанию, и проходящий через точку пересечения диагоналей равен .

Площадь трапеции определяется по формуле ,

где , - длины оснований трапеции, - ее высота, - длина средней линии.

Затем наблюдается, что даже когда они дали правильное определение треугольника, использование этого объекта не соответствовало этому. Одна гипотеза в этом отношении, с которой связаны эмпирические ответы, заключается в том, что это несоответствие или несогласованность возникает для многих других математических объектов, даже на более высоких уровнях образования. Использование, о котором говорилось выше, связано с тем, как многие учителя предыдущих классов рисуют треугольники: они делают так, что одна сторона треугольника совпадает с воображаемой горизонталью; об этом говорится в Бейере.

Подписаться на еженедельную рассылку eduction.ru

Выпуклый четырехугольник признаки. Какой четырёхугольник называется прямоугольником. Список использованных источников

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

прямоугольной .

средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прямоугольник

Определение.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Определение.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Определение.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

Четырехугольники все правила

Ключевые слова:
четырехугольник, выпуклый, сумма углов, площадь четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

  • Вершины четырехугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон.
  • Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположними .
  • Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
  • Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
  • Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
  • Четырехугольник называется выпуклым , если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Виды четырехугольников

  1. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
    • Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые
    • Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны
    • Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны
  2. Трапеция - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны
  3. Дельтоид - четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

противоположными. противоположными.

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма
  • противолежащие стороны равны;
  • противоположные углы равны;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
Признаки параллелограмма

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции
Признаки трапеции

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

  1. Один из его углов прямой.
  2. Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба
  • все свойства параллелограмма;
  • диагонали перпендикулярны;
Признаки ромба

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата
  • все углы квадрата прямые;
  • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата

Основные формулы

S =d 1 d 2 sin

Параллелограмм
a и b - смежные стороны; - угол между ними; h a - высота, проведенная к стороне a .

S = ab sin

S =d 1 d 2 sin

Трапеция
a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия.

Прямоугольник

S =d 1 d 2 sin

S = a 2 sin

S =d 1 d 2

Квадрат
d - диагональ.

www.univer.omsk.su

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)


Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.


Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

  • Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны

  • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

  • Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Четырехугольники все правила

Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути ктеории относительности.

Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить . Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.

Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая CB (см. рис.), перпендикулярная в точке С к заданной прямой r и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке B, но, тем не менее бесконечные прямые r и s никогда не пересекутся.

Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180° в евклидовой геометрии, больше 180° в эллиптической геометрии и меньше 180° в гиперболической геометрии.

Четырёхугольник

Четырёхугольник - это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

Четырёхугольник , геометрическая фигура - многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1).

Виды четырёхугольников

  • Параллелограмм - четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
  • Прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые;
  • Ромб - четырёхугольник, у которого все стороны равны;
  • Квадрат - четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  • Трапеция - четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
  • Дельтоид - четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Параллелогра́мм (от греч. parallelos - параллельный и gramme - линия) т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

  • противолежащие стороны равны;
  • противоположные углы равны;
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
  2. Противоположные стороны попарно равны.
  3. Противоположные углы попарно равны.
  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

  • противолежащие стороны равны;
  • противоположные углы равны;
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
  • диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

  1. Один из его углов прямой.
  2. Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • противолежащие стороны равны;
  • противоположные углы равны;
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
  • диагонали перпендикулярны;
  • диагонали являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм является ромбом, если:

  1. Две его смежные стороны равны.
  2. Его диагонали перпендикулярны.
  3. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

  • все углы квадрата прямые;
  • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
  1. Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

  • ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
  • если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
  • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
  • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

  1. Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Дельтоид - четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

  • Углы между сторонами неравной длины равны.
  • Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
  • В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
  • Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид).
  • Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
  • Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

  1. Происхождение названия Неевклидовой геометрии?
  2. Какаие фигуры называются четырёхугольниками?
  3. Свойства паралелограмма?
  4. Виды четырехугольников?

Список использованных источников

  1. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике
  2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
  3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Популярное:

  • Статья 282. Возбуждение ненависти либо вражды, а равно унижение человеческого достоинства (в редакции Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ) ч 1. Действия, направленные на возбуждение ненависти либо вражды, а также на […]
  • Калькулятор налога на имущество организаций Как рассчитать налог на имущество организаций Форма расчета по авансовым платежам изменилась. Начиная с отчетности за первое полугодие 2017, расчет налога на имущество организаций […]
  • Законы экологии За более чем 100-летний период разностороннего изучения популяций и сообществ накоплено огромное количество фактов. Среди них - большое число, отражающих случайные или нерегулярные явления и процессы. Но не […]
  • Варианты пенсионного обеспечения в системе обязательного пенсионного страхования До конца 2015 года граждане 1967 года рождения и моложе могли выбрать: продолжить формировать пенсионные накопления или отказаться от накопительной […]
  • Приказ минсельхоза 549 Зарегистрировано в Минюсте РФ 5 марта 2009 г. N 13476 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 16 декабря 2008 г. N 532 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ КЛАССИФИКАЦИИ ПРИРОДНОЙ ПОЖАРНОЙ ОПАСНОСТИ ЛЕСОВ И […]
  • Повышение пенсии детям инвалидам с 1 января 2018 года Пенсионное обеспечение граждан является обязанностью, возложенной на государство. Так указано в своде законов страны – в Конституции. Среди инвалидов, которым необходима […]
  • Правило внутреннего распорядка оао ржд ОАО "РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ" ПРИКАЗ от 26 июля 2012 г. N 87 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПРАВИЛ ВНУТРЕННЕГО ТРУДОВОГО РАСПОРЯДКА РЕГИОНАЛЬНЫХ СЛУЖБ (ОТДЕЛА) РАЗВИТИЯ ПАССАЖИРСКИХ СООБЩЕНИЙ И […]
  • Закон 3 стадий конта Позитивизм как философское течение исходит из представлений о том, что основной массив знаний о мире, человеке и обществе получается в специальных науках, что "позитивная" наука должна отказаться от попыток […]

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру - четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

  • Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
  • Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
  • Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
  • Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
  • Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.
Четырехугольник может быть:


Самопересекающимся


Невыпуклым


Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

  • Параллелограмм
  • Прямоугольник
  • Квадрат
  • Трапеция
  • Дельтоид
  • Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (


В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.

Вконтакте

Как видно, определение довольно легко запоминающееся.

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

  1. параллелограмм;
  2. квадрат;
  3. прямоугольник;
  4. трапеция;
  5. ромб.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

На рисунке изображена выпуклая трапеция . Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка . Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым . Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам . Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются . Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.

Итак, известны основные признаки и свойства:

  1. сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
  2. диагонали фигур пересекаются в одной точке.

Прямоугольник . Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.

Квадрат, тот же параллелограмм , но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

Трапеция — очень интересная фигура . Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

Ромб — не менее интересная фигура . Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

Виды выпуклых четырехугольников




Одна из наиболее интересных тем по геометрии из школьного курса - это «Четырехугольники» (8 класс). Какие виды таких фигур существуют, какими особыми свойствами они обладают? В чем уникальность четырехугольников с углами по девяносто градусов? Давайте разберемся во всем этом.

Какая геометрическая фигура называется четырехугольником

Многоугольники, которые состоят из четырех сторон и, соответственно, из четырех вершин (углов), называются в евклидовой геометрии четырехугольниками.

Интересна история названия этого вида фигур. В российском языке существительное «четырехугольник» образовано от словосочетания «четыре угла» (точно так же, как «треугольник» - три угла, «пятиугольник» - пять углов и т. п.).

Однако на латыни (через посредничество которой пришли многие геометрические термины в большинство языков мира) он называется quadrilateral. Это слово образовано из числительного quadri (четыре) и существительного latus (сторона). Так что можно сделать вывод, что у древних этот многоугольник именовался не иначе как "четырехсторонник".

Кстати, такое название (с упором на наличие у фигур этого вида четырех сторон, а не углов) сохранилось в некоторых современных языках. Например, в английском - quadrilateral и в французском - quadrilatère.

При этом в большинстве славянских языков рассматриваемый вид фигур идентифицируют все так же по количеству углов, а не сторон. Например, в словацком (štvoruholník), в болгарском («четириъгълник»), в белорусском («чатырохкутнік»), в украинском («чотирикутник»), в чешском (čtyřúhelník), но в польском четырехугольник именуют по количеству сторон - czworoboczny.

Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе

В современной геометрии выделяются 4 вида многоугольников с четырьмя сторонами.

Однако из-за слишком сложных свойств некоторых из них на уроках геометрии школьников знакомят только с двумя видами.

  • Параллелограмм (parallelogram). Противолежащие стороны четырехугольника такого попарно параллельны между собой и, соответственно, равны также попарно.
  • Трапеция (trapezium или trapezoid). Этот четырехугольник состоит из двух противолежащих сторон, параллельных между собой. Однако другая пара сторон не имеет такой особенности.

Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников

Помимо вышеперечисленных, существуют еще два вида четырехугольников, с которыми школьников не знакомят на уроках геометрии, из-за их особой сложности.

  • Дельтоид (kite) - фигура, в которой каждая из двух пар смежных сторон равна по длине между собою. Свое название такой четырехугольник получил из-за того, что по внешнему виду он довольно сильно напоминает букву греческого алфавита - «дельта».
  • Антипараллелограмм (antiparallelogram) - эта фигура так же сложна, как и ее название. В ней две противоположные стороны равны, но при этом они не параллельны между собою. Кроме того, длинные противоположные стороны этого четырехугольника пересекаются между собой, как и продолжения двух других, более коротких сторон.

Виды параллелограмма

Разобравшись с основными видами четырехугольников, стоит обратить внимание на его подвиды. Так, все параллелограммы, в свою очередь, тоже делятся на четыре группы.

  • Классический параллелограмм.
  • Ромб (rhombus) - четырехугольная фигура с равными сторонами. Ее диагонали пересекаются под прямым углом, деля ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
  • Прямоугольник (rectangle). Название это говорит само за себя. Так как это четырехугольник с прямыми углами (каждый из них равен девяноста градусам). Противоположные стороны его не только параллельны между собою, но и равны.
  • Квадрат (square). Как и прямоугольник, это четырехугольник с прямыми углами, но у него все стороны равны между собой. Этим данная фигура близка к ромбу. Так что можно утверждать, что квадрат - это нечто среднее между ромбом и прямоугольником.

Особые свойства прямоугольника

Рассматривая фигуры, в которых каждый из углов между сторонами, равен девяноста градусам, стоит более внимательно остановиться на прямоугольнике. Итак, какими особенными он обладает признаками, отличающими его от других параллелограммов?

Чтобы утверждать, что рассматриваемый параллелограмм - прямоугольник, его диагонали должны быть равны между собою, а каждый из углов - прямыми. Кроме того, квадрат его диагоналей должен соответствовать сумме квадратов двух смежных сторон этой фигуры. Иными словами, классический прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, а в них, как известно, В роли гипотенузы выступает диагональ рассматриваемого четырехугольника.

Последний из перечисленных признаков этой фигуры является также ее особенным свойством. Помимо этого, есть и другие. Например, то, что все стороны изучаемого четырехугольника с прямыми углами - это одновременно и его высоты.

Кроме того, если вокруг любого прямоугольника начертить круг, его диаметр будет равен диагонали вписанной фигуры.

Среди других свойств четырехугольника этого, то, что он является плоским и в неевклидовой геометрии не существует. Это связано с тем, что в такой системе отсутствуют четырехугольные фигуры, сумма углов которых равна трехстах шестидесяти градусам.

Квадрат и его особенности

Разобравшись с признаками и свойствами прямоугольника, стоит обратить внимание на второй известный науке четырехугольник с прямыми углами (это квадрат).

Являясь по факту тем же прямоугольником, но с равными сторонами, эта фигура обладает всеми его свойствами. Но в отличие от него, квадрат присутствует в неевклидовой геометрии.

Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие собственные отличительные черты. Например, то, что диагонали квадрата не просто равны между собою, но и пересекаются под прямым углом. Таким образом, как и ромб, квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников, на которые ее делят диагонали.

Помимо этого, данная фигура является самой симметричным среди всех четырехугольников.

Чему равна сумма углов четырехугольника

Рассматривая особенности четырехугольников евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на их углы.

Так, в каждой из вышеперечисленных фигур, независимо от того, есть у нее прямые углы или нет, общая сумма их всегда одинакова - триста шестьдесят градусов. Это уникальная отличительная черта этого вида фигур.

Периметр четырехугольников

Разобравшись с тем, чему равна сумма углов четырехугольника и другими особенными свойствами фигур этого вида, стоит узнать, какими формулами лучше всего пользоваться, чтобы вычислить их периметр и площадь.

Чтобы определить периметр любого четырехугольника, нужно лишь сложить между собою длину всех его сторон.

Например, в фигуре KLMN ее периметр можно вычислить по формуле: Р = KL + LM + MN + KN. Если подставить сюда числа, получится: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

В случае когда рассматриваемая фигура - это ромб или квадрат, для нахождения периметра можно упростить формулу, просто помножив длину одной из его сторон на четыре: Р = KL х 4. Например: 6 х 4=24 (см).

Формулы четырехугольников площади

Разобравшись с тем, как найти периметр любого фигуры с четырьмя углами и сторонами, стоит рассмотреть наиболее популярные и простые способы нахождения ее площади.


Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности

Рассмотрев особенности и свойства четырехугольника как фигуры евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на возможность описывать вокруг или вписывать внутри него круги:

  • Если суммы противолежащих углов фигуры составляют по сто восемьдесят градусов и попарно равны между собою, то вокруг такого четырехугольника можно свободно описать окружность.
  • Согласно теореме Птолемея, если снаружи многоугольника с четырьмя сторонами описан круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон данной фигуры. Таким образом, формула будет выглядеть так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
  • Если построить четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны между собою, то в него можно вписать круг.

Разобравшись с тем, что такое четырехугольник, что за виды его существуют, какие из них имеют только прямые углы между сторонами и какими свойствами они обладают, стоит запомнить весь этот материал. В особенности формулы нахождения периметра и площади рассмотренных многоугольников. Ведь фигуры такой формы - одни из самых распространенных, и эти знания могут пригодиться для вычислений в реальной жизни.

Параллелограмм из соединенных средних точек четырехугольника

Если вы соедините середины сторон любого четырехугольника, полученный четырехугольник всегда будет параллелограммом.

Удивительно, но это верно, будь то четырехугольник особого вида, такой как параллелограмм, воздушный змей или трапеция, или просто произвольный простой выпуклый четырехугольник без параллельных или равных сторон.

Задача

В четырехугольнике ABCD точки P, Q, R и S являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно.Докажите, что PQRS - это параллелограмм.

Стратегия

Тот факт, что нам говорят, что P, Q, R и S являются средними точками , должен напоминать нам теорему о срединном сегменте треугольника - средний сегмент параллелен третьей стороне, а его длина равна половине длина третьей стороны.

У нас здесь нет треугольников, поэтому давайте построим их так, чтобы середины четырехугольника стали серединами треугольников, нарисовав диагональ AC:

Теперь у нас есть два треугольника, ΔBAC и ΔDAC, где PQ и SR - средние сегменты.Итак, используя теорему о треугольнике среднего сегмента, мы находим, что PQ || AC и PQ = ½AC, а также что SR || AC и SR = ½AC.

Поскольку PQ и SR параллельны третьей линии (AC), они параллельны друг другу, и у нас есть четырехугольник (PQRS) с двумя противоположными сторонами, которые параллельны и равны, так что это параллелограмм.

Мы также могли бы сделать это, нарисовав вторую диагональную DB, и вместо этого использовать два треугольника ΔADB и ΔCDB.

Доказательство

Вот как вы показываете, что соединение средних точек четырехугольника создает параллелограмм:

(1) AP = PB // Дано
(2) BQ = QC // Дано
(3) PQ || AC / / (1), (2), Теорема о среднем сегменте треугольника
(4) PQ = ½AC // (1), (2), Теорема о среднем сегменте треугольника
(5) AS = SD // Дано
(6) CR = RD / / Учитывая
(7) SR || AC // (5), (6), Теорема о среднем сегменте треугольника
(8) SR = ½AC // (5), (6), Теорема о среднем сегменте треугольника
(9) SR = PQ // (4), (8), Транзитивное свойство равенства
(10) SR || PQ // (3), (7), две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу
(11) PQRS является Параллелограмм // Четырехугольник с двумя противоположными сторонами, которые параллельны и равны

2 февраля 2012 г.

Возьмем любой четырехугольник, например этот

затем отметьте средние точки и соедините их.

Похоже, мы построили параллелограмм, не так ли? Удивительный факт здесь заключается в том, что , независимо от того, с какого четырехугольника вы начинаете, вы всегда получаете параллелограмм, когда соединяете средние точки .

Это результат, который кажется случайным и удивительным. Вам нужно нарисовать несколько четырехугольников, чтобы убедить себя, что это даже кажется правильным. Как вы в целом собираетесь это доказать?

На днях некоторые студенты спросили меня, почему это так.Я совершенно забыл, как подойти к проблеме, поэтому у меня появился шанс поиграть с ней по-новому. У меня было две идеи, как начать. Во-первых, провести еще одну линию на чертеже и посмотреть, поможет ли это.

Разве синяя линия не параллельна оранжевым линиям над и под ней? Если бы это было правдой, это дало бы нам мощный путь вперед. Это также предвещает мою вторую идею: попробуйте соединить середины треугольника, а не четырехугольника.

Вот как выглядит произвольный треугольник.

Похоже, что соединение этих средних точек создает четыре конгруэнтных треугольника, не так ли? На самом деле это не так уж сложно доказать. Узнав это, мы увидим, что любая пара соприкасающихся треугольников образует параллелограмм. Это означает, что две синие линии ниже параллельны.

Итак, мы можем заключить:
Лемма. Синие линии выше параллельны.

Теорема. Оранжевая фигура выше представляет собой параллелограмм.
Доказательство.Снова нарисуйте эту синюю линию.

У нас такая же ситуация, как на картинке треугольника сверху! Ты это видишь?
Сотрем нижнюю половину рисунка и нарисуем параллельные линии одного цвета:

Видите, что синие линии параллельны? Верхняя линия соединяет середины треугольника, поэтому мы можем применить нашу лемму!

Но то же самое верно и для нижней, и для средней линии! Таким образом, все синие линии внизу должны быть параллельны.

То же самое верно и для оранжевых линий по тому же аргументу.

Значит, четырехугольник в конце концов - параллелограмм!

Я нашел это довольно привлекательным аргументом: рисование линий из противоположных углов превращает непостижимое в (надеюсь) очевидное. Переход от путаницы к ясности для меня - одна из величайших радостей математических вычислений.

Следующий вопрос заключается в том, можем ли мы изменить результат, отказавшись от первоначальной настройки.Верен ли наш результат, например, когда четырехугольник не выпуклый?

Похоже, еще будет держаться. Я оставлю это вам.

Вот еще несколько вопросов, которые следует рассмотреть:

  1. Как площадь параллелограмма, полученная при соединении середин четырехугольника, соотносится с исходным четырехугольником?
  2. Есть шестиугольник, в котором, когда вы соединяете середины его сторон, вы получаете шестиугольник с большей площадью, чем вы начали.Сможете ли вы найти шестиугольник с этим свойством?
  3. Сможете ли вы найти такой шестиугольник, что, соединив середины его сторон, получится четырехугольник?

Урок Середины четырехугольника - это вершины параллелограмма

Урок Середины четырехугольника - это вершины параллелограмма



Этот урок (Середины четырехугольника являются вершинами параллелограмма) был создан пользователем ikleyn (40177) : View Source, Show
About ikleyn :

Середины четырехугольника - вершины параллелограмма


Теорема
В произвольном выпуклом четырехугольнике середины его сторон являются вершинами параллелограмма.Доказывать.

Проба
Пусть ABCD будет произвольным выпуклым четырехугольником ( Рисунок 1 ),
и пусть точки E , F , G и H будут серединами его
сторон AB , BC , CD и AD соответственно.
Нам нужно доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом.

Нарисуйте диагонали AC и BD в четырехугольнике ABCD ( Рисунок 2 ).
Сегмент HG - это сегмент средней точки в треугольнике ACD .
Следовательно, отрезок HG параллелен стороне AC треугольника
ACD в соответствии с уроком Отрезок прямой, соединяющий середины
двух сторон треугольника (в теме Треугольники раздел
Геометрия на этом сайте).



Рисунок 1 .К теореме


Рисунок 2 . К доказательству теоремы
Сегмент EF - это сегмент средней точки в треугольнике ABC . Следовательно, отрезок EF параллелен стороне AC треугольника ABC .
Поскольку сегменты HG и EF параллельны диагонали AC , они параллельны друг другу.

Точно так же сегмент GF является сегментом средней точки в треугольнике DCB . Следовательно, сегмент GF параллелен стороне DB треугольника DCB .
Отрезок HE - это сегмент средней точки в треугольнике ABD . Следовательно, отрезок HE параллелен стороне DB треугольника ABD .
Поскольку сегменты GF и HE оба параллельны диагонали DB , они параллельны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике EFGH противоположные стороны HG и EF , HE и GF попарно параллельны.
Следовательно, четырехугольник EFGH является параллелограммом. Теорема доказана.

Другие мои уроки по параллелограммам на этом сайте:
- В параллелограмме каждая диагональ делит его на два равных треугольника.
- Свойства сторон параллелограмма
- Свойства сторон параллелограммов
- Свойства диагоналей параллелограммов
- Противоположные углы параллелограмма
- Последовательные углы параллелограмма
- Длина диагоналей параллелограмма
- Замечательные сложные задачи на параллелограммах
- КАК решать задачи о мерах сторон параллелограмма - Примеры
- КАК решать задачи об углах параллелограммов - Примеры
- СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ - ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.


К этому уроку обращались 24051 раз.

Центр масс выпуклого четырехугольника

Используя Geometer's Sketch Pad (GSP), можно построить центр тяжести треугольник с легкостью. Мы продемонстрируем это в свое время. Что может быть не сразу очевидно, так это то, что мы можем расширить эта конструкция для определения центра масс выпуклой четырехугольник. Стоит только отметить, что при использовании любой диагонали выпуклого четырехугольника можно разделить четырехугольник на два различные треугольники, которые, как правило, не имеют одинаковой площади или массы как бы для этого задания.После получения треугольников и определения центра масс каждого, вполне разумно подозреваю, что центр масс четырехугольника по координате линия, определяемая диагональю, является серединой отрезка соединяя центры масс соответствующих треугольников. Начнем с построения центра масс одиночный треугольник. Для этого нам нужно будет определить центроид произвольного треугольника. Без дальнейшего прощания; ан произвольный треугольник, построенный в GSP:
В общем треугольнике выше мы уже построили середины каждой стороны треугольника, используя инструмент выбора на каждый сегмент затем с помощью команды построения для определения середина.Далее мы хотим построить медианы, которые соединяют каждый середина вершины, противоположной стороне, на которой она находится.
Наконец, в качестве последнего шага мы помечаем общие пересечения медиан как центроид, который мы ищем (хотя на самом деле необходимы только две медианы).
Один может спросить, почему это дает центр масс данного треугольника. Сначала мы должны обратиться к важному техническому предположению, которое необходимо для того, чтобы наше утверждение было правдой. Предположим, что все полигоны имеют одинаковую толщину и плотность, иначе наше требование могло бы быть ложный.Теперь, согласно предыдущему предположению, каждая медиана делит треугольник на две части, и это главное, равного размера. Это можно увидеть, рассматривая любую из трех сторон как основу треугольник. Когда мы делим сегмент пополам и строим медиану мы фактически создаем два треугольника одинаковой длины основания и одинаковая высота; в конечном итоге каждый треугольник имеет одинаковые площадь. Теперь рассмотрим один из двух оставшихся сегментов и треугольник из тех, что только что построили со стороной.Когда мы разрезать эту сторону пополам и построить медиану мы, затем повторить то же самое В процессе последнего отрезка мы создаем два треугольника с равным основанием длина на сегменте, при этом медиана прикреплена к сегменту как общая высота и исключенные срединные значения, действующие как соответствующие стороны, так что эти два треугольника равны. Мы можем сделать это для каждого пара треугольников с основанием, равным половине одного из исходных стороны треугольников, из транзитивности следует, что шесть треугольников все содержащиеся в данном треугольнике имеют равную площадь или массу.Используя каждый медиана как ось баланса, мы видим, что треугольник сбалансирован вдоль каждой оси в центре тяжести во всех трех осях, и, таким образом, центроид - это центр масс данного треугольника. Мы будем сейчас распространить это понятие на выпуклые четырехугольники.

Ниже представлен выпуклый четырехугольник общего положения.


Для такого четырехугольника, если поочередно нарисовать одну из двух диагоналей, образуются два треугольника:

Теперь нам нужно построить центры масс для каждого из четырех треугольников и указать их в нашем исходном четырехугольнике.Работая сначала с ранее обозначенной диагональю, мы копируем построение центроида для нашего исходного треугольника. Аналогичным образом мы строим центроиды для треугольников на последнем изображении.
Давайте взглянем на наш четырехугольник с четырьмя указанными вместе центроидами после построения отрезка, соединяющего те, которые связаны с каждой из указанных диагоналей.
Теперь, если построить среднюю точку для сегмента между центроидами A и Centroid B, то средняя точка будет центром масс четырехугольника в направлении сегмента, пересекающего среднюю точку.Точно так же средняя точка сегмента между центроидом C и центроидом D будет центром масс четырехугольника в направлении сегмента через среднюю точку. Это показано на следующем изображении.
То, что я сказал вам, что это два центра масс для данного четырехугольника, все в порядке, но почему вы должны мне доверять? Любой центр масс четырехугольника должен отражать то, что поперек линии в направлении баланса четырехугольник должен иметь одинаковую массу с обеих сторон.Следует отметить, что это требует предположения, что четырехугольник имеет одинаковую плотность и толщину, иначе это, вероятно, неверно. Давайте посмотрим, что это правда. Ниже я удалил все точки, относящиеся к центру масс центроида A и центроида B.

Калькулятор неправильного выпуклого четырехугольника

Четыре стороны неправильного четырехугольника могут иметь выпуклую, вогнутую или перекрестную форму.

(Мы предполагаем, что вершины соединены последовательностью от A к B, затем к C и к D и, наконец, обратно к A) Поскольку любые 4 стороны могут образовывать выпуклый, вогнутый или скрещенный четырехугольник, необходимо определить точную форму.

Чтобы нарисовать четырехугольник замкнутой формы, должны быть выполнены следующие неравенства:

a + b + c> d
b + c + d> a
c + d + a> b
d + a + b> c

Любую форму четырехугольника можно разделить на 2 треугольника.

Площадь выпуклого четырехугольника можно выразить одной из следующих формул:


Из рис. 3 видно, что складывающийся треугольник BCD по оси q образует вогнутый четырехугольник.
Вопрос теперь в том, как мы можем оценить, образует ли сложенный треугольник вогнутую или перекрещенную форму.Из рис. 2 видно, что если
β 1 > β 2 и δ 1 > δ 2 истинны, то новая форма будет вогнутой, иначе, если один из критериев неверен, новая форма будет пересеченной четырехугольник. Если оба критерия неверны, значит, это вогнутая форма, но вместо этого треугольник ABD складывается в треугольник BCD.

Четырехугольник - Википедия | WordDisk

Четырехугольник - это многоугольник в геометрии евклидовой плоскости с четырьмя ребрами (сторонами) и четырьмя вершинами (углами). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольником) и четырехугольник (по аналогии, например, пятиугольник или шестиугольник) [ необходима ссылка ] .Четырехугольник с вершинами A {\ displaystyle A}, B {\ displaystyle B}, C {\ displaystyle C} и D {\ displaystyle D} иногда обозначается как ◻ABCD {\ displaystyle \ square ABCD}. [1] [2] ]

Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами

Слово «четырехугольник» происходит от латинских слов quadri , вариант четырех, и latus , что означает «сторона».

Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными).{\ circ}.}

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: ( n - 2) × 180 °.

Все несамопересекающиеся четырехугольники накладывают мозаику на плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих краев. [3]

Простые четырехугольники


Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Четырехугольники выпуклые
Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные диаграммой Хассе.

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

  • Неправильный четырехугольник (британский английский) или трапеция (североамериканский английский): никакие стороны не параллельны. (В британском английском это когда-то называлось трапеция . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции)
  • Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельна.Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
  • Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы основания равны в меру. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
  • Параллелограмм: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия состоят в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам.Параллелограммы включают ромбы (включая те прямоугольники, которые называются квадратами) и ромбовидные формы (включая те прямоугольники, которые называются продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбы, а значит, также включают все прямоугольники.
  • Ромб, ромб: [2] все четыре стороны равной длины (равносторонние). Эквивалентным условием является то, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
  • Ромбовидный: параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы наклонены (экв., не имеющий прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. [4]
  • Прямоугольник: все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентное условие - диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и продолговатые формы. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
  • Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла являются прямыми углами.Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат - параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (то есть с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами).
  • Продолговатый: длина больше ширины или больше длины (т. Е. Прямоугольник, который не является квадратом). [5]
  • Воздушный змей: две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники, и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере.Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

  • Тангенциальный четырехугольник: четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
  • Тангенциальная трапеция: трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности.
  • Циклический четырехугольник: четыре вершины лежат на описанной окружности. Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
  • Правый кайт: кайт с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
  • Гармонический четырехугольник: произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
  • Двухцентровый четырехугольник: он тангенциальный и циклический.
  • Четырехугольник ортодиагональный: диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Равноугольный четырехугольник: диагонали одинаковой длины.
  • Вне касательный четырехугольник: четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности.
  • Равновесный четырехугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в расширении пересекаются под углом 60 °.
  • Четырехугольник Вт - четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины. [6]
  • Четырехугольник - это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [7]
  • Диаметральный четырехугольник - это вписанный четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности.[8]
  • A Четырехугольник Ельмслева - четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [9]
Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

  • Строка (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но где один внутренний угол является отражающим. См. Кайт.

Сложные четырехугольники


Антипараллелограмм

Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестный четырехугольник , перекрещенный четырехугольник , четырехугольник-бабочка или четырехугольник-бабочка .В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острых и два рефлекторных, все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720 ° [10].

  • Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [11] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция)
  • Антипараллелограмм: скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как параллелограмм)
  • Перекрещенный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника, следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон
  • Перекрещенный квадрат: особый случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные отрезки линии


Две диагонали выпуклого четырехугольника - это отрезки линии, соединяющие противоположные вершины.

Два бимедиана выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, которые соединяют середины противоположных сторон. [12] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре солодки выпуклого четырехугольника являются перпендикулярами к одной стороне - через середину противоположной стороны. [13]

Площадь выпуклого четырехугольника


Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы

Площадь может быть выражена тригонометрическими терминами как [14]

K = pq2sin⁡θ, {\ displaystyle K = {\ tfrac {pq} {2}} \ sin \ theta,}

, где длины диагоналей равны p и q , а угол между их составляет θ . {2} \ left ({\ tfrac {A + C} {2}} \ right) \ right]}} \ end {align}}}

, где стороны в последовательности a , b , c , d , где s - полупериметр, а A и C - два (фактически любые два) противоположных угла.Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника - когда A + C = 180 °.

Другая формула площади с точки зрения сторон и углов, с углом C между сторонами b и c , и A между сторонами a и d , составляет

К = ad2sin⁡A + bc2sin⁡C. {\ Displaystyle K = {\ tfrac {ad} {2}} \ sin {A} + {\ tfrac {bc} {2}} \ sin {C}.}

В случае циклического четырехугольника последняя формула принимает вид K = ad + bc2sin⁡A.{2})}} {4}} \ sin {\ varphi}}

, где x - расстояние между серединами диагоналей, а φ - угол между бимедианами.

Последняя формула тригонометрической площади, включая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ): [ цитата необходима ]

К = ab2sin⁡α + 4c2d2- (c2 + d2 − a2 − b2 + 2ab⋅cos⁡α) 24, {\ displaystyle K = {\ tfrac {ab} {2}} \ sin {\ alpha} + { \ tfrac {\ sqrt {4c ^ {2} d ^ {2} - (c ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + 2ab \ cdot \ cos {\ alpha }) ^ {2}}} {4}},}

, который также можно использовать для площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на -. {2}}} {2}}.{2}]}} {4}},}

, если даны длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD может быть вычислена с помощью векторов. Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D . Тогда площадь четырехугольника равна

.
K = | AC × BD | 2, {\ displaystyle K = {\ tfrac {| \ mathbf {AC} \ times \ mathbf {BD} |} {2}},}

, что составляет половину величины кросс-произведение векторов AC и BD .В двумерном евклидовом пространстве вектор AC выражается как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ), это можно переписать как:

K = | x1y2 − x2y1 | 2. {\ Displaystyle K = {\ tfrac {| x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |} {2}}.}

Диагонали


Свойства диагоналей в четырехугольниках

В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали.[25] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Примечание 1: У наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (не похожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников.

Примечание 2: У воздушного змея одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).{2} -2bc \ cos {C}}}.}

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [26]

п знак равно (ac + bd) (ad + bc) −2abcd (cos⁡B + cos⁡D) ab + cd {\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd (\ cos {B} + \ cos {D})} {ab + cd}}}}

и

q знак равно (ab + cd) (ac + bd) −2abcd (cos⁡A + cos⁡C) ad + bc. {2 } -2abcd \ cos {(A + C)}.}

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В циклическом четырехугольнике, где A + C = 180 °, он уменьшается до pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические соотношения

Если X и Y являются опорами нормалей от B и D до диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , затем [28] : p.{2} |} {2p}}.}

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , и где диагонали пересекаются в E ,

efgh (a + c + b + d) (a + c − b − d) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef − beh − dfg) {\ displaystyle efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)}

, где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} = 0.}

Биссектрисы угла


Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник [23] : p.127 (т.е. , четыре точки пересечения смежных биссектрис угла совпадают) или они совпадают. В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником.

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы углов A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы углов B и D пересекаются на диагонали AC .[30]

Бимедианс


Вариньон параллелограмм EFGH

Бимедианы четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедианов - это центр тяжести вершин четырехугольника. [14]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона. Он имеет следующие свойства:

  • Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
  • Сторона параллелограмма Вариньона в два раза короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [31]
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
  • Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и все делятся пополам своей точкой пересечения. [23] : p.125

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c , равна

. {2}}}}

, где p и q - длина диагоналей.{2}}}.}

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями: [28]

  • Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны.
  • Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества


Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: [33]

sin⁡A + sin⁡B + sin⁡C + sin⁡D = 4sin⁡A + B2sin⁡A + C2sin⁡A + D2 {\ displaystyle \ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C } + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin {\ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2} }}
,
,

и

tanAtan⁡B − tan⁡Ctan⁡Dtan⁡Atan⁡C − tan⁡Btan⁡D = tan⁡ (A + C) tan⁡ (A + B).{\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} - \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} - \ tan {B} \ tan {D }}} = {\ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}}.}

Также, [34]

tan⁡A + tan⁡B + tan⁡C + tan⁡Dcot⁡A + cot⁡B + cot⁡C + cot⁡D = tan⁡Atan⁡Btan⁡Ctan⁡D. {\ Displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}.}

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым, поскольку tan 90 ° не определен.{2})}}} с равенством только для прямоугольника. [16]

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет

K≤ (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) {\ displaystyle K \ leq {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный или вырожденный, так что одна сторона равна сумме трех других (он свернулся в отрезок прямой, поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [36]

K≤12 (ab + cd) (ac + bd) (ad + bc) 3.{2},}

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

K≤12pq {\ displaystyle K \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq}

для диагоналей p и q , с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d будут длинами сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагоналями AC = p , BD = q .{2}}

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.

Эйлер также обобщил теорему Птолемея, которая является равенством в вписанном четырехугольнике, в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

pq≤ac + bd {\ displaystyle pq \ leq ac + bd}

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим. {2},}

с равенством, выполняемым тогда и только тогда, когда диагонали равны.{2}}

где К - площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

Четырехугольник с заданной длиной сторон и максимальной площадью является вписанным четырехугольником. [41]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь.[36] : p.119 Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет

K = 12pqsin⁡θ≤12pq, {\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} pq \ sin {\ theta} \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq,}

где θ - угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

Если P - внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

AP + BP + CP + DP≥AC + BD.{\ displaystyle AP + BP + CP + DP \ geq AC + BD.}

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, которая минимизирует сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [42] : p.120

Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике


Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах.«Боковой центроид» исходит из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же. [43]

«Центроид вершины» - это пересечение двух бимедианов. [44] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центроида вершины являются средним арифметическим для координат вершин x и y .

«Центроид площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. Тогда «центр тяжести площади» - это пересечение линий G a G c и G b G d .[45]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий с центром описанной окружности и ортоцентром треугольника. Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , O b , O c , O d будут центрами окружности треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. и обозначим как H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках.Тогда пересечение линий O a O c и O b O d называется квазиокружным центром, а пересечение линий H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [45] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO .[45]

Также можно определить центр квазининной точки E как пересечение линий E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d - центры девяти точек треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E - это середина OH .[45]

Еще одна замечательная линия в выпуклом четырехугольнике без параллелограмма - это линия Ньютона, которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона) - это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Эта линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1.[46]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q точки пересечения AD и BC и AB и CD , соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD ), и (QBC) проходят через общую точку M , называемую точкой Микеля. [47]

Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E - точка пересечения диагоналей, а F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω будет окружностью, проходящей через E и F , который соответствует CB внутри на M и DA внутри на N .Пусть CA снова встретится с ω на L и пусть DB снова встретится с ω на K . Тогда имеет место: прямые NK и ML пересекаются в точке P , которая находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , которая находится на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD .[48] [49] [50]

Другие свойства выпуклых четырехугольников


  • Пусть внешние квадраты нарисованы со всех сторон четырехугольника. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны. Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника. Это называется теоремой Ван Обеля.
  • Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра. [41]
  • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.[51]

Таксономия


Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе.

Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент - трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

Косые четырехугольники


(Красные) боковые края четырехугольного дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный скошенный четырехугольник

Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником .Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были выведены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [52] Исторически термин грубый четырехугольник также использовался для обозначения скошенного четырехугольника [53]. Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр, и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, где пара противоположных ребер удалена.

См. Также


Список литературы


  1. «Список геометрических и тригонометрических символов». Математическое хранилище . 2020-04-17. Проверено 2 сентября 2020.
  2. «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». www.mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020.
  3. Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, DOI: 10.1007 / 978-1-4612-5680-9, ISBN 0-387--3 , MR 0718119
  4. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 14 мая 2014 года. Проверено 20 июня 2013 года. CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка)
  5. http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
  6. Keady, G .; Весы, П .; Немет, С. З. (2004). «Ваттные связи и четырехугольники». Математический вестник . 88 (513): 475–492. DOI: 10.1017 / S0025557200176107.
  7. Джоббингс, А. К. (1997). «Четырехугольники». Математический вестник . 81 (491): 220–224. DOI: 10.2307 / 3619199. JSTOR 3619199.
  8. Борегар Р. А. (2009). «Диаметральные четырехугольники с двумя равными сторонами». Математический журнал колледжа . 40 (1): 17–21. DOI: 10.1080 / 07468342.2009.111. S2CID 122206817. ,
  9. ,
  10. , , Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и за его пределами .Springer. С. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0 .
  11. Звезды: второй взгляд
  12. Батлер, Дэвид (2016-04-06). «Скрещенная трапеция». Разбирайся в своих мыслях . Проверено 13 сентября 2017.
  13. E.W. Weisstein. «Бимедиан». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  14. E.W. Weisstein. «Мальтитуд». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  15. Вайсштейн, Эрик В. "Четырехугольник". мир математики.wolfram.com . Проверено 2 сентября 2020.
  16. Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
  17. Джозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF), Forum Geometricorum , 13 : 17–21 .
  18. Р. А. Джонсон, Advanced Euclidean Geometry , 2007, Dover Publ., P. 82.
  19. Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
  20. Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
  21. E.W. Weisstein. «Формула Бретшнейдера». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  22. Арчибальд, Р. К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922) стр. 29–36.
  23. Джозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .
  24. Altshiller-Court, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
  25. Josefsson, Martin (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), С. 505–508.
  26. Кале, Дженнифер, Геометрия: основные идеи, по состоянию на 28 декабря 2012 г.
  27. Рашид, М. А. и Аджибаде, А. О., «Два условия, при которых четырехугольник является циклическим, выраженным в терминах длин его сторон», Int. Дж.Математика. Educ. Sci. Technol. , т. 34 (2003) нет. 5. С. 739–799.
  28. Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, Комплексные числа от A до ... Z , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
  29. Джозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF), Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .
  30. Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула для диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF), Forum Geometricorum , 11 : 211–212 .
  31. Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
  32. Х. С. М. Кокстер и С. Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, МАА, 1967, стр. 52–53.
  33. Матееску Константин, Ответ на Неравенство диагонали
  34. К. В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Довер, 2003 г., стр. 267.
  35. MathPro Press , «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем 1963–2005», стр.23,
  36. O. Bottema, Geometric Inequalities , Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
  37. Alsina, Claudi; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 68 .
  38. Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
  39. Леонард Михай Джуджук, Дао Тхань Оай и Кадир Алтинтас, Неравенство, связанное с длиной и площадью выпуклого четырехугольника , International Journal of Geometry, Vol.7 (2018), No. 1, pp. 81-86,
  40. Josefsson, Martin (2014). «Свойства равдиагональных четырехугольников». Форум Geometricorum . 14 : 129–144.
  41. Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum» ,.
  42. Питер, Томас, "Максимизация площади четырехугольника", The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
  43. Alsina, Claudi; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику .Математическая ассоциация Америки. С. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1 .
  44. Кинг, Джеймс, Два центра масс четырехугольника `` Проверено 15 апреля 2012 г.
  45. Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. Доц. Америк., 1995, с. 35–41.
  46. Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных линиях, связанных с четырехугольником» (PDF), Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
  47. https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
  48. Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ISBN 9780883858394 .
  49. Дэвид, Фрайвер (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, DOI: 10.1017 / mag.2019.54 .
  50. Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных кругами точек Паскаля», Journal for Geometry and Graphics , 23 : 5–27 .
  51. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства круга точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF), Forum Geometricorum , 17 : 509–526 .
  52. Йозефссон, Мартин, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum 13 (2013) 23–35.
  53. Barnett, M. P .; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. DOI: 10.1002 / qua.20807.
  54. Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). "О некоторых результатах, полученных кватернионным анализом в отношении надписи" гошей "многоугольников на поверхностях второго порядка" (PDF). Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.

Четырехугольник - HandWiki

Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами

Четырехугольник - это многоугольник в геометрии евклидовой плоскости с четырьмя ребрами (сторонами) и четырьмя вершинами (углами). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольником), четырехугольник (по аналогии с пятиугольником и шестиугольником) и 4-угольник (по аналогии с n -угольник для произвольных значений n ) . {\ circ}.} [/ math]

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: ( n - 2) × 180 °.

Все несамопересекающиеся четырехугольники накладывают мозаику на плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих краев.

Четырехугольники простые

Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Четырехугольники выпуклые

Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные диаграммой Хассе.

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

  • Неправильный четырехугольник (британский английский) или трапеция (североамериканский английский): никакие стороны не параллельны. (В британском английском это когда-то называлось трапеция . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции)
  • Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельна.Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
  • Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы основания равны в меру. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
  • Параллелограмм: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия состоят в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам.Параллелограммы включают ромбы (включая те прямоугольники, которые называются квадратами) и ромбовидные формы (включая те прямоугольники, которые называются продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбы, а значит, также включают все прямоугольники.
  • Ромб, ромб: [2] все четыре стороны равной длины (равносторонние). Эквивалентным условием является то, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
  • Ромбовидный: параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы наклонены (экв., не имеющий прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. [3]
  • Прямоугольник: все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентное условие - диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и продолговатые формы. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
  • Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла являются прямыми углами.Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат - параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (то есть с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами).
  • Продолговатый: длиннее ширины или шире длины (т. Е. Прямоугольник, который не является квадратом). [4]
  • Воздушный змей: две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники, и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере.Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

  • Тангенциальный четырехугольник: четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
  • Тангенциальная трапеция: трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности.
  • Циклический четырехугольник: четыре вершины лежат на описанной окружности. Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
  • Правый кайт: кайт с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
  • Гармонический четырехугольник: произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
  • Двухцентровый четырехугольник: он тангенциальный и циклический.
  • Четырехугольник ортодиагональный: диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Равноугольный четырехугольник: диагонали одинаковой длины.
  • Вне касательный четырехугольник: четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности.
  • Равновесный четырехугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в расширении пересекаются под углом 60 °.
  • Четырехугольник Вт - четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины. [5]
  • Четырехугольник - это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [6]
  • Диаметральный четырехугольник - это вписанный четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности. [7]
  • A Четырехугольник Ельмслева - четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [8]

Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

  • Строка (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но где один внутренний угол является отражающим. См. Кайт.

Сложные четырехугольники

Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестный четырехугольник , перекрещенный четырехугольник , четырехугольник-бабочка или четырехугольник-бабочка . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острых и два рефлекторных, все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720 °. [9]

  • Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [10] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция)
  • Антипараллелограмм: скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как параллелограмм)
  • Перекрещенный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника, следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон
  • Перекрещенный квадрат: особый случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом

Специальные отрезки линии

Две диагонали выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющих противоположные вершины.

Два бимедиана выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, которые соединяют середины противоположных сторон. [11] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре солоды выпуклого четырехугольника являются перпендикулярами к одной стороне - через середину противоположной стороны. [12]

Площадь выпуклого четырехугольника

Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы

Площадь можно выразить тригонометрическими терминами как [13]

[math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq \ cdot \ sin \ theta,} [/ math]

, где длины диагоналей равны p и q и угол между ними составляет θ . [14] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq} [/ math] с θ составляет 90 °. 2 \ left (\ tfrac {A + C} {2} \ right) \ right]} \ end {align}} [/ math]

, где стороны в последовательности a , b , c , d , где s - полупериметр, а A и C - это два (фактически любые два) противоположных угла.Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника - когда A + C = 180 °.

Другая формула площади с точки зрения сторон и углов, с углом C между сторонами b и c , и A между сторонами a и d , имеет вид

[математика] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} ad \ cdot \ sin {A} + \ tfrac {1} {2} bc \ cdot \ sin {C}. } [/ math]

В случае циклического четырехугольника последняя формула становится [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} (ad + bc) \ sin {A}.2)} \ sin {\ varphi}} [/ math]

, где x - это расстояние между серединами диагоналей, а φ - угол между бимедианами. 2}.2]},} [/ math]

, если заданы длины двух диагоналей и одного бимедиана.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD может быть вычислена с помощью векторов. Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D . Тогда площадь четырехугольника равна

[math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} | \ mathbf {AC} \ times \ mathbf {BD} |,} [/ math]

, что составляет половину величины перекрестного произведения векторов AC и BD .В двумерном евклидовом пространстве вектор AC выражается как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ), это можно переписать как:

[математика] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |. } [/ math]

Диагонали

Свойства диагоналей некоторых четырехугольников

В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали. [24] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Примечание 1: У наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (не похожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников.

Примечание 2: У воздушного змея одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).2-2bc \ cos {C}}. } [/ math]

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [25]

[математика] \ displaystyle {p = \ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd (\ cos {B} + \ cos {D})} {ab + cd}}} [ / math]

и

[математика] \ displaystyle {q = \ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) -2abcd (\ cos {A} + \ cos {C})} {ad + bc}}. 2-2abcd \ cos {(A + C)}.} [/ math]

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В циклическом четырехугольнике, где A + C = 180 °, он уменьшается до pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Прочие метрические соотношения

Если X и Y являются опорами нормалей от B и D до диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , затем [27] : p.2 |} {2p}. } [/ math]

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , и где диагонали пересекаются в точке E ,

[математика] \ displaystyle {efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)} [/ math]

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .2 & 0 & 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 0 \ end {bmatrix} = 0.} [/ math]

Биссектриса угла

Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник [22] : p.127 (то есть четыре точки пересечения биссектрис смежных углов параллельны), либо они совпадают. В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником.

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы углов A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы B и D пересекаются на диагонали AC . [29]

Бимедианс

Параллелограмм Varignon EFGH

Бимедианы четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедианов - это центр тяжести вершин четырехугольника. [13]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона. Обладает следующими свойствами:

  • Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
  • Сторона параллелограмма Вариньона в два раза короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [30]
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
  • Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и делятся пополам своей точкой пересечения. [22] : p.125

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d , длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c - это

[математика] \ displaystyle {m = \ tfrac {1} {2} \ sqrt {-a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 + d ^ 2 + p ^ 2 + q ^ 2}} [/ math ]

, где p и q - длина диагоналей.2}. } [/ math]

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями: [27]

  • Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны.
  • Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические идентификаторы

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: [32]

[математика] \ displaystyle {\ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C} + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin { \ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2}}} [/ math]

и

[математика] \ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} - \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} - \ tan {B} \ tan {D}} = \ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}.} [/ math]

Также, [33]

[математика] \ displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}. } [/ math]

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым, так как tan 90 ° не определен.

Неравенства

Площадь

Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет [34]

[математика] \ displaystyle {K \ le \ tfrac {1} {4} (a + c) (b + d)} [/ math] с равенством только для прямоугольника.2)}} [/ math] с равенством только для прямоугольника. [15]

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет

[math] \ displaystyle {K \ le \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} [/ math]

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим или вырожденным таким, что сторона равна сумме трех других (она свернулась в отрезок линии, поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [35]

[математика] \ displaystyle {\ displaystyle K \ le \ tfrac {1} {2} \ sqrt [3] {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}.2,} [/ math]

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

[math] \ displaystyle {K \ le \ tfrac {1} {2} pq} [/ math]

для диагоналей p и q , с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d - длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагоналями AC = p , BD = q .2} [/ math]

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.

Эйлер также обобщил теорему Птолемея, которая является равенством в вписанном четырехугольнике, в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

[math] \ displaystyle {pq \ le ac + bd} [/ math]

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим. [22] : p.128–129 Это часто называют неравенством Птолемея.2} [/ math]

где K - площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

Четырехугольник с заданной длиной сторон и максимальной площадью является вписанным четырехугольником. [40]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь. [35] : p.119 Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет

[math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq \ sin {\ theta} \ le \ tfrac {1} {2} pq,} [/ math]

где θ - угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

Если P - внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

[математика] \ displaystyle {AP + BP + CP + DP \ ge AC + BD.} [/ math]

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [41] : p.120

Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах.«Боковой центроид» исходит из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же. [42]

«Центроид вершины» - это пересечение двух бимедианов. [43] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центроида вершины являются средним арифметическим для координат вершин x и y .

"Центр тяжести площади" четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. Тогда «центр тяжести площади» - это пересечение линий G a G c и G b G d . [44]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий с центром описанной окружности и ортоцентром треугольника. Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , O b , O c , O d будут центрами окружности треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. и обозначим как H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках.Тогда пересечение линий O a O c и O b O d называется квазиокружным центром, а пересечение линий H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [44] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO . [44]

Также может быть определен центр квазининной точки E как пересечение линий E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d - центры девяти точек треугольников BCD , ACD , ABD соответственно.Тогда E - это середина OH . [44]

Еще одна замечательная линия в выпуклом четырехугольнике без параллелограмма - это линия Ньютона, которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона) - это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Эта линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади).Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1. [45]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD , соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD), и (QBC) проходят через общую точку M , называемую точкой Микеля. [46]

Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E - точка пересечения диагоналей, а F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω - окружность, проходящая через E и F , которая соответствует CB внутри на M и DA внутри на N .Пусть CA снова встретится с ω на L и пусть DB снова встретится с ω на K . Тогда имеет место: прямые NK и ML пересекаются в точке P , которая находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , которая находится на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . [47] [48] [49]

Прочие свойства выпуклых четырехугольников

  • Нарисуйте внешние квадраты со всех сторон четырехугольника. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны. Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника. Это называется теоремой Ван Обеля.
  • Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра. [40]
  • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. [50]

Таксономия

Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны.Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент - трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

Косые четырехугольники

(Красные) боковые грани тетрагонального дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный косой четырехугольник.

Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были получены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [51] Исторически термин грубый четырехугольник также использовался для обозначения скошенного четырехугольника. [52] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр, и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена пара противоположных ребер.

См. Также

Список литературы

  1. ↑ «Список символов геометрии и тригонометрии» (на английском языке). 2020-04-17. https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/geometry-trigonometry-symbols/.
  2. 2,0 2,1 2,2 «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». https://www.mathsisfun.com/quadraterals.html.
  3. ↑ «Архивная копия». http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf.
  4. ↑ http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
  5. ↑ Keady, G .; Весы, П .; Немет, С. З. (2004). «Ваттные связи и четырехугольники». The Mathematical Gazette 88 (513): 475–492.DOI: 10.1017 / S0025557200176107. http://www.m-a.org.uk/jsp/index.jsp?lnk=620.
  6. ↑ Джоббингс, А. К. (1997). «Четырехугольники». The Mathematical Gazette 81 (491): 220–224. DOI: 10.2307 / 3619199.
  7. ↑ Борегар Р. А. (2009). «Диаметральные четырехугольники с двумя равными сторонами». College Mathematics Journal 40 (1): 17–21. DOI: 10.1080 / 07468342.2009.111.
  8. ↑ Хартсхорн Р. (2005). Геометрия: Евклид и за его пределами .Springer. С. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
  9. ↑ Звезды: Второй взгляд
  10. ↑ Батлер, Дэвид (2016-04-06). «Скрещенная трапеция». https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/.
  11. ↑ E.W. Weisstein. «Бимедиан». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html.
  12. ↑ E.W. Weisstein. «Мальтитуд». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Maltitude.html.
  13. 13.0 13,1 13,2 13,3 Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник» (на английском языке). https://mathworld.wolfram.com/Quadrateral.html.
  14. ↑ Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
  15. 15,0 15,1 15,2 Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников», Forum Geometricorum 13 : 17–21, http: // forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf.
  16. ↑ Р. А. Джонсон, Advanced Euclidean Geometry , 2007, Dover Publ., Стр. 82.
  17. ↑ Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
  18. ↑ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
  19. ↑ E.W. Weisstein. «Формула Бретшнейдера». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html.
  20. ↑ Арчибальд, Р. К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922) стр. 29–36.
  21. 21,0 21,1 Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника», Forum Geometricorum 11 : 155–164, http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116. pdf.
  22. 22,0 22,1 22,2 22.3 22,4 22,5 Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
  23. 23.0 23.1 Josefsson, Martin (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
  24. ↑ Кале, Дженнифер, Геометрия: основные идеи, [1], по состоянию на 28 декабря 2012 г.
  25. ↑ Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., «Два условия для того, чтобы четырехугольник был вписанным, выраженный в терминах длин его сторон», Int.J. Math. Educ. Sci. Technol. , т. 34 (2003) нет. 5. С. 739–799.
  26. ↑ Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, Комплексные числа от A до ... Z , Birkhäuser, 2006, стр. 207–209.
  27. 27,0 27,1 Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников», Forum Geometricorum 12 : 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf.
  28. ↑ Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула относительно диагоналей и сторон четырехугольника», Forum Geometricorum 11 : 211–212, http: // forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201122.pdf.
  29. ↑ Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
  30. ↑ Х. С. М. Кокстер и С. Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, МАА, 1967, стр. 52–53.
  31. ↑ Матееску Константин, Ответ на Неравенство диагонали
  32. ↑ C.V.Durell & A. Robson, Advanced Trigonometry , Dover, 2003, p. 267.
  33. MathPro Press , «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем 1963–2005», стр.23, [2]
  34. ↑ O. Bottema, Geometric Inequalities , Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
  35. 35,0 35,1 35,2 35,3 Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
  36. ↑ Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
  37. ↑ Леонард Михай Джуджук, Дао Тхань Оай и Кадир Алтинтас, Неравенство, связанное с длиной и площадью выпуклого четырехугольника , Международный журнал геометрии, Vol.7 (2018), № 1, стр. 81 - 86, [3]
  38. ↑ Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равдиагональных четырехугольников». Forum Geometricorum 14 : 129–144. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html.
  39. 39,0 39,1 Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum» , [4].
  40. 40,0 40,1 Питер Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol.34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
  41. ↑ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. С. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
  42. ↑ King, James, Два центра масс четырехугольника , [5], доступ 2012-04-15.
  43. ↑ Хонсбергер, Росс, Эпизоды Евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. Доц. Америк., 1995, с.35–41.
  44. 44,0 44,1 44,2 44,3 Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных линиях, связанных с четырехугольником», Forum Geometricorum 6 : 289–295, http: // forumgeom. fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf.
  45. ↑ https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
  46. ↑ Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.С. 198. ISBN 9780883858394.
  47. ↑ Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в круговой четырехугольник», The Mathematical Gazette 103 (557): 233–239, DOI: 10.1017 / mag.2019.54.
  48. ↑ Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных кругами точек Паскаля», Journal for Geometry and Graphics 23 : 5–27, http: //www.heldermann .de / JGG / JGG23 / JGG231 / jgg23002.htm.
  49. ↑ Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства круга точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями», Forum Geometricorum 17 : 509–526, http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748. pdf.
  50. ↑ Йозефссон, Мартин, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum 13 (2013) 23–35.
  51. ↑ Barnett, M. P .; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии 106 (1): 215–227.DOI: 10.1002 / qua.20807.
  52. ↑ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). "О некоторых результатах кватернионного анализа надписи" гошей "многоугольников на поверхностях второго порядка". Proceedings of the Royal Irish Academy 4 : 380–387. http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf.

Внешние ссылки

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *