Производные функции от функции: Дифференцирование функции, заданной неявно

Содержание

Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.1 – 296с.

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ
§ 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ
§ 2. АРИФМЕТИКА
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ
§ 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ
§ 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
§ 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
§ 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ
§ 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава II. АНАЛИЗ
§ 2. ФУНКЦИЯ
Графики функций.
§ 3. ПРЕДЕЛ
§ 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ
Примеры вычисления производных.
§ 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производная суммы.
Производная произведения.
Производная частного.
Производная обратной функции.
Таблица производных.
Нахождение производной функции от функции.
§ 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Производные высших порядков.
Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость.
Признаки максимумов и минимумов.

Исследование графиков функций.
§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Теорема о среднем и примеры ее применения.
§ 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формула Тейлора.
Ряд Тейлора.
§ 10. ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл.
Связь дифференциального и интегрального исчисления.
§ 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Неявное задание функции.
Геометрическое изображение.
Частные производные и дифференциал.
Дифференцирование неявных функций.
Задачи на максимум и минимум.
Формула Тейлора.
Относительный максимум и минимум.
§ 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Контурные и поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
§ 16. РЯДЫ
Сходимость ряда.
Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды.
Степенные ряды.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДЕКАРТА
Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости.
Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии.

2.
§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА
§ 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
Уравнение эллипса и его фокальное свойство.
Законы движения планет.
Эллипс инерции.
Гипербола и ее фокальное свойство.
Парабола и ее директрисса.
Свойство касательной к параболе.
Директриссы эллипса и гиперболы.
Конические сечения.
Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности.

§ 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Формулы преобразования координат.
Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов.
§ 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей.
Алгебра векторов.
Скалярное произведение и его свойства.
§ 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Уравнение плоскости и уравнения прямой.
Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.

Эллипсоид.
Гиперболоиды и конус 2-го порядка.
Параболоиды.
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
Эллипс как результат «сжатия» окружности.
Пример решения более сложной задачи.
Важнейшие применения аффинных преобразований
Формулы аффинных преобразований.
Ортогональные преобразования.
§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
§ 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке.
Проективная плоскость.
Проективные отображения; основная теорема.
Проективная геометрия.
Запись проективных преобразований формулами.
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Проективные преобразования круга в себя.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Разложение многочлена на множители и формулы Виета.
Теорема о симметрических многочленах.
Работы Лагранжа.
Открытие Абеля.
Теория Галуа.
Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.

Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа.
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Теория комплексных чисел.

Поверхность модуля многочлена.
О возрастании модуля многочлена при удалении от начала.
Существование минимумов поверхности M.
Лемма Даламбера.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Простые и кратные корни многочлена.
Теорема Ролля и некоторые ее следствия.
Правило знаков Декарта.
Теорема Штурма.
Задача Гурвица.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ

34. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется

дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

35. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных функций.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

36. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование — в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.

37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x

0 и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x], лежащего в окрестности точки x₀ , тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то.

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀(кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1^∞ ; ∞⁰ ; 0⁰сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х₀

38. Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Дифференциалn-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Функции производных — Amazon Timestream

Производные используются для расчета скорости изменения заданной метрики и могут быть используется для активной реакции на событие. Например, предположим, что вы вычисляете производная загрузки ЦП инстансов EC2 за последние 5 минут, и вы обратите внимание на значительную положительную производную. Это может свидетельствовать о повышенном спросе. на вашу рабочую нагрузку, поэтому вы можете решить развернуть больше инстансов EC2, чтобы лучше справиться со своей нагрузкой.

Amazon Timestream поддерживает два варианта производных функций. Эта секция предоставляет информацию об использовании производных функций Timestream, а также пример запросы.

Информация об использовании

Функция	Тип выходных данных	Описание
`производная_линейная (временной ряд, интервал)`	таймсерия	Вычисляет производную каждой точки в `таймсерия` для указанного `интервал` .
`non_negative_derivative_linear (таймсерия, интервал)`	таймсерия	То же, что и `производная_линейная(таймсерия, интервал)` , но возвращает только положительный ценности.

Примеры запросов

Найти скорость изменения загрузки ЦП каждые 5 минут в течение за последний 1 час:

 SELECT DERIVATIVE_LINEAR(CREATE_TIME_SERIES(time, Measure_value::double), 5m) КАК результат
ИЗ «sampleDB».  DevOps
ГДЕ Measure_name = 'cpu_utilization'
И имя хоста = 'host-Hovjv' и время> назад (1 час)
СГРУППИРОВАТЬ ПО имени хоста, имя_измерения

Рассчитать скорость увеличения ошибок, вызванных одним или несколькими микросервисы:

 С binned_view как (
    SELECT bin(time, 5m) as binned_timestamp, ROUND(AVG(measure_value::double), 2) as value
    ИЗ «sampleDB». DevOps
    ГДЕ micro_service = 'jwt'
    И время > назад (1 час)
    И имя_измерения = 'service_error'
    ГРУППА ПО бину(время, 5м)
)
ВЫБЕРИТЕ non_negative_derivative_linear (CREATE_TIME_SERIES (binned_timestamp, значение), 1 м) как rateOfErrorIncrease
ОТ binned_view

Javascript отключен или недоступен в вашем браузере.

Чтобы использовать документацию Amazon Web Services, должен быть включен Javascript. Инструкции см. на страницах справки вашего браузера.

Условные обозначения документов

Интерполяция

Интегралы

Производные элементарных функций — eMathHelp

Начнем с простейшей функции, а именно постоянного многочлена $$${f{{\left({x}\right)}}} ={с}$$$. {{\frac{{x}}{{h}}}}\right)}$$$. 9{{t}}\right)}=$$$

$$$=\frac{{1}}{{x}}{\log}_{{a}}{\left({e}\right )}=\frac{{1}}{{x}}\frac{{{\ln{{\left({e}\right)}}}}}{{\ln{{\left({a}} \right)}}}}=\frac{{1}}{{{x}{\ln{{\left({a}\right)}}}}}$$$.

Производная логарифмической функции. $$${\log}_{{a}}{\left({x}\right)}=\frac{{1}}{{{x}{\ln{{\left({a}\) правильно)}}}}}$$$.

В частности, если $$${a}={e}$$$, мы имеем $$${\left({\ln{{\left({x}\right)}}}\right) }’=\frac{{1}}{{x}}$$$.

Теперь найдем производные тригонометрических функций.

Пусть $$${y}={\sin{{\left({x}\right)}}}$$$.

По определению $$${f{‘}}{\left({x}\right)}=\lim_{{{h}\to{0}}}\frac{{{\sin{{\ влево({x}+{h}\right)}}}-{\sin{{\left({x}\right)}}}}}{{h}}$$$.

Здесь нам нужно преобразовать разность синусов в произведение: $$${\sin{{\left({x}+{h}\right)}}}-{\sin{{\left({ x}\right)}}}={2}{\sin{{\left(\frac{{{x}+{h}-{x}}}{{2}}\right)}}}{\ cos{{\left(\frac{{{x}+{h}+{x}}}{{2}}\right)}}}=$$$

$$$={2}{\sin {{\ left (\ frac {{h}} {{2}} \ right)}}} {\ cos {{\ left ({x} + \ frac {{h}} {{2}} \ right) }}}$$$.

Теперь предел можно переписать как $$$\lim_{{{h}\to{0}}}\frac{{{2}{\sin{{\left(\frac{{h}}{ {2}}\right)}}}{\cos{{\left({x}+\frac{{h}}{{2}}\right)}}}}}{{h}}=\lim_ {{{h}\to{0}}}\frac{{{\sin{{\left(\frac{{h}}{{2}}\right)}}}}}{{\frac{{ h}}{{2}}}}{\cos{{\left({x}+\frac{{h}}{{2}}\right)}}}=$$$

$$$= \lim_{{{h}\to{0}}}\frac{{{\sin{{\left(\frac{{h}}{{2}}\right)}}}}}{{\frac {{h}}{{2}}}}\lim_{{{h}\to{0}}}{\cos{{\left({x}+\frac{{h}}{{2}} \right)}}}={1}\cdot{\cos{{\left({x}+\frac{{0}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left ({х}\справа)}}}.$$$

Производная синуса. $$${\left({\sin{{\left({x}\right)}}}\right)}’={\cos{{\left({x}\right)}}}$$ $.

Точно так же можно найти, что $$${\left({\cos{{\left({x}\right)}}}\right)}’=-{\sin{{\left({x }\справа)}}}$$$.

Производная косинуса. $$${\left({\cos{{\left({x}\right)}}}\right)}’=-{\sin{{\left({x}\right)}}}$ $$.

Мы можем найти производную тангенса, используя определение, но проще использовать правило частных:

$$${\left({\tan{{\left({x}\right)}}}\ справа)} ‘= {\ влево (\ гидроразрыва {{{\ грех {{\ влево ({х} \ вправо)}}}}} {{{\ соз {{\ влево ({х} \ вправо)}} }}}\right)}’=\frac{{{\left({\sin{{\left({x}\right)}}}\right)}'{\cos{{\left({x}) \right)}}}-{\sin{{\left({x}\right)}}}{\left({\cos{{\left({x}\right)}}}\right)}’ }}{{{{\cos}}^{{2}}{\left({x}\right)}}}=\frac{{{\cos{{\left({x}\right)}} }{\cos{{\left({x}\right)}}} — {\sin{{\left({x}\right)}}}}{\left(-{\sin{{\left({ x}\right)}}}\right)}}}{{{{\cos}}^{{2}}{\left({x}\right)}}}=$$$ 9{{2}}{\left({x}\right)}}}=\frac{{{\sin{{\left({x}\right)}}}}}}{{{\cos{{\ влево ({x} \ вправо)}}}}} \ cdot \ frac {{1}} {{\ cos {{\ влево ({x} \ вправо)}}}}} = {\ tan {{\ влево ( {x}\right)}}}{\sec{{\left({x}\right)}}}$$$.