Промежутки убывания и возрастания функции: Найти промежутки возрастания и убывания экстремумы функции f (x)=x4-2x+4

Содержание

Курс высшей математики, Т.1

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. — 479 с.

Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей.

Для студентов университетов и технических вузов.

3. Величины постоянные и переменные.
4. Промежуток.
5. Понятие о функции.
6. Аналитический способ задания функциональной зависимости.
7. Неявные функции.
8. Табличный способ.
9. Графический способ изображения чисел.
10. Координаты.
11. График и уравнение кривой.
12. Линейная функция.
13. Приращение. Основное свойство линейной функции.
14. График равномерного движения.
15. Эмпирические формулы.
16. Парабола второй степени.
17. Парабола третьей степени.
18. Закон обратной пропорциональности.
19. Степенная функция.
20. Обратные функции.
21. Многозначность функции.
22. Показательная и логарифмическая функции.
23. Тригонометрические функции.
24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции.
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
25. Упорядоченное переменное.
26. Величины бесконечно малые.
27. Предел переменной величины.
28. Основные теоремы.
29. Величины бесконечно большие.

30. Монотонные переменные.
31. Признак Коши существования предела.
32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью.
33. Примеры.
34. Непрерывность функции.
35. Свойства непрерывных функций.
36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.
37. Примеры.
38. Число е.
39. Недоказанные предложения.
40. Вещественные числа.
41. Действия над вещественными числами.
42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела.
43. Свойства непрерывных функций.
44. Непрерывность элементарных функций.
ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
45. Понятие о производной.
46. Геометрическое значение производной.
47. Производные простейших функций.
48. Производные сложных и обратных функций.
49. Таблица производных и примеры.
50. Понятие о дифференциале.
51. Некоторые дифференциальные уравнения.
52. Оценка погрешностей.
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
53.

Производные высших порядков.
54. Механическое значение второй производной.
55. Дифференциалы высших порядков.
56. Разности функций.
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
57. Признаки возрастания и убывания функций.
58. Максимумы и минимумы функций.
59. Построение графиков.
60. Наибольшее и наименьшее значения функций.
61. Теорема Ферма.
62. Теорема Ролля.
63. Формула Лагранжа.
64. Формула Коши.
65. Раскрытие неопределенностей.
66. Различные виды неопределенностей.
§ 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных.
69. Производные сложных и неявных функций.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ

70. Дифференциал дуги.
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна.
72. Асимптоты.
73. Построение графиков.
74. Параметрическое задание кривой.
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
76. Особые точки кривых.
77.

Элементы кривой.
78. Цепная линия.
79. Циклоида.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.
81. Развертка круга.
82. Кривые в полярных координатах.
83. Спирали.
85. Овалы Кассини и лемниската.
ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
86. Понятие о неопределенном интеграле.
87. Определенный интеграл как предел суммы.
88. Связь определенного и неопределенного интегралов.
89. Свойства неопределенного интеграла.
90. Таблица простейших интегралов.
91. Правило интегрирования по частям.
92. Правило замены переменных. Примеры.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
94. Основные свойства определенного интеграла.
95. Теорема о среднем.
96. Существование первообразной функции.
97. Разрыв подынтегральной функции.
98. Бесконечные пределы.
99. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
100. Интегрирование по частям.
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
101.

Вычисление площадей.
102. Площадь сектора.
103. Длина дуги.
104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.
105. Объем тела вращения.
106. Поверхность тела вращения.
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций.
109. Формула касательных и формула Понселе.
110. Формула Симпсона.
111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
112. Графические способы.

113. Площади быстро колеблющихся кривых.
§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм.
116. Интегрируемые функции.
117. Свойства интегрируемых функций.
ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
118. Понятие о бесконечном ряде.
119. Основные свойства бесконечных рядов.
120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
121. Признаки Коши и Даламбера.

122. Интегральный признак сходимости Коши.
123. Знакопеременные ряды.
124. Абсолютно сходящиеся ряды.
125. Общий признак сходимости.
§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
126. Формула Тейлора.
127. Различные виды формулы Тейлора.
128. Ряды Тейлора и Маклорена.
129. Разложение exp(x).
130. Разложение sin x и cos x.
131. Бином Ньютона.

132. Разложение log(1+x).
133. Разложение arctg x.
134. Приближенные формулы.
135. Максимумы, минимумы и точки перегиба.
136. Раскрытие неопределенностей.
§ 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ
137. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
138. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
139. Признак Куммера.
140. Признак Гаусса.
141. Гипергеометрический ряд.
142. Двойные ряды.
143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.
144. Равномерно сходящиеся последовательности функций.
145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
146. Свойства равномерно сходящихся рядов.

147. Признаки равномерной сходимости.
148. Степенные ряды. Радиус сходимости.
149. Вторая теорема Абеля.
150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ

152. О предельном переходе.
153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка.
154. Однородные функции.
155. Частные производные высших порядков.
156. Дифференциалы высших порядков.
157. Неявные функции.
158. Пример.
159. Существование неявных функций.
160. Кривые в пространстве и поверхности.
§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных.
162. Необходимые условия максимума и минимума функции.
163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных.
164. Примеры.
165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции.

166. Наибольшее и наименьшее значения функции.
167. Относительные максимумы и минимумы.
168. Дополнительные замечания.
169. Примеры.
ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
170. Комплексные числа.
171. Сложение и вычитание комплексных чисел.
172. Умножение комплексных чисел.
173. Деление комплексных чисел.
174. Возвышение в степень.
175. Извлечение корня.
176. Показательная функция.
177. Тригонометрические и гиперболические функции.
178. Цепная линия.
179. Логарифмирование.
180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.
181. Примеры.
182. Кривые в комплексной форме.
183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.
§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ
185. Разложение многочлена на множители.
186. Кратные корни.
187. Правило Горнера.
188. Общий наибольший делитель.
189. Вещественные многочлены.
190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.

191. Уравнение третьей степени.
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
193. Способ итерации.
194. Способ Ньютона.
195. Способ простого интерполирования.
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
196. Разложение рациональной дроби на простейшие.
197. Интегрирование рациональной дроби.
198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы.
199. Интегралы вида…
200. Интегралы вида…
201. Интегралы вида…

возрастание и убывание функции в точке

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при

нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач. Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.

Необходимые определения.

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где — достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции. На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a; b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x = b, которая не является точкой максимума.

К началу страницы

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма. Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале. Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов. Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2]. К началу страницы

Достаточные признаки экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров.

Возрастающие и убывающие функции — GeeksforGeeks

В математике мы знаем, что функция представляет собой отношение между входом и выходом. Функция может быть возрастающей, убывающей или постоянной для данных интервалов во всей их области определения, они непрерывны и дифференцируемы в данном интервале. Теперь, что такое интервал: так, интервал известен как непрерывная или связанная часть или часть на реальной прямой. Это возрастание или убывание функции обычно используется при применении производных. Итак, если вы хотите найти, что данная функция возрастает или убывает в заданном интервале, вы можете легко найти это с помощью производных.

Что такое возрастающая, убывающая и постоянная функция?

Возрастающая функция: Когда функция возрастает в заданном интервале, то такой тип функции известен как возрастающая функция. Или, другими словами, w , когда функция f(x) увеличивается на , значения функции f(x) увеличиваются по мере увеличения x. Или пусть I будет интервалом, который находится в области определения действительнозначной функции f. Тогда функция f возрастает на I, если x1 < x2 в I ⇒ f(x1) < f(x2) ∀ x1, x2 ∈ I. Или, с точки зрения производной, функция возрастает, когда производная в этой точке равна положительный. Графическое представление возрастающей функции:

Убывающая функция: Когда функция убывает в заданном интервале, то такой тип функции известен как убывающая функция. Или, другими словами, когда функция f(x) убывает на , значения f(x) уменьшаются по мере увеличения x. Или пусть I будет интервалом, который находится в области определения действительнозначной функции f. Тогда

Функция f убывает на I, если x1, x2 в I ⇒ f(x1) < f(x2) ∀ x1, x2 ∈ I.
Функция f убывает на I, если x1 < x2 в I ⇒ f (x1) ≥ f(x2)∀ x1, x2 ∈ I.
Функция f строго убывает на I, если x1 < x2 в I ⇒ f(x1) > f(x2)∀ x1, x2 ∈ I.

Или, с точки зрения производной, функция убывает, когда производная в этой точке отрицательна. Графическое представление убывающей функции:

Постоянная функция: Когда функция не возрастает и не убывает в заданном интервале, тогда такой тип функции известен как постоянная функция. Или, другими словами, когда функция f(x) постоянна, значение f(x) не меняется при увеличении x. Или, пусть I будет интервалом, который находится в области определения действительнозначной функции f. Тогда функция f постоянна на I, если f(x) = c ∀ x ∈ I. Здесь c — константа. Или, с точки зрения производной, функция постоянна (т.е. не увеличивается и не уменьшается), когда производная равна нулю. Графическое представление постоянной функции:

Пример: В этом примере мы исследуем график f(x) = x ² .
Table:
x f(x)
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
Как мы видим, когда x < 0, значение f(x) уменьшается по мере движения графика вправо. Другими словами, «высота» графика становится меньше. Это также подтверждается просмотром таблицы значений. Когда x < 0, по мере увеличения x f (x) уменьшается. Следовательно, f(x) убывает на интервале от отрицательной бесконечности до 0.
При x > 0 происходит обратное. Когда x > 0, значение f(x) увеличивается по мере движения графика вправо. Другими словами, «высота» графика становится больше. Это также подтверждается просмотром таблицы значений. Когда x > 0, по мере увеличения x f(x) увеличивается. Следовательно, f(x) возрастает на интервале от 0 до бесконечности.

Свойства возрастающих и убывающих интервалов

Некоторые полезные алгебраические свойства:

Аддитивное свойство. Если функции f и g возрастают/убывают на интервале (a, b), то сумма функций f + g также возрастает/убывает на этом интервале.
Напротив собственности. Если функция f возрастает/убывает на интервале (a, b), то противоположная функция -f убывает/возрастает.
Обратное свойство. Если функция f возрастает/убывает на интервале (a, b), то обратная функция 1/f убывает/возрастает на этом интервале.
Мультипликативное свойство. Если функции f и g возрастают/убывают и не отрицательны на интервале (a, b), то произведение функций также возрастает/убывает.

Теорема:
Пусть функция f непрерывна на отрезке [p, q] и дифференцируема на открытом отрезке (p, q), тогда
Функция f возрастает по [p, q], если f′(x) > 0 для каждого x ∈ (p, q).
Функция f убывает по [p, q], если f′(x) < 0 для каждого x ∈ (p, q)
Функция f постоянна по [p, q], если f′(x) = 0 для каждого x ∈ (p, q)
Или
Функция y = f(x) возрастает на интервале (p, q) тогда и только тогда, когда первая производная функции положительна для всех x в интервал p < x < q.
Аналогично, функция y = f(x) убывает на интервале (p, q) тогда и только тогда, когда первая производная функции отрицательна для всех x в интервале p < x < q.

Найти возрастающие и убывающие интервалы

Имея функцию f(x), мы можем определить интервалы ее возрастания и убывания, используя дифференцирование и алгебру.

Шаг 1: Найдите производную f'(x) функции.

Шаг 2: Найдите нули f'(x). Помните, что нули — это значения x, для которых f'(x) = 0. Установите f'(x) = 0 и найдите x.

Шаг 3: Определите интервалы. Интервалы находятся между конечными точками интервала f (x) и нулями f ‘(x). Если интервал f(x) не указан, предположим, что f(x) находится на интервале (-∞, ∞).

Шаг 4: Определите, увеличивается или уменьшается функция на каждом интервале. Учитывая интервал (a, c), выберите значение b, a < b < c. Найдите f'(b). Если f'(b) положительна, f(x) возрастает на (a, c). Если f'(b) отрицательно, f(x) убывает на (a, c).

Пример 1:
Если g(x) = (x – 5) ² , найдите интервалы, в которых g(x) увеличивается и уменьшается.
Шаг 1: Найдите производную функции.
Используя цепное правило,
g'(x) = 2(5 – x)
Шаг 2: Найдите нули производной функции. Другими словами, найдите значения, для которых g(x) равно нулю. Вы можете сделать это, установив g (x) = 0 и используя алгебру для решения для x. Из приведенных выше определений мы знаем, что функция постоянна в точках, где производная равна нулю.
g'(x) = 0 = 2(5 – x)
0 = 5 – x
x = 5
Шаг 3: Используйте нули для определения интервалов.
Так как x = 5 является единственным нулем для g'(x), существует всего 2 интервала: от отрицательной бесконечности до 5 и от 5 до отрицательной бесконечности.
Они могут быть обозначены в виде неравенства:
-∞ < x < 5
5 < x < ∞
Или в интервальном обозначении:
(-∞, 5)
(
) Помните , конечные точки НЕ являются инклюзивными, потому что g(x) не увеличивается и не уменьшается в конечных точках.
Шаг 4: Определите, увеличивается или уменьшается функция в каждом интервале.
Для первого интервала ((-∞, 5) мы выберем b = 0. -∞ < x < 5
g'(b) = g'(0) = 2(5-0) = 10
10 > 0 ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
Для второго интервала (5, ∞) мы выберем b = 6. 5 < 6 < ∞
g'(b) = g'(6) = 2( 5-6) = -2
-2 < 0 ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
Следовательно, g(x) возрастает на (-∞, 5) и убывает на (5, ∞). Мы можем проверить наши результаты визуально. На графике ниже хорошо видно, что f(x) = (x – 5) ² возрастает на интервале (5, ∞) и убывает на интервале (-∞, 5).
Мы можем визуально проверить наш результат, исследуя график функции g(x).
Глядя на график, g(x) действительно увеличивается в интервале от отрицательной бесконечности до 5 и уменьшается в интервале от 5 до бесконечности.

Пример 2: Найдите интервалы в -20 < x < 20, где g(x) увеличивается и уменьшается при g'(x) = x ² – 100.
Если производная задана, мы можем пропустить первый шаг и перейти сразу к поиску нулей.
g'(x)= 0 = x ² – 100
x ² = 100
Интервалы: (-20, -10), (-10, 10), (10, 20)
Для (-20, -10) мы выберем b = -12. -20 < -12 < -10
g'(-12) = 44 > 0
Для (-10, 10) мы выберем b = 0. -10 < 0 < 10
g(0) = -100 < 0
Для (10, 20) мы выберем b = 12. 10 < 12 < 20
g(12) = 44 > 0
Следовательно, при -20 < x < 20 g(x) возрастает на (-20, -10) и (10, 20) и убывает на (-10, 10 ).
Мы можем найти g(x), интегрируя данное g'(x). Таким образом, . Глядя на график, g(x) действительно увеличивается в интервале от -20 до -10 и в интервале от 10 до 20 и уменьшается в интервале от -10 до 10. 1. Учитывая функцию g(x) = 3x ² – 12, найдите интервалы -3 < x < 3, где g(x) возрастает и убывает.
Решение:
Заданная функция: g(x) = 3x ² – 12
Дифференцировать относительно. x, получаем
g'(x) = 6x
Для увеличения и уменьшения
Положим g'(x) = 0
g'(x) = 6x = 0
Итак, x = 0
Интервалы : (-3, 0), (0, 3)
При x = -2, g'(-2) = -12 < 0
При x = 2, g'(2) = 12 > 0
Итак, при -3 < x < 3 g(x) убывает на (-3, 0) и возрастает на (0, 3).
Вопрос 2. Учитывая производную от f(x), f'(x) = -10x ² + 40x, найдите интервалы, в которых f(x) возрастает и убывает.
Решение:
Дано: f'(x) = -10x ² + 40x
Для возрастания и убывания
Положим f'(x) = 0′ 9x)23
3 10x
² + 40x = 0
Итак, x = 4, 0
Интервалы: (−∞, 0), (0, 4), (4, ∞)
Итак, при x = -1, f'(-1) = -50 < 0
при x = 1, f'(1) = 30 > 0
при x = 5, f'(5) = -50 < 0
Итак, f(x) возрастает по (0, 4) и убывает по (-∞, 0 ), (4, ∞)
Вопрос 3. Для заданной функции g(x) = 5x ² – 20x + 100 найти промежутки возрастания и убывания g(x).
Решение:
Дано: g(x) = 5x ² – 20x + 100
Дифференцировать с.р.т. x, получаем
g'(x) = 10x – 20
Для увеличения и уменьшения
Положим g'(x) = 0
g'(x) = 10x – 20 = 0
x = 2
Интервалы: (−∞, 2), (2, ∞)
При, x = 1, g'(1) = -10 < 0
При x = 3, g'(3) = 10 > 0
Итак, g(x) убывает на (-∞, 2) и возрастает на (2, ∞)
Вопрос 4. Дана функция s(x) = 6x ³ – x ² , найдите интервалы 0 < x < 10, где s(x) возрастает и убывает.
Решение:
Дано: s(x) = 6x ³ – x ²
Дифференцировать относительно. x, получаем
s'(x) = 18x ² – 2x
Для увеличения и уменьшения
Положим s'(x) = 0
s'(x) = 18x ² – 2
x = 1/9, -1/9
Интервалы: (0, 1/9)
Здесь -1/9 не находится в заданном интервале, 0 < x < 10
Итак, g'(1/10) = -0,02 < 0
Следовательно, при 0 < x < 10 g(x) убывает на (0, 1/9)
Вопрос 5. Для заданного g'(x) = 7x ² – 8 найдите интервалы, в которых g(x) возрастает и убывает.
Решение:
Дано: g'(x) = 7x ² – 8
Для возрастания и убывания
Положим g'(x) = 0 7x 0 g’
‘
48 2
– 8 = 0
x =
Интервалы:
Итак, при x = -10, g'(-10) = 692 > 0
При x = 0, g'(0) = -8 < 0
При x = 10 g'(10) = 692 < 0
Следовательно, g(x) возрастает на и и убывает на

Как найти возрастающую или убывающую функцию?
Возрастающие и убывающие функции — это функции в исчислении, для которых значение \(f(x)\) увеличивается и уменьшается соответственно с увеличением значения \(x\).
Если значение \(f(x)\) увеличивается с увеличением значения \(x\), говорят, что функция возрастает, а если значение \(f(x)\) уменьшается с увеличением при увеличении значения \(x\) функция убывает.
Пошаговое руководство по возрастающим и убывающим функциям
Возрастающие и убывающие функции — это функции, графики которых движутся вверх и вниз соответственно, перемещаясь вправо от оси \(x\). Возрастающие и убывающие функции также называют неубывающими и невозрастающими функциями.
Определение возрастающих и убывающих функций
Возрастающая функция: Функция \(f(x)\) в интервале \(I\) возрастает на anif для любых двух чисел \(x\) и \(y\ ) в \(I\) такой, что \(x
Убывающая функция : Функция \(f(x)\) в интервале \(I\) убывает, если для любых двух чисел \(x\) и \(y\) в \(I\) таких что \(x
Строго возрастающая функция: Функция \(f(x)\) называется строго возрастающей на отрезке \(I\), если для любых двух чисел \(x\) и \(y\) из \(I\) таких, что \ (x
Строго убывающая функция: Функция \(f(x)\) называется строго убывающей на отрезке \(I\), если для любых двух чисел \(x\) и \(y\) из \ (I\) такой, что \(xf(y)\).
Графическое представление возрастающих и убывающих функций
Графическое представление возрастающих и убывающих функций помогает нам понять поведение функций.
Как мы видим выше на диаграммах, возрастающая функция включает в себя как строго возрастающие интервалы, так и интервалы, где функция постоянна. Точно так же убывающая функция содержит интервалы, где функция строго убывает и где функция постоянна.
Правила проверки возрастающих и убывающих функций
Мы используем производную функции, чтобы проверить, является ли функция возрастающей или убывающей. Предположим, что функция \(f(x)\) дифференцируема на открытом интервале \(I\), тогда мы имеем:
Если \(f'(x) ≥ 0\) на \(I\), то функция называется возрастающей функцией на \(I\).
Если \(f'(x)≤ 0\) на \(I\), то функция называется убывающей функцией на \(I\).
Примечание: Первая производная функции используется для проверки возрастающих и убывающих функций.
Свойства возрастающих и убывающих функций
Если функции \(f\) и \(g\) являются возрастающими функциями на открытом интервале \(I\), то сумма функций \(f+g\ ) также возрастает на этом интервале.
Если функции \(f\) и \(g\) являются убывающими функциями на открытом интервале \(I\), то сумма функций \(f+g\) также убывает на этом интервале.
Если функция \(f\) является возрастающей функцией на открытом интервале \(I\), то противоположная функция \(-f\) на этом интервале убывает.
Если функция \(f\) является убывающей функцией на открытом интервале \(I\), то противоположная функция \(-f\) является возрастающей на этом интервале.
Если функция \(f\) является возрастающей функцией на открытом интервале \(I\), то обратная функция \(\frac{1}{f}\) на этом интервале убывает.
No related posts.