Производная уравнение касательной: Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке,абсцисса которой равна х0:f(x)=4×2+x-1,×0=2

alexxlab / / Разное

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции. — Уравнение касательной к графику функции.

Комментарии преподавателя

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции

На преды­ду­щих за­ня­ти­ях были рас­смот­ре­ны за­да­чи на тех­ни­ку диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния. Это очень важ­ные за­да­чи, и на­хож­де­ние про­из­вод­ных необ­хо­ди­мо в раз­ных за­да­чах, в том числе и в со­став­ле­нии урав­не­ния ка­са­тель­ной.

 По­стро­им кри­вую  (см. рис.1).

 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Если , то зна­че­ние функ­ции равно . Зна­чит, имеем точку с ко­ор­ди­на­та­ми (.

За­да­ча: со­ста­вить урав­не­ние ка­са­тель­ной. Более стро­гая фор­му­ли­ров­ка – на­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к функ­ции  в точке с абс­цис­сой , в ко­то­рой  — су­ще­ству­ет.

Урав­не­ние ка­са­тель­ной – это пря­мая,  ко­то­рая за­да­ет­ся фор­му­лой  

Любая пря­мая, в том числе и ка­са­тель­ная, опре­де­ля­ет­ся двумя чис­ла­ми: и . Ис­хо­дя из гео­мет­ри­че­ско­го смыс­ла про­из­вод­ной  (тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной) – это есть уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент .

Па­ра­метр  най­дем из усло­вия, что ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку (, то есть  . 

 .

Стало быть  .

За­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной

.

Или, .

По­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной к кри­вой  в точке с абс­цис­сой .

Смысл каж­до­го эле­мен­та, ко­то­рый вхо­дит в урав­не­ние ка­са­тель­ной.

1) ( – точка ка­са­ния ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции.

2)  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции.

3)  – про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Очень много задач, когда за­да­на точка, ко­то­рая не лежит на гра­фи­ке функ­ции, и через нее надо про­ве­сти ка­са­тель­ную к дан­ной функ­ции. Надо четко по­ни­мать, что   – это про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Итак, по­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной, про­ана­ли­зи­ро­ва­ли смысл каж­до­го эле­мен­та этой ка­са­тель­ной, и те­перь при­ве­дем при­мер, и на нем из­ло­жим ме­то­ди­ку по­стро­е­ния ка­са­тель­ной.

За­да­ча.

К кри­вой  в точке с абс­цис­сой  про­ве­сти ка­са­тель­ную. Про­ил­лю­стри­ру­ем поиск ка­са­тель­ной на ри­сун­ке (см. рис.2).

 

Рис. 2. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Зна­че­ние функ­ции в этой точке  равно 1.

Ал­го­ритм со­став­ле­ния урав­не­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

1)  Найти  и точку ка­са­ния. 

 — дано.Точка ка­са­ния: (;.

2) Найти про­из­вод­ную в любой точке .

.

3) Найти зна­че­ние про­из­вод­ной в точке с абс­цис­сой .

 .

4) Вы­пи­сать и про­ана­ли­зи­ро­вать урав­не­ние ка­са­тель­ной.

.

Упро­ща­ем и по­лу­ча­ем:  .

Ответ: .

За­да­ча 1.

Пусть дано урав­не­ние ка­са­тель­ной .

Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной с осями ко­ор­ди­нат.

Если , то .  – это пер­вая точка.

Если , то  .  — вто­рая точка.

Итак, пер­вая точка – это точка  с ко­ор­ди­на­та­ми . Вто­рая точка – точка пе­ре­се­че­ния с осью  , точка  с ко­ор­ди­на­та­ми  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  с осями ко­ор­ди­нат. За­да­ча 2.

Найти длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, ко­то­рая от­се­ка­ет­ся осями ко­ор­ди­нат, то есть надо найти длину от­рез­ка .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (Рис. 3). Длина ка­те­та  равна 1. Длина ка­те­та   . Длину от­рез­ка  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

За­да­ча 3.

Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат. Ясно, что это пло­щадь тре­уголь­ни­ка (Рис. 3) — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат.

Сле­ду­ю­щая за­да­ча для са­мо­сто­я­тель­но­го ре­ше­ния.

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник . Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка .

Рас­смот­рим при­мер.

Дана функ­ция . На­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к дан­ной кри­вой в точке с дан­ной абс­цис­сой.

Рас­смот­рим гра­фи­че­скую ил­лю­стра­цию (см. рис.4).

Рис. 4. Ка­са­тель­ная к  гра­фи­ку функ­ции .

На­хож­де­ние точки ка­са­ния.

1.   Точка ка­са­ния имеет ко­ор­ди­на­ты .

2. Найти .

3. Найти 

И, по­след­нее дей­ствие, – на­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной.

4. .

 Упро­стим и по­лу­чим  .

За­ме­тим в точке  си­ну­со­и­да и ка­са­тель­ная со­при­ка­са­ют­ся. В рай­оне точки  си­ну­со­и­да и пря­мая почти не раз­ли­ча­ют­ся.

Итак, мы вы­ве­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной. Рас­смот­ре­ли все эле­мен­ты этой ка­са­тель­ной. Вы­яс­ни­ли их смысл. Сфор­му­ли­ро­ва­ли одну из ме­то­дик на­хож­де­ния ка­са­тель­ных в кон­крет­ных функ­ци­ях, в кон­крет­ных точ­ках и ре­ши­ли неко­то­рые со­пут­ству­ю­щие за­да­чи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funktsii

http://v. 5klass.net/zip/457286d0df8865f8084b5db13cbd6e95.zip

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D3%F0%E0%E2%ED%E5%ED%E8%E5_%EA%E0%F1%E0%F2%E5%EB%FC%ED%EE%E9_%EA_%E3%F0%E0%F4%E8%EA%F3_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%E8

http://itest.kz/lekciya_uglovoj_koehfficzient_kasatelnoj_i_ee_uravnenie_ru

http://www.postupivuz.ru/vopros/12822.htm

 

Уравнение касательной к графику функции. Монотонность функции

  1. Introduction

These Website Standard Terms and Conditions written on this webpage shall manage your use of this website. These Terms will be applied fully and affect to your use of this Website. By using this Website, you agreed to accept all terms and conditions written in here. You must not use this Website if you disagree with any of these Website Standard Terms and Conditions.

Minors or people below 18 years old are not allowed to use this Website.

  1. Intellectual Property Rights

Other than the content you own, under these Terms, Buckle LLC and/or its licensors own all the intellectual property rights and materials contained in this Website.

You are granted limited license only for purposes of viewing the material contained on this Website.

  1. Restrictions

You are specifically restricted from all of the following

  • publishing any Website material in any other media;
  • selling, sublicensing and/or otherwise commercializing any Website material;
  • publicly performing and/or showing any Website material;
  • using this Website in any way that is or may be damaging to this Website;
  • using this Website in any way that impacts user access to this Website;
  • using this Website contrary to applicable laws and regulations, or in any way may cause harm to the Website, or to any person or business entity;
  • engaging in any data mining, data harvesting, data extracting or any other similar activity in relation to this Website;
  • using this Website to engage in any advertising or marketing.

Certain areas of this Website are restricted from being access by you and Buckle LLC may further restrict access by you to any areas of this Website, at any time, in absolute discretion.

Any user ID and password you may have for this Website are confidential and you must maintain confidentiality as well.

  1. Your Content

In these Website Standard Terms and Conditions, “Your Content” shall mean any audio, video text, images or other material you choose to display on this Website. By displaying Your Content, you grant Buckle LLC a non-exclusive, worldwide irrevocable, sub licensable license to use, reproduce, adapt, publish, translate and distribute it in any and all media.

Your Content must be your own and must not be invading any third-party’s rights. Buckle LLC reserves the right to remove any of Your Content from this Website at any time without notice.

  1. No warranties

This Website is provided “as is,” with all faults, and Buckle LLC express no representations or warranties, of any kind related to this Website or the materials contained on this Website. Also, nothing contained on this Website shall be interpreted as advising you.

  1. Limitation of liability

In no event shall Buckle LLC, nor any of its officers, directors and employees, shall be held liable for anything arising out of or in any way connected with your use of this website whether such liability is under contract. Buckle LLC, including its officers, directors and employees shall not be held liable for any indirect, consequential or special liability arising out of or in any way related to your use of this Website.

  1. Indemnification

You hereby indemnify to the fullest extent Buckle LLC from and against any and/or all liabilities, costs, demands, causes of action, damages and expenses arising in any way related to your breach of any of the provisions of these Terms.

  1. Severability

If any provision of these Terms is found to be invalid under any applicable law, such provisions shall be deleted without affecting the remaining provisions herein.

  1. Variation of Terms

Buckle LLC is permitted to revise these Terms at any time as it sees fit, and by using this Website you are expected to review these Terms on a regular basis.

  1. Assignment

The Buckle LLC is allowed to assign, transfer, and subcontract its rights and/or obligations under these Terms without any notification. However, you are not allowed to assign, transfer, or subcontract any of your rights and/or obligations under these Terms.

  1. Entire Agreement

These Terms constitute the entire agreement between Buckle LLC and you in relation to your use of this Website, and supersede all prior agreements and understandings.

  1. Governing Law & Jurisdiction

These Terms will be governed by and interpreted in accordance with the laws of the State of New York, and you submit to the non-exclusive jurisdiction of the state and federal courts located in New York for the resolution of any disputes.

исчисление — Найти уравнение касательной, функция высшего порядка

Задавать вопрос

спросил

Изменено 7 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 924 раза

$\begingroup$ 94-6(-1)=11$$ и поэтому касательная в этой точке имеет наклон одиннадцать.

В качестве примечания: вы также можете выяснить это, расширив лимит напрямую, как вы пытались сделать. Единственная проблема с вашей попыткой заключается в том, что то, что вы написали выше, $$\lim\frac{f(x+h)}{h}$$, а не $$\lim\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Это очень просто: есть формула для тангенса $(x_0,f(x_0))$: это полиномиальная часть 94-6х$. Это говорит вам о том, что наклон $f(x)$ в точке $x$ равен $f'(x)$, если вы посмотрите на него достаточно близко, чтобы игнорировать то, что происходит вокруг. В частности, для $x_0=-1$ выполняется $f'(x_0) = -1$, а это наклон в точке $x_0$ и «около».

$\endgroup$

Пусть f(x)=5/(x-1), используйте определение производной, затем найдите уравнение касательной при x=2

Исчисление производных Определение производной Найдите уравнение касательной линии

Джессика С.

спросил 10.05.18

Используйте определение производной ((f(x+h)-f(x))/h) для вычисления dy/dx, затем найдите уравнение касательной в точке x=2. Пошаговый расчет

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Филип П. ответил 10.05.18

Репетитор

5,0 (474)

Доступный, опытный и терпеливый репетитор по геометрии

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Уравнение прямой:

 

y = mx + b

  • m = уклон
  • b = точка пересечения с y

 

Наклон касательной к f(x) при x = 2 есть просто производная от f(x) при x = 2:

 

f(x) = 5(x-1) — 1

df(x)/dx = -5(x-1) -2 = -5/(x-1) 2

df(2)/dx = -5/(2-1 ) 2 = -5

 

Уравнение касательной на данный момент: = 5.  Чтобы найти точку пересечения касательной с линией y, подставьте известную точку (2,5). Мы знаем, что эта точка находится на прямой, потому что это точка касания:

 

y = 5x + b

5 = -5·2 + b

5 = -10 + b

15 = b

 

Окончательное уравнение касательной 9: 0002

у = -5х + 15

Голосовать за 0 Понизить голос

Подробнее

Отчет

Томас Р. ответил 10.05.18

Репетитор

4.9 (1444)

А.С. по математике, пожизненный любитель истории

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Ладно, ничего страшного. Для этого можно использовать частное правило (это не единственный способ, но вам может показаться, что ему легче следовать):

Частное правило: d/dx [U / V] = (U’ V — V’ U) / V²

U = 5      V = X — 1

U’ = 0     V’ = 1

Производная:

f'(X) = [ (0)(X-1)  — (1)(5) ] / (X-1)²

       = ( 0–5)  / (X -1)²

       = -5 / (X-1)²

f'(2) = -5 / (2-1)² = -5 / (1)² = -5 / 1 = -5

Теперь станет легче. Уравнение прямой линии:

Y = mX + b

Прежде чем использовать его, нам нужно значение Y для X = 2:

5 / (2-1) = 5 / 1 = 5

5 = -5(2) + b

 5 = -10 + b

+10 +10

15 =  b

Наконец,

Y = -5X + 15

 

Голосовать за 0 Понизить голос

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *