Нахождение производных
На прошлой лекции и семинаре мы нашли производные нескольких функций, пользуясь определением. Однако, как и в случае пределов, доказательства по определению — довольно трудоёмкое занятие. На этой лекции мы докажем несколько теорем, позволяющих вычислять производные функций, заданных формулами, с помощью достаточно простого алгоритма.
16.1Арифметика производных
16.1.1Производная суммы
Начнём с простого: производной суммы.
Теорема 1. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0. Тогда функция h(x):=f(x)+g(x) дифференцируема в точке x0 и
h′(x0)=f′(x0)+g′(x0)
Доказательство. Воспользуемся определением производной:
h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0(f(x0+Δx)+g(x0+Δ))−(f(x0)+g(x0))Δx=…
h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→01Δx((f(x0+Δx)+g(x0+Δ))−−(f(x0)+g(x0)))=…
Перегруппируем слагаемые в числителе и разобъём дробь на две:
…=limΔx→0(f(x0+Δx)−f(x0)Δx+g(x0+Δx)−g(x0)Δx)=…
…=limΔx→0(f(x0+Δx)−f(x0)Δx++g(x0+Δx)−g(x0)Δx)=…
По теореме о пределе суммы:
…=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx+limΔx→0g(x0+Δx)−g(x0)Δx==f′(x0)+g′(x0).
…=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx++limΔx→0g(x0+Δx)−g(x0)Δx==f′(x0)+g′(x0).
Пределы в левой части равенства существуют, поскольку f и g дифференцируемы в точке x0, и следовательно теорему о пределе суммы применять можно. Теорема доказана.∎
16.1.2Производная произведения
Тут получится немножко сложнее, но не сильно.
Теорема 2. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0. Тогда функция h(x):=f(x)g(x) дифференцируема в точке x0 и
h′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0).
Доказательство. Снова запишем определение производной:
h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)Δx=…(16.1)
h′(x0)==limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0(f(x0+Δx)g(x0+Δx)−−f(x0)g(x0))1Δx=…(16.1)
Аналогично теореме о пределе произведения,
полезно нарисовать картинку 16.1 и представить разность
произведений в виде суммы площадей двух прямоугольников.
Рис. 16.1: Разбиваем разность произведений в сумму двух произведений
f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)==(f(x0+Δx)−f(x0))g(x0+Δx)+f(x0)(g(x0+Δx)−g(x0)).
f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)==(f(x0+Δx)−f(x0))g(x0+Δx)++f(x0)(g(x0+Δx)−g(x0)).
Подставляя это в (16.1) и разбивая дробь в сумму двух дробей, получаем:
…=limΔx→0(g(x0+Δx)f(x0+Δx)−f(x0)Δx+f(x0)g(x0+Δx)−g(x0)Δx).
…=limΔx→0(g(x0+Δx)f(x0+Δx)−f(x0)Δx++f(x0)g(x0+Δx)−g(x0)Δx).
Каждая из двух дробей стремится к соответствующей производной, сомножитель f(x0) не зависит от Δx и стремится сам к себе, g(x0+Δx) стремится к g(x0), поскольку функция g непрерывна в точке x0, т.к. она дифференцируема в этой точке (см. теорему 1 из предыдущей главы). Пользуясь теоремами о пределах суммы и произведения, получаем искомое.∎
Пример 1. Найдём производную функции f(x)=x2sinx:
f′(x)=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.
f′(x)=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′==2xsinx+x2cosx.
16.2Производная частного
Теорема 3. Пусть функция g дифференцируема в точке x0 и g(x0)≠0. Тогда функция h(x):=1/g(x) дифференцируема в точке x0 и
h′(x0)=−g′(x0)g(x0)2.
Доказательство этой теоремы несложно провести пользуясь определением, аналогично двум предыдущим теоремам. Оставляем это в качестве полезного упражнения.
Теорема 4. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 и g(x0)≠0. Тогда функция h(x):=f(x)/g(x) дифференцируема в точке x0 и
h′(x0)=f′(x0)g(x0)−g′(x0)f(x0)g(x0)2.
Эту теорему легко вывести из теоремы о производной произведения и теоремы 3. Тоже оставляем в качестве упражнения.
16.3Производная сложной функции
16.3.1Картинка и формулировка
Чтобы сформулировать теорему о производной сложной функции полезно нарисовать
картинку и обсудить ещё один способ думать о производной.
Пусть функция f дифференцируема в точке x0, а функция g
дифференцируема в точке f(x0). Рассмотрим их композицию — функцию
h(x):=g(f(x)). Будем использовать переменные x, y и z: функция f
отображает x в y, функция g отображает y в z, а функция h — x в
z, см. рис. 16.2. Рассмотрим маленький отрезок I:=[x0,x0+Δx] на оси x. Под действием функции f он отображается в отрезок
f(I)=[f(x0),f(x0+Δx)] на оси y. Производная f′(x0) показывает,
во сколько раз отрезок f(I) больше отрезка I при маленьких Δx. Иными
словами, f′(x0) показывает, во сколько раз маленькие отрезки с одним из
концов в точке x0 растягиваются под действием f.
Рис. 16.2: Действие композиции на маленький отрезок
Проследим за тем, что происходит с отрезком I под действием отображения h.
Сначала на I действует отображение f и он превращается в f(I),
растягиваясь примерно в f′(x0) раз. Затем на отрезок f(I) действует
отображения g и он превращается в отрезок g(f(I)). Во сколько раз отрезок
g(f(I)) больше отрезка f(I)? Во столько, во сколько раз отображение g
растягивает маленькие отрезки, один конец которых совпадает с точкой f(x0).
Чтобы найти это число нам нужно вычислить значение производной функции g в точке
f(x0), то есть g′(f(x0)).
Во сколько раз отрезок g(f(I)) больше отрезка I? Мы сначала растянули отрезок I в f′(x0) раз, а потом ещё в g′(f(x0)). Значит, в итоге он растянулся в f′(x0)g′(f(x0)) раз. Это и есть значение прозводной функции h в точке x0.
Эти рассуждения не претендуют на аккуратность — аккуратное доказательство будет ниже. Но теперь мы можем сформулировать теорему о производной сложной функции, и получающаяся в ней формула не будет казаться взявшейся с потолка.
Теорема 5. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, а функция g дифференцируема в точке f(x0). Тогда функция h(x):=g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и
h′(x0)=g′(f(x0))f′(x0).
16.3.2Аккуратные оценки
Доказательство. Обозначим y0:=f(x0). Определим следующие функции: Δf(Δx):=f(x0+Δx)−f(x0),Δg(Δy):=g(y0+Δy)−g(y0). Тогда
f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx,g′(y0)=limΔy→0Δg(Δy)Δy,
f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx,g′(y0)=limΔy→0Δg(Δy)Δy,
и
h′(x0)=limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx.
(16.2)
Последнее равенство мгновенно следует из картинки (см. рис. 16.3), но формально доказывается так. Заметим, что
y0+Δf(Δx)=y0+f(x0+Δx)−f(x0)=f(x0+Δx).
y0+Δf(Δx)=y0+f(x0+Δx)−f(x0)==f(x0+Δx).
Таким образом,
Δg(Δf(Δx))=g(y0+Δf(Δx))−g(y0)=g(f(x0+Δx))−g(f(x0)).
Δg(Δf(Δx))=g(y0+Δf(Δx))−g(y0)==g(f(x0+Δx))−g(f(x0)).
и правая часть (16.2) превращается в определение производной h′(x0).
Рис. 16.3: Функции Δf и Δg
Первая попытка. Естественный первый шаг состоит в том, чтобы представить отношение
Δg(Δf(Δx))Δx
в виде произведения двух отношений:Δg(Δf(Δx))Δf(Δx)⋅Δf(Δx)Δx(16.3)
Дальше мы могли бы перейти к
пределу при Δx→0 и получить искомое произведение производных.
Однако, тут нас поджидает проблема: значение выражения (16.3)
определено не всегда.
Может так случиться, что отображение f переведёт
x0+Δx в ту же точку, что и x0, то есть отрезок I схлопнется в
точку. В этом случае Δf(Δx)=0 и делить на него нельзя. Что
же делать?
Новые функции. Давайте рассмотрим такую функцию:
G(Δy):=Δg(Δy)Δy.(16.4)
Она определена в некоторой проколотой окрестности нуля. По определению производной функции g,
limΔy→0G(Δy)=g′(y0).
Теперь рассмотрим новую функцию:
~G(Δy)={G(Δy),Δy≠0,g′(y0),Δy=0.
Иными словами, мы доопределили функцию G(Δy) в нуле значением g′(y0). Функция ~G непрерывна в точке 0 — мы её ровно так доопредили, чтобы предел функции в этой точке был равен её значению.
Докажем, что для всех Δx из некоторой проколотой окрестности нуля выполняется равенство
Δg(Δf(Δx))Δx=~G(Δf(Δx))Δf(Δx)Δx.(16.5)
Δg(Δf(Δx))Δx==~G(Δf(Δx))Δf(Δx)Δx.(16.5)
Рассмотрим два случая:
- Пусть Δf(Δx)≠0.
Тогда~G(Δf(Δx))=G(Δf(Δx))=Δg(Δf(Δx))Δf(Δx).
~G(Δf(Δx))=G(Δf(Δx))==Δg(Δf(Δx))Δf(Δx).
В этом случае правая часть (16.5) совпадает с (16.3) и в нём можно сократить на Δf(Δx) и равенство выполняется. - Пусть теперь Δf(Δx)=0. Тогда левая часть (16.5) равна нулю (поскольку функцию Δg в нуле принимает значение 0), равно как и правая часть, и значит равенство снова выполняется.
ТогдаПредел сложной функции. Перейдём теперь в равенстве (16.5) к пределу при Δx→0. Имеем:
limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx=limΔx→0~G(Δf(Δx))⋅Δf(Δx)Δx.
limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx==limΔx→0~G(Δf(Δx))⋅Δf(Δx)Δx.
Второй сомножитель стремится к f′(x0). Для нахождения предела первого
сомножителя воспользуемся теоремой о пределе сложной
функции. Предел внутренней функции Δf при Δx→0 равен нулю. (Действительно, функция f непрерывна в точке x0,
поскольку дифференцируема в этой точке, и значит limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)=0.) Внешняя функция ~G
непрерывна в нуле по построению.
Значит,
limΔx→0~G(Δf(Δx))=~G(limΔx→0Δf(Δx))=~G(0)=g′(y0)=g′(f(x0)).
limΔx→0~G(Δf(Δx))=~G(limΔx→0Δf(Δx))==~G(0)=g′(y0)==g′(f(x0)).
Таким образом, по теореме о пределе произведения,
h′(x0)=limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx=g′(f(x0))f′(x0)
и теорема доказана.∎
Пример 2. Найдём производную функции h(x)=sin(x3). Внутренняя функция f(x)=x3. Внешняя функция g(y)=siny. Их производные: f′(x)=3×2, g′(y)=cosy. Тогда
(sin(x3))′=g′(f(x))f′(x)=g′(x3)3×2=cos(x3)⋅3×2=3x2cosx3.
(sin(x3))′=g′(f(x))f′(x)=g′(x3)3×2==cos(x3)⋅3×2=3x2cosx3.
16.4Заключение
Мы доказали основные теоремы, позволяющие находить производные любых функций,
заданных формулами, если известны производные их элементарных составных частей.
Например, сколь бы сложной ни была формула, если в ней участвуют только
арифметические операции, экспоненты и тригонометрические функции, мы можем
посчитать её производную.
Когда производная найдена, она позволяет ответить на
множество вопросов про поведение функции — в частности, найти её экстремумы и
промежутки монотонности. Подробнее о связи свойств производной со свойствами
самой функции — на следующей лекции.
← Предыдущая глава Следующая глава →
Главная → Видеоуроки → Алгебра. 10 класс. Производная. Описание видеоурока: В уроке рассмотрено решение 6 примеров на вычисление производных простых функций. Урок будет полезен для учеников 10-11 классов. Валерий Волков 13 17.02.2016 Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями! Новости образования | ЕГЭ по математике Профильный уровень Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18 Задание 19 Задание 20 Задание 21 ГИА по математике Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Задача 16 Задача 17 Задача 18 Задача 19 Задача 20 Задача 21 Задача 22 Задача 23 Задача 24 Задача 25 Задача 26 Демонстрационные варианты ОГЭ по математике Математика. Натуральные числа Обыкновенные дроби Десятичные дроби Проценты Математика. 6 класс. Делимость чисел Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Умножение и деление обыкновенных дробей Отношения и пропорции Положительные и отрицательные числа Измерение величин Математика. 7 класс. Преобразование выражений Многочлены Формулы сокращенного умножения Математика. 8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения Квадратные неравенства Уравнения с параметром Задачи с параметром Математика. 9 класс. Функции и их свойства Прогрессии Векторы Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Математика. Числовые функции Тригонометрические функции Тригонометрические уравнения Преобразование тригонометрических выражений Производная Степенные функции Показательная функция Логарифмические функции Первообразная и интеграл Уравнения и неравенства Комбинаторика Создаёте видеоуроки? Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала. Актуально Физкультминутки для школьников и дошкольников Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ |
5 класс.
10 — 11 класс.
Деривативы Легкий способ
Производные инструменты Легкий способ
Постоянное правило и степенное правило
Мы видели следующие производные:
Если f(x) = c, то f ‘(х) = 0
Если f(x) = x, то f ‘(х) = 1
Если f(x) = x 2 , затем f ‘(х) = 2х
Если f(x) = x 3 , то f'(x) = 3x 2
Если f(x) = x 4 , то f'(x) = 4x 3
Это приводит нас к предположению следующей теоремы.
Теорема д |
Доказательство:
У нас есть
Приложения
Пример
Найдите производные следующих функций:
f(x) = 4x 3 — 2x 100
f(x) = 3x 5 + 4x 8 — x + 2
f(x) = (x 3 — 2) 2
Решение
Мы используем наши новые производные правила, чтобы найти
12x 2 — 200x 99
15x 3 +32x 7 -1
Сначала мы ФОЛЬГА, чтобы получить
[х 6 — 4х 3 + 4] ‘
Теперь используйте производное правило для степеней.
6x 5 — 12x 2
6x 5 — 12x 2 Пример:
Найти уравнение касательной к
у =
3x 3 — x + 4
в
точка (1,6)
Решение:
у’ =
9x 2 — 1
при x = 1 это равно 8. Использование уравнения точка-наклон для линии дает
у — 6
= 8(х — 1)
или
у =
8х — 2
Пример:
Найдите точки, где касательная к
у = х 3 —
3x 2 — 24x + 3
является горизонтальным.
Решение:
Находим
у’ =
3x 2 — 6x — 24
Касательная будет горизонтальной, если ее наклон равен нулю, т.
производная равна нулю. Установка производной равной нулю дает:
3x 2 — 6x — 24
= 0
или
х 2 — 2х — 8
= 0
или
(х — 4)(х + 2)
= 0
так что
х = 4
или x = -2
Производная f(x) = sin(x)
Теорема д |
Доказательство:
d/dx cos(x)
Теорема д |
Вернуться к Домашняя страница Math 105
электронная почта Вопросы и Предложения
World Web Math: производные полиномов
World Web Math: производные полиномов Предлагаемые предпосылки: Значение дифференциация, Полиномы — одни из самых простых функций, которые мы используем.
Нам надо
знать производные многочленов, таких как х 4 +3 х ,
8 x 2 +3x+6 и 2. Начнем с
самая простая из них, функция y = f ( x )= c , где c — любая константа, например 2, 15,4 или один миллион и четыре.
(10 6 +4). Оказывается, производная любой постоянной
функция равна нулю. Это имеет смысл, если вы думаете о производной
как наклон касательной. Чтобы использовать определение
производная, с f ( x ) = c ,
Для полноты рассмотрим теперь y = f ( х ) = х . Это уравнение прямой линии с наклоном 1, и мы ожидаем найти это из определения производной. Мы не разочарованы:
Две вещи, которые следует отметить в вышеизложенном:
- Может возникнуть соблазн «отменить» термин « dx » в
промежуточный шаг. Это верно, но только в этом простом случае.
- Это никогда больше не будет так просто, хотя это будет не так уж и много
Сильнее.
Прежде чем перейти к самому общему случае, рассмотреть y = f ( x ) = x 2 . Как показано, это самая простая парабола. производная от f ( x ) все еще можно найти из базовой алгебры:
Это говорит нам именно то, что мы ожидаем; производная равна нулю в x = 0, имеет тот же знак, что и x , и становится круче (более отрицательное или положительное) по мере того, как x становится более отрицательным или положительный.
Интересный результат нахождения эта производная состоит в том, что наклон секущей равен наклону функция в середине отрезка. Конкретно,
(На приведенном рисунке 90 310 x 90 311 = -1 и ч = 3, поэтому ( x + ч /2) = +1/2.
Обратите внимание, что параболические функции являются функциями и только . (кроме линейных или постоянных функций), для которых это всегда истинный.Отсюда можно и нужно считать y = f ( x ) = x n для любое положительное целое число n . Есть много способов сделать это, с разной степенью официальности.
Для начала рассмотрим, что для n положительное целое число биномиальная теорема позволяет нам выразить f ( x +h) как
(В приведенном выше всегда будет не более n +1 ненулевые члены.) Затем алгебра снова дает нам
Видно, что эта очень удобная форма воспроизводит приведенные выше результаты для n =1, n =2 и даже n =0, т.е. случай с =1.
Приведенный выше результат можно получить из индуктивного процесса, используя правило произведения, но индуктивный шаг подобен тому, который позволяет распространение биномиальной теоремы на все положительные целые числа и добавляет немного для этой презентации.Расширение от f ( x )= x п произвольным полиномам (здесь будет рассматриваться только конечный порядок) нужны только два простых, возможно, даже очевидных результата:
- Производная суммы двух функций есть сумма производные.
- Производной функции, умноженной на константу, является производная функции, умноженная на ту же константу.
В символах эти результаты
В приведенном выше c есть константа, и дифференцируемость функций в искомых точках.
Объединяя все эти результаты, мы видим, что для коэффициенты a k все константы,
Это часто можно увидеть в записи суммирования как
Примеры
-
Это всего лишь производные констант, а значит, обе равны нулю. -
То есть производная от функции, описывающей прямую с наклон 3 действительно тот же самый наклон, 3.
Это верно, но только в этом простом случае.
