Производные как считать: Как найти производную функции, примеры решения

Производная в физике

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Ж.Даламбер

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.
Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Установление межпредметных связей в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.
В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.

Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, развития техники, но если он не показывает, как физика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении её проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

• о разыскании касательной к произвольной линии;
• о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг. ) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввел в1797 году Ж. Лагранж (1736-1813). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой.

Некоторые применения производной в физике

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Таким образом,

Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ по определению, нужно:

найти разность найти отношение найти предел этого отношения при ,

Рассмотрим несколько физических задач, при решении которых применяется эта схема.

Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения. Материальная точка движется по координатной прямой. Координата х этой точки есть известная функция

x(t) времени t. За промежуток времени от t₀ до t₀ + перемещение точки равно x(t₀ + ) – x(t₀) – а её средняя скорость такова: .
Обычно характер движения бывает таковым, что при малых , средняя скорость практически не меняется, т.е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при  стремится к некоторому вполне определённому значению, которое называют мгновенной скоростью v(t₀) материальной точки в момент времени t₀.

Итак,

Но по определению
Поэтому считают, что мгновенная скорость в момент времени t₀

Коротко говорят: производная координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

Задача о теплоемкости тела

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры t, до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t₀ до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение  есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается

с_ср.
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры Т, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t₀ (в данной точке t₀).
Теплоемкостью при температуре t₀ (в данной точке) называется предел

Коротко говорят: производная от количества тепла, получаемого телом, по температуре есть теплоемкость.

Задача о линейной плотности стержня

Рассмотрим неоднородный стержень.

Стержень называют неоднородным, если на два участка одинаковой длины приходятся различные массы.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность  масса стержня есть функция его длины х.

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Коротко говорят: линейная плотность стержня в точке есть производная массы по длине.

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам. Некоторые из них приведены в таблице.

Функция	Формула	Вывод
m(t) – зависимость массы расходуемого горючего от времени.		Производная массы по времени есть скорость расхода горючего.
T(t) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени.		Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.
m(t) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени.		Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада.
q(t) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времени		Производная количества электричества по времени есть сила тока.
A(t) – зависимость работы от времени		Производная работы по времени есть мощность.

Практические задания:

№1.

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t² + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

№2.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t

2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

№3.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0^o до t^oС, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t² + 0,0000003t³. Вычислите теплоемкость воды, если t = 100^o.

№4.

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t² (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

№ 5.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t² – 4t⁴ (м), при t = 3 с.

№ 6.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t² + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Заключение

Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел и назвали производной функции.

Итак, на ряде примеров мы показали, как различные физические процессы описываются с помощью математических задач, каким образом анализ решений позволяет делать выводы и предсказания о ходе процессов.
Конечно, число примеров такого рода огромно, и довольно большая часть из них вполне доступна интересующимся учащимся.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Список литературы :

1. Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: Просвещение,1996.
3. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Функция, её предел и производная. – М: Просвещение, 1969.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М: Просвещение, 2010.
5. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. – М: Учпедгиз, 1963.
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч.1 – М: Наука, 1955.
7. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, ч.1 – М: Наука, 1987.

3: Производные — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2489

• Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем исследовать применение этих методов.

• 3.0: Prelude to Derivatives

  Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем изучить их применение.0008

• 3.1: Определение производной

  Наклон касательной к кривой измеряет мгновенную скорость изменения кривой. Мы можем вычислить его, найдя предел разностного отношения или разностного отношения с приращением h. Производная функции f(x) при значении a находится с использованием любого из определений наклона касательной. Скорость – это скорость изменения положения. Таким образом, скорость v(t) в момент времени t является производной положения s(t) в момент времени t.

  • 3.1E: Упражнения к разделу 3.1

• 3.2: Производная как функция

  . График производной функции f(x) связан с графиком f(x). Где (f(x) имеет касательную с положительным наклоном, f′(x)>0. Где (x) имеет касательную с отрицательным наклоном, f′(x)<0. Где f(x) имеет горизонтальную касательной, f′(x)=0. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

  • 3.2E: Упражнения к разделу 3.2

• 3.3: Правила дифференцирования

  Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции — это функция, в которой степень x становится коэффициентом при члене, а степень x в производной уменьшается на 1. Производная константы c, умноженная на функцию f, равна константе умножить на производную. Производная суммы функции f и функции g равна сумме производной функции f и производной функции g.

  • 3. 3E: Упражнения к разделу 3.3

• 3.4: Производные как скорости изменения

  В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения производной как скорости изменения, сосредоточившись на интерпретации скорости производной. изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и предельные функции в экономике.

  • 3.4E: Упражнения к разделу 3.4

• 3.5: Производные тригонометрических функций

  Мы можем найти производные sin x и cos x, используя определение производной и предельные формулы, найденные ранее. С помощью этих двух формул мы можем определить производные всех шести основных тригонометрических функций.

  • 3.5E: Упражнения к разделу 3.5

• 3.6: Цепное правило

  Ключевые понятия Цепное правило позволяет различать композиции из двух или более функций. {n−1}g′(x)\).

  • 3.6E: Упражнения к разделу 3.6

• 3.7: Производные обратных функций

  Теорема об обратных функциях позволяет вычислять производные обратных функций без использования предельного определения производных обратных функций. Мы можем использовать теорему об обратной функции для разработки формул дифференцирования для обратных тригонометрических функций.

  • 3.7E: Упражнения для раздела 3.7

• 3.8: Неявное дифференцирование

  Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями). Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

  • 3.8E: Упражнения к разделу 3.8

• 3.9: Производные экспоненциальных и логарифмических функций

  В этом разделе мы исследуем экспоненциальные и логарифмические производные экспоненциальных функций. Как мы обсуждали во Введении в функции и графики, экспоненциальные функции играют важную роль в моделировании роста населения и распада радиоактивных материалов. Логарифмические функции могут помочь изменить масштаб больших величин и особенно полезны для перезаписи сложных выражений.

  • 3,9E: Упражнения для Раздела 3.9

• 3.10: Глава 3 Упражнения по обзору

Минуара

---

Эта страница под названием 3: Деривативы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Глава

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
   2. автор@Гилберт Странг
   3. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1

Вы пытались вычислить производные с помощью TensorFlow 2?

Мы узнаем, как реализовать простую функцию с помощью TensorFlow 2 и как получить от нее производные. Мы реализуем модель Блэка-Шоулза для оценки колл-опциона, а затем собираемся получить греков.

Matthias Groncki написал очень интересный пост о том, как получить греки ценового варианта с помощью TensorFlow, что и вдохновило меня на написание этого поста. Итак, я взял тот же пример и сделал несколько обновлений для использования TensorFlow 2.9.0032

Требования

• Python
• TensorFlow
• Блэка-Шоулза
• Монте-Карло

Формула ценообразования Блэка-Шоулза

Мы собираемся внедрить формулу Блэка-Шоулза для ценообразования. В этом примере мы сосредоточимся на опционе колл.

Версия 2 TensorFlow имеет множество улучшений, особенно в отношении API Python, что упрощает написание кода , чем раньше.

@tf.function
def pricer_blackScholes (S0, страйк, time_to_expiry, implied_vol, без риска):
    """Цены опциона колл.
    Параметры
    ----------
    S0: плавающий
        Спотовая цена.
    забастовка: плавать
        Цена исполнения.
    time_to_expiry : с плавающей запятой
        Время до зрелости.
    подразумевается_vol : с плавающей запятой
        Волатильность.
    без риска: плавающий
        Безрисковая ставка.
    Возвращает
    -------
    НПВ : с плавающей запятой
        Чистая приведенная стоимость.
    Примеры
    --------
    >>> kw = инициализировать_переменные (to_tf = True)
    >>> pricer_blackScholes(**kw)
    Примечания
    -----
    https://en.wikipedia.org/wiki/Черный%E2%80%93Scholes_model#Black%E2%80%93Scholes_formula
    """
    S = S0
    К = забастовка
    dt = время_до_истечения
    dt_sqrt = tf.sqrt (дт)
    сигма = подразумеваемый_объем
    г = без риска
    Phi = tf.compat.v1.distributions.Normal(0., 1.).cdf
    d1 = (tf.math.log(S / K) + (r + сигма ** 2/2) * dt) / (сигма * dt_sqrt)
    d2 = d1 - сигма * dt_sqrt
    npv = S * Phi(d1) - K * tf. exp(-r * dt) * Phi(d2)
    вернуть чистую цену
 

Как мы видим, вышеприведенный код представляет собой реализацию опциона колл в терминах схемы Блэка-Шоулза. Очень крутое улучшение это tf.function декоратор, который создает для нас вызываемый граф.

Вычисление производных

В предыдущих версиях TensorFlow нам нужно было использовать tf.gradient , что требует от нас создания сеанса и множества раздражающих вещей. Теперь весь этот процесс выполняется с использованием tf.GradientTape , что проще. Мы можем сделать это, написав что-то вроде:

.
с tf.GradientTape() как g1:
    npv = pricer_blackScholes(**переменные)
dv = g1.gradient(npv, variable) # производные первого порядка
 

Хорошо, но что, если нам нужны производные более высокого порядка? Ответ прост, нам нужно только добавить новый tf.GradientTape :

с tf.GradientTape() как g2:
    с tf.GradientTape() как g1:
        npv = pricer_blackScholes(**переменные)
    dv = g1. gradient(npv, переменные)
d2v = g2.gradient(dv, переменные)
 

Модель Блэка-Шоулза

Мы используем известную модель Блэка-Шоулза для оценки цены колла. Наш код можно записать так:

@tf.function
def pricer_blackScholes (S0, страйк, time_to_expiry, implied_vol, без риска):
    """pricer_blackScholes.
    Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток. Переменная
        Базовая спотовая цена.
    удар: тензорный поток. Переменная
        Цена исполнения.
    time_to_expiry : тензорный поток.Переменная
        Время до истечения срока действия.
    подразумевается_vol : тензорный поток.Переменная
        Волатильность.
    Без риска: тензорный поток. Переменная
        Безрисковая ставка.
    Возвращает
    -------
    npv : тензорный поток. Тензор
        Чистая приведенная стоимость.
    Примеры
    --------
    >>> kw = инициализировать_переменные (to_tf = True)
    >>> pricer_blackScholes(**kw)
     739834>
    Примечания
    -----
    Формула: https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model#Black%E2%80%93Scholes_formula
    """
    S = S0
    К = забастовка
    dt = время_до_истечения
    dt_sqrt = tf.sqrt (дт)
    сигма = подразумеваемый_объем
    г = без риска
    Phi = tf.compat.v1.distributions.Normal(0., 1.).cdf
    d1 = (tf.math.log(S / K) + (r + сигма ** 2/2) * dt) / (сигма * dt_sqrt)
    d2 = d1 - сигма * dt_sqrt
    npv = S * Phi(d1) - K * tf.exp(-r * dt) * Phi(d2)
    вернуть чистую цену
 

Чтобы получить чистую текущую стоимость (NPV) и греки (производные), мы можем написать функцию, которая охватывает весь процесс. Это, конечно, необязательно, но очень полезно.

def calculate_blackScholes():
    """рассчитать_черныйШоулз.
    Возвращает
    -------
    выход: дикт
        NPV : чистая текущая стоимость
        dv : производные первого порядка
    Примеры
    --------
    >>> out = calculate_blackScholes()
    >>> распечатать(выйти)
    {'dv': {'S0': 0,5066145,
            'подразумеваемый_объем': 56. 411205,
            «без риска»: 81.843216,
            «забастовка»: -0,37201464,
            'time_to_expiry': 4.0482087},
     'НПВ': 9.739834}
    """
    переменные = инициализировать_переменные (to_tf = True)
    с tf.GradientTape() как g1:
        npv = pricer_blackScholes(**переменные)
    dv = g1.gradient(npv, переменные)
    dv = {k: v.numpy() для k,v в dv.items()} # получить значение
    вернуть dict (npv = npv.numpy (), dv = dv)
 

Предыдущая функция возвращает:

>>> calculate_blackScholes()
{'dv': {'S0': 0,5066145,
        'подразумеваемый_объем': 56.411205,
        «без риска»: 81.843216,
        «забастовка»: -0,37201464,
        'time_to_expiry': 4.048208},
 'НПВ': 9.739834}
 

Где:

• npv : Чистая приведенная стоимость равна 9,74.
• S0 = $$\frac{\partial v}{\partial S}$$
• implied_vol = $$\frac{\partial v}{\partial \sigma}$$
• забастовка = $$\frac{\partial v}{\partial K}$$
• time_to_expiry = $$\frac{\partial v}{\partial \tau}$$

Мы видели, как реализовать Функция TensorFlow и как получить от нее производные. Теперь мы рассмотрим еще один пример с использованием метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло очень полезен, когда у нас нет закрытой формулы или она очень сложна. Мы собираемся реализовать функцию ценообразования Монте-Карло, для этой задачи я решил также реализовать функцию броуновского , которая используется внутри pricer_montecarlo .

@tf.function
def pricer_montecarlo (S0, забастовка, time_to_expiry, подразумеваемый_объем, без риска, dw):
    """Метод ценообразования Монте-Карло.
    Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток. Переменная
        Базовая спотовая цена.
    удар: тензорный поток. Переменная
        Цена исполнения.
    time_to_expiry : тензорный поток.Переменная
        Время до истечения срока действия.
    подразумевается_vol : тензорный поток.Переменная
        Волатильность.
    Без риска: тензорный поток. Переменная
        Безрисковая ставка.
    dw : тензорный поток. Переменная
        Обычная случайная величина. 
    Возвращает
    -------
    npv : тензорный поток. Переменная
        Чистая приведенная стоимость.
    Примеры
    --------
    >>> nсимс = 10
    >>> ноб = 100
    >>> dw = tf.random.normal((nsims, nobs), seed=3232)
    >>> v = инициализировать_переменные (to_tf = True)
    >>> npv = pricer_montecarlo(**v, dw=dw)
    >>> НПВ
    
    """
    сигма = подразумеваемый_объем
    T = время_до_истечения
    г = без риска
    К = забастовка
    dt = T / dw.shape[1]
    st = броуновский (S0, dt, сигма, r, dw)
    выплата = tf.math.maximum(st[:, -1] - K, 0)
    npv = tf.exp(-r * T) * tf.reduce_mean(выплата)
    вернуть чистую цену
@tf.function
определение броуновского (S0, dt, сигма, мю, dw):
    """Создает броуновское движение.
    Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток. Переменная
        Начальное значение Spot.
    dt : тензорный поток. Переменная
        Шаг времени.
    сигма: тензорный поток. Переменная
        Волатильность. 
    mu : тензорный поток. Переменная
        Значит, в черной системе Скоулза это безрисковая ставка.
    dw : тензорный поток. Переменная
        Случайная переменная.
    Возвращает
    -------
    выход: numpy.массив
    Примеры
    --------
    >>> nсимс = 10
    >>> нобы = 400
    >>> v = инициализировать_переменные (to_tf = True)
    >>> S0 = v["S0"]
    >>> dw = tf.random.normal((nsims, nobs), seed=SEED)
    >>> dt = v["time_to_expiry"] / dw.shape[1]
    >>> сигма = v["подразумеваемый_объем"]
    >>> r = v["без риска"]
    >>> paths = np.transpose(brownian(S0, dt, sigma, r, dw))
    """
    dt_sqrt = tf.math.sqrt (дт)
    шок = сигма * dt_sqrt * dw
    дрейф = (мю - (сигма ** 2) / 2)
    bm = tf.math.exp(дрейф * dt + удар)
    выход = S0 * tf.math.cumprod (bm, ось = 1)
    вернуться
 

Теперь мы готовы рассчитать NPV и греков в этой системе координат.

def calculate_montecarlo (греки = True):
    """рассчитать_монтекарло.
    Возвращает
    -------
    выход: дикт
        npv: чистая приведенная стоимость
        dv : производные первого порядка
        d2v : производные второго порядка
    Примеры
    --------
    >>> out = calculate_montecarlo()
    >>> распечатать(выйти)
    {'dv': {'S0': 0,5065364,
            'подразумеваемый_объем': 56. 45906,
            «без риска»: 81,81441,
            «забастовка»: -0,37188327,
            'time_to_expiry': 4.050169},
     'НПВ': 9.746445}
    """
    Nсимс = 10000000
    нобы = 2
    dw = tf.random.normal((nsims, nobs), seed=SEED)
    v = инициализировать_переменные (to_tf = Истина)
    выход = дикт()
    с tf.GradientTape() как g1:
        npv = pricer_montecarlo(**v, dw=dw).numpy()
    dv = g1.градиент (npv, v)
    out["dv"] = {k: v.numpy() для k, v в dv.items()}
    вернуться
 

Вывод:

>>> out = calculate_montecarlo()
>>> распечатать(выйти)
{'dv': {'S0': 0,5065364,
        'подразумеваемый_объем': 56,45906,
        «без риска»: 81,81441,
        «забастовка»: -0,37188327,
        'time_to_expiry': 4.050169},
 'НПВ': 9.746445}
 

Comparison

We are taking a look at the results of both methods:

Variable	Black-Scholes	Montecarlo
npv	9. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт