Производные 2 порядка примеры: Вычисление производных высших порядков.

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

4. 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 4. 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

Введем обозначения (для сокращения и удобства письма):

.

Пусть дано уравнение

,                            (4.1)

где        – заданные функции х, y.

Это уравнение называется линейным. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным. Если все коэффициенты постоянные, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Практика и теория подтверждает, что с помощью преобразования переменных  данное дифференциальное уравнение остается линейным:

,                                        (4.2)

где коэффициенты [7]:

Спрашивается: нельзя ли выбрать переменные  и  так, чтобы в преобразованном уравнении (4.2) некоторые коэффициенты обратились в нуль? Эта возникшая задача связана с решением обыкновенного дифференциального уравнения, которое называется характеристическим для исходного с частными производными:

                                            (4. 3.)

Его интегралы называются характеристиками.

Если  – общий интеграл (4.3), то, положив , мы обратим в нуль коэффициент  при .

Если  – другой интеграл (4.3), линейно независим от , то полагают , тем самым в нуль обращают  при .

Уравнение (4.3.) можно записать так:

.                                               (4.4)

Если , то  и  – действительные и различные. Делая замену, приводим уравнение к виду:

                                                 (4.5)

В этом случае говорят, что уравнение имеет гиперболический тип. Если положить , , то уравнение примет вид:

.                                         (4.6)

Если , то имеем один общий интеграл . Пусть  – любая функция, линейно независимая от , тогда: , и исходное уравнение будет иметь вид:

                                                 (4. 7)

В этом случае говорят, что уравнение имеет параболический тип.

Если_{, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные интегралы:}

 и ,

и, положив     уравнение приведем к виду:

,                                         (4.8)

который называется эллиптическим.

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

При  уравнение приводится к виду:

или

,

который называется гиперболическим.

При  уравнение приводится к параболическому типу:

При  уравнение приводится к эллиптическому типу:

Пример 1

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Запишем, чему равны для нашего случая коэффициенты.

Так как:  имеем уравнение параболического типа.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решая его, находим, что общий интеграл  x – y = C.

Положим , а в качестве другой переменной возьмем . При этом:  Тогда

Подставляя значения частных производных в исходное уравнение, после простых преобразований получим:

.

Пример 2

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение.  т.е. имеем уравнение эллиптического типа. Составим уравнение характеристик:  или .

Отсюда ; получаем два семейства комплексно сопряженных характеристик:

 и .

Делаем замену переменных: ;

Подставив эти значения в исходное уравнение, получим

Пример 3

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Здесь   – уравнение гиперболического типа. Уравнение характеристик:

.

Отсюда

 и .

Проинтегрировав эти уравнения, получим два семейства характеристик:

 и .

Отсюда

 и  

т.е. получили уравнения характеристик. Вводим новые переменные: . Далее необходимо выразить частные производные по старым переменным через новые (требуется использовать правило дифференцирования сложной функции двух независимых переменных):

далее рекомендуется найти производные второго порядка самостоятельно в качестве упражнений и получить окончательный результат:

 .

Получили уравнение канонического вида.

Производная второго порядка – определение и примеры решения

Прежде чем узнать, что такое производная второго порядка, давайте сначала узнаем, что означает производная: В основном, производная дает вам наклон функции в любой точке. Производная первой производной функции известна как производная второго порядка. Наклон касательной в данном месте или мгновенная скорость изменения функции в этом месте определяется производной первого порядка в этой точке. Производная второго порядка дает нам представление о форме графика функции. Вторую производную функции f(x) обычно обозначают аббревиатурой f»(x). Если y = f, ее иногда обозначают как D ² y или y ² или y» (x).

Допустим, y = f. (x)

dy/dx = f’, тогда (x)

Если f'(x) дифференцируема, мы можем еще раз дифференцировать его по x. Таким образом, левая часть становится d/dx(dy/dx), часто известной как производная второго порядка от y относительно x. -Производная второго порядка? Производная второго порядка — это производная производной функции. Она получается из производной первого порядка. Итак, мы сначала находим производную функции, а затем выводим производную первой производной. производная первого порядка может быть записана как f'(x) или dy/dx, тогда как производная второго порядка может быть записана как f»(x) или d²y/dx²

Для определения вогнутости и точек перегиба можно использовать производную второго порядка.

Вогнутость

Вогнутость вверх: говорят, что вторая производная функции вогнута вверх или просто вогнута в точке (c,f(c)), если производная (d²f/dx²)x=c >0. В этом случае точки функции, соседние с c, будут лежать выше прямой на графике, которая будет касаться точки (c, f(c)). Вот рисунок, который поможет вам лучше понять.

(Изображение скоро будет загружено)

Вогнутость вниз: Вогнутость вниз или просто выпуклость называется функцией, если производная (d 2 f/dx²)x=c в точке (c,f(c)). В таком случае точки функции, соседние с c, будут лежать ниже прямой на графике, касающейся точки (c,f(c)). Вот рисунок, который поможет вам лучше понять.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Точка перегиба

Точка перегиба может быть описана как точка на графике функции, где график изменяется либо с вогнутого вверх на вогнутый вниз, либо с вогнутого вниз на вогнутый вверх. Знак производной второго порядка в этой точке также меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный. Производная второго порядка функции также считается равной 0 в этой точке.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Примеры производных второго порядка

Вопрос 1) Если f(x) = sin3x cos4x, найдите f’’(x). Следовательно, покажите, что f»(π/2) = 25.

Решение 1) Имеем

f(x) = sin3x cos4x или f(x) = \[\frac{1}{2} \] . 2sin3x cos4x = \[\frac{1}{2}\](sin7x-sinx) 

Дифференцируя два раза подряд относительно . x получаем, 

f’(x) = \[\frac{1}{2}\] [cos7x . [\frac{d}{dx}]7x-cosx] = \[\frac{1}{2}\] [7cos7x-cosx]

9{2x}\](12cos3x — 5sin3x)

Вопрос 4) Если y = acos(log x) + bsin(log x), покажите, что \[\frac{dy}{dx}\] + y = 0

Решение 4) Имеем y = a cos(log x) + b sin(log x)

Дифференцируя обе части (1) по отношению к x получаем,

\[\frac{dy}{dx}\] = — a sin(log x) . \[\frac{1}{x}\] + b cos(log x) . \[\frac{1}{x}\]

Или, 

x\[\frac{dy}{dx}\] = -a sin (log x) + b cos(log x)

Дифференцируя оба стороны (2) относительно х получаем,

х . \[\frac{d²y}{dx²}\] +  \[\frac{dy}{dx}\] . 1 = — a cos(log x) . \[\frac{1}{x}\] — b sin(log x) . \[\frac{1}{x}\]

Или,     

x²\[\frac{d²y}{dx²}\] + x\[\frac{dy}{dx}\] = -[a cos (log x) + b sin(log x)]

 Или,  

x²\[\frac{d²y}{dx²}\] + x\[\frac{dy}{dx}\] = -y[используя (1)]     

Или, 

x²\[\frac{d²y}{dx²}\] + x\[\frac{dy}{dx}\] + y = 0 (доказано)   

Вопрос 5) Если y = \[\frac{1}{1+x+x²+x³}\], затем найдите значения

\[\frac{dy}{dx}\]x = 0 и \[\frac{d²y}{dx²}\]x = 0

Решение 5) Имеем, y = \[\frac{1} {1+x+x²+x³}\] 

Или,  

y =   \[\frac{x-1}{(x-1)(x³+x²+x+1)}\] [при условии, что x ≠ 1]    

    = \[\frac{x-1}{(x⁴-1)}\]       

Дифференцируя два раза подряд относительно. x получаем,

\[\frac{dy}{dx}\] = \[\frac{(x⁴-1).1-(x-1).4x³}{(x⁴-1)²}\] = \[\frac{(-3x⁴+4x³-1)}{(x⁴-1)²}\]……(1)

И,  

\[\frac{d²y}{dx²}\ ] = \[\frac{(x⁴-1)²(-12x³+12x²)-(-3x⁴+4x³-1)2(x⁴-1).4x³}{(x⁴-1)⁴}\]… ..(2)

Полагая x = 0 в (1) и (2), мы получаем, 

\[\frac{dy}{dx}\] x = 0 = \[\frac{-1}{(-1)²} \] = 1 и \[\frac{d²y}{dx²}\] x = 0 = \[\frac{(-1)².0 — 0}{(-1)⁴}\] = 0

секунд -Порядковые производные параметрической функции

Мы используем цепное правило дважды, чтобы определить вторую производную функции в параметрической форме. Чтобы определить вторую производную, сначала найдите производную первой производной по t, затем разделите на производную x по t. Если x = x(t) и y = y(t), то параметрическая форма второго порядка такова: 9{2})}\]  совершенно неверно.

Локальные максимальные или минимальные значения точки перегиба определяются второй производной функции. Их можно распознать, используя следующие критерии:

• Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x, если f»(x) < 0.

• Функция f(x) имеет локальный минимум в точке x если f»(x) > 0.

• Если f»(x) = 0, то нельзя сделать никаких выводов о точке x.

Можно решить следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

P(x)dy/dx + Q(x)y = f d ² y/dx ² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f (x)

P(x) ), Q(x) и f(x) являются функциями x и рассчитываются с использованием:

Неубедительно Если f(x) является полиномом, экспоненциальной функцией, синусоидой, косинусом или их линейной смесью, она будет Единственная работа.

Изменение параметра, которое немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Однако начнем со сценария, где f(x) = 0 (что делает его «однородным»):

Допустим, f(x) является дифференцируемой функцией на подходящем интервале.

График функции f(x) можно классифицировать следующим образом:

• Вогнутая вверх

В точке (c, f(c) функция называется вогнутой вверх или просто вогнутой, если производная (d ² f/dx ² )x=c>0. Точки на графике функции в окрестности точки c лежат выше прямой, касательной в точке (c, f(c ) в этом примере

• Вогнутая вниз

В точке (c, f(c) функция называется вогнутой вниз или просто выпуклой, если производная (d ² f/dx ² )x= c0. Точки на графике функции в окрестности c лежат ниже прямой, которая в данном случае касается точки (c, f(c).

Функция возрастает в точке (c, f(c) c) если производная (df/dx)x=c>0.  

Вам также необходимо знать, как изменяется производная функции при изменении x. Функция считается вогнутой вверх, если производная действует как возрастающая функция , то есть d/dx(df/dx)> 0. Функция считается вогнутой вниз, если производная ведет себя как убывающая функция, то есть d/dx(df/dx)<0. В результате значение второй производной имеет решающее значение для определения формы графика функции.

Производная второго порядка в данной позиции (c, f(c) вычисляется, если f'(x) = 0 в этой точке. Это локальный минимум, если f»(x) > 0 в этой точке, и это локальный максимум, если f»(x) < 0 в этом месте. Производные более высокого порядка или другие методы определения требуются, если f"(x) = 0.

Вторые производные

Вторая производная явной функции

Пусть функция f ( x ) имеет конечную производную 9{\ простое \ простое} \ влево ( х \ вправо) \; \ влево ( \ текст {обозначение Лагранжа} \ вправо) \]

Вторая производная имеет множество применений. В частности, его можно использовать для определения точек вогнутости и перегиба функции, а также точек минимума и максимума.

В физике, когда у нас есть функция положения \(\mathbf{r}\left( t \right)\), первая производная — это скорость \(\mathbf{v}\left( t \right)\) и вторая производная — это ускорение \(\mathbf{a}\left( t \right)\) объекта: 9{\ простое \ простое} \ влево ( т \ вправо). \]

В физике, когда у нас есть функция положения \(\mathbf{r}\left( t \right)\), первая производная — это скорость \(\mathbf{v}\left( t \right)\) и вторая производная — это ускорение \(\mathbf{a}\left( t \right)\) объекта:

Другие применения второй производной рассматриваются в главе «Применения производной».

Вторые производные удовлетворяют следующим линейным соотношениям:

9{\ простое \ простое} = {f_2} \ влево ( {х, у} \ вправо). \)

Вторая производная параметрической функции

Рассмотрим параметрическую функцию \(y = f\left( x \right)\), заданную уравнениями

\[ \left\{ \begin{align} x &= x\left( t \right) \\ y &= y\left( t \right) \end{align} \right.