Производное частного: Производная частного функций (u/v)’

Производная произведения и частного функции

• Формулы производной произведения и частного функции
• Найти производную произведения функций самостоятельно, а затем посмотреть решение
• Производная суммы частных
• Найти производную частного функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
• Продолжаем решать задачи вместе

Формула производной произведения функции имеет вид .

Формула производной частного функции имеет вид .

Однако было бы наивно надеяться, что на контрольной или экзамене Вам обязательно попадётся пример на нахождение производной такого частного: , где легко подставить простенькое выражение в формулу и выдать правильное решение.

В реальных задачах требуется найти производную таких произведений и частных, в которые вкрались тригонометрические выражения и логарифмы, не говоря уже о множителях (константах), и вообще о том, что может содержать произведение или частное функции.

Поэтому примеры нахождения производной произведения и частного функций вынесены в эту отдельную статью.

• Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 1.Найти производную функции

.

Решение. От нас требуется найти производную произведения функций. Прежде всего вынесем множитель 2 за знак производной:

.

Теперь применяем формулу дифференцирования произведения:

Приводим слагаемые в скобках к общему знаменателю:

В числителе первого слагаемого можно заметить знакомое по школьной математике выражение двойного угла:

Существует также известное из школьной математики тождество:

.

Подставляем его в наш промежуточный результат и получаем:

.

Производная данного произведения найдена.

Пример 2.Найти производную функции

.

Пример 3.Найти производную функции

.

Посмотреть правильные решения примеров 2, 3.

• Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Перед нами сумма частных. Следовательно, каждое слагаемое будет дифференцировано как частное. Применяем правило дифференцирования частного, не забывая, чему равны производные числа(константы) и самой переменной x:

Пример 5.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Находим производную произведения в числителе:

Шаг 3. Находим производную суммы:

Шаг 4. Находим производную функции:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на x:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 6. Найти производную функции

.

Пример 7.Найти производную функции

.

Посмотреть правильные решения примеров 6, 7.

• Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 8.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:

Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:

Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):

Искомая производная:

Проверить решение именно Вашей задачи можно на калькуляторе производных.

Пример 9.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Дифференцируем по правилам для произведения и показательной функции (формула 17 в таблице производных):

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Вновь настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

• Что такое производная
• Найти производную
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Правило Лопиталя
• Частные производные

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа

Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.—М.: Просвещение, 1990.— 416 с. В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по алгебре и началам анализа. К каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ВЫЧИТАНИЕ § 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 5. ДЕЛЕНИЕ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ Контрольные вопросы ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 4. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ § 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР Контрольные вопросы ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XII § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросы ГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ГЛАВА XX § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА § 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление

Правило отношения — формула, доказательство, определение, примеры

Правило отношения в исчислении — это метод нахождения производной или дифференцирования функции, заданной в виде отношения или деления двух дифференцируемых функций. Это означает, что мы можем применить правило отношения, когда нам нужно найти производную функции вида: f(x)/g(x), такую, что и f(x), и g(x) дифференцируемы, а g (x) ≠ 0. Факторное правило непосредственно следует правилу произведения и понятию пределов вывода при дифференцировании. Давайте разберемся в формуле для частного правила, ее доказательстве с использованием решенных примеров подробно в следующих разделах.

1.	Что такое частное правило?
2.	Формула частного правила
3.	Вывод формулы частного правила
4.	Как применить правило отношения в дифференциации?
5.	Часто задаваемые вопросы о правиле частных

Что такое частное правило?

Правило отношения в математическом анализе — это метод, используемый для нахождения производной любой функции, заданной в виде частного, полученного в результате деления двух дифференцируемых функций. Правило частного в словах гласит, что производная частного равна отношению результата, полученного при вычитании числителя, умноженного на производную знаменателя из знаменателя, умноженного на производную числителя, на квадрат знаменателя. Это означает, что если нам дана функция вида: f(x) = u(x)/v(x), мы можем найти производную этой функции, используя производную частного правила как,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [v(x) × u'(x) — u(x) × v'(x)]/[v(x) ] ²

Формула частного правила

Мы можем вычислить производную или вычислить дифференцирование частного двух функций, используя формулу производной правила отношения. Формула производной частного правила задается следующим образом:

x)]/[v(x)] ²

где,

• f(x) = функция вида u(x)/v(x), для которой вычисляется производная.
• u(x) = дифференцируемая функция, составляющая числитель функции f(x).
• u'(x) = производная функции u(x).
• v(x) = дифференцируемая функция, которая составляет знаменатель данной функции f(x).
• v'(x) = производная функции v(x).

Вывод формулы частного правила

В предыдущем разделе мы узнали о формуле отношения для нахождения производных отношения двух дифференцируемых функций. Давайте посмотрим на доказательство формулы частного правила здесь. Существуют различные методы доказательства формулы правила отношения, заданной как

• Использование производных и предельных свойств
• Использование неявного дифференцирования
• Использование цепного правила

Доказательство формулы частного правила с использованием свойств производной и предела

Чтобы доказать формулу частного правила с использованием определения производной или пределов, пусть функция f(x) = u(x)/v(x).

⇒ f'(x) = \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\) [f(x + h) — f(x)]/h

= \(\ mathop { \lim }\limits_{h \to 0}\) \(\ frac {\ frac {u (x + h)} {v (x + h)} — \ frac {u (x)} {v (x) }}{ч}\)

= \(\ mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\) \(\frac{u(x+h)v(x) — u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x) \cdot v(x+h)}\)

= \( \left(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)v( x) — u (x) v (x + h)} {h} \ right) \ left (\ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \ frac {1} {v (x) \ cdot v (x+h)}\right)\)

= \(\left(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) — u(x) )v(x) + u(x)v(x) — u(x)v(x + h)}{h}\right) \) [1/v(x) ² ]

= \( \left[\!\left(\ mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) — u(x)v(x)}{h}\right )\!\!\! -\!\!\left(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{u(x)v(x + h) — u(x)v(x )}{h}\вправо)\!\вправо]\) [1/v(x) 92}\)

Доказательство формулы частного правила с использованием неявного дифференцирования

Чтобы доказать формулу частного правила с помощью формулы неявного дифференцирования, возьмем дифференцируемую функцию f(x) = u(x)/v(x), поэтому u( х) = f(x)⋅v(x). 2}\) 92}\)

Как применить правило частного в дифференциации?

Чтобы найти производную функции вида f(x) = u(x)/v(x), обе функции u(x) и v(x) должны быть дифференцируемыми. Мы можем применить следующие данные шаги, чтобы найти вывод дифференцируемой функции f (x) = u (x) / v (x), используя правило отношения.

• Шаг 1: Запишите значения u(x) и v(x).
• Шаг 2: Найдите значения u'(x) и v'(x) и примените формулу правила отношения, заданную как: f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [и'(х) × v(х) — и(х) × v'(х)]/[v(х)] ²

Давайте посмотрим на следующий пример, приведенный ниже, чтобы лучше понять правило отношения.

Пример: Найдите f'(x) для следующей функции f(x), используя правило частных: f(x) = x ² /(x+1).

Решение:

Здесь f(x) = x ² /(x + 1)

u(x) = x ²

v(1) = (x0 + 03

⇒ и'(х) = 2х
⇒v'(x) = 1

⇒f'(x) = [v(x)u'(x) — u(x)v'(x)]/[v(x)] ²
⇒f'(x) = [(x+1)•2x — x ² •1]/(x + 1) ²
⇒ f'(x) = (2x ² + 2x — x ² )/(x + 1) ²
⇒f'(x) = (x ² + 2x​​)/(x + 1) ²

Ответ: производная от x ² /(x + 1) равна (x ² + 2x​​)/(x + 1) ² . 2}\) 92}\).

Пример 3. Применение правила отношения для дифференцирования \(\frac{1-2x}{x}\).

Решение:

Пусть f(x) = (1-2x)/x
f'(x) = \(\frac{d}{dx}\) \(\frac{(1-2x)}{x}\) = [x \(\frac{d}{dx}\) ( 1-2x) — (1-2x) \(\frac{d}{dx}\) x]/x ²

f'(x) = [x(-2) — (1-2x) ( x)]/x ² = (-2x — 1 + 2x)/x ² = -1/x ²

Ответ: производная от \(\frac{(1-2x)}{ х}\) равно -1/х ² .

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилу частных

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о частном правиле

Что такое частное правило дифференцирования в исчислении?

Факторное правило — это одно из производных правил, которое мы используем для нахождения производной функций вида P(x) = f(x)/g(x). Производная функции P(x) обозначается через P'(x). Если производная функции P(x) существует, мы говорим, что P(x) дифференцируема. Итак, дифференцируемые функции — это те функции, у которых существуют производные. Функция P(x) дифференцируема в точке x = a, если существует следующий предел.

\(P'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{P(a+h)-P(a)}{h}\)

Как найти производную, используя правило частных?

Производные от отношения двух дифференцируемых функций могут быть вычислены в математических вычислениях с использованием правила отношения. Нам нужно применить формулу правила отношения для дифференцирования функции f(x) = u(x)/v(x). Формула частного правила имеет вид 90 107. f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) — u(x) × v'(x)]/[v(x)] ²
где f'(x), u'(x) и v'(x) — производные функций f(x), v(x) и u(x).

Что такое формула частного правила?

Формула производной частного правила — это правило дифференциального исчисления, которое мы используем для нахождения производной рациональной функции. Предположим, что две функции, u(x) и v(x), дифференцируемы, тогда можно применить правило отношения, чтобы найти (d/dx)[u(x)/v(x)] как,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) — u(x) × v'(x)]/[v(x)] ²

Как вывести формулу частного правила?

Формула правила отношения может быть получена с использованием различных методов. Они даны как, 92}\)

Как вывести правило частных, используя определение пределов и производных?

Доказательство правила отношения может быть дано с использованием определения и свойств пределов и производных. Для функции f(x) = u(x)/v(x) производная f'(x) может быть задана как

⇒ f'(x) = \(\ mathop {\lim }\limits_{ ч \к 0}\) [f(x + h) — f(x)]/h
= \ (\ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \) \ (\ frac {\ frac {u (x + h)} {v (x + h)} — \ frac {u (x) }{в(х)}}{ч}\)
= \(\ mathop {\lim}\limits_{h \to 0}\) \(\frac{u(x+h)v(x)\) — \(u(x)v(x+h)} {ч \cdot v(x) \cdot v(x+h)}\)
= \( \left(\ mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)\) — \(u(x)v(x+h)}{ h} \ right) \ left (\ mathop {\ lim } \ limit_ {h \ to 0} \ frac {1} {v (x) \ cdot v (x + h)} \ right) \)
= \(\left(\ mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) — u(x)v(x) + u(x)v(x) ) — u(x)v(x + h)}{h}\right) \) [1/v(x) ² ]
= \(\ влево [\ влево (\ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \ frac {u (x + h) v (x) — u (x) v (x)} {h} \ вправо) \) — \(\ влево (\ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \ frac {u (x) v (x + h) — u (x) v (x)} {h} \право)\право]\) [1/v(x) ² ]
= \(\left[v(x)\left(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h) — u(x)}{h}\right)\) -\(u(x)\left(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{v(x + h) — v(x)}{h} \right)\right]\) [1/v(x) ² ]

Каковы применения формулы производной частного правила? Приведи примеры.

Мы можем применить правило частных, чтобы найти дифференцирование функции вида u(x)/v(x). Например, для функции f(x) = sin x/x мы можем найти производную как f'(x) = [x \(\frac{d}{dx}\) sin x — sin x \( \frac{d}{dx}\) x]/x ² , f'(x) = (x•cos x — sin x)/x ² .

Как доказать правило частных с помощью неявного дифференцирования?

Мы можем использовать метод неявного дифференцирования, чтобы вывести правило отношения для дифференцируемой функции f(x) = u(x)/v(x), поэтому u(x) = f(x)⋅v(x). Используя правило произведения, мы имеем u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x). Решая для f'(x), получаем

f'(x) = \(\frac{u'(x) — f(x)v'(x)}{v(x)}\)

Подставьте f(x),

⇒ f'(x) = \(\frac{u'(x) — \frac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x) )}\) 92}\).

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Расчетный лист

Правило частных. Задача 3

Правило частных утверждает, что производная функции h(x), где h(x) = f(x)/g(x), равна h'(x) = (g(x)f'(x) — f(x)g'(x))/(g(x)) ² .

Например, пусть h(x)=x ² /4x ³ -7. Наши функции f и g таковы: f(x)=x ² и g(x)=4x ³ -7. Используя обычные правила дифференцирования, мы знаем, что f'(x)=2x и g'(x)=12x ² . Подставьте эти значения в формулу: h'(x)=((4x ³ -7)(2x) — (x ² )(12x ² ))/(12x ² ) ² . Раскладывая, получаем h'(x)=(8x ⁴ -14x — 12x ⁴ )/144x ⁴ = (-4x ⁴ -14x)/144x ⁴ . Упрощенно получается h'(x)=(-2x ³ -7)/72x ³ .

дифференциация частное правило правило продукта производные касательные линии формула точечного наклона

Давайте решим задачу посложнее. Теперь иногда вы будете сталкиваться с чем-то вроде этого, когда вам на самом деле не дается формула для функции. Вместо этого вам будут предоставлены данные.

Например, здесь у меня есть две функции v и w. Мне сказали, что v(3) равно 10. V'(3) равно 6. W(3) равно 5. W'(3) равно -7. Я хочу найти h(3) и h'(3). Это значения для совершенно другой функции, но функции, которая определяется как частное v(x) по w(x).

Первым делом найдем h(3). Это должно быть довольно легко. Помните, что согласно этому h(x) есть v(x) над w(x). Таким образом, h(3) будет v(3) над w(3). H(3) есть v(3) над w(3). Это будет 10 на 5, что равно 2. Итак, это один ответ. Н(3) равно 2,

Теперь мне нужно найти h'(3). Сначала я хочу представить h'(x). Итак, помните, что h(x) — это v(x) над w(x). Итак, у нас есть высокая функция и низкая функция. Таким образом, h'(x) является низким d высоким. Итак, w(x), v'(x) минус высокий d низкий v(x), w'(x) над квадратом того, что ниже. Знаменатель снова равен w, поэтому [w(x)]².